Aula 7 Flexão Flexão Composta Reta

Prévia do material em texto

18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 1/13
Resistência dos Materiais II
Aula 7 - Flexão: Flexão Composta Reta
INTRODUÇÃO
Esta aula apresenta a �exão composta reta (ação simultânea do momento �etor, tal qual estudamos nas vigas e do
esforço normal) e suas ações sobre a seção transversal.
A �exão composta reta, embora seja comum em elementos de viga, já inicia, pela presença do esforço normal, a
transição para o último de nossos grandes temas que são os pilares.
OBJETIVOS
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 2/13
Analisar a con�guração de tensões normais devida à combinação de momento �etor e esforço normal (�exão
composta reta);
Identi�car as tensões normais devidas à �exão composta reta;
Determinar a posição da linha neutra em seções transversais submetidas à �exão composta reta.
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 3/13
Flexão Composta Reta
A denominação “Flexão Composta Reta” é devida à combinação do momento �etor da forma como estudamos até
aqui com o esforço normal. 
As tensões de tração e compressão motivadas pelo esforço normal foram objetos de estudo em Resistência dos
Materiais I e o efeito do momento �etor foi estudado nas últimas aulas. 
A �exão composta reta aparece de várias formas, como, por exemplo:
Uma das formas mais signi�cativas da �exão composta é, com certeza, os pórticos planos. 
Veja este exemplo:
Diagrama de Esforços Cortantes
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 4/13
Diagrama de Esforços Normais
Diagrama de Momentos Fletores
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 5/13
Fonte:
Observando os 3 elementos do pórtico, podemos veri�car que o esforço cortante, o esforço normal e o momento �etor
estão presentes de forma simultânea.
O esforço cortante, por ser transversal, sempre gera tensões tangenciais na seção transversal, qualquer que seja ela.
Já o esforço normal e o momento �etor geram tensões normais na seção transversal. Daí os efeitos serem
combinados e estudados simultaneamente.
Observe que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca, deixando de coincidir com o centroide. 
Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar baixando até “sair da seção”, fato que
eliminará a presença das tensões de tração, tornando a seção toda comprimida.
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 6/13
E se a tensão normal fosse de tração?
Observe agora que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca para cima, deixando de coincidir com
o centroide. 
Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar subindo até “sair da seção”, fato que
eliminará a presença das tensões de compressão, tornando a seção toda tracionada.
Observação: 
Todos os exemplos de diagrama de distribuição normal de tensões analisados para esforço normal de compressão e
de tração contaram com a ação simultânea de momento �etor positivo, que gera tração no bordo inferior e
compressão no superior. 
A ação de momento negativo obviamente altera a con�guração do estado de tensões resultante e, por consequência, a
posição da linha neutra.
A representação da �exão composta reta também é usualmente apresentada através de um esforço normal excêntrico.
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 7/13
Fonte:
O par Normal + Momento pode ser substituído pela Normal associada a uma excentricidade de tal forma que o produto
da Normal pela excentricidade produza o mesmo momento imposto pela �exão composta reta.
Dessa forma, podemos resumir a tensão no bordo superior como sendo:
E a do bordo inferior:
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 8/13
Onde: 
• N: esforço normal; 
• A: área da seção transversal; 
• M: momento �etor; 
• I: momento de inércia da seção em relação ao centroide; 
• C e c : distância do bordo considerado até o centroide.
Obs: Nas seções simétricas C e C
Convenção de sinais: 
• Compressão: normal negativo; 
• Tração: normal positivo; 
• Momento positivo: tração no bordo inferior e compressão no superior; 
• Momento negativo: tração no bordo superior e compressão no inferior.
Pela expressão: 
Podemos encontrar o valor da tensão em qualquer ponto da seção ao longo da sua altura.
Fonte:
O valor de y para tensão nula nos fornece a posição da linha neutra. 
sup inf
sup inf
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f03… 9/13
Podemos construir uma equação para determinação da posição da linha neutra melhorando a expressão:
• Vamos substituir M por N.e; 
• Vamos identi�car a posição da linha neutra de y , e 
• Por último, vamos explorar o raio de giração da seção que pode ser obtido por 𝑖=√(𝐼/𝐴) 
Como o esforço normal não pode ser nulo, obrigatoriamente, (𝑒 𝑦 )/𝑖 deve ter valor absoluto 1.
Com isso, 𝒚 =𝒊 /𝒆
Chegou a hora de analisarmos a tensões!
A tensão normal, de compressão, vale 𝑵/𝑨= 100/2=50𝑘𝑁/𝑚
A tensão devida ao momento vale 𝑴𝒚/𝑰= 𝑴.𝟏,𝟎/𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕=𝟏,𝟓𝑴
𝝈 = 𝑵/𝑨 + 𝑴𝒚/𝑰
Fonte:
0
0
2
𝟎
𝟐
2
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f0… 10/13
Como vimos, o acréscimo do momento desloca a linha neutra. Essa ideia nos leva à solução do problema: coincidir a
linha neutra com um dos bordos da sapata, pois, dessa forma, ela estaria integralmente comprimida com momento
máximo.
Para que a tensão seja nula no bordo (linha neutra), o momento deverá ser tal que imponha à sapata -50kN/m2 no
bordo comprimido e 50kN/m2 no bordo tracionado. 
Assim, teremos tensão de compressão máxima de 100kN/m2 em um bordo e tensão nula no outro, garantindo o
momento máximo e a base integralmente comprimida.
Um muro de tijolos com 1,8m de espessura e 4,5m de altura foi construído para conter o terreno conforme a �gura.
Sabendo que a pressão exercida pelo solo (areia) na parede do muro possui variação linear ao longo de sua altura (AB),
podemos admitir que a resultante do empuxo está localizada a 1,5m da base.
O peso especí�co do muro é de 20KN/m e o empuxo H é de 5kN/m ao longo do comprimento do muro.
1. Qual é a tensão máxima exercida pelo muro no solo (kN/m2)?
76,12
103,88
13,88
90
3
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f0… 11/13
162
Justi�cativa
2. Qual é a tensão mínima exercida pelo muro no solo?
76,12
103,88
13,88
90
162
Justi�cativa
3. Se a tensão máxima admitida pelo solo fosse de 100kN/m2, qual seria a dimensão mínima (m) da base do muro
(mn), ignorando a condição de tombamento?
2,0
1,92
1,73
2,38
2,51
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f0…12/13
Justi�cativa
4. Uma viga biapoiada com vão de 5m possui carga distribuída de 20kN/m e uma carga de P concentrada posicionada
no centro do vão. 
Considerando que a �echa máxima permitida seja 1/300 do vão, qual é o maior valor de P que a viga pode receber? 
Considere E=15GPa e I = 0,001 m .
0kN
51,3kN
93,7kN
113kN
75,2kN
Justi�cativa
4
18/08/2018 Disciplina Portal
http://estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2047049&classId=982517&topicId=2723544&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f0… 13/13
Glossário