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3 AMOSTRAGEM 3.1 INTRODUÇÃO No capítulo 1 estudou-se uma série de técnicas estatísticas de descrição de um conjunto de dados, sem a preocupação de saber se os mesmos eram provenientes de um conjunto maior ou não. Como o objetivo principal dos próximos capítulos é o estudo das técnicas da Inferência Estatística (processo pelo qual tomamos decisões válidas para populações, partindo de amostras), necessita-se diferenciar amostra de população. População é o conjunto formado por todos os elementos com alguma característica comum de interesse, enquanto que amostra é um subconjunto da população, devendo apresentar as características básicas de interesse da população. Portanto, a amostragem consiste no estudo das relações existentes entre populações e as amostras provenientes das mesmas. Na obtenção das amostras, deve-se usar técnicas adequadas para que as mesmas sejam representativas das populações, ou seja, devem possuir as características básicas das populações. Evidentemente, devido a aleatoriedade, sempre existirão certas discrepâncias no processo de amostragem. 3.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM Pode-se falar em dois tipos de amostragem: 3.2.1 Amostragem probabilística Amostragem 96 Quando todos os elementos da população têm probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. 3.2.2 Amostragem não-probabilística Quando nem todos os elementos da população têm probabilidade conhecida de pertencer à amostra. A vantagem do uso da amostragem probabilística é que a mesma permite o cálculo do erro amostral, o que não acontece com a amostragem não-probabilística. 3.3 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA As principais técnicas são: 3.3.1 Amostragem casual simples (ao acaso, aleatória, elementar) É aquela onde todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra. Essa técnica é equivalente a um sorteio lotérico. A probabilidade que cada elemento tem de pertencer à amostra é dada pelo quociente n/N (chamado de fração amostral), sendo n o tamanho da amostra e N o tamanho da população. Quando a amostragem for feita com reposição, o número de amostras possíveis é dado por Nn , enquanto que, para a amostragem sem reposição esse número é dado por CN n . Uma maneira utilizada para fazer o sorteio dos elementos que comporão a amostra é o uso de uma tabela de números aleatórios. Essa tabela consiste de inúmeros dígitos, obtidos por um processo equivalente a um sorteio equiprovável. A Tabela I (apêndice) reproduz uma tabela de números aleatórios. Como exemplo, suponha que se deseja obter uma amostra de 30 elementos de uma população de 500 elementos. Inicialmente, considera- se a população numerada de 001 a 500 (todos números com 3 dígitos). Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 97 Em seguida, sorteia-se um dígito qualquer da tabela e, a partir dele, toma-se 30 grupos de 3 algarismos, de forma subseqüente, os quais indicarão os elementos da amostra. Partindo do ponto sorteado (por exemplo, no cruzamento da 3º linha com 2ª coluna) suponha-se que os dígitos observados foram 70166860310596098408275937345135132350988937547863 , então, os elementos que comporão a amostra serão os de ordem 105, 082, 373, 451, 351, 323, 375, 478, etc. Evidentemente, despreza-se os grupos 701, 668, 603, etc, pois os mesmos não constam da população. 3.3.2 Amostragem sistemática É uma forma simplificada da amostragem casual simples, podendo ser utilizada quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos para compor a amostra é feita periodicamente. Por exemplo, em um processo de produção, onde se deseja executar o controle de qualidade, podemos tomar uma peça para compor a amostra, em cada x peças produzidas O primeiro elemento deve ser sorteado, podendo ser utilizada a tabela de números aleatórios. O cuidado a ser tomado nesse processo é quanto à possibilidade da variável de interesse sofrer variações cíclicas, onde os períodos desse ciclo venham a coincidir com os de retiradas dos elementos. 