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Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 1 TTTEEEÓÓÓRRRIIICCCAAA &&& AAANNNÁÁÁLLLIIISSSEEE DDDEEE CCCIIIRRRCCCUUUIIITTTOOOSSS EEEMMM CCCOOORRRRRREEENNNTTTEEE AAALLLTTTEEERRRNNNAAADDDAAA Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 2 Índice Módulo1 - Números complexos 1.1 Conversão da forma retangular para a forma polar 1.2 Conversão da forma polar para a forma retangular: 1.3 Operações matemáticas com números complexos: 1.3.1 Adição: 1.3.2 Subtração: 1.3.3 Multiplicação: 1.3.4 Divisão: Modulo 2 - Sinais Senoidais 2.1 Sinais contínuos (CC ou DC): 2.2 Sinais alternados (CA ou AC): 2.3 Representações e análises de sinais senoidais: 2.3.1 Análise de sinais senoidais pela expressão matemática (trigonométrica): 2.3.2 Análise de sinais senoidais pelo gráfico forma de onda: 2.3.2.1 Valor de pico (VP): 2.3.2.2 Valor de pico a pico (VPP): 2.3.2.3 Valor médio (VM): 2.3.2.4 Valor eficaz (VRMS): 2.3.2.5 Período (T): 2.3.2.2.6 Freqüência (f): 2.3.3 Análise de sinais senoidais pelo diagrama fasorial: 2.3.4 Análise de sinais senoidais pela expressão fasorial (N.º complexo): 2.4 Operações matemáticas com sinais senoidais: 2.4.1 Soma gráfica de sinais senoidais: 2.4.2 Subtração gráfica de sinais senoidais: Módulo 3 - Circuitos resistivos em CA 3.1 Introdução: 3.2 Circuitos resistivos em CA: 3.2.1 Tensão e corrente CA em uma resistência: 3.2.2 Potência dissipada pela resistência: 3.2.2.1 Potências média, de pico e RMS: Módulo 4 - Circuitos indutivos em CA 4.1 Introdução: 4.2 Indutor em corrente contínua: 4.3 Indutância: 4.4 Tensão no indutor: 4.5 Indutor ideal em CA: 4.6 Reatância indutiva (XL): 4.7 Primeira lei de Ohm para indutor ideal: 4.8 Potência no indutor ideal: 4.9 Indutor real: 4.10 Circuito RL série: Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 3 4.10.1 Impedância indutiva ZL no circuito RL série: 4.10.2 Lei de ohm para circuito RL série: 4.10.3 Potência em circuitos indutivos: 4.10.3.1 Relação entre as potências no circuito RL 4.10.3.1.1 Potência aparente (S): 4.10.3.1.2 Potência ativa (P): 4.10.3.1.3 Potência reativa (Q): 4.10.4 Fator de potência no circuito RL série: 4.11 Circuito RL paralelo: 4.11.1 Fator de potência no circuito RL paralelo: 4.11.2 Impedância equivalente no circuito RL paralelo Módulo 5 - Circuitos capacitivos em CA 5.1 Introdução: 5.2 Capacitor em corrente contínua: 5.3 Capacitância: 5.4 Capacitor em corrente alternada: 5.5 Reatância capacitiva (XC): 5.6 Primeira lei de Ohm para capacitor: 5.7 Potência no capacitor: 5.8 Circuito RC série: 5.8.1 Impedância capacitiva (ZC) no circuito RC série: 5.8.2 Lei de Ohm para circuito RC série: 5.8.3 Fator de potência no circuito RC série: 5.9 Potência em circuitos capacitivos: 5.10 Circuito RC paralelo: 5.10.1 Impedância equivalente no circuito RC paralelo: 5.10.2 Fator de potência no circuito RC paralelo: Módulo 6 - Circuitos RLC em CA 6.1 Introdução: 6.2 Circuito RLC série: 6.2.1 Impedância no Circuito RLC série: 6.2.2 Potência no Circuito RLC série: 6.3 Efeito da freqüência e freqüência de ressonância: 6.3.1 Ressonância em série: 6.3.2 Curva característica Freqüência X Impedância no circuito RLC série: 6.4 Circuitos RLC em Paralelo: 6.4.1 Impedância no Circuito RLC paralelo: 6.5 Efeito da freqüência no circuito RLC paralelo: 6.5.1 Ressonância em paralelo: 6.5.2 Curva característica Freqüência X Impedância no circuito RLC paralelo: Módulo 7 - Circuitos mistos em CA 7.1 – Introdução: 7.2 Associação de indutores: 7.3 Associação de capacitores: 7.4 – Associação de impedâncias: Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 4 Módulo 8 - Correção do Fator de Potência 8.1 Corrigindo o fator de potência: Módulo 9 - Circuitos trifásicos 9.1 Geradores e cargas trifásicas: 9.2 Ligações em estrela: 9.2.1 Tensões de linha (VL) e Tensão de fase (Vf): 9.2.2 Correntes de linha (IL) e Correntes de fase (If): 9.3 Ligações em delta: 9.3.1 Tensões de linha (VL) e Tensão de fase (Vf): 9.3.2 Correntes de linha (IL) e Correntes de fase (If): 9.4 Potências em sistemas trifásicos: Módulo 10 - Simulados de eletricidade teórica Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 5 Módulo1 - Números complexos Este módulo trata de números complexos, uma vez que as grandezas elétricas em corrente alternada - resistência, reatância, impedância, condutância, susceptância, admitância, tensão, corrente - são expressas nessa forma. Na vida prática do profissional de eletrotécnica, os números complexos têm presença constante, quer em procedimentos de manutenção, de operação de sistemas elétricos de potência ou de projetos elétricos em geral. Um número complexo (ou número imaginário) é aquele composto por uma parte real e outra parte imaginária. Qualquer número complexo pode ser facilmente representado no plano cartesiano. O plano cartesiano é formado por dois eixos: um para a parte real (eixo das abscissas, de x, de a, ou do “co-seno”) e outro para a parte imaginária (eixo das ordenadas, de y, de b, ou do “seno”). Um número complexo pode ser apresentado de duas formas: retangular (ou cartesiana) e polar. Seja um número complexo Z = a + j b, sua forma cartesiana poderá ser representada da seguinte maneira: Fig. 1 – Número complexo na forma retangular Onde: “a” é o valor de sua componente real e “b” é sua componente imaginária. Para o mesmo número complexo do exemplo anterior, a forma polar poderá ser representada da seguinte maneira: Fig. 2 – Número complexo na forma polar A representação da forma polar será o segmento de reta |Z| (chamado de módulo), combinado com o ângulo formado entre a reta |Z| e o eixo das abscissas (x). Pode-se escrever a forma polar da seguinte maneira: z = |Z | / Ø Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 6 1.1 Conversão da forma retangular para a forma polar: Para se determinar o valor da forma polar de um número complexo, é necessário convertê-lo a partir de sua forma retangular. Para tanto utiliza-se o teorema de Pitágoras: Z = √ a2 + b2 e Ø = tg-1 |b/a|* * O ângulo determinado pela fórmula acima (Ø) é sempre uma relação direta entre o eixo das abscissas e o segmento de reta |Z|, e no caso dos números complexos de II, III e IV quadrantes, como os valores das partes real e imaginária estão em módulo, o ângulo verdadeiro (Øv) poderá ser facilmente determinado pela aplicação de uma simples regra de conversão conforme descrito abaixo: I quadrante Øv = Ø II quadrante Øv = 180º - Ø III quadrante Øv = 180º + Ø ou Øv = -180º + Ø IV quadrante Øv = 0º - Ø ou 360º - ØExercícios Converta os números abaixo, da forma retangular para a forma polar: a) Z1 = 8 + j4 b) Z2 = –8 + j4 c) Z3 = –8 – j4 d) Z4 = 8 – j4 e) Z5 = 8 + j8 f) Z6 = 12 Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 7 g) Z7 = j5 h) Z8 = –14 – j6 1.2 Conversão da forma polar para a forma retangular: Estando um número complexo em sua forma polar e sendo necessário determinar os valores de suas partes real e imaginária, basta efetuar a conversão utilizando a fórmula abaixo: z = |Z|.(cos Ø + j sen Ø) Converta os números abaixo de sua forma polar para a forma retangular: a) Z1 = 20/ 15º b) Z2 = 40/ –40º c) Z3 = 200/ 240º d) Z4 = 35/ 180º e) Z5 = 70/ –45º f) Z6 = 80/ –30º Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 8 1.3 Operações matemáticas com números complexos: As quatro operações matemáticas básicas, além de outras, podem ser realizadas facilmente utilizando-se números complexos. Entretanto no caso do ensino técnico aborda-se apenas as operações matemáticas fundamentais adotando-se a seguinte regra: Para adição e subtração utiliza-se forma retangular. Para multiplicação e divisão utiliza-se a forma polar. 