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3 
 
AMOSTRAGEM 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
 
No capítulo 1 estudou-se uma série de técnicas estatísticas de 
descrição de um conjunto de dados, sem a preocupação de saber se os 
mesmos eram provenientes de um conjunto maior ou não. 
Como o objetivo principal dos próximos capítulos é o estudo das 
técnicas da Inferência Estatística (processo pelo qual tomamos decisões 
válidas para populações, partindo de amostras), necessita-se diferenciar 
amostra de população. População é o conjunto formado por todos os 
elementos com alguma característica comum de interesse, enquanto que 
amostra é um subconjunto da população, devendo apresentar as 
características básicas de interesse da população. 
Portanto, a amostragem consiste no estudo das relações existentes 
entre populações e as amostras provenientes das mesmas. 
Na obtenção das amostras, deve-se usar técnicas adequadas para 
que as mesmas sejam representativas das populações, ou seja, devem 
possuir as características básicas das populações. Evidentemente, 
devido a aleatoriedade, sempre existirão certas discrepâncias no 
processo de amostragem. 
 
3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM 
 
Pode-se falar em dois tipos de amostragem: 
 
3.2.1 Amostragem probabilística 
 
Amostragem 96 
Quando todos os elementos da população têm probabilidade 
conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. 
3.2.2 Amostragem não-probabilística 
 
Quando nem todos os elementos da população têm probabilidade 
conhecida de pertencer à amostra. 
 
A vantagem do uso da amostragem probabilística é que a mesma 
permite o cálculo do erro amostral, o que não acontece com a 
amostragem não-probabilística. 
 
 
3.3 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
 
As principais técnicas são: 
 
3.3.1 Amostragem casual simples (ao acaso, aleatória, elementar) 
 
É aquela onde todos os elementos da população têm igual 
probabilidade de pertencer à amostra. Essa técnica é equivalente a um 
sorteio lotérico. 
A probabilidade que cada elemento tem de pertencer à amostra é 
dada pelo quociente n/N (chamado de fração amostral), sendo n o 
tamanho da amostra e N o tamanho da população. 
Quando a amostragem for feita com reposição, o número de 
amostras possíveis é dado por Nn , enquanto que, para a amostragem 
sem reposição esse número é dado por CN
n
. 
Uma maneira utilizada para fazer o sorteio dos elementos que 
comporão a amostra é o uso de uma tabela de números aleatórios. Essa 
tabela consiste de inúmeros dígitos, obtidos por um processo 
equivalente a um sorteio equiprovável. 
A Tabela I (apêndice) reproduz uma tabela de números 
aleatórios. 
Como exemplo, suponha que se deseja obter uma amostra de 30 
elementos de uma população de 500 elementos. Inicialmente, considera-
se a população numerada de 001 a 500 (todos números com 3 dígitos). 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 97 
Em seguida, sorteia-se um dígito qualquer da tabela e, a partir dele, 
toma-se 30 grupos de 3 algarismos, de forma subseqüente, os quais 
indicarão os elementos da amostra. Partindo do ponto sorteado (por 
exemplo, no cruzamento da 3º linha com 2ª coluna) suponha-se que os 
dígitos observados foram 
 
 
70166860310596098408275937345135132350988937547863 , 
 
 
então, os elementos que comporão a amostra serão os de ordem 
 
 
105, 082, 373, 451, 351, 323, 375, 478, etc. 
 
Evidentemente, despreza-se os grupos 701, 668, 603, etc, pois os 
mesmos não constam da população. 
 
 
3.3.2 Amostragem sistemática 
 
É uma forma simplificada da amostragem casual simples, 
podendo ser utilizada quando os elementos da população se apresentam 
ordenados e a retirada dos elementos para compor a amostra é feita 
periodicamente. Por exemplo, em um processo de produção, onde se 
deseja executar o controle de qualidade, podemos tomar uma peça para 
compor a amostra, em cada x peças produzidas O primeiro elemento 
deve ser sorteado, podendo ser utilizada a tabela de números aleatórios. 
O cuidado a ser tomado nesse processo é quanto à possibilidade 
da variável de interesse sofrer variações cíclicas, onde os períodos desse 
ciclo venham a coincidir com os de retiradas dos elementos. 
 
