Unidade VI - Estimação - Apostila de Estatística - Profª Jailma - UFERSA-2013

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO-UFERSA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS VEGETAIS-DCV 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFERSA 
MOSSORÓ-RN 
2013 
 
 
 
 Usualmente é impraticável observar toda a população, seja pelo custo 
caríssimo seja por dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra. Se 
essa amostra for bastante representativa, os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda 
a população. 
 O pesquisador poderá levantar hipóteses das possibilidades das generalizações dos 
resultados aos experimentos semelhantes. Deverá testar essas hipóteses que poderão ser rejeitadas. 
 Um experimento pode finalidade a determinação da estimativa de um parâmetro de uma 
função. 
 Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de 
confiabilidade, de confiança, nas afirmações que faz para toda a população, baseadas nos 
resultados das amostras, damos o nome de Inferência Estatística. 
 
 Amostragem 
 
Amostra (x) – População ( µ ) 
 
Inferência Estatística 
 
6.1 Conceitos básicos: 
1. Parâmetro (θ ) 
- É uma medida estatística que serve para identificar determinada característica populacional. 
 
2. Estimador ( θˆ ) 
É uma regra que diz como calcular a estimativa com base na informação contida na amostra onde 
é representado através de uma fórmula. 
 
 
3. Estimativa ( oθˆ ) 
É o valor numérico assumido pelo estimador numa determinada amostra. 
 
4. Estimação 
É o processo que consiste em utilizar os dados amostrais para estimar valores de parâmetros 
populacionais desconhecidos. 
 
 
6.2 Qualidade de um bom estimador: 
*Consistência: 
*Ausência de vício: 
*Eficiência: 
*Suficiência: 
 
6.3 Tipos de Estimativa: 
 
*Por ponto: a partir da amostra procura-se obter um único valor de certo parâmetro 
populacional. 
s² = σ² 
 *Por intervalo: a partir da amostra procura-se construir um intervalo de variação 
21 ˆˆ θθθ ≤≤ , com certa probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. 
 
Esse intervalo é chamado de limite de confiança 
Estimando a média para grandes e pequenas amostras 
 
Métodos 
Fatores Distribuição 
Normal 
Distribuição 
t-Student 
Tamanho da amostra n ≥ 30 n<30 
Variância 2σ s2 
Variável utilizada Z T 
 
 Representação gráfica 
 
 
 
 
 0,45 0,45 
 
 
 -1,645 Z= 0 +1,645 
6.4 Estimativa da Média 
 
6.4.1). Estimativa da média (µ) em grande amostra (n ≥ 30) ou σ conhecido 
P( -Z 
n
σ
< µ < -Z 
n
σ
)=95% 
 
. ± Z 
n
σ
 são os limites de confiança; 
.β é o grau ou coeficiente de confiança; 
. Não tendo o valor de σ , pode-se usar o valor de s, desde que n ≥ 30. 
 
Valores de Z tabelado 
Probabilidade 90% 95% 99% 
Z tabelado 1,64 1,96 2,57 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 Erro máximo da estimativa 
e = Z.
n
σ
 
 Esse valor indica o afastamento máximo que o parâmetro µ pode ter em relação aos limites 
de confiança para determinado nível de confiança. 
 
 
6.4.3. Tamanho da amostra 
 
no = 
2
.






e
Z σ
 
 
Exemplo 1: Estabelecer um intervalo de confiança de 95% para µ, sendo que uma amostra de 
tamanho n=36, dessa população forneceu =30 e s=4. Qual é o erro amostral? 3) Qual o tamanho 
da amostra? 
 
Exemplo 2: O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o 
tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Lembrando que foi verificado que = 
19,9 e σ=5,73, construir um intervalo de confiança com (1-0,05) = 0,95 para µ. 
 
 
6.4.2). Estimativa da média (µ) em grande pequena (n<30) ou σ desconhecido 
t = 
ns
x
/
µ−
 
 
P( -t 2/α
n
s
< µ < +t 2/α
n
s )= (1-α ) 
 
Exemplo: 
1) Qual o intervalo de confiança para µ, no nível de 95%, sendo que uma amostra de tamanho 20 
forneceu x=38 e s=5? 
P( -t 
n
s
< µ< +t
n
s )=1-α 
 
 
6.5 Estimativa de uma Proporção 
 
Numa amostra de n elementos, obtêm-se uma estimativa por ponto da proporção p de 
indivíduos com determinada característica da população através do valor p=
n
x
, onde x é o número 
de elementos da amostra com a característica. 
.Grandes amostras 
• Distribuição amostral de p (amostra ≥ 30) 
-Ditribuição Normal Aproximada 
 -
µ p= p 
 -σ p=
n
pq
 
P(p’- Z 2/α
n
qp ''
<p< p’+ Z 2/α
n
qp ''
)= 1-α 
 
 
Exemplo: Uma amostra casual de 625 donas de casa revelou que 70% delas preferem a marca X 
de detergente. Construir um intervalo de confiança para P, a proporção da população de donas de 
casa que preferem a marca X, com coeficiente de confiança de 95%. 
 
6.6 Estimativa da diferença entre duas médias 
 
A diferença amostral (x1-x2) estima ( µ 1- µ 2) a um nível α de probabilidade. 
 
1º Caso: Intervalo de confiança para a diferença entre médias de duas populações normais 
(variâncias conhecidas) 
 
P(( 1- 2)- 21
2
2
2
1
2
nn
Z
σσ
α + ≤( µ 1- µ 2)≤ ( 1- 2)+ 21
2
2
2
1
2 nn
Z σσα + )=1-α 
 
. x ± 1,96 
n
σ
 são os limites de confiança; 
. 95% é o grau ou coeficiente de confiança; 
. Não tendo o valor de σ , pode-se usar o valor de s, desde que n ≥ 30. 
 