1.3.1 Adição: Para soma de dois números complexos, somam-se primeiramente as partes reais (a) e posteriormente as partes imaginárias (b). Z1 = a + jb e Z2 = a’ + jb’ Z1 + Z2 = (a + a’) + j (b + b’) 1.3.2 Subtração: Para subtração de dois números complexos é necessário primeiramente subtrair as partes reais (a) e posteriormente as partes imaginárias (b). Z1 = a + jb e Z2 = a’ + jb’ Z1 - Z2 = (a – a’) + j (b – b’) Considere os seguintes números complexos: Z1 = 25 + j20 e Z2 = 35 + j15. Efetue a adição e depois a subtração: Z1 + Z2 = (25 + 35) + j (20 + 15) Z1 + Z2 = 60 + j 35 Z1 - Z2 = (25 - 35) + j (20 - j 15) Z1 - Z2 = -10 + j 5 Para reforçar a colocação anterior aplica-se o exemplo abaixo e posteriormente uma pequena série de exercícios de fixação: Considere os números complexos abaixo e efetue as operações indicadas: Z1 = 20 + j10 Z2 = 15 + j40 Z3 = –15 + j15 Z4 = –30 – j40 a) Z1 + Z2 b) Z3 + Z4 Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 9 c) Z1 + Z4 d) Z2 + Z3 e) Z1 – Z2 f) Z2 – Z1 g) Z3 – Z4 h) Z4 – Z3 1.3.3 Multiplicação: Para multiplicação de dois números complexos deve-se multiplicar os seus módulos e somar os respectivos ângulos, conforme exemplo abaixo: Z1 = 100 / 40º e Z2 = 2,5 / 45º Z1 x Z2 = 100 x 2,5 / 40º + 45º = 250 / 85º 1.3.4 Divisão: Para divisão de dois números complexos devem-se dividir os módulos e subtrair os respectivos ângulos conforme o exemplo abaixo: Z1 = 10 / 20º e Z2 = 2,5 / 45º Z1 / Z2 = 10 / 2,5 / 20º – 45º = 4 / – 25º Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 10 Exercícios: Considere os números complexos abaixo e efetue as operações indicadas: Z1 = 6 / 45º Z2 = 12 / 60º Z3 = 5 / –90º Z4 = 10 / 120º a) Z1 x Z2 b) Z2 x Z3 c) Z3 x Z4 d) Z1 x Z4 e) Z1 / Z2 f) Z2 / Z1 g) Z1 / Z3 h) Z3 / Z2 Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 11 Método Tipo Expressão Expressão matemática Matemática Forma de onda Gráfica Expressão fasorial Matemática Diagrama fasorial Gráfica Modulo 2 - Sinais Senoidais Os circuitos elétricos podem trabalhar alimentados por tensões e correntes contínuas (CC) ou alternadas (CA). E neste tópico é preciso antes de qualquer coisa deixar claro quais as diferenças entre uma forma de alimentação e outra, além da maneira como devem ser descritas e representadas as correntes e tensões alternadas. 2.1 Sinais contínuos (CC ou DC): O sinal contínuo é caracterizado por manter ao longo do tempo, a mesma polaridade e a mesma intensidade. Fig. 3 – Circuito, sinal de tensão e sinal de corrente contínua 2.2 Sinais alternados (CA ou AC): O sinal alternado, ao contrário do sinal contínuo, varia sua polaridade e seu valor de intensidade ao longo do tempo, e dependendo de como essa variação ocorre surgem as diversas formas de sinais alternados (senoidal, quadrado, triangular, e etc.). Em função dessa variação de polaridade é que o sinal senoidal apresenta um semi-ciclo positivo e outro negativo. Fig. 4 – Sinais alternados senoidal, quadrado e triangular 2.3 Representações e análises de sinais senoidais: Os sinais senoidais podem ser representados de duas formas distintas: matematicamente ou graficamente. Existem dois tipos de representações matemáticas e dois tipos de representações gráficas, conforme a tabela abaixo: V(t)= Vp. sen ω.t + θ V(t) = Vp / Ø Fig. 5 – Tabela de métodos de representação dos sinais senoidais Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 12 2.3.1 Análise de sinais senoidais pela expressão matemática (trigonométrica): Uma onda CA pode ser