 
3.3.3 Amostragem por meio de conglomerados 
 
É o processo pelo qual a população se apresenta subdividida em 
grupos menores, sendo esses grupos menores denominados de 
Amostragem 98 
conglomerados, e sorteamos um número suficiente desses 
conglomerados. Esse processo é utilizado mais por questões de ordem 
prática e econômica. 
 
3.3.4 Amostragem estratificada 
 
É utilizada quando a população pode ser dividida em sub-
populações ou estratos, devendo a variável de interesse ser mais ou 
menos homogênea dentro de cada estrato. Na composição da amostra, 
deverão ser sorteados elementos de todos os estratos, para que todos 
sejam representados na amostra. 
Para se especificar quantos elementos de cada estrato deverão 
fazer parte da amostra, existem 3 maneiras: 
 
(1) Uniforme 
 
Quando sorteamos mesmo número de elementos de cada estrato. 
Evidentemente, esse processo deve ser utilizado se os estratos da 
população forem pelo menos aproximadamente do mesmo tamanho. 
 
(2) Proporcional 
 
Quando é sorteado um número de elementos proporcional ao 
tamanho de cada estrato. Sua utilização é mais geral que a uniforme, 
pois, independe do tamanho de cada estrato. 
 
(3) Ótima 
 
Quando se leva em consideração o tamanho de cada estrato e 
também a variação da variável de interesse dentro de cada estrato. Essa 
variação é expressa em termos do desvio padrão de cada estrato. Dessa 
maneira, o estrato que tiver uma variação menor contribuirá com uma 
quantidade menor de elementos. 
 
 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 99 
 
 
 
3.4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
3.4.1 Introdução 
 
Considere todas as amostras possíveis de tamanho n que podem 
ser retiradas (com ou sem reposição) de uma certa população. Para cada 
amostra, podemos calcular uma grandeza estatística (média, desvio 
padrão, variância, etc) que varia de amostra para amostra. Dessa 
maneira, obtemos um conjunto de valores da grandeza estatística 
calculada, denominado de distribuição amostral. Particularmente, se a 
grandeza calculada for a média, obtém-se a distribuição amostral das 
médias; se for o desvio padrão, obtém-se a distribuição amostral dos 
desvios padrões, etc. 
As grandezas estatísticas calculadas para cada amostra são 
denominadas simplesmente de estatísticas, enquanto que, as grandezas 
calculadas para populações são denominadas de parâmetros. 
No estudo das distribuições amostrais, devemos distinguir 
populações finitas de infinitas. Na prática, populações suficientemente 
grandes podem ser consideradas como infinitas. Uma população finita 
cuja amostragem seja feita com reposição pode ser considerada 
teoricamente, como infinita, pois qualquer número de amostras que for 
extraído não consegue exaurir a população. 
 
 
3.4.2 Distribuição amostral das médias 
 
Para uma população de média  e desvio padrão , com 
tamanho N desde que seja finita, considere todas as amostras possíveis 
de um mesmo tamanho n. Para cada amostra calcule a média. O 
conjunto das médias amostrais resultantes é denominado de distribuição 
amostral das médias. 
 
A Figura 3.1 mostra esquematicamente como é gerada a 
distribuição amostral das médias. 
Amostragem 100 
 
Para amostragem com reposição, demonstra-se que a distribuição 
amostral das médias tem média )x(μ e desvio padrão ( )x dados por 
 
μxμ  (3.1) 
e 
n
σ
xσ  (3.2) 
Figura 3.1 – Distribuição amostral das médias 
 
 
 Amostras Médias 
 de amostraistamanho n 
 
 
 População A1 x1 
 
 Média =  Distribuição 
 Desvio padrão =  A2 x2 amostral 
 Tamanho = N (caso das médias 
 seja finita)   
 Ak xk 
 
 
 
 
No caso de amostragem sem reposição, demonstra-se que 
 
μxμ  (3.3) 
e 
1N
nN
n
σ
xσ 

 , (3.4) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 101 
onde o fator 
N n
N

1
 é denominado de fator de população finita. 
 