3.3.3 Amostragem por meio de conglomerados É o processo pelo qual a população se apresenta subdividida em grupos menores, sendo esses grupos menores denominados de Amostragem 98 conglomerados, e sorteamos um número suficiente desses conglomerados. Esse processo é utilizado mais por questões de ordem prática e econômica. 3.3.4 Amostragem estratificada É utilizada quando a população pode ser dividida em sub- populações ou estratos, devendo a variável de interesse ser mais ou menos homogênea dentro de cada estrato. Na composição da amostra, deverão ser sorteados elementos de todos os estratos, para que todos sejam representados na amostra. Para se especificar quantos elementos de cada estrato deverão fazer parte da amostra, existem 3 maneiras: (1) Uniforme Quando sorteamos mesmo número de elementos de cada estrato. Evidentemente, esse processo deve ser utilizado se os estratos da população forem pelo menos aproximadamente do mesmo tamanho. (2) Proporcional Quando é sorteado um número de elementos proporcional ao tamanho de cada estrato. Sua utilização é mais geral que a uniforme, pois, independe do tamanho de cada estrato. (3) Ótima Quando se leva em consideração o tamanho de cada estrato e também a variação da variável de interesse dentro de cada estrato. Essa variação é expressa em termos do desvio padrão de cada estrato. Dessa maneira, o estrato que tiver uma variação menor contribuirá com uma quantidade menor de elementos. Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 99 3.4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 3.4.1 Introdução Considere todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas (com ou sem reposição) de uma certa população. Para cada amostra, podemos calcular uma grandeza estatística (média, desvio padrão, variância, etc) que varia de amostra para amostra. Dessa maneira, obtemos um conjunto de valores da grandeza estatística calculada, denominado de distribuição amostral. Particularmente, se a grandeza calculada for a média, obtém-se a distribuição amostral das médias; se for o desvio padrão, obtém-se a distribuição amostral dos desvios padrões, etc. As grandezas estatísticas calculadas para cada amostra são denominadas simplesmente de estatísticas, enquanto que, as grandezas calculadas para populações são denominadas de parâmetros. No estudo das distribuições amostrais, devemos distinguir populações finitas de infinitas. Na prática, populações suficientemente grandes podem ser consideradas como infinitas. Uma população finita cuja amostragem seja feita com reposição pode ser considerada teoricamente, como infinita, pois qualquer número de amostras que for extraído não consegue exaurir a população. 3.4.2 Distribuição amostral das médias Para uma população de média e desvio padrão , com tamanho N desde que seja finita, considere todas as amostras possíveis de um mesmo tamanho n. Para cada amostra calcule a média. O conjunto das médias amostrais resultantes é denominado de distribuição amostral das médias. A Figura 3.1 mostra esquematicamente como é gerada a distribuição amostral das médias. Amostragem 100 Para amostragem com reposição, demonstra-se que a distribuição amostral das médias tem média )x(μ e desvio padrão ( )x dados por μxμ (3.1) e n σ xσ (3.2) Figura 3.1 – Distribuição amostral das médias Amostras Médias de amostraistamanho n População A1 x1 Média = Distribuição Desvio padrão = A2 x2 amostral Tamanho = N (caso das médias seja finita) Ak xk No caso de amostragem sem reposição, demonstra-se que μxμ (3.3) e 1N nN n σ xσ , (3.4) Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 101 onde o fator N n N 1 