representada (e analisada) através de sua expressão matemática. A expressão matemática é chamada também de expressão trigonométrica ou ainda, expressão senoidal. Do mesmo modo que o gráfico forma de onda, a expressão matemática de uma onda CA pode ser representada no domínio temporal ou no domínio angular. A expressão matemática traz todas as informações sobre o sinal que ela representa. V(t) = Vp. sen ωt + θ0 (domínio temporal) V(Ø)= Vp. sen Ø (domínio angular) Onde: V(t) ou V(Ø)= Valor do sinal em um determinado tempo (t), ou em um determinado ângulo (Ø). VP= Valor de pico do sinal. ω= Velocidade angular ou freqüência angular em rad/s.* θ0 = Fase inicial em graus ou radianos. ** Ø = Ângulo em graus ou radianos. *A velocidade ou freqüência angular (ω): representa a variação do ângulo Ø em função do tempo t do sinal. Sua unidade é radianos por segundos – rad/s. Se comparado o domínio angular com o domínio temporal, pode-se observar que o período (tempo T) do sinal ocorre justamente quando o ângulo (Ø) for igual a 2π. ** A fase inicial θ0: Nos circuitos elétricosalimentados por CA, nem sempre um sinal senoidal inicia seu ciclo no instante de tempo ou no angulo igual a zero. Por isso a expressão matemática precisa informar a fase inicial, que nada mais é que o ângulo no qual o sinal se inicia. Os sinais podem ser considerados adiantados ou atrasados em relação ao instante t=0 s ou Ø = 0º. Se o sinal estiver adiantado, a fase inicial na expressão matemática será positiva. Se o sinal estiver atrasado, a fase inicial na expressão matemática será negativa. Sempre que a fase inicial coincidir com o instante t= 0s ou Ø= 0º, a expressão matemática não precisará indicá-lo. 2.3.2 Análise de sinais senoidais pelo gráfico forma de onda: A representação gráfica de um sinal senoidal quando feita por meio de um gráfico forma de onda, pode ser apresentada em função do tempo ou em função dos ângulos. São os chamados domínios temporal e angular. Fig. 6 – Domínios temporal e angular Antes de ensinar a representar e analisar um sinal através do gráfico forma de onda é necessário conceituar os elementos que constituirão a representação e a análise gráfica do sinal senoidal: Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 13 2.3.2.1 Valor de pico (VP): É o valor de amplitude máxima - positivo ou negativo - que a tensão ou a corrente podem atingir. Chamados de tensão de pico (VP) ou corrente de pico (IP). 2.3.2.2 Valor de pico a pico (VPP): É a amplitude total entre os valores máximos positivo e negativo. VPP = 2 x VP 2.3.2.3 Valor médio (VM): O valor médio corresponde à média aritmética sobre todos os valores instantâneos durante meio- ciclo. O meio-ciclo é utilizado para este cálculo, pois se fosse utilizado o ciclo completo, a média aritmética seria igual à zero. VM = VP x 0,637 2.3.2.4 Valor eficaz (VRMS): O valor eficaz de uma onda CA é chamado de valor RMS e corresponde à mesma quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de produzir a mesma potência de aquecimento. A expressão RMS vem do termo inglês ROOT MEAN SQUARE e pode ser entendida como RAIZ MÉDIA QUADRATICA. A tensão e a corrente da rede elétrica são expressas em valores RMS. Aparelhos de medidas elétricas tais como voltímetros e amperímetros lêem valores em RMS. Matematicamente o valor de RMS é dado pelas fórmulas: VRMS = VP /√2 ou VRMS = VP . 