Evidentemente, tem-se que 
 
lim
N
N n
N



1
1. (3.5) 
 
Para n suficientemente grande, o teorema central do limite mostra 
que a distribuição amostral das médias é aproximadamente normal. 
Caso a população seja normal, a distribuição amostral de x será 
também normal, independentemente do tamanho da amostra. Na prática, 
considera-se n grande quando n  30. 
A Figura 3.2 mostra a distribuição amostral de x para n grande 
ou população normal. 
 
 
Figura 3.2 – Distribuição amostral das médias para grandes amostras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os valores da variável padronizada z serão calculados por 
x 
X
μ 
)x(f
 
Amostragem 102 
 
xσ
xμxz

 (3.6) 
Exemplos: 
 
(1) Seja a população formada pelos elementos: 1, 3, 5 e 7. Considerar 
todas as amostras possíveis de tamanho 2 e obter a distribuição amostral 
das médias, calculando a média e o desvio padrão dessa distribuição. 
Suponha-se que a amostragem seja obtida sem reposição. 
Portanto, as amostras possíveis são: 
 
 
{1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, 
 
sendo as médias (distribuição amostral das médias), respectivamente, 
 
2, 3, 4, 4, 5 e 6. 
 
 
A média da distribuição será dada por 
 
4
6
24
xμ  , 
e o desvio padrão será 
 
 
1,29.
3
5
6
10
6
2
4)(6
2
4)(5
2
4)(4
2
4)(4
2
4)(3
2
4)(2
xσ




 
 
Pelas expressões (3.1) e (3.2) tem-se que 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 103 
 
4,
4
16
μxμ  
e 
 
,1,29
3
5
14
24
2
5
1N
nN
n
σ
xσ 




 
onde 
 
 
.5
4
20
4
2
4)(7
2
4)(5
2
4)(3
2
4)(1
σ 

 
 
 
 
(2) A produção de parafusos de certa máquina tem comprimento médio 
de 5 mm e desvio padrão de 1 mm. Foram adquiridos 500 lotes de 100 
parafusos cada um. Em quantos desses lotes podemos esperar que o 
comprimento médio dos parafusos seja 
 
a) inferior a 4,8 mm; 
b) superior a 5,3 mm? 
 
 
Como o tamanho da amostra é n = 100, podemos considerá-la 
como uma grande amostra. Na prática, muitas vezes consideramos uma 
amostra grande se n  30. Portanto, teremos 
 
 
5μxμ  mm e 0,1
100
1
n
σ
xσ  . 
 
 
a) P( X < 4,8 mm)? 
Amostragem 104 
 
Para x  4 8, mm  z 

 
4 8 5
0 1
2
,
,
. 
 
Portanto, 
 
P X( , 4 8 mm) = P(z < -2) = 0,0228. 
 
Número de lotes = 5000,0228  11. 
 
 
b) P(X > 5,3 mm)? 
 
Para x = 5,3 mm 
 z 


5 3 5
0 1
3
,
,
. 
Portanto, 
P( X > 5,3 mm) = P(z 
> 3) =0,0013. 
 
Número de lotes 
=5000,00131. 
 
 
 
 
 
 
)x(f 
x 
)x(f 
x
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 105 
 
 
 
3.4.3 Distribuição amostral das proporções ou freqüências relativas 
 
Considere uma população tal que, a probabilidade de sucesso de 
certo evento é p e de insucesso é q = 1 - p. Para cada amostra de 
tamanho n, podemos determinar o número h de sucessos e 
conseqüentemente, a freqüência relativa ou proporção fr = P = h / n. O 
conjunto de freqüências relativas calculadas para as amostras constitui a 
distribuição amostral das proporções ou das freqüências relativas. 
 
A Figura 3.3 mostra esquematicamente como é gerada a 
distribuição amostral das proporções. 
 
