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NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 1 
 
RESISTÊNCIA À TORÇÃO 
 
A torção produz um deslocamento angular de uma secção transversal em relação a outra. A resistência à torção está 
relacionada à resistência ao cisalhamento. 
Ocorre em vigas com cargas excêntricas, vigas curvas, eixos, parafusos, etc. 
 
 
MOMENTO TORÇOR OU TORQUE 
 
Esforço de torção: quando atua um torque em uma das 
extremidades e um contra-torque na extremidade oposta. 
 
MT = 2 x F x S 
 
MT: Momento torçor ou torque [Nm; ...] 
F: Carga aplicada [N; ...] 
S: Distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro 
da secção transversal [m; ...] 
 
 
Para transmissões mecânicas (polias, engrenagens, rodas de 
atrito, etc): 
 
MT = FT x r 
 
MT: Torque [Nm] 
FT: Força tangencial [N] 
r: Raio da peça [m] 
 
 
 
MOVIMENTO CIRCULAR 
 
Velocidade angular : 
 = 2 x  x f 
 
Frequência f: 
f = n / 60 
 
Velocidade periférica ou tangencial vp: 
vp =  x r 
Onde; 
 
: Velocidade angular [rad/s] 
f: Frequência [hz] 
n: Rotação [rpm] 
vp: Velocidade periférica [m/s] 
 
 
POTÊNCIA P (ou Pot) 
Potência é a realização de um trabalho na unidade de tempo. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 2 
 
P = trabalho / tempo 
 
Em movimentos circulares: 
 
P = FT x vp 
 
P ou Pot: Potência [W] 
FT: Força tangencial [N] 
vp: Velocidade periférica [m/s] 
 
 
1 CV = 735,5 w 
 
 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO  
Tensão de cisalhamento na torção : 
max = MT / Wp 
 
sendo que Wp = Jp / r 
 
max: Tensão máxima de cisalhamento na torção 
[Pa; ...] 
MT: Momento torçor ou torque [Nm; Nmm; ...] 
Jp: Momento polar de inércia [m4; mm4; ...] 
r: Raio da secção transversal [m; mm; ...] 
Wp: Módulo de resistência polar da secção 
transversal [m3; mm3; ...] 
 
 
No centro da secção transversal a tensão é nula. 
 
A tensão aumenta à medida que o ponto estudado afasta-se do centro e aproxima-se da periferia. 
 
A tensão máxima da secção ocorrerá na distância máxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando ρ = r. 
Momento polar de inércia Jp 
 
Jp = Jy + Jx 
 
 
Módulo de Resistência Polar Wp: 
 
Wp = Jp / rmax 
 
[m3]; [cm3]; [mm3]; ... 
 
rmax: comprimento entre o polo e o ponto mais distante da 
periferia da secção transversal. 
 
 
Quanto maior o módulo de resistência polar da secção 
transversal de uma peça, maior a sua resistência à 
torção. 
 
 
Distorção γ Ângulo de torção θ 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 3 
 
Deslocamento do ponto A da periferia para uma 
posição A’. 
γ =  / G 
 
γ: distorção [rad] 
: tensão atuante [PA] 
G: Módulo de elasticidade transversal do material 
[PA] 
 
θ = MT x l / Jp x G 
 
θ: ângulo de torção [radianos] 
 l : comprimento da peça 
Jp: Momento polar de inércia 
 
 
DIMENSIONAMENTO 
 
 
adm = MT / Wp 
adm =  / k 
 
MT: Torque 
adm ou : Tensão admissível de cisalhamento 
k: Fator ou coeficiente de segurança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 4 
 
EXEMPLOS: 
 
Nos exemplos a seguir, basicamente se aplicam as fórmulas já vistas, tomando-se o cuidado de se adequar as 
unidades de medida. Estas unidades tem que ser compatíveis entre si. 
 
1) Um eixo maciço representado na figura possui diâmetro d = 40 mm e comprimento l = 0,9 m, se encontra girando 
movido por um torque de MT = 200 Nm. 
 
Determinar para o movimento do eixo-árvore: 
a) Força tangencial 
b) Velocidade periférica 
c) Potência 
d) Tensão máxima atuante 
Gaço = 80 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 5 
 
2) Um eixo em rotação possui d = 80mm e comprimento igual a 90 cm, transmitindo uma potência de 15 kW a uma 
freqüência de 10 Hz. 
 
Determinar: 
a) Tensão máxima de cisalhamento atuante 
b) Distorção do eixo 
c) Ângulo de torção 
Gaço = 80 GPa 
 
 
3) Determinar o torque resultante agindo nas secções transversais dos pontos C e D. 
O eixo está fixado em B. 
 
Cálculo do momento torçor resultante a partir da secção A. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 6 
 
Secção C: 
 
∑MC = 0 
250 - MC = 0, então MC = 250Nm (sentido anti-horário). 
 
Secção D: 
 
∑MD = 0 
-250 + 400 - MD = 0, então MD = 150Nm (sentido horário). 
 
4) Determinar o torque resultante agindo nas secções transversais dos pontos B e C, com o eixo fixado em A. 
 