é denominado de fator de população finita. Evidentemente, tem-se que lim N N n N 1 1. (3.5) Para n suficientemente grande, o teorema central do limite mostra que a distribuição amostral das médias é aproximadamente normal. Caso a população seja normal, a distribuição amostral de x será também normal, independentemente do tamanho da amostra. Na prática, considera-se n grande quando n 30. A Figura 3.2 mostra a distribuição amostral de x para n grande ou população normal. Figura 3.2 – Distribuição amostral das médias para grandes amostras Os valores da variável padronizada z serão calculados por x X μ )x(f Amostragem 102 xσ xμxz (3.6) Exemplos: (1) Seja a população formada pelos elementos: 1, 3, 5 e 7. Considerar todas as amostras possíveis de tamanho 2 e obter a distribuição amostral das médias, calculando a média e o desvio padrão dessa distribuição. Suponha-se que a amostragem seja obtida sem reposição. Portanto, as amostras possíveis são: {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, sendo as médias (distribuição amostral das médias), respectivamente, 2, 3, 4, 4, 5 e 6. A média da distribuição será dada por 4 6 24 xμ , e o desvio padrão será 1,29. 3 5 6 10 6 2 4)(6 2 4)(5 2 4)(4 2 4)(4 2 4)(3 2 4)(2 xσ Pelas expressões (3.1) e (3.2) tem-se que Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 103 4, 4 16 μxμ e ,1,29 3 5 14 24 2 5 1N nN n σ xσ onde .5 4 20 4 2 4)(7 2 4)(5 2 4)(3 2 4)(1 σ (2) A produção de parafusos de certa máquina tem comprimento médio de 5 mm e desvio padrão de 1 mm. Foram adquiridos 500 lotes de 100 parafusos cada um. Em quantos desses lotes podemos esperar que o comprimento médio dos parafusos seja a) inferior a 4,8 mm; b) superior a 5,3 mm? Como o tamanho da amostra é n = 100, podemos considerá-la como uma grande amostra. Na prática, muitas vezes consideramos uma amostra grande se n 30. Portanto, teremos 5μxμ mm e 0,1 100 1 n σ xσ . a) P( X < 4,8 mm)? Amostragem 104 Para x 4 8, mm z 4 8 5 0 1 2 , , . Portanto, P X( , 4 8 mm) = P(z < -2) = 0,0228. Número de lotes = 5000,0228 11. b) P(X > 5,3 mm)? Para x = 5,3 mm z 5 3 5 0 1 3 , , . Portanto, P( X > 5,3 mm) = P(z > 3) =0,0013. Número de lotes =5000,00131. )x(f x )x(f x Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 105 3.4.3 Distribuição amostral das proporções ou freqüências relativas Considere uma população tal que, a probabilidade de sucesso de certo evento é p e de insucesso é q = 1 - p. Para cada amostra de tamanho n, podemos determinar o número h de sucessos e conseqüentemente, a freqüência relativa ou proporção fr = P = h / n. O conjunto de freqüências relativas calculadas para as amostras constitui a distribuição amostral das proporções ou das freqüências relativas. A Figura 3.3 mostra esquematicamente como é gerada a distribuição amostral das proporções. Figura 3.3 – Distribuição amostral das proporções Amostras Proporções de amostrais tamanho n População A1 P1 probabilidade Distribuição de sucesso = p A2 P2 amostral das proporções Ak Pk Para essa distribuição amostral, demonstra-se que, para amostragem obtida com reposição, a média (P) é dada por Amostragem 106 P = p, (3.7) e o desvio padrão (P) por P = n pq . (3.8) No caso de amostragem obtida sem reposição, tem-se que P = p, (3.9) e P = 1N nN n pq (3.10) Sendo as amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das proporções, que segue a distribuição binomial, poderá se aproximar de uma distribuição normal de mesma média e mesma variância. Na prática, essa aproximação é utilizada para np 5 e n(1-p) 5. No caso da aproximação, os valores da variável padronizada são calculados por P σ P μP z . (3.11) Como a distribuição amostral das proporções é binomial, portanto discreta, e vamos utilizar uma aproximação pela normal que é contínua, o cálculo de z deve ser corrigido através do fator 