 
Figura 3.3 – Distribuição amostral das proporções 
 
 
 Amostras Proporções 
 de amostrais 
 tamanho n 
 
 
 População A1 P1 
 
 probabilidade Distribuição 
 de sucesso = p A2 P2 amostral 
 das 
   proporções 
 Ak Pk 
 
 
 
 
Para essa distribuição amostral, demonstra-se que, para 
amostragem obtida com reposição, a média (P) é dada por 
Amostragem 106 
 
P = p, (3.7) 
 
e o desvio padrão (P) por 
 
P = 
n
pq
 . (3.8) 
 
No caso de amostragem obtida sem reposição, tem-se que 
 
P = p, (3.9) 
 
e 
P = 
1N
nN
n
pq


 (3.10) 
 
 
Sendo as amostras suficientemente grandes, a distribuição 
amostral das proporções, que segue a distribuição binomial, poderá se 
aproximar de uma distribuição normal de mesma média e mesma 
variância. Na prática, essa aproximação é utilizada para np  5 e 
n(1-p)  5. 
No caso da aproximação, os valores da variável padronizada são 
calculados por 
 
P
σ
P
μP
z

 . (3.11) 
 
 
Como a distribuição amostral das proporções é binomial, portanto 
discreta, e vamos utilizar uma aproximação pela normal que é contínua, 
o cálculo de z deve ser corrigido através do fator 1/2n, ficando 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 107 
P
σ
P
μ
2n
1
P
z

 (3.12) 
 
O fator de correção 1/2n corresponde à semi-amplitude dos 
intervalos entre dois valores consecutivos de P. Dessa forma, um valor 
de P passa a ser representado por um intervalo de amplitude 1/n e 
extremos P  (1/2n), como mostra a Figura 3.4. 
 
Figura 3.4 – Fator de correção 
 
 P 
 
 P - 
2n
1
 P + 
2n
1
 
 
Exemplo 
 
Uma indústria fabrica válvulas elétricas, sendo 3% defeituosas. 
Foi adquirido um lote de 1000 válvulas. Qual a probabilidade de que o 
lote adquirido tenha 
a) exatamente 20 válvulas defeituosas. 
b) mais de 40 válvulas defeituosas. 
c) no máximo 30 válvulas defeituosas? 
 
A probabilidade de uma válvula qualquer ser defeituosa é p = 
0,03 e como np = 10000,03 = 30 > 5 e n(1-p) = 1000(1-0,03) = 970 
> 5, podemos empregar a aproximação à distribuição normal onde 
 
P = 0,03 e 0,0054.
1000
0,970,03
n
pq
P
σ 

 
 
Amostragem 108 
a) P(P = 0,02)? 
1,94
0,0054
0,03
10002
1
0,02
z 



 
1,76
0,0054
0,03
10002
1
0,02
z 



 
 P(P = 0,02) = P(-1,94  z  -1,76) = 0,0130 ou 1,30%. 
b) P(P> 0,04)? 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 109 
1,94.
0,0054
0,03
10002
1
0,04
z 



 
 P(P > 0,04) = P(z > 1,94) = 0,5000 - 0,4738 = 0,0262 ou 2,62%. 
 c) P(P  0,03)? 
 
0,09
0,0054
0,03
10002
1
0,03
z 



 
P(P  0,03) = P(z  0,09) = 0,5000 + 0,0359 = 0,5359 ou 53,59%. 
 
3.4.4 Distribuição amostral das somas e diferenças 
 
(a) Para duas médias amostrais 
 
Demonstra-se que a variável 
2
X
1
X  , sendo 
1
X e 
2
X 
independentes, terá média )(μ
21 X`X 
 dada por 
 
 
Amostragem 110 
21XX
μμμ
21


 (3.13) 
 
e desvio padrão dado por 
 
2
X
2
XXX 2121
σσσ 

 . (3.14) 
 
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral 
das somas )
2
X
1
X(  ou diferenças )
2
X
1
X(  é aproximadamente 
normal com 
 
2
X
1
X
σ
)
2
μ
1
(μ)
2
x
1
x(
z


 , (3.15) 
 
onde 1 e 2 são as médias populacionais de onde foram obtidas as 
distribuições amostrais de 
1
X e 
2
X , respectivamente. 
 
b) Para duas proporções amostrais 
 
Sejam P1 e P2 duas variáveis representando proporções amostrais 
tais que, as distribuições amostrais de P1 e P2 são aproximadamente 
normais (na prática, quando n  30) com médias (
1P
μ e 
2P
μ ) e desvios 
padrão (
1P
σ e 
2P
σ ) dados por 
 
