2011_2_substitutiva

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Substitutiva / 2a Chamada de A´lgebra Linear — Turma B — 09/12/2011
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
1. Seja V o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 2,−2,−1), v2 = (−2,−4, 4, 2), v3 =
(−2,−3, 6, 5) e v4 = (−4,−6, 12, 10).
(a) Determine as condic¸o˜es para que o vetor (a, b, c, d) esteja em V .
(b) Determine uma base de V .
2. Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y, z) = (x + y, 2x + y + z, x + z).
(a) Determine o nu´cleo de T .
(b) Determine a imagem de T
(c) Determine a matriz de T na base {v1 = (1,−1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0,−1)}.
3. Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y, z) = (−x− 4z, 3y,−4x− z).
Determine uma base de R3 que diagonalize a matriz de T .
4. Determine as poss´ıveis formas de Jordan da matriz A que possui polinoˆmio caracter´ıstico
pA(x) = (x− 2)5(x− 1)4
e polinoˆmio minimal
mA(x) = (x− 2)3(x− 1)2
.