1/2n, ficando Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 107 P σ P μ 2n 1 P z (3.12) O fator de correção 1/2n corresponde à semi-amplitude dos intervalos entre dois valores consecutivos de P. Dessa forma, um valor de P passa a ser representado por um intervalo de amplitude 1/n e extremos P (1/2n), como mostra a Figura 3.4. Figura 3.4 – Fator de correção P P - 2n 1 P + 2n 1 Exemplo Uma indústria fabrica válvulas elétricas, sendo 3% defeituosas. Foi adquirido um lote de 1000 válvulas. Qual a probabilidade de que o lote adquirido tenha a) exatamente 20 válvulas defeituosas. b) mais de 40 válvulas defeituosas. c) no máximo 30 válvulas defeituosas? A probabilidade de uma válvula qualquer ser defeituosa é p = 0,03 e como np = 10000,03 = 30 > 5 e n(1-p) = 1000(1-0,03) = 970 > 5, podemos empregar a aproximação à distribuição normal onde P = 0,03 e 0,0054. 1000 0,970,03 n pq P σ Amostragem 108 a) P(P = 0,02)? 1,94 0,0054 0,03 10002 1 0,02 z 1,76 0,0054 0,03 10002 1 0,02 z P(P = 0,02) = P(-1,94 z -1,76) = 0,0130 ou 1,30%. b) P(P> 0,04)? Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 109 1,94. 0,0054 0,03 10002 1 0,04 z P(P > 0,04) = P(z > 1,94) = 0,5000 - 0,4738 = 0,0262 ou 2,62%. c) P(P 0,03)? 0,09 0,0054 0,03 10002 1 0,03 z P(P 0,03) = P(z 0,09) = 0,5000 + 0,0359 = 0,5359 ou 53,59%. 3.4.4 Distribuição amostral das somas e diferenças (a) Para duas médias amostrais Demonstra-se que a variável 2 X 1 X , sendo 1 X e 2 X independentes, terá média )(μ 21 X`X dada por Amostragem 110 21XX μμμ 21 (3.13) e desvio padrão dado por 2 X 2 XXX 2121 σσσ . (3.14) Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das somas ) 2 X 1 X( ou diferenças ) 2 X 1 X( é aproximadamente normal com 2 X 1 X σ ) 2 μ 1 (μ) 2 x 1 x( z , (3.15) onde 1 e 2 são as médias populacionais de onde foram obtidas as distribuições amostrais de 1 X e 2 X , respectivamente. b) Para duas proporções amostrais Sejam P1 e P2 duas variáveis representando proporções amostrais tais que, as distribuições amostrais de P1 e P2 são aproximadamente normais (na prática, quando n 30) com médias ( 1P μ e 2P μ ) e desvios padrão ( 1P σ e 2P σ ) dados por ,pμ 1P1 2P pμ 2 (3.16) e P p q n1 1 1 1 , P p q n2 2 2 2 . (3.17) Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 111 Para amostras suficientemente grandes, podemos utilizar uma aproximação à distribuição normal, com média )(μ 21 PP dada por 21PP ppμ 21 (3.18) e desvio padrão )(σ 21 PP dado por 2 n 2 q 2 p 1 n 1 q 1 p 2 P 1 P σ . (3.19) Exemplos (1) As lâmpadas elétricas fabricadas pela empresa A têm duração média de 1800 h e desvio padrão de 250 h, enquanto que as da empresa B têm duração média de 1600 h e desvio padrão de 150 h. Se forem testadas amostras aleatórias de 50 lâmpadas de cada marca, qual é a probabilidade das de marca A terem vida média superior que as de B de pelo menos 250 h? 20016001800μμμ BAXX BA h. 41,23 50 2 150 50 2 250 Bn 2 Bσ An 2 Aσ2 B X σ 2 A X σ B X A X σ h. P( BA XX 250 h) ? 250XX BA h 1,21 41,23 200250 z P(X XA B 250 h) = P(z 1,21) = 0,1131 ou 11,31%. Amostragem 112 (2) Duas máquinas fabricam parafusos do mesmo tipo, sendo que 5% dos fabricados pela máquina 1 são defeituosos e 3% dos fabricados pela máquina 2 também são defeituosos. Em dois lotes de 500 parafusos de cada tipo, qual é a probabilidade de que o lote obtido da máquina 1 tenha pelo menos 15 parafusos defeituosos a mais que o lote da máquina 2? A solução do problema pode ser traduzida em termos de 0,03).PP(P 500 15 PPP 2121 Para a distribuição amostral das diferenças P1 - P2, tem-se que 0,020,030,05 2 P 1 P μ e 0,0124. 500 0,970,03 500 0,950,05 2 P 1 P σ Para P1 - P2 = 0,03 resulta 0,81 0,0124 0,020,03 z . Portanto, P(P1 - P2 0,03) = P(z 0,81) = 0,2090 ou 20,90%. 