0,707 2.3.2.5 Período (T): Conforme conceituado anteriormente, o sinal senoidal é uma onda com dois semi-ciclos (um negativo e um positivo) que se repete ao longo do tempo. Período é o tempo que o sinal necessita para completar um ciclo. T = 1 / f 2.3.2.2.6 Freqüência (f): É o número de vezes que este ciclo se repete durante o tempo de 1 segundo. Sua unidade é o Hertz (Hz) que significa ciclos por segundo. f = 1 / T Quando se compara domínio angular com o domínio temporal, tem-se como resultado a expressão: 2π = ω.T . É dela que é deduzida a fórmula da velocidade angular: Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 14 Fig.7 – Relação Período e freqüência ω = 2π / T ω = 2 / (1/f) ω = 2π f Em um gráfico forma de onda é possível representar mais de um sinal senoidal ao mesmo tempo. Para isso, é necessário que ambos os sinais possuam a mesma freqüência. É possível também representar em um mesmo gráfico forma de onda, sinais de corrente e sinais de tensão. Exercícios: 1- Sendo a expressão matemática que representa determinado sinal senoidal: V1(t)= 25.sen ωt (V), e sabendo-se que o período é de 0,125 s. Responda às questões abaixo e faça o gráfico forma de onda: a- Vp e Vpp b- A freqüência em Hz c- A velocidade angular ω d- A tensão no instante t = 0 s e- A tensão no instante t = 0,05 s f- A representação gráfica em forma de onda Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 15 2- Represente graficamente os sinais senoidais V1(t) = 20 sen (377.t + π/3) (V) e V2(t) = 30 sen (377.t – 45º) (V), e responda: a- Valor de pico e de pico a pico de ambos os sinais. b- Freqüência de ambos os sinais. c- É possível representá-los no mesmo gráfico forma de onda? Por que? d- A tensão V1 no instante t = 0 s. e- A tensão V2 no instante t = 0 s. f- A defasagem entre ambos. 3- Dados os sinais: V(t)= 120 sen (314.t + π/6) (V) e I(t)= 60 sen 314.t (A), responda às questões abaixo e represente-os através do gráfico forma de onda: a- Valores de pico e pico a pico de ambos os sinais. b- Freqüência em Hertz. c- É possível representá-los no mesmo gráfico forma de onda? Por quê? d- A tensão V no instante t = 0 s. e- A corrente I no instante t = 0 s. f- A defasagem entre os sinais. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 16 4- Para as expressões: V(t) = 24 sen (ω.t + π/2) (V) e I(t) = 3 sen (ω.t – π/4) (A), pede-se: a- Valores de pico e pico a pico de ambos os sinais. b- Se o período for de 6,666 ms, qual o valor da freqüência? c- Para a freqüência encontrada, qual a velocidade angular? d- A tensão V no instante t = 0 s. e- A corrente I no instante t = 0 s. f- A defasagem entre ambos. g- A representação gráfica. 2.3.3 Análise de sinais senoidais pelo diagrama fasorial: O diagrama fasorial é uma representação gráfica (assim como o forma de onda), e recebe este nome por representar fasores. Por sua vez, fasores são vetores girantes. O fasor que representa um sinal senoidal é um vetor girante com as seguintes características: Amplitude máxima igual ao valor de pico do sinal. Girando em sentido anti-horário, A uma velocidade angular ω. Fig. 8 – Diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 17 Fig.9 – Relação diagrama fasorial x gráfico forma de onda • Observação: No estudo da eletricidade, o valor numérico de um fasor sempre expressa o seu valor eficaz. Exercícios: 1- Represente graficamente os sinais abaixo (em forma de onda e diagrama fasorial) e calcule a freqüência, o período e os valores de V1 e V2 no instante t = 0s. Indique também a defasagem entre ambos: V1(t) = 40 sen (600.t + π/3) (V) V2(t) = 20 sen (600.t – 30 º) (V) 2- Represente em diagrama fasorial os sinais V1(t) = 21 sen (400.t + π/6) (V) e V2(t) = 28 sen (400.t – π/3) (V). Além disso, calcule a freqüência e o período e diga a defasagem entre ambos.Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 18 3- Represente graficamente os sinais V(t) = 400 sen (377.t + 45º) (V) e I(t) = 80 sen (377.t – 15 º) (A). Além disso, responda: a- Vpp e Ipp b- Freqüência de V e de I c- Valor de V no instante t = 0s. d- Valor de I no instante t = 0s. e- Defasagem entre corrente e tensão. 