Lógica e Proposição

Prévia do material em texto

5PROMILITARES.COM.BR
LÓGICA
PROPOSIÇÃO
Proposição ou Sentença é toda oração declarativa que pode ser 
classificada em verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta um, e 
somente um, dos valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F).
Exemplo:
São proposições verdadeiras: 9 ≠ 5 e 2 ∈ . São proposições 
falsas: –1 ∈  e 2 > 5.
Tautologia (proposição logicamente verdadeira) é a proposi-
ção que possui valor V (verdadeira) independente dos valores lógicos 
das proposições das quais depende.
Exemplo:
A frase “O recém-nascido é menino ou menina” é sempre 
verdadeira, pois sendo menino teremos “V ou F”, sendo menina 
teremos “F ou V” e em ambos os casos o resultado é verdadeiro.
Contradição (proposição logicamente falsa) é a proposição 
que possui valor F (falsa) independente dos valores lógicos das 
proposições das quais depende.
Exemplo:
A frase “O recém-nascido é menino e menina” é sempre falsa, pois 
sendo menino teremos “V e F”, sendo menina teremos “F e V” e em 
ambos os casos o resultado é falso.
Sentenças abertas são proposições cujo valor lógico depende do 
valor de uma ou mais variáveis.
O conjunto de todos os valores que as variáveis podem assumir 
denomina-se Universo.
O subconjunto do universo para o qual a sentença aberta é 
verdadeira denomina-se Conjunto-Verdade ou Conjunto-Solução.
Exemplo:
No universo U =  , o conjunto verdade da sentença x² < 5 é V 
= {0,1,2}.
NEGAÇÃO
A negação de uma proposição p é indicada por p (ou –p) e tem 
sempre valor oposto ao de p.
TABELA-VERDADE
p p
V F
F V
Exemplo:
A negação de p: = 9 – 5 (F) é p: 9 ≠ 5 (V).
CONECTIVOS
A conjunção (e), denotada por p ∧ q ou p · q, é verdadeira se p 
e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p 
∧ q é falsa.
A disjunção (ou), denotada por p ∨ q ou p + q, é verdadeira se ao 
menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas 
falsas, então p ∨ q é falsa.
TABELA-VERDADE
p q p ∧ q p ∨ q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Exemplos:
(9 > 5) ∧ (0 > 1) é falsa, pois V ∧ F é falsa.
(9 > 5) ∨ (0 > 1) é verdadeira, pois V ∨ F é verdadeira.
CONDICIONAIS
O condicional, denotado por p → q é falso somente quando p é 
verdadeira e q é falsa; caso contrário, p → q é verdadeiro.
O bicondicional, denotado por p ↔ q é verdadeiro somente 
quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não 
acontecer p ↔ q é falso.
TABELA-VERDADE
p q p → q p ↔ q
V V V V
V F F F
F V V F
F F V V
A recíproca de p → q é a proposição q → p.
A contrária de p → q é a proposição p → q.
A contrapositiva de p → q é a proposição q → p.
ProBizu
Uma proposição e sua contrapositiva são equivalentes: p → q ≡ 
q → p.
A recíproca e a contrária de uma proposição são equivalentes: q 
→ p ≡ p → q.
6
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO
Diz-se que p implica q (p ⇒ q) quando na tabela de p e q não 
ocorre VF em nenhuma linha, ou seja, quando o condicional p → q é 
verdadeiro.
Nesse caso pode-se dizer que “p é condição suficiente para q” ou 
que “q é condição necessária para p”.
ProBizu
p ⇒ q
≡
“p é condição suficiente para q”
≡
“q é condição necessária para p”
Uma condição é dita necessária quando ela precisa acontecer 
para o resultado ser verdadeiro, mas não garante que ele seja 
verdadeiro.
Exemplo:
x ≥ 0 é uma condição necessária de x > 1.
Um teorema é uma implicação da forma (hipótese ⇒ tese). 
Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que, sempre que a 
hipótese for verdadeira, a tese também será verdadeira.
Exemplos:
x = 2 ⇒ x² = 4 (note que a volta não é necessariamente verdadeira)
A proposição (p ⇒ q) será falsa se existir um objeto matemático 
que satisfaça a hipótese p e não satisfaça a conclusão q (VF). Esse 
objeto é chamado contraexemplo para a proposição (p ⇒ q).
Por outro lado, um objeto matemático que satisfaça a hipótese p 
e a tese q se diz um exemplo para a proposição(p ⇒ q).