,pμ 1P1  2P pμ 2  (3.16) 
 
e 
 
P
p q
n1
1 1
1
 , P
p q
n2
2 2
2
 . (3.17) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 111 
Para amostras suficientemente grandes, podemos utilizar uma 
aproximação à distribuição normal, com média )(μ
21 PP 
 dada por 
 
21PP ppμ 21  (3.18) 
 
e desvio padrão )(σ
21 PP 
 dado por 
 
 
2
n
2
q
2
p
1
n
1
q
1
p
2
P
1
P
σ 

 . (3.19) 
Exemplos 
 
(1) As lâmpadas elétricas fabricadas pela empresa A têm duração média 
de 1800 h e desvio padrão de 250 h, enquanto que as da empresa B têm 
duração média de 1600 h e desvio padrão de 150 h. Se forem testadas 
amostras aleatórias de 50 lâmpadas de cada marca, qual é a 
probabilidade das de marca A terem vida média superior que as de B de 
pelo menos 250 h? 
 
20016001800μμμ BAXX BA


 h. 
 
41,23
50
2
150
50
2
250
Bn
2
Bσ
An
2
Aσ2
B
X
σ
2
A
X
σ
B
X
A
X
σ 

 h. 
 
P( BA XX   250 h) ? 
 
250XX BA  h  1,21
41,23
200250
z 

 
 
P(X XA B  250 h) = P(z  1,21) = 0,1131 ou 11,31%. 
 
Amostragem 112 
(2) Duas máquinas fabricam parafusos do mesmo tipo, sendo que 5% 
dos fabricados pela máquina 1 são defeituosos e 3% dos fabricados pela 
máquina 2 também são defeituosos. Em dois lotes de 500 parafusos de 
cada tipo, qual é a probabilidade de que o lote obtido da máquina 1 
tenha pelo menos 15 parafusos defeituosos a mais que o lote da 
máquina 2? 
A solução do problema pode ser traduzida em termos de 
 
0,03).PP(P
500
15
PPP 2121 





 
 
Para a distribuição amostral das diferenças P1 - P2, tem-se que 
 
0,020,030,05
2
P
1
P
μ 

 e 
 
0,0124.
500
0,970,03
500
0,950,05
2
P
1
P
σ 




 
Para P1 - P2 = 0,03 resulta 0,81
0,0124
0,020,03
z 

 . Portanto, 
 
P(P1 - P2  0,03) = P(z  0,81) = 0,2090 ou 20,90%. 
 
 
 
3.4.5 Distribuição amostral das variâncias 
 
Considere as amostras de tamanho n retiradas de uma população 
normal de variância 2 . Para cada amostra pode-se calcular a estatística 
 
 
2
2
2
σ
1)s(n
χ

 , (3.20) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 113 
 
onde s2 é a variância amostral dada por 
 
 
1n
)x(x
s
n
1i
2
i
2




 . (3.21) 
 
 
 A estatística 2 (qui-quadrado) dada por (3.20) segue uma 
distribuição qui-quadrado com  = n -1 graus de liberdade. 
 
A Figura 3.5 mostra esquematicamente como é formada a 
distribuição amostral da estatística qui-quadrado. 
 
Figura 3.5 – Distribuição amostral da estatística 2 
 
 Amostras Cálculo da 
 de estatística 
 tamanho n 2 
 
 
 População normal A1 
2
1χ 
 
 Variância = 2 Distribuição 
 A2 
2
2 de 
2 com 
  = n - 1 
   
 Ak 
2
k 
 
 
Da expressão (3.20) obtém-se 
 
Amostragem 114 
2
1n
2
2 χ
1n
σ
s 

 , (3.22) 
isto é, s2 segue uma distribuição 2, com  = n - 1 graus de liberdade. 
Pode-se demonstrar que, para a distribuição amostral das 
variâncias s2, a média )(μ 2s é 
 
22
s
σ)E(sμ 2  , (3.23) 
 
e a variância 
 
 
1n
2σ
)V(sσ
4
22
s2 
 . (3.24) 
 
Combinando as expressões (3.20) e (3.21) pode-se obter a 
expressão do Teorema de Fisher 
 
