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Unidade 4
Seção 3
Modelagem de
Sistemas Dinâmicos
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Modelagem matemática de sistemas
térmicos
Experimente
Nesta seção, aplicaremos os conhecimentos adquiridos de modelagem matemática para
obtenção do modelo que descreve a dinâmica dos sistemas térmicos, nos quais estão
envolvidos o armazenamento e o fluxo de calor por condução, convecção ou radiação. Alguns
exemplos de sistemas térmicos são:
iStock 2017
Refrigerador doméstico

Dessa forma, nesta seção:
• Entenderemos como a lei de conservação de energia nos ajudará a encontrar o modelo
matemático que descreve o comportamento dinâmico desse tipo de sistema.
• Focaremos na modelagem matemática de sistemas térmicos com uma e duas massas.
• Aprenderemos como testar e validar o modelo com auxílio do software MatLab®.
Situação­Problema
Lembre-se de que você foi contratado como engenheiro em
uma indústria de alimentos. Como você sabe, uma de suas
linhas de produção requer o controle de vazão e o
aquecimento de uma matéria-prima, pois, caso não esteja na
temperatura ideal, esse produto pode condensar nas
tubulações.
iStock 2017
Você já certificou o funcionamento do sistema
de vazão. Agora, iremos atentar ao sistema
térmico.
O seu desafio é responder: qual é a
temperatura de aquecimento da matéria-
prima, que escoa em regime permanente? O
produto irá condensar?
Protótipo silo industrial
Fonte: elaborado pelo autor.
Para obter o comportamento da temperatura de saída do
líquido, suponha que a temperatura de entrada do líquido
seja mantida constante e que a taxa de calor no sistema sofra
uma pequena variação. Então, obtenha a função de
transferência que relaciona a temperatura de saída em
função da taxa de calor de entrada. Considere o sistema
completamente isolado.
Uma ajuda!
iStock 2017
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Modelagem matemática de sistemas
térmicos
Explore
Sabemos que a dinâmica dos sistemas é
descrita em termos das equações diferenciais,
obtidas utilizando as leis da física que
governam os sistemas particulares, por
exemplo, a lei de conservação da massa para os
sistemas hidráulicos e pneumáticos, a lei de
Newton para os sistemas mecânicos e a lei de
Kirchhoff para os sistemas elétricos.
Já para os sistemas térmicos, a lei
fundamental para representação da
dinâmica dos sistemas é a lei de
conservação de energia.
Podemos afirmar que a lei de conservação de energia nos diz que a quantidade total de energia de um
sistema isolado permanece constante. De outra forma, podemos dizer que a taxa transportada de
energia para dentro do volume de controle, em um determinado instante t, é igual à taxa de variação
de energia dentro desse volume de controle no mesmo instante t (FELÍCIO, 2010).
q = − =
d(Q
1
)
dt
d(Q
2
)
dt
Fonte: Garcia (2013, p. 329).
As variáveis ou grandezas físicas usadas para descrever o comportamento dos sistemas
térmicos são:
E os elementos típicos que permitem a descrição e a análise da dinâmica desse tipo de sistema
são:
• A temperatura, dada em kelvin no sistema internacional.
• O fluxo de calor, dado em watts (ou Joule por segundo).
• A resistência.
• A capacitância térmica.
Resistência Técnica
Uma das características da lei da termodinâmica é a ocorrência de transferência de calor de um
ponto a certa temperatura para outro ponto com temperatura inferior. A intensidade da
transferência de calor depende do caminho entre os dois pontos, da distância e das
características do meio. A dificuldade que o meio (ou caminho) proporciona à transferência de
calor é chamada de resistência térmica.
A natureza e a intensidade da resistência térmica dependem do modo pelo qual ocorre a
transferência de calor. Assim, para transferência de calor por condução ou convecção, a
resistência térmica é dada pela equação:
R
t
=
ΔT
q
Capacitância Térmica
É a quantidade de calor necessária para produzir um determinado acréscimo de temperatura,
como mostra a relação dada pela equação:
C =
quantidade de calor fornecida ao corpo (ΔQ)
aumento de temperatura do corpo (ΔT )
A capacitância térmica pode também ser reescrita
em termos do calor específico, segundo a equação:
C = mc
iStock 2017
Sabemos, também, pelas leis da termodinâmica, que:
dQ=mcdT
O que pode ser reescrito, em função da capacitância térmica, como:
dQ=CdT
Se consideramos um intervalo de tempo dt, podemos então obter a equação do fluxo de calor
como:
De posse dessas propriedades e da lei de conservação da energia, podemos obter a equação
que descreve a dinâmica dos diversos tipos de sistemas térmicos como sistemas com uma ou
duas massas.
q = C
dT
dt
São sistemas térmicos formados com apenas
uma capacitância térmica.