ProBizu
Um único contra exemplo é suficiente para provar que uma 
proposição é falsa, entretanto enumerar exemplos não garante 
que a proposição seja verdadeira.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Diz-se que p é equivalente a q (p ⇔ q ou p ≡ q) quando p e 
q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o 
mesmo valor lógico, ou seja, p ↔ q é verdadeiro.
Nesse caso diz-se que “p é condição necessária e suficiente para 
q” ou que “p se, e somente se, q”.
ProBizu
p ⇔ q
≡
“p é condição necessária e suficiente para q”
≡
“p se, e somente se, q”
Uma proposição do tipo “p se, e somente se, q” é verdadeira 
quando p ⇒ q (p é condição necessária para q) e q ⇒ p (p é condição 
suficiente para q) são ambas verdadeiras.
Exemplo:
3x + 1 = 4 ⇔ 3x = 4 – 1
Na resolução de equações e inequações deve-se atentar 
para o significado das relações de implicação e equivalência. 
Passagens relacionadas por equivalência mantêm exatamente o 
mesmo conjunto verdade, pois ambas são verdadeiras ou falsas 
simultaneamente. Já passagens relacionadas por implicação não 
garantem o mesmo conjunto verdade. Nesse caso, o novo conjunto 
verdade contém o anterior, devendo-se ter cuidado com a introdução 
de raízes que não são válidas. Isso ocorre com frequência na resolução 
de equações irracionais.
Exemplo:
Resolver a equação x x x2 5 1 1 2� � � �
x x x x x x
x x x x x x x
2 2
2 2 2
5 1 1 2 5 1 2 1
5 1 2 1 3 9 0 0
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � �( ) ( 33)
Testando as raízes obtidas verifica-se que x = 0 não é uma raiz 
válida. Essa raiz apareceu exatamente quando se elevou ao quadrado 
ambos os membros da equação, pois, nesse caso, não valia a relação 
de equivalência, mas somente a implicação. Como se pode notar, 
o novo conjunto solução S = {0,3} continha o conjunto solução da 
equação inicial S = {3}.
Outra maneira de resolver a equação utilizando somente 
equivalências seria:
x x x x x x
x x x x
x
2 2
2
2
5 1 1 2 5 1 2 1
5 1 2 1 2 1 0
3 9
� � � � � � � � � �
� � � � � � � �
�
( † ( ) ( ))
xx x x x x x� � ��
�
�
�
�
� � � � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0
1
2
0 3
1
2
3( )
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES
Propriedade Idempotente:
p ∧ p ⇔ p
p ∨ p ⇔ p
Propriedade Comutativa:
p ∧ q ⇔ q ∧ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
Propriedade Associativa:
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Distributividade:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Absorção:
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Dupla negação:
~ (~p) ≡ p
Contrapositiva:
(p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p)
Transformação de implicação em disjunção:
(p ⇒ q) ≡ (p ∨ q)
QUANTIFICADORES
O quantificador universal (∀) indica “qualquer que seja”, “para 
todo”.
Exemplo:
(∀x ∈ ) (x² ≥ 0)
O quantificador existencial (∃) indica “existe”, “existe pelo menos 
um”, “existe um”. indica “existe um único”, “existe um e um só”.
Exemplos:
(∃x ∈ )(x + 1 > 2) e (∃ | x ∈ )(x + 1 < 2).
7
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES 
(LEIS DE DE MORGAN)
A negação de proposições com conectivos ou condicionais é feita 
com base nas relações seguintes:
LEIS DE MORGAN
( )p q p q∧ ⇔ ∨
( )p q p q∨ ⇔ ∧
( )p q p q→ ⇔ ∧
As Leis de De Morgan mostram que:
I. Negar que duas proposições são verdadeiras ao mesmo 
tempo equivale a afirmar que pelo menos uma delas é falsa.
II. Negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira 
equivale a afirmar que ambas são falsas.
Exemplos:
1. A negação de “Juca é bom e honesto” é “Juca não é bom ou 
não é honesto”.
2. A negação de “Juca é bom ou honesto” é “Juca não é bom e 
não é honesto”.
3. A negação de “Se Juca é bom, então é honesto” é “Juca é 
bom e não é honesto”.
A negação de uma proposição do tipo: “Para todo objeto, com 
uma certa propriedade, algo acontece” é: “Existe um objeto com a 
certa propriedade, tal que aquele algo não acontece.”