3.4.5 Distribuição amostral das variâncias Considere as amostras de tamanho n retiradas de uma população normal de variância 2 . Para cada amostra pode-se calcular a estatística 2 2 2 σ 1)s(n χ , (3.20) Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 113 onde s2 é a variância amostral dada por 1n )x(x s n 1i 2 i 2 . (3.21) A estatística 2 (qui-quadrado) dada por (3.20) segue uma distribuição qui-quadrado com = n -1 graus de liberdade. A Figura 3.5 mostra esquematicamente como é formada a distribuição amostral da estatística qui-quadrado. Figura 3.5 – Distribuição amostral da estatística 2 Amostras Cálculo da de estatística tamanho n 2 População normal A1 2 1χ Variância = 2 Distribuição A2 2 2 de 2 com = n - 1 Ak 2 k Da expressão (3.20) obtém-se Amostragem 114 2 1n 2 2 χ 1n σ s , (3.22) isto é, s2 segue uma distribuição 2, com = n - 1 graus de liberdade. Pode-se demonstrar que, para a distribuição amostral das variâncias s2, a média )(μ 2s é 22 s σ)E(sμ 2 , (3.23) e a variância 1n 2σ )V(sσ 4 22 s2 . (3.24) Combinando as expressões (3.20) e (3.21) pode-se obter a expressão do Teorema de Fisher 2 1n 22 n 1i i χσ)x(x . (3.25) Uma propriedade importante da variável aleatória 2 é que, sendo 1 2 e 2 2 duas variáveis aleatórias independentes, pode-se provar que sua soma também será uma variável com distribuição 2 com 1 + 2 graus de liberdade, isto é, 2 νν 2 ν 2 ν 2121 χχχ . (3.26) 3.4.6 Distribuição amostral envolvendo a distribuição t de Student Considere as amostras de tamanho n, retiradas de uma população normal de média . Para cada amostra calculamos a estatística Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 115 n s μx t , (3.27) onde x é a média amostral e s o desvio padrão estimado por 1n )x(x s 2 n 1i i . (3.28) O conjunto de valores de t segue uma distribuição t de Student com = n - 1 graus de liberdade. Figura 3.6 – Distribuição amostral da estatística t Amostras Cálculo da de estatística t tamanho n População normal A1 t1 Distribuição Média = A2 t2 t de Student com = n - 1 Ak tk No caso de duas populações normais de mesma variância, demonstra-se que a estatística Amostragem 116 21 2 p 2121 n 1 n 1 s )μ(μ)xx( t , (3.29) segue uma distribuição t de Student com = n1 + n2 -2 graus de liberdade, onde x1 e x2 são médias amostraisobtidas de amostras independentes de tamanhos n1 e n2, respectivamente. A estimativa da variância comum às duas populações é proporcionada por 2nn 1)s(n1)s(n s 21 2 22 2 112 p , (3.30) onde s1 2 e s2 2 são as estimativas das variâncias das duas populações, sendo calculadas pela expressão (3.21). 3.4.7 Distribuição amostral envolvendo a distribuição F de Snedecor Considere duas amostras independentes retiradas de populações normais de mesma variância, sendo as variâncias amostrais s1 2 e s2 2 . Demonstra-se que o quociente 2 2 2 1 s s F (3.31) segue uma distribuição F de Snedecor com 1 = n1 - 1 graus de liberdade no numerador e 2 = n2 - 1 graus de liberdade no denominador. Os cálculos de s1 2 e s2 2 são proporcionados pela expressão (3.21). Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 117 3.5 PROBLEMAS PROPOSTOS 01. Uma população é constituída de 2500 elementos. Obter uma amostra casual simples de 50 elementos, explicando o procedimento utilizado. 02. Uma população é constituída pelos 800 alunos de uma escola. Tendo uma listagem dessa população, já ordenada, explique qual o procedimento para obter uma amostra sistemática de 40 alunos. 03. Uma população foi estratificada, sendo constituída de 5 estratos. Os tamanhos dos estratos são, respectivamente, N1 = 100, N2 = 200, N3 = 300, N4 = 400 e N5 = 1000. Para uma amostragem estratificada proporcional foram retirados 5 elementos do primeiro estrato. Qual o número de elementos retirados dos demais estratos e qual o tamanho da amostra? 04. Suponha que desejamos fazer uma amostragem por conglomerados envolvendo a população dos estudantes regularmente matriculados na UFPR. Explique o procedimento que você utilizaria. 