 
Cálculo do momento torçor resultante a partir da ponta livre do eixo. 
 
Secção B: 
 
∑MB = 0 
500 – 350 - MB = 0, então MB = 150 lb.ft (sentido horário) 
 
Secção C: 
 
∑MC = 0 
500 - MC = 0, então MC = 500lb.ft (sentido horário) 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 7 
 
5) Dimensionar o eixo-árvore maciço de aço para que transmita com 
segurança uma potência de 7355 W (aprox. 10 CV), girando a uma rotação 
de 800 rpm. O material a ser utilizado é o ABNT 1040L, com = 50 MPa 
(tensão admissível de cisalhamento na torção). 
 
 
 
a) f = n / 60, então f = 800 / 60 = 13,33 Hz 
 
b)  = 2 x  x f, então  = 2 x  x 13,33 = 83,75 rad/s 
 
c) MT = Pot / , então MT = 7355 / 83,75 = 87,82 Nm 
 
d) = MT / Wp e Wp =  x d3 / 16 
então x Wp = MT , então ( x d3 / 16) x = MT , então ( x d3 / 16) x 50 x 106 = 87,82, então 9.817.477 x d3 = 
87,82 
d3 = 87,82 / 9.817.477 = 8,94 x 10-6, então d = 3 8,94 x 10-6 = 0,021 m = 21 mm. 
 
6) A figura abaixo representa uma turbina, sendo conhecidos a sua velocidade angular de 5,2 rad/s. a sua potência 
de 25.000 W e o diâmetro do seu eixo de 0,15 m (150 mm). 
 
Calcular: 
a) Rotação do eixo da turbina. 
b) Torque no eixo da turbina. 
c) Tensão de cisalhamento máxima agindo no eixo da turbina. 
 
 = 5,2 rad/s 
d = 0,15 m 
Pot = 25.000 W 
 
a) Rotação 
 = 2 x  x f, então f =  / 2 = 5,2 / 2 = 0,83 Hz 
f = n / 60, então n = 60 x f = 60 x 0,83 = 50 rpm 
 
b) Torque 
MT = Pot /  = 25.000 / 5,2 = 4.808 Nm 
 
c) Tensão cisalhamento 
Wp =  x d3 / 16 =  x 0,153 / 16 = 6,63 x 10-4 m3 
 = MT / Wp = 4.808 / 6,63 x 10-4 = 725 x 104 N/m2 = 7,25 x 106 N/m2 
 
 
7) A figura dada representa uma transmissão por correias, onde o eixo do motor transmite o movimento de rotação 
para o eixo (1) através de um sistema de polias e correia. 
Determinar o diâmetro do eixo (1), que é maciço, para resistir à torção. 
O material do eixo é um aço liga com tensão de cisalhamento igual a 20 x 106 N/m2. 
Deve ser utilizado um coeficiente de segurança igual a 4. 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 8 
 
Desprezar perdas na transmissão. 
 
 
Sabemos que a rotação no eixo (1) é n1 = 456 rpm 
 
 
f1 = n1 / 60 = 456 / 60 = 7,6 Hz 
1 = 2 x  x f1 = 2 x  x 7,6 = 47,75 rad/s 
MT1 = Pot / 1 = 12.000 / 47,75 = 251,3 Nm 
 
max =  / k = 20 x 106 / 4 = 5 x 106 N/m2 
 
adm = MT / Wp, então Wp= MT / adm = 251,3 / 5 x 106 = 5,03 x 10-5 
 
Wp = (  x d3 ) / 16 , então 5,03 x 10-5 = (  x d3 ) / 16 , então 16x 5,03 x 10-5 /  = d3 
 
d3= 25,6 x 10-5 
 
d = 3√ 25,6 x 10-5 
 
d = 0,06351 m = 63,5 mm 
 
 
8) Definir o diâmetro do eixo de um motor elétrico, o qual deve ser dimensionado a partir das seguintes informações. 
No eixo deste motor está fixada uma polia, que por sua vez movimenta outra polia de maior diâmetro, acionada 
através de correia. 
Este motor deve transmitir uma potência de 8000 W, a uma rotação de 1.800 rpm = 30Hz 
O material do eixo é um aço liga com tensão de cisalhamento igual a 20 x 106 N/m2. 
Deve ser utilizado um coeficiente de segurança igual a 4. 
 
 
 
f = 30 Hz 
 
 = 2 x  x f = 2 x  x 30 = 188,5 rad/seg 
 
MT = Pot /  = 8000 / 188,5 = 42,4 Nm 
 
adm =  / F = 20 x 106 / 4 = 5 x 106 N/m2 
 
adm = MT / Wp  Wp = MT / adm 
Wp = 42,4 / 5 x 106 = 8,48 x 10-6 m3 
 
 
 
NOTAS DE AULA Resistência dos Materiais - 9 
 
 
Wp =  x d3 / 16  Wp x 16 /  = d3 
d3 = 8,48 x 10-6 x 16 /  = 43,19 x 10-6 
d = 3 (43,19 x 10-6 ) = 0,035 m = 3,5 cm = 35 mm 
 
 
 
 
 
 
 
REF: MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – SARKIS MALCONIAN