 
Exemplo: Amostras de lâmpadas foram retiradas de um lote em duas fábricas, onde na = 30 e nb = 
35. Investigou-se a duração da vida útil de lâmpadas em que x= 1800 h e x=1700 h com Sa = 20 e 
Sb = 18. Construa um IC para a diferença média das lâmpadas com nível de 95 % de confiança. 
 
 
 
 
 
2º Caso: Intervalo de confiança para a diferença entre médias de duas populações normais 
desvios padrões σ1 e σ2 desconhecidos e supostamente iguais: 
 
P(( 1- 2)- 2
1
1
12
2
nn
St p +α ≤( µ 1- µ 2)≤ ( 1- 2)+ 2
1
1
12
2
nn
St p +α )=1-α 
 
221
)12()11( 22212
−+
−+−
=
nn
SnSnS p 
Exemplo: Da população 1 foi extraída uma amostra de 25 elementos obtendo-se x1=42 e S1=2,7 e 
da população 2 foi extraída uma amostra de 17 elementos obtendo-se x2=35 e S2=2,7. Construa 
um IC para a diferença entre as médias ao nível de 10 % de significância para (µ1-µ2). 
 
3º Caso: Intervalo de confiança para a diferença entre médias de duas populações normais 
desvios padrões σ1 e σ2 desconhecidos e supostamente diferentes 
 
Consideremos duas amostras aleatórias, X1, X2, ..., Xn1 de tamanho n1 e Y1, Y2, ..., Yn2 de 
tamanho n2, com distribuições Normais, mas agora com variâncias desconhecidas e diferentes, 
isto é, σ12 ≠ σ22. Como as variâncias populacionais são desconhecidas, usaremos as variâncias 
amostrais s12, s22 em seus lugares. A variável T dada pela equação acima tem distribuição t de 
Student com ν graus de liberdade, onde 
( )
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2,1,
11
21
n
S
w
n
S
w
n
w
n
w
ww
==
−
+
−
−
=ν 
O intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e 
desiguais é dado por: 
P((x1-x2)- 21
2
2
2
1
2
n
S
n
S
t +α ≤( µ 1- µ 2)≤ (x1-x2)+ 21
2
2
2
1
2
n
S
n
S
t +α )=1-α 
 
Exemplo 1: Da população 1 foi extraída uma amostra de 10 elementos obtendo-se x= 40 e S1 = 
4,5 e da população 2 foi extraída uma amostra de 15elementos obtendo-se x= 35 e S2 = 2,1. 
Construir o IC ao nível de 5 % para (µ1 - µ2). 
 Exercício Geral- Estimação- Data de entrega: ____/____/___ 
 
1 – Uma amostra de 36 baterias foi testada acusando vida média de 48 meses. Sabendo-se que de 
levantamentos anteriores, o desvio padrão da população da qual foi extraída a amostra é de 4 
meses, determine um intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira média da população. 
 
2 – Qual o intervalo de confiança que contará com 90 % a verdadeira média de uma população 
normal que resultou ∑xi = 700,8 e ∑xi2 = 23436,8 de uma amostra de 30 elementos. 
 
3 - Uma amostra aleatória de 20 baterias foi testada acusando vida média de 48,2 meses e desvio 
padrão de 5,4 meses. Determine um intervalo de confiança de 95 % em torno da verdadeira média 
da população. 
 
4 - Uma amostra aleatória de 500 peças produzidas por certa uma máquina verificou-se que 30 
eram defeituosas. Determine o intervalo de confiança de 90 e 95 % em torno da verdadeira 
proporção de peças defeituosas produzidas por essa máquina. 
 
5 - Utilizando os dados do exercício 10, determine o intervalo de confiança de 90 e 95 % em torno 
da verdadeira proporção de peças sem defeitos produzidas por essa máquina. 
 
6 - Amostras de peças de uma máquina foram retiradas de um lote em duas fábricas, onde na = 40 
e nb = 50. Investigou-se a duração da vida útil das peças em que = 2500 h e = 2200 h com σa 
= 70 e σb = 50. Construa um intervalo de confiança para a diferença média das peças com nível 
de 95 % de confiança. 
 
7 - Seja X1 N(µ1, σ12) e X2 N(µ2, σ22). Da população 1 foi extraída uma amostra de 20 elementos 
obtendo-se = 45 e S1 = 2,4 e da população 2 foi extraída uma amostra de 12 elementos 
obtendo-se = 38 e S2 = 2,4. Construir o intervalo de confiança ao nível de 10 % para (µ1 - µ2). 
 
8- Uma amostra de 36 crianças de uma escola de 1º grau forneceu peso médio de 28,5 kg e desvio 
padrão de 5,2 kg. Determinar, no nível de 95%: 
 a) Intervalo de confiança da µ. 
 b) qual seria o tamanho da amostra para que o erro máximo de estimativa fosse de 1,2? 
 c) qual seria o erro máximo de estimativa, se amostra fosse de 200 crianças? Interprete o 
resultado. 
 
9- Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo 
produto. Foram coletadas 2 amostras referente a 2 métodos de produção. Construa um intervalo 
de confiança para a diferença das médias dos dois métodos. 
Método 1 0,9 2,5 9,2 3,2 3,7 1,3 1,2 2,4 3,6 8,3 
Método 2 5,3 6,3 5,5 3,6 4,1 2,7 2,0 1,5 5,1 3,5