05. Uma população foi estratificada segundo três estratos. O tamanho de cada estrato e a variância correspondente são dados em seguida. Estrato Tamanho (Ni) Variância ( 2 iσ ) 1 200 10 2 300 6 3 500 4 Considerando a estratificação ótima, para uma amostra de 116 elementos quantos elementos deverão ser retirados de cada estrato? 06. Uma população é formada pelos elementos: 1, 2, 3 e 4. Obter todas as amostras possíveis de 2 elementos com reposição, calculando: (a) o número de amostras; (b) a média populacional; (c) o desvio padrão populacional; Amostragem 118 (d) a média da distribuição amostral das médias; (e) o desvio padrão da distribuição amostral das médias. 07. Resolver o problema anterior para a amostragem sem reposição. 08. A voltagem média das baterias fabricadas por certa indústria é 20 volts, sendo o desvio padrão 1 volt. Em um lote de 50 dessas baterias, qual é a probabilidade de que a voltagem média esteja entre 19,5 e 20,5 volts? 09. Um comerciante adquire 500 lotes de 200 peças cada um. Sabendo- se que 2% das peças são defeituosas, em quantos lotes podemos esperar que o número de peças perfeitas seja pelo menos 198? 10. Caixas contendo peças de automóveis tem peso médio de 50 kg e um desvio padrão de 9 kg. Qual é a probabilidade de que 40 dessas caixas excedam a capacidade do utilitário transportador que é de 2000 kg? 11. Certa indústria remete 2000 caixas contendo 50 componentes eletrônicos cada uma. Se 3% dos componentes são defeituosos, em quantas caixas pode-se esperar que existam (a) exatamente 1 componente defeituoso? (b) mais de 2 componentes defeituosos? (c) menos de 47 componentes perfeitos? (d) mais de 48 componentes perfeitos? 12. Certa indústria fabrica dois tipos de cabos com as seguintes especificações para as tensões de ruptura: cabo tipo 1: 1 = 2500 kgf e 1 = 200 kgf; cabo tipo 2: 2 = 2100 kgf e 2 = 180 kgf. Foram ensaiados 50 cabos do tipo 1 e 80 do tipo 2. Qual é a probabilidade da tensão média de ruptura do cabo tipo 1 ser pelo menos 500 kgf maior que a do tipo 2? Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 119 13. Dos parafusos fabricados pela máquina A, 10% tem comprimentos acima de 6 mm, enquanto que dos fabricados pela máquina B, 5% tem comprimentos acima de 6 mm. Em um lote de 1000 parafusos de cada tipo, qual é a probabilidade de encontrarmos pelo menos 8% mais de parafusos fabricados pela máquina A, que tenham comprimentos acima de 6 mm? 14. As lâmpadas elétricas fabricadas pela companhia A tem uma vida média de 2000 h com um desvio padrão de 400 h, enquanto que as lâmpadas fabricadas pela companhia B tem uma vida média de 1800 h com desvio padrão de 350h. Foram adquiridas 100 lâmpadas de cada marca. Calcular a probabilidade para que (a) o tempo médio de vida da amostra de A seja superior em mais de 70 horas do que o tempo médio de vida da amostra de B; (b) o tempo médio de vida da amostra de A seja superior em mais de 120 h do que o tempo médio de vida da amostra de B. 15. Certo tipo de parafuso tem peso médio de 25 g, com um desvio padrão de 1 g. Qual é a probabilidade de 2 lotes de 500 parafusos cada um, diferirem em peso, de mais de 5 g? 16. Sejam duas populações. A primeira é constituída de 3 componentes eletrônicos, sendo 1 defeituoso e dois perfeitos, e, a segunda é constituída de 2 componentes eletrônicos, sendo 1 defeituoso e 1 perfeito. Considerando as amostras n1 = 2 e n2 = 2, obtidas com reposição, calcular para as distribuições amostrais de componentes defeituosos (a) 21 PP μ ; (b) 21 PP σ . 17. Seja X1 uma variável aleatória contínua representando um elemento qualquer da população 1, 2, 3 e 4, e X2 uma outra variável aleatória contínua representando um elemento qualquer da população 3, 4 e 5. Considerando que n1 = n2 = 2, calcular Amostragem 120 (a) 21 XX μ . (b) 21 XX μ . (c) 21 XX σ . (d) 21 XX σ .