A negação de uma proposição do tipo: “Existe um objeto, com 
uma certa propriedade, para o qual algo acontece” é: “Para todo 
objeto com a certa propriedade, aquele algo não acontece.”
ProBizu
Em geral, usa-se o quantificador existencial para negar proposições 
com quantificadoruniversal, e o quantificador universal para 
negar proposições com quantificador existencial.
Atente para os casos a seguir:
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO
Todos os alunos usam óculos.
Existe pelo menos um 
aluno que não usa óculos.
Algum aluno usa óculos. Nenhum aluno usa óculos.
Todo homem é honesto.
Algum homem não 
é honesto.
Algum homem é honesto. Todo homem não é honesto.
9 > 5 9 ≤ 5
TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA OU 
REDUÇÃO AO ABSURDO
Consiste em admitir a negação da conclusão q e daí deduzir 
logicamente uma contradição qualquer c (uma proposição logicamente 
falsa como p. ex. p ∧ p).
Isso pode ser verificado observando que (~q → c) ⇔ (~~q ∨ c) ⇔ 
(q ∨ c) ⇔ q .
Exemplo:
Sendo x y, *� � , prove que 
x
y
y
x
� � 2 .
Supondo por absurdo a negação da proposição inicial x
y
y
x
� � 2, 
teremos:
x
y
y
x
x y
xy
x y xy x y� � �
�
� � � � � �� � � �2 2 2 0
2 2
2 2 2
x
y
y
x
x y
xy
x y xy x y� � �
�
� � � � � �� � � �2 2 2 0
2 2
2 2 2
 CONTRADIÇÃO.
Logo, a proposição inicial é válida.
CONTRAEXEMPLO
Para mostrar que uma proposição da forma (∀x ∈ A)(p(x)) é falsa 
(F), basta mostrar que a sua negação (∃x ∈ A)(–p(x)) é verdadeira (V), 
isto é, que existe pelo menos um elemento x0 ∈ A tal que p(x0) é uma 
proposição falsa (F). O elemento x0 diz-se um contraexemplo para a 
proposição (∀x ∈ A)(p(x)).
Exemplo:
Prove que a proposição (∀x ∈ ) (2n > n²) é falsa.
Basta verificar que para n = 2 tem-se (2² > 2²) é falsa. Logo 2 é um 
contraexemplo para a proposição apresentada que, em consequência, 
é falsa.
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (P.I.F.)
Axiomas de Peano
O conjunto  dos números naturais é caracterizado pelas 
seguintes propriedades:
1. (1) Existe uma função injetiva s:  →  . A imagem s(n) de 
cada número natural n ∈  chama-se o sucessor de n.
 Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número 
natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
2. Existe um único número natural 1 ∈  tal que 1 ≠ s(n) para 
todo n ∈  .
 Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum 
outro.
3. Se um conjunto X ⊂  é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ 
X ⇒ s(n) ∈ X) então X =  .
 Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e 
contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, 
então esse conjunto contém todos os números naturais. (Princípio 
da Indução).
Método da Indução Finita (recorrência)
“Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo 
P válida para o número n daí resultar que P é válida também para seu 
sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais.”
Aplicação do PIF
Passo 1: demonstrar que a afirmação é verdadeira para um caso 
particular, por exemplo, n = 1 (ou o menor elemento do conjunto);
Passo 2: supor que a afirmação é válida para n = k (hipótese de 
indução);
Passo 3: demonstrar, a partir disto, que a afirmação é válida para 
n = k + 1.
Exemplo:
Demonstrar que 1 2 3
1
2
� � � � �
� �� �
 n
n n
.
Vamos aplicar o Princípio da Indução Finita (PIF):
Passo 1:
n V� �
� �� �
� �1 1
1 1 1
2
:
8
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
Passo 2:
Supondo que a propriedade é válida para n = k, então 
1 2 3
1
2
� � � � �
� �� �
 k
k k .
Passo 3:
Para n = k + 1, temos:
1 2 3 1
1
2
1
1
2
1
1 2
� � � � � �� � �
� �� �
� �� � �
� �� � � ��
�
�
�
�
� �
�� � � �
 k k
k k
k
k
k k k�� �
2
Como a propriedade é válida também para n = k + 1, ela é válida 
para todo natural. C.Q.D.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (FATEC) São proposições equivalentes para a negação da 
proposição “todo homem ama lógica”:
• “pelo menos um homem não ama lógica”;
• “algum homem não ama lógica”;
• “existe um homem que não ama lógica”.