4- Represente em diagrama fasorial os sinais, informe a freqüência e a relação de defasagem: a- V1(t) = 100 sen (502.t + 15º) (V) V2(t) = 100 sen 502.t (V) b- V1(t) = 100 sen (471.t – 15º) (V) V2(t) = 100 sen 471.t (V) c- I1(t) = 10 sen (377.t + 60º) (A) I2(t) = 15 sen (377.t – 90º) (A) Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 19 d- I1(t) = 10 sen (314.t – 60º) (A) I2(t) = 15 sen (314.t + 90º) (A) e- I1(t) = 5 sen (1256.t + 45º) (A) I2(t) = 5 sen (1256.t – 45º) (A) f- V1(t) = 50 sen 628.t (V) V2(t) = 40 sen (628.t + 90º) (V) g- V1(t) = 50 sen (942.t – 20º) (V) V2(t) = 40 sen (942.t + 55º) (V) h- V1(t) = 80 sen (1884.t + 60º) (V) V2(t) = 40 sen (1884.t + 60º) (V) i- V1(t) = 50 sen (188,4.t – 60º) (V) V2(t) = 100 sen (188,4.t – 60º) (V) Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 20 2.3.4 Análise de sinais senoidais pela expressão fasorial (N.º complexo): A expressão fasorial é também chamada de expressão em n.º complexo, e é um tipo de representação matemática do sinal senoidal. A expressão fasorial é extremamente simples, porém tem o inconveniente de expressar apenas o valor de pico e a fase inicial do sinal. V(t) = Vp / Ø 2.4 Operações matemáticas com sinais senoidais: No estudo de sinais senoidais muitas vezes torna-se necessária a realização de cálculos matemáticos para determinar valores de corrente, tensão e outras grandezas elétricas. Tais cálculos podem ser realizados utilizando-se ou diagrama fasorial ou a expressão fasorial (nºs complexos). Operações de soma e subtração são feitas a partir do diagrama fasorial. Operações de multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada são feitas com a expressão fasorial. 2.4.1 Soma gráfica de sinais senoidais: Para a soma de dois sinais senoidais (que estejam representados através de diagrama fasorial), utiliza-se um método chamado método do paralelogramo, que consiste em fazer um paralelo de V1 e um paralelo de V2, e do ponto onde os paralelos se encontram até o “0” do plano cartesiano traçar um fasor que determinará o resultado da soma. Fig. 10 – Soma gráfica de sinais 2.4.2 Subtração gráfica de sinais senoidais: Na verdade, não é possível efetuar a subtração de fasores. Assim tendo-se a necessidade de subtrair dois sinais senoidais, deve-se converter o fasor que representa um dos sinais em um fasor negativo, e depois sim, somá-lo ao outro fasor. Para tornar um fasor em “fasor negativo” basta: Na forma polar: somar ou subtrair 180º ao seu ângulo Na forma cartesiana: trocar os sinais das partes real e imaginária. Fig.11 – Subtração gráfica de sinais Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 21 Exercícios: 1- Dados os sinais abaixo, efetue a soma e a subtração. a- V1 (t) = 12 / 90º V2 (t) = 6 / 45º b- V1 (t) = 20 / 30º V2 (t) = 5 / 30º c- V1 (t) = 20 / - 90º V2 (t) = 12 / 0º d- V1 (t) = 20 / 60º V2 (t) = 15 / - 40º e- V1 (t) = 15 / 45º V2 (t) = 10 / 90º Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 22 Módulo 3 - Circuitos resistivos em CA 3.1 Introdução: Em corrente alternada, os circuitos são classificados segundo seus componentes. É sabido que um circuito pode ser formado por resistores, indutores ou capacitores. Existem ainda circuitos que podem combinar alguns ou todos estes dispositivos. Circuitos puramente resistivos (R) são aqueles formados apenas por resistores. A resistência tem como propriedade manter corrente e tensão em fase. Circuitos puramente indutivos (L) são aqueles formados apenas por indutores ideais *. O indutor ideal tem como propriedade, atrasar a corrente da tensão em 90º. * indutor ideal: dispositivo hipotético que apresenta apenas indutância. Circuitos puramente capacitivos (C) são aqueles formados