2
1n
22
n
1i
i χσ)x(x 

 . (3.25) 
 
Uma propriedade importante da variável aleatória 2 é que, sendo 
1
2
 e 2
2
 duas variáveis aleatórias independentes, pode-se provar que 
sua soma também será uma variável com distribuição 2 com 1 + 2 
graus de liberdade, isto é, 
 
2
νν
2
ν
2
ν 2121
χχχ  . (3.26) 
 
 
3.4.6 Distribuição amostral envolvendo a distribuição t de Student 
 
Considere as amostras de tamanho n, retiradas de uma população 
normal de média . Para cada amostra calculamos a estatística 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 115 
n
s
μx
t

 , (3.27) 
onde x é a média amostral e s o desvio padrão estimado por 
 
1n
)x(x
s
2
n
1i
i




 . (3.28) 
O conjunto de valores de t segue uma distribuição t de Student 
com  = n - 1 graus de liberdade. 
 
Figura 3.6 – Distribuição amostral da estatística t 
 
 Amostras Cálculo da 
 de estatística t 
 tamanho n 
 
 
 População normal A1 t1 
 
 Distribuição 
 Média =  A2 t2 t de Student 
 com  = n - 1 
   
 Ak tk 
 
 
 
No caso de duas populações normais de mesma variância, 
demonstra-se que a estatística 
 
 
Amostragem 116 









21
2
p
2121
n
1
n
1
s
)μ(μ)xx(
t , (3.29) 
segue uma distribuição t de Student com  = n1 + n2 -2 graus de 
liberdade, onde x1 e x2 são médias amostraisobtidas de amostras 
independentes de tamanhos n1 e n2, respectivamente. A estimativa da 
variância comum às duas populações é proporcionada por 
 
 
2nn
1)s(n1)s(n
s
21
2
22
2
112
p


 , (3.30) 
 
onde s1
2
 e s2
2
 são as estimativas das variâncias das duas populações, 
sendo calculadas pela expressão (3.21). 
 
 
3.4.7 Distribuição amostral envolvendo a distribuição F de 
 Snedecor 
 
Considere duas amostras independentes retiradas de populações 
normais de mesma variância, sendo as variâncias amostrais s1
2
 e s2
2
. 
Demonstra-se que o quociente 
 
2
2
2
1
s
s
F  (3.31) 
 
segue uma distribuição F de Snedecor com 1 = n1 - 1 graus de 
liberdade no numerador e 2 = n2 - 1 graus de liberdade no 
denominador. Os cálculos de s1
2
 e s2
2
 são proporcionados pela expressão 
(3.21). 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 117 
3.5 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
01. Uma população é constituída de 2500 elementos. Obter uma 
amostra casual simples de 50 elementos, explicando o procedimento 
utilizado. 
02. Uma população é constituída pelos 800 alunos de uma escola. 
Tendo uma listagem dessa população, já ordenada, explique qual o 
procedimento para obter uma amostra sistemática de 40 alunos. 
 
03. Uma população foi estratificada, sendo constituída de 5 estratos. Os 
tamanhos dos estratos são, respectivamente, N1 = 100, N2 = 200, N3 = 
300, N4 = 400 e N5 = 1000. Para uma amostragem estratificada 
proporcional foram retirados 5 elementos do primeiro estrato. Qual o 
número de elementos retirados dos demais estratos e qual o tamanho da 
amostra? 
 
04. Suponha que desejamos fazer uma amostragem por conglomerados 
envolvendo a população dos estudantes regularmente matriculados na 
UFPR. Explique o procedimento que você utilizaria. 
 
05. Uma população foi estratificada segundo três estratos. O tamanho 
de cada estrato e a variância correspondente são dados em seguida. 
 
Estrato Tamanho (Ni) Variância (
2
iσ ) 
1 200 10 
2 300 6 
3 500 4 
 
Considerando a estratificação ótima, para uma amostra de 116 
elementos quantos elementos deverão ser retirados de cada estrato? 
 
06. Uma população é formada pelos elementos: 1, 2, 3 e 4. Obter todas 
as amostras possíveis de 2 elementos com reposição, calculando: 
(a) o número de amostras; 
(b) a média populacional; 
(c) o desvio padrão populacional; 
Amostragem 118 
(d) a média da distribuição amostral das médias; 
(e) o desvio padrão da distribuição amostral das médias. 
 