Assim, a forma correta de negar a proposição “todas as vagas deste 
vestibular são de ensino superior” é 
a) “algumas vagas deste vestibular são de ensino superior”.   
b) “existem vagas deste vestibular que não são de ensino superior”.   
c) “nenhuma das vagas deste vestibular é de ensino superior”.   
d) “pelo menos uma vaga deste vestibular é de ensino superior”.   
e) “todas as vagas deste vestibular não são de ensino superior”.   
02. (ESPM) Para organizar uma fila, a professora foi fazendo trocas de 
lugar de dois em dois alunos entre si, de modo que o mais alto sempre 
ficasse atrás do mais baixo. 
Para passar da configuração A para a configuração B, foram 
necessárias, no mínimo:  
a) 5 trocas.
b) 4 trocas.
c) 6 trocas
d) 7 trocas.
e) 3 trocas.
03. (ESPM) Não é verdade que Paulo foi à escola e João não foi. Então, 
podemos afirmar que:
a) Se João foi à escola, Paulo não foi.
b) Se João não foi à escola, Paulo também não foi.
c) Ambos foram à escola.
d) Nenhum deles foi à escola.
e) Apenas um deles foi à escola.
04. (ESPM) Considere a proposição P = “Não é verdade que, se Ana 
estuda, ela será aprovada”. Uma proposição equivalente a essa é:  
a) Ana não estuda e será aprovada.    
b) Se Ana não estuda, ela não será aprovada.    
c) Ana estuda e não será aprovada.    
d) Ana estuda ou não será aprovada.    
e) Ana não estuda e não será aprovada.    
05. (ESPM) Ana, Bia e Carla são amigas. Uma delas é loira, outra 
morena e outra ruiva, não necessariamente nessa ordem. Apenas uma 
das afirmações abaixo é verdadeira: 
• Ana é loira. 
• Bia não é loira. 
• Carla não é morena. 
Podemos afirmar, com certeza, que:  
a) Ana é loira e Bia é ruiva.    
b) Carla é morena e Bia é loira.    
c) Bia é ruiva e Carla é morena.    
d) Ana é morena e Carla é ruiva.    
e) Carla é loira e Ana é morena.    
06. (ESPM) Sobre um número x são feitas 4 afirmações: 
I. x = 1
II. x ≠ 2
III. x ≠ 3
IV. x ≠ 4
Sabendo-se que apenas uma das afirmações é falsa, podemos afirmar que:  
a) I é verdadeira.    
b) III é falsa.    
c) II é verdadeira.    
d) III é verdadeira.    
e) IV é falsa.    
07. (ESPM) Lauro, Pedro e Carlos foram a uma festa, cada um 
acompanhado de uma garota. Perguntados sobre suas respectivas 
companhias, deram as seguintes respostas: 
Joana: “Eu estava com o Lauro”. 
Pedro: “Se eu não estivesse com Bruna, Joana estaria com Lauro”. 
Carlos: “Ou Pedro estava com Joana ou Lauro estava com Estela”. 
Soube-se depois que apenas Joana não falou a verdade. 
Podemos, então, concluir que: 
a) Pedro estava com Joana e Lauro com Estela.    
b) Pedro estava com Joana e Carlos com Bruna.    
c) Lauro estava com Bruna e Carlos com Joana.    
d) Lauro estava com Estela e Carlos com Joana.    
e) Pedro estava com Estela e Carlos com Bruna.    
08. (ESPM) Sabe-se que: 
• b¹ 4
• Se d = 3, então b = 5
• Se a¹ 2, então d = 3 
• C= 4 ou a¹ 2 ou  
Podemos, então, afirmar que: 
a) a + d = 5 
b) c + d = 7
c) a ≠ 2
d) a + c = 6
e) d = 3 
09. (PUCPR) O professor de medicina Helton faz as seguintes 
afirmações sobre as notas de: 
Marcelo > Carlos e Zélia < Yara; 
Marcelo > Yara e Carlos > Yara se e somente se Yara > Zélia; 
Roberto ≠ Carlos, se e somente se Yara = Marcelo.
Sabendo se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, 
conclui-se que a nota de  
a) Marcelo > Roberto > Zélia > Carlos.   
b) Marcelo > Roberto > Yara > Zélia.   
9
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
c) Marcelo > Zélia > Carlos > Roberto.   
d) Marcelo > Carlos > Roberto > Zélia.   
e) Marcelo > Zélia > Roberto > Carlos.    