apenas por capacitores. O capacitor tem a propriedade de adiantar a corrente da tensão em 90º. Circuitos resistivos são aqueles que apesar de formados pela combinação entre resistores, indutores e/ou capacitores, trazem os efeitos da resistência predominando sobre os efeitos dos demais componentes. Circuitos indutivos são aqueles nos quais os efeitos causados pelo indutor predominam sobre os efeitos dos demais componentes. Circuitos capacitivos são aqueles nos quais os efeitos causados pelo capacitor predominam sobre os efeitos dos demais componentes. 3.2 Circuitos resistivos em CA: Quando uma resistência é submetida à uma tensão alternada, produz uma corrente elétrica com a mesma fase, a mesma freqüência e a mesma forma de onda da tensão, porém com amplitude máxima que será dependente dos valores da tensão e da resistência (Lei de Ohm). 3.2.1 Tensão e corrente CA em uma resistência: Observando o circuito abaixo, e a partir dos valores de tensão e de corrente é possível chegar matematicamente ao valor da resistência: Fig. 12 – Circuito puramente Resistivo em CA V(t)=Vp.sen ωt+θ0 e I(t)=Ip.sen ωt+θ0 R= Vp /θ0 / Ip /θ0 R’= R /θ0 - θ0 R’= R / 0º Tratando tensão e corrente como números complexos e aplicando a lei de Ohm é possível atribuir à resistência fase inicial igual a 0º. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 23 Exercício: Dado o circuito abaixo, pede-se: a- A representação de V e R em n.º complexo. b- O valor de I com a resposta em n.º complexo. c- O gráfico forma de onda e o diagrama fasorial. 3.2.2 Potência dissipada pela resistência: Com base no circuito do exercício anterior é possível verificar o comportamento da potência em um circuito resistivo submetido à uma tensão senoidal. P(t) = I(t) . V(t) P(t) = I(t)2 . R P(t) = V(t) 2/R Para o exercício anterior, calcule a potência instantânea no pico dos semi-ciclos positivo e negativo. No semi-ciclo positivo No semi-ciclo negativo P(t)= I(t) . V(t) P(t)= I(t) . V(t)P(t)= 6 . 180 P(t)= (- 6) . (-180) P(t)= 1080 W P(t)= 1080 W Como V e I estão em fase, a potência também estará em fase com ambas. Entretanto no semi-ciclo negativo, a potência não será negativa (como comprovado matematicamente). Neste caso é correto afirmar que no circuito puramente resistivo, a potência será: Sempre positiva. Sempre pulsante De freqüência igual ao dobro da freqüência de V e I. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 24 3.2.2.1 Potências média, de pico e RMS: PM = PP / 2 Fig. 13 – Potência em circuitos resistivos Como se nota, a potência de pico se relaciona à corrente e tensão de pico. Por sua vez a potência média é a metade da potência de pico. Se existe potência média, podemos deduzir que deve existir também potência RMS. Será que existe potência RMS? PP = IP . VP PRMS = IRMS . VRMS Se VRMS e IRMS são dados pelas fórmulas: VRMS = VP / √2 IRMS = IP / √2 Logo: PRMS = (VP/√2) . (IP/√2) PRMS = (VP.IP)/ √22) PRMS = PP / 2 Assim, potência RMS, nada mais é do que a potência média. Em um circuito puramente resistivo, a potência RMS é a única potência existente e recebe o nome de potência ativa. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 25 Exercícios: 1- Dado o circuito abaixo, pede-se: a- Valor de VRMS e IRMS b- Valor de PP e de PM (potência ativa). c- Gráfico forma de onda 2- Dado o circuito abaixo, pede-se: a- Todas as correntes de pico e RMS b- A potência de pico total c- A potência média total Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 26 Módulo 4 - Circuitos indutivos em CA 4.1 Introdução: O indutor (bobina ou solenóide) é um dispositivo que apresenta a propriedade de armazenar energia em forma de campo magnético. É construído com um fio metálico enrolado helicoidalmente