07. Resolver o problema anterior para a amostragem sem reposição. 
 
08. A voltagem média das baterias fabricadas por certa indústria é 20 
volts, sendo o desvio padrão 1 volt. Em um lote de 50 dessas baterias, 
qual é a probabilidade de que a voltagem média esteja entre 19,5 e 20,5 
volts? 
 
09. Um comerciante adquire 500 lotes de 200 peças cada um. Sabendo-
se que 2% das peças são defeituosas, em quantos lotes podemos esperar 
que o número de peças perfeitas seja pelo menos 198? 
 
10. Caixas contendo peças de automóveis tem peso médio de 50 kg e 
um desvio padrão de 9 kg. Qual é a probabilidade de que 40 dessas 
caixas excedam a capacidade do utilitário transportador que é de 2000 
kg? 
 
11. Certa indústria remete 2000 caixas contendo 50 componentes 
eletrônicos cada uma. Se 3% dos componentes são defeituosos, em 
quantas caixas pode-se esperar que existam 
(a) exatamente 1 componente defeituoso? 
(b) mais de 2 componentes defeituosos? 
(c) menos de 47 componentes perfeitos? 
(d) mais de 48 componentes perfeitos? 
 
12. Certa indústria fabrica dois tipos de cabos com as seguintes 
especificações para as tensões de ruptura: 
 
cabo tipo 1: 1 = 2500 kgf e 1 = 200 kgf; 
cabo tipo 2: 2 = 2100 kgf e 2 = 180 kgf. 
 
Foram ensaiados 50 cabos do tipo 1 e 80 do tipo 2. Qual é a 
probabilidade da tensão média de ruptura do cabo tipo 1 ser pelo menos 
500 kgf maior que a do tipo 2? 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 119 
13. Dos parafusos fabricados pela máquina A, 10% tem comprimentos 
acima de 6 mm, enquanto que dos fabricados pela máquina B, 5% tem 
comprimentos acima de 6 mm. Em um lote de 1000 parafusos de cada 
tipo, qual é a probabilidade de encontrarmos pelo menos 8% mais de 
parafusos fabricados pela máquina A, que tenham comprimentos acima 
de 6 mm? 
 
14. As lâmpadas elétricas fabricadas pela companhia A tem uma vida 
média de 2000 h com um desvio padrão de 400 h, enquanto que as 
lâmpadas fabricadas pela companhia B tem uma vida média de 1800 h 
com desvio padrão de 350h. Foram adquiridas 100 lâmpadas de cada 
marca. Calcular a probabilidade para que 
 
(a) o tempo médio de vida da amostra de A seja superior em mais de 70 
horas do que o tempo médio de vida da amostra de B; 
(b) o tempo médio de vida da amostra de A seja superior em mais de 
120 h do que o tempo médio de vida da amostra de B. 
 
15. Certo tipo de parafuso tem peso médio de 25 g, com um desvio 
padrão de 1 g. Qual é a probabilidade de 2 lotes de 500 parafusos cada 
um, diferirem em peso, de mais de 5 g? 
 
16. Sejam duas populações. A primeira é constituída de 3 componentes 
eletrônicos, sendo 1 defeituoso e dois perfeitos, e, a segunda é 
constituída de 2 componentes eletrônicos, sendo 1 defeituoso e 1 
perfeito. Considerando as amostras n1 = 2 e n2 = 2, obtidas com 
reposição, calcular para as distribuições amostrais de componentes 
defeituosos 
(a) 
21 PP
μ  ; 
(b) 
21 PP
σ  . 
 
17. Seja X1 uma variável aleatória contínua representando um elemento 
qualquer da população 1, 2, 3 e 4, e X2 uma outra variável aleatória 
contínua representando um elemento qualquer da população 3, 4 e 5. 
Considerando que n1 = n2 = 2, calcular 
 
Amostragem 120 
(a) 
21 XX
μ

. (b)
21 XX
μ

. (c) 
21 XX
σ

. (d) 
21 XX
σ

.