10. (PUCRJ) Os sobrenomes de Roy, Edu e Luan são Todeka, Sharifa e 
Arrabeca, não necessariamente nessa ordem. O de sobrenome Sharifa, 
que não é o Roy, é mais velho que Luan. O de sobrenome Arrabeca é 
o mais velho dos três. Concluímos, então, que os sobrenomes de Roy, 
Edu e Luan são, respectivamente: 
a) Todeka, Sharifa e Arrabeca.   
b) Todeka, Arrabeca e Sharifa.   
c) Arrabeca, Sharifa e Todeka.   
d) Arrabeca, Todeka e Sharifa.   
e) Sharifa, Todeka e Arrabeca.   
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (CN) Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e deve ter 
apenas um campeão. Em cada luta não pode haver empate e aquele 
que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual o 
número máximo de lutasnecessário para se conhecer o campeão?
a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31
02. (CN) Numa prova de vinte questões, valendo meio ponto cada 
uma, três questões erradas anulam uma certa. Qual é a nota de um 
aluno que errou nove questões em toda essa prova?
a) Quatro
b) Cinco
c) Quatro e meio
d) Cinco e meio
e) Seis e meio
03. (CN) Um bebedouro que usa garrafão de água tem 2,5 metros de 
serpentina por onde a água passa para gelar. Sabe-se que tal serpentina 
gasta 12 segundos para ficar totalmente gelada. Colocando-se um 
garrafão de 10 litros e ligando-se o bebedouro, leva-se 5 minutos para 
que toda a água saia gelada. Se nas mesmas condições fosse colocado 
um garrafão de 20 litros no lugar do de 10 litros, o tempo gasto para 
que toda a água saísse gelada seria de:
a) 9 min 36 seg
b) 9 min 48 seg
c) 10 min 
d) 10 min 12 seg
e) 11 min
04. (CN) Em um navio existem 6 barcos e 15 guarnições. Cada barco 
tem uma guarnição de serviço por dia. Quantos dias, no mínimo, serão 
necessários para que todas as guarnições tenham ficado de serviço o 
mesmo número de vezes?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 15
05. (CN) Uma fábrica de fósforo usa as seguintes definições:
Caixa: conjunto de 45 fósforos
Maço: conjunto com 10 caixas
Pacote: conjunto com 12maços
Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas e 22 fósforos por 8, obtém-
se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de fósforos, 
tais que p + m + c + f é igual a:
a) 25 a) 26 a) 27 a) 28 a) 29
06. (UFF) As três filhas de Seu Anselmo – Ana, Regina e Helô – vão 
para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: 
bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no Colégio Santo 
Antônio, outra no São João e outra no São Pedro. Seu Anselmo está 
confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio em que 
cada filha estuda. Lembra-se, entretanto, de alguns detalhes:
• - Helô é a filha que anda de bicicleta;
• - a filha que anda de ônibus não estuda no Colégio Santo Antônio;
• - Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no Colégio 
São Pedro.
Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas informações 
e afirma:
I. Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.
II. Ana vai de moto.
III. Helô estuda no Colégio Santo Antônio.
Com relação a estas afirmativas, conclui-se:
a) Apenas a I é verdadeira.
b) Apenas a I e a II são verdadeiras.
c) Apenas a II é verdadeira.
d) Apenas a III é verdadeira.
e) Todas são verdadeiras.
07. Eduardo mente nas quartas, quintas e sextas e diz a verdade no 
resto da semana. André mente aos domingos, segundas e terças e diz 
a verdade no resto dos dias. Se ambos dizem: “amanhã é um dia no 
qual eu minto”. Que dia da semana será amanhã?
a) Sábado b) Terça-feira c) Quarta-feira d) Sexta-feira
08. (UFF) Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente obedecida a 
seguinte ordem do prefeito: “Se não chover, então todos os bares à 
beira-mar deverão ser abertos.” Pode-se afirmar que:
a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu.
b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu.
c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos.
d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos.
e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.
09. (CEFET) Qual o número mínimo de vezes que uma pessoa deverá 
lançar um dado (não viciado) para, com certeza, obter pelo menos três 
resultados repetidos?
a) 6 b) 12 c) 13 d) 18 e) 20
10. (UFRJ) Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais 
fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária.
No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por 
conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade 74 foram 
aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número de pílulas 
menor do que o especificado. 
O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas 
em ambos os testes.
Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 48 e) 50
11. Considere os seguintes enunciados:
• 16 é múltiplo de 2
• 15 é múltiplo de 7
• 8 é número primo
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
a) Se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo
b) Se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7
c) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo
d) Se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2
e) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo
12. Em uma roda de amigos, Jorge, Edson e Geraldo contaram fatos 
sobre suas namoradas. Sabe-se que Jorge e Edson mentiram e que 
Geraldo falou a verdade. Assinale qual das proposições abaixo é 
verdadeira:
a) “Se Geraldo mentiu, então Jorge falou a verdade”
10
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
b) “Edson falou a verdade e Geraldo mentiu”
c) “Se Edson mentiu, então Jorge falou a verdade”
d) “Jorge falou a verdade ou Geraldo mentiu”
e) “Edson mentiu e Jorge falou a verdade”
13. João não estudou para a prova de matemática; por conta disso, 
não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de 
múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.
c) O problema tem mais de uma solução.
d) O problema tem pelo menos uma solução.
e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e 
cravou a resposta certa.
Determine a escolha feita por João
14. Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não 
gostam de si mesmas:
a) gosta de si mesma
b) não gosta de si mesma
c) não existe
d) gosta de alguém
e) não gosta de ninguém.
15. Numa cidade, os seguintes fatos são verdadeiros:
I. Alguns canhotos não fumam cigarros.
II. Todos os homens fumam cigarros.
Uma conclusão que se pode tirar é:
a) Alguns canhotos são homens
b) Alguns canhotos não são homens
c) Nenhum canhoto é homem
d) Alguns homens não são canhotos
e) Nenhum homem é canhoto
16. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do 
outro uma letra.
A B 2 3
Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa 
face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é 
verdadeira:
a) é necessário virar todos os cartões
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões
c) é suficiente virar os dois últimos cartões
d) é suficiente virar os dois cartões do meio
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão
17. Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente obedecida a 
seguinte ordem do prefeito:
“Se não chover, então todos os bares à beira mar deverão ser aberto.”
Pode-se afirmar que:
a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu
b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu
c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos
d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos
e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu
18. Raul e Cida formam um estranho casal. Raul mente às 4as, 5as 
e 6as feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Cida mente aos 
domingos, 2as e 3as feiras dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia, 
ambos declaram: “amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita 
essa declaração é:
a) 3a feira
b) 4a feira
c) 6a feira
d) sábado
e) domingo
19. Numa certa sala, os advogados sempre mentem e os médicos 
sempre falam a verdade. Larissa, uma empresária, entrou na sala e 
perguntou ao primeiro: o senhor é advogado? E este, de brincadeira, 
respondeu à pergunta em chinês. Um segundo disse: vou traduzir. O 
primeiro respondeu que não é advogado. Um terceiro disse o primeiro 
realmente é um advogado. Do exposto podemos concluir que:  
a) O segundo é advogado.   
b) O primeiro é médico, mas o terceiro é advogado.   
c) Somente é possível afirmar que o segundo é um médico.   
d) O segundo e o terceiro são advogados.   
e) O terceiro certamente é médico.    
20. (ESPM) Quanto ao estado civil dasfuncionárias de um escritório, 
é verdade que: 
• Ou Laura não é casada ou Maria é casada. 
• Se Maria é casada, então Paula é divorciada. 
• Se Paula não é divorciada, então Laura é casada. 
Com base no exposto, pode-se afirmar que: 
a) Laura é casada.    
b) Maria é solteira.    
c) Paula é casada.    
d) Laura é solteira.    
e) Paula é divorciada.   
21. Maria repartiu, entre seus cinco sobrinhos, o seguinte valor 
monetário: uma moeda de 25 centavos, uma moeda de 50 centavos, 
uma moeda de 1 real, uma nota de 2 reais e uma nota de 5 reais. 
Depois de feita a repartição, todos receberam algum valor monetário. 
A respeito da repartição, Maria e seus sobrinhos fizeram os seguintes 
comentários:
Aldo: “Recebi a moeda de 1 real”.
Bruno: “Não recebi a nota de 2 reais”.
Cláudio: “Bruno recebeu mais dinheiro do que eu”.
Daniel: “Aldo recebeu a moeda de 50 centavos”.
Eric: “Cláudio não recebeu a nota de 2 reais”.
Maria: “Daniel recebeu menos dinheiro do que Aldo”.
Se apenas uma das seis pessoas disse a verdade em seu comentário, é 
correto concluir que Aldo recebeu:
a) 25 centavos.   
b) 50 centavos.   
c) 1 real.   
d) 2 reais.   
e) 5 reais.   
22. Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam 
alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala 
japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam 
coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano 
também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente, 
a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo.   
b) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano.   
c) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano.   
d) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo.   
e) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.   
11
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
23. As três afirmações abaixo, todas verdadeiras, foram feitas por Luís 
para descrever o que pretendia fazer em relação às suas economias e 
planos de viagem.
• Se o preço do dólar cair no final do ano, então eu vou investir em 
poupança e viajar para o exterior.
• Se eu viajar para o exterior, então vou comprar um equipamento 
de esqui.
• Se eu alugar ou comprar um equipamento de esqui, então vou 
esquiar em Bariloche.
A partir das três afirmações e da informação de que Luís não 
esquiou em Bariloche, pode-se tirar algumas conclusões que são, 
necessariamente, verdadeiras. Dentre as conclusões abaixo, a única 
que não é, necessariamente, verdadeira é 
a) o preço do dólar não caiu no final do ano.   
b) Luís não investiu em poupança.   
c) Luís não viajou para o exterior.   
d) Luís não comprou um equipamento de esqui.   
e) Luís não alugou um equipamento de esqui.   
24. No mapa a seguir estão indicados os depósitos de uma rede de 
supermercados e as rotas possíveis entre eles. 
Um caminhão saindo do depósito A pode chegar ao depósito H de 
várias maneiras. Por exemplo, os trajetos A  D  H e A  B  C  
E  G  F  H são duas possibilidades. A quantidade total de trajetos 
que um caminhão da empresa pode fazer, partindo do depósito A 
com destino ao depósito H, sem passar mais de uma vez pelo mesmo 
depósito, é igual a 
a) 8 b) 12 c) 16 d) 30 e) 64
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EPCAR 2012) Uma pessoa foi realizar um curso de 
aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da 
manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas 9 
avaliações que ocorreram em dias distintos, cada uma no período da 
tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação 
no mesmo dia. Houve 7 manhãs e 4 tardes sem avaliação. O número 
x é divisor natural de:
a) 45 b) 36 c) 20 d) 18
02. Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes 
declarações:
André: Carlos é o criminoso.
Bernardo: Eu não sou o criminoso.
Carlos: Danilo é o criminoso.
Danilo: Carlos está mentindo.
Sabendo que apenas um dos suspeitos disse a verdade, o criminoso é: 
a) André.
b) Bernardo.
c) Carlos.
d) Danilo.
e) impossível determinar.
03. (CEFET 2007) Considere as seguintes afirmativas:
• Todos os matemáticos são cientistas.
• Alguns cientistas são filósofos.
• Todos os filósofos são cientistas ou professores.
• Nem todo professor é cientista.
Agora, considere as seguintes afirmativas:
• Alguns matemáticos são filósofos.
• Nem todo filósofo é cientista.
• Alguns filósofos são professores.
• Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
• Alguns filósofos são matemáticos.
Partindo do princípio de que as 4 (quatro) primeiras afirmativas são 
verdadeiras, quantas afirmativas do 2º grupo são NECESSARIAMENTE 
verdadeiras:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
04. (CPII 2007) Dada a proposição: “Se um quadrilátero é um retângulo 
então suas diagonais cortam-se ao meio”, podemos afirmar que:
a) Se um quadrilátero tem as diagonais cortando-se ao meio então 
ele é retângulo.
b) Se um quadrilátero não tem as diagonais cortando-se ao meio 
então ele não é um retângulo.
c) Se um quadrilátero não é um retângulo então suas diagonais não 
se cortam ao meio.
d) Se em um quadrilátero as diagonais se cortam ao meio então ele 
não é um retângulo.
05. (PUCRJ 1993) Três caixas etiquetadas estão sobre uma mesa. 
Uma delas contém apenas canetas; outra, apenas lápis; e há uma 
que contém lápis e canetas. As etiquetas são “lápis”, “canetas” e 
“lápis e canetas”, porém nenhuma caixa está com a etiqueta correta. 