Considere o sistema apresentado na figura:
Modelagem matemática
de circuitos térmicos ­
com uma massa
Sistema térmico com uma capacitância térmica
Fonte: adaptado de Felício (2010, p. 121).
Para obter a função de transferência que descreve a dinâmica da temperatura do corpo 1, T₀,
em relação à temperatura do corpo A, T¡, é necessário aplicarmos os passos do processo de
modelagem matemática (considere q₁ a taxa de transmissão de calor):
1. Definição do problema
Obtenção da função de transferência que relaciona a temperatura do corpo 1, T₀, com a
temperatura do corpo A, T¡.
2. Teoria e aplicação das leis fundamentais
Lei de conservação da energia.
3. Simplificações e aproximações
Para modelagem de todos os sistemas térmicos desenvolvidos neste material, utilizaremos um
conjunto de hipóteses que irão simplificar os modelos matemáticos desse tipo, tais como:
A transmissão de calor é considerada unidirecional.

4. Equacionamento
Como temos apenas uma capacitância térmica, ao aplicarmos a lei de conservação de energia,
chegamos à equação:
Além disso, da definição de resistência térmica, podemos obter a equação:
q
1
= C
t
ΔT
0
dt
T
i
(t) − T
0
(t) = R
t
q
1
Usando essa última equação, podemos substituir o valor de q1 na equação anterior, então
chegamos à equação:
Após algumas manipulações algébricas e considerando as condições iniciais nulas, ao
aplicarmos a transformada de Laplace obtemos a função de transferência dada pela equação:
Com essa equação, podemos testar e validar nosso modelo através do software MatLab®.
= C
t
T
i
(t) − T
0
(t)
R
t
ΔT
0
dt
=
T
0
(s)
T
i
(s)
1
R
t
C
t
s+ 1
Na última etapa do nosso material, você está se
familiarizando com os testes e validações dos
modelos matemáticos que descrevem o
comportamento dinâmico dos sistemas, via uso
do software MatLab® e do Simulink®.
Modelagem matemática
de circuitos térmicos
com uso do MatLab®
iStock 2017
Nesta seção, iremos apenas aperfeiçoar a forma de
apresentação dos resultados, indicando um comando que
permita editar os gráficos das respostas produzidos nas
simulações. Esse comando permite a edição de cores e tipo de
linha do gráfico da resposta desejada. Para isso, utilizamos o
próprio comando plot, empregado para visualização dos
gráficos de resposta linear.
iStock 2017
Por exemplo, podemos implementar um
programa que simule o comportamento da
temperatura do corpo 1, T₀, do sistema com
massa, quando a temperatura do corpo A, Ti,
tiver comportamento como sinal degrau e
como sinal impulso, conforme pode ser
observado nas linhas de código apresentadas a
seguir.
Rt= 1;  
Ct= 1; 
num=[1];  
den=[Rt*Ct 1];  
sys=tf(num,den) 
[yd,td]=step(sys); %reposta ao degrau 
[yi,ti]=impulse(sys); %resposta ao
impulso 
figure 
plot(td,yd,'k­­') 
hold on 
plot(ti,yi,'m*') 
xlabel('Tempo(s)') 
ylabel('Amplitude')title('Resposta sistema térmico ordem
1') 
legend('Degrau','Impulso')
Nesse programa, foram considerados valores
unitários para a resistência e capacitância,
então obtivemos como resposta a figura a
seguir.
Observe que as linhas e cores da resposta, para
diferentes tipos de entrada, são diferentes. Isso
foi possível com uso do comando.
Temperatura de saída para o sistema
Fonte: elaborado pelo autor.
Agora, assista ao vídeo a seguir, que mostra a modelagem detalhada de um forno.
Me Salva! MIP02 - Modelo de Processo Térmico - Sistemas de Controle
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=x7TxQcxqux4>. Acesso em: 4 fev. 2017.
Estude um pouco mais sobre os sistemas térmicos no livro
didático! Além de todo o conteúdo explorado aqui, você
poderá aprender como obter o modelo dos sistemas térmicos
com duas massas.
iStock 2017
Vídeo de Encerramento
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