É permitida a operação escolher uma caixa e dela retirar um único 
objeto. O número mínimo de operações necessárias para identificar 
corretamente as etiquetas é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
06. (FGV 81) Simplificando a expressão X Y X Y�� �� �� � , 
teremos:
a) universo.
b) vazio.
c) X ∩ Y
d) X Y∩
e) X Y∩
07. Sendo p e q proposições lógicas, pode-se afirmar que a proposição 
composta p q p q�� � � �� �� � é equivalente a:
a) p
b) q
c) p q∨
d) p q∧
e) p q⇒
08. (EN 1989) Dada a proposição p q r p q p r� �� � � �� � � �� � 
podemos afirmar que é:
a) logicamente falsa.
b) uma tautologia.
c) equivalente a p q r�� � �
d) equivalente a p q r�� � �
e) equivalente a p q r�� � �
12
LÓGICA
PROMILITARES.COM.BR
09. (CPII 2013) A sentença logicamente equivalente a “Se a 
matemática não é divertida, então eu sou triste” é:
a) “Se eu não sou triste, então a matemática é divertida.”
b) “Se eu não sou triste, então a matemática não é divertida.”
c) “Se eu sou triste, então a matemática é divertida.”
d) “Se eu sou triste, então a matemática não é divertida.”
10. Demonstrar que, para n > 1, é válida a desigualdade 
n
n n
!�
��
�
�
�
�
�
1
2
, onde n n!� � � � �1 2 3  .
DESAFIO PRO
1 Fazer a tabela-verdade das fórmulas abaixo.
a) ( (a  ^ c) → a)
b) ( (~~ a  v c) ^  c)
c) ( ( p ^ ~q)  v (~p v r) )
d) (p → q) ↔ (~q → ~p)
2 O 80˚ termo da sequência lógica (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 
2, 3, 4, 5, ...) é igual a: 
a) 6 b) 3 c) 1 d) 7 e) 2
3 O produto de 417 por ⊗1∆⊗⊕ é 9⊕∇⊕057, sendo que os 
símbolos representam números da base decimal. Assinale a 
alternativa que apresenta o produto correto.
a) 9.131.057.   
b) 9.343.057.   
c) 9.242.057.   
d) 9.121.057.   
e) 9.141.057.   
4 (EN)  Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta 
p(X) em um conjunto A o conjunto de todos os elementos 
a ∈ A, tais que p(a) é uma proposição verdadeira (V). Sejam 
p(x), q(x) e r (x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. 
Encontre o conjunto-verdade da sentença aberta composta (p(x) 
→ q(x))v ̃ r (x), em função de VP, VQ e Vr, assinale a opção correta.
a) CAVP∪(Vq∪CAVr)
b) Vr∩(CAVq∪CAVq)
c) CAVq∪(Vp∩CAVr)
d) CAVr∪(Vq∩CAVp)
e) Vp∩(CAVq∪CAVr)
5 A figura indica três cartas, A, B e C, cada uma com um 
número inteiro positivo no verso.
A respeito dos números no verso das cartas, sabe-se que:
I. os três números são diferentes;
II. a soma dos três números é igual a 13
III. os números estão em ordem crescente, da carta A para a C.
Alzira olhou apenas a carta A e disse que ainda não era possível 
saber os números das outras cartas.Cláudia olhou apenas a carta 
C e disse que ainda não era possível saber os números das outras 
cartas. Bruna olhou apenas a carta B e disse que ainda não era 
possível saber os números das outras cartas. Considerando que 
cada uma ouviu o que foi dito por todas, e que todas utilizaram 
raciocínio perfeito em suas deduções com as informações que 
tinham até o momento em que olharam suas cartas, é correto 
afirmar que a carta B tem, em seu verso, o número:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. B
02. B
03. B
04. C
05. D
06. C
07. D
08. D
09. B
10. C
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. C
02. A
03. B
04. A
05. A
06. B
07. C
08. E
09. C
10. D
11. D
12. A
13. D
14. C
15. B
16. E
17. E
18. A
19. C
20. E
21. A
22. E
23. B
24. C
25. A
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. C
02. B
03. A
04. B
05. B
06. C
07. A
08. B
09. A
10. DISCURSIVA
DESAFIO PRO
01. a) 
a c (a ^ c) ( (a  ^ c) → c)
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
b)
a c (a ^ c) (~~ a  v c) ( (~~ a  v c) ^  c)
V V V V V
V F F F F
F V F F F
F F F F F
c) 
p q r ~q ~p ( p ^ ~q) (~p v r) ( ( p ^ ~q)  v (~p v r) )
V V V F F F F F
V V F F F F F F
V F V V F V F V
V F F V F V F V
F V V F V F V V
F V F F V F F F
F F V V V F V V
F F F V V F F F
d) 
p q ~p ~q p→q ~q → ~p (p→q) ↔ (~q → ~p)
V V F F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
02. E
03. E
04. A
05. C