sobre um núcleo de ar, ferro ou ferrite. Os Indutores podem ser alimentados em CC ou CA. 4.2 Indutor em corrente contínua: Fig. 14 – Comportamento do indutor em CC - Ao se fechar a chave, uma corrente contínua I, percorre o circuito. - Quando encontra o indutor, esta corrente (I) faz surgir neste, um campo magnético. - Assim ao atingir a primeira espira, a corrente (I) cria um campo magnético cujo as linhas de campo interceptam as demais espiras, induzindo assim uma tensão que chamamos tensão auto-induzida. - Segundo a lei de Lenz: o sentido da corrente induzida (I’) é tal, que origina um fluxo magnético que se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu. - Disto pode-se concluir que esta tensão induzida se opõe através da corrente (I’) à causa que a originou (corrente I). - Como resultado desta oposição de I’, a corrente I levará um determinado tempo para atingir seu valor nominal. - Uma vez estando a corrente I em seu valor nominal, se ocorrer a abertura da chave (instante t=2s), a corrente I levará um determinado tempo para voltar a zero. 4.3 Indutância: Um indutor é caracterizado por sua indutância. Esta indutância é a medida de capacidade de armazenamento de energia em forma de campo magnético. Seu símbolo é a letra L, e sua unidade de medida é o henry (H). A indutância de uma bobina depende: Das dimensões do indutor (comprimento e diâmetro do enrolamento). Do material que compõe seu núcleo. Do número de espiras. 4.4 Tensão no indutor: De maneira bem simplificada, a tensão induzida em uma bobina será dada por: Vind = L . ∆i / ∆t Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 27 Exercícios: 1- Uma corrente constante de 20 mA percorre uma bobina com indutância de 100mH. Qual o valor da tensão induzida? 2- Uma bobina tem indutância de 50µH. Qual a tensão induzida quando a taxa de variação de corrente for de 10000 Ae/s? 3- A corrente que passa por uma bobina aumenta até 20 A em 1 ms. Se sua indutância for de 100mH, qual será a tensão induzida? De todas as considerações e dos exercícios anteriores, podemos concluir que: - Um indutor armazena energia na forma de campo magnético. - Um indutor sempre se opõe às variações de corrente. - Em um indutor a corrente sempre está atrasada da tensão. 4.5 Indutor ideal em CA: O indutor ideal é um dispositivo hipotético que apresenta apenas indutância e não conta com nenhuma componente de resistência ôhmica. Já foi definido que quando alimentado com uma tensão contínua, o indutor faz com que a corrente leve um dado tempo para atingir seu valor de regime (nominal). Porém, um indutor ideal alimentado com uma tensão alternada, faz surgir sobre si, uma corrente atrasada 90º da tensão. Fig. 15 – Comportamento do indutor em CA Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 28 Neste caso, as expressões trigonométricas e as fasorais são: V(t)= Vp. Sen ωt ou V(t)= Vp / 0º I (t)= Ip. Sen (ωt - 90º) ou I(t)= Ip / -90º 4.6 Reatância indutiva (XL): A medida de oposição que um indutor oferece à circulação da corrente é dada por sua reatância indutiva. O símbolo da reatância indutiva é XL e sua unidade é o ohm (Ω). XL = 2π.f.L XL = ω.L Logo o valor da reatância indutiva é diretamente proporcional aos valores de freqüência e indutância. Exercício: Calcule os valores de reatância indutiva (XL) de um indutor ideal de 600 mH quando a freqüência de alimentação for: a) 0 Hz b) 6 Hz c) 60 Hz d) 600 Hz e) 6000 Hz f) 60000Hz Do exercício acima, conclui-se que o indutor ideal: - Em corrente contínua se comporta como um curto-circuito. - Em corrente alternada de altas freqüências comporta-se como um circuito aberto. 4.7 Primeira lei de Ohm para indutor ideal: Se a unidade da reatância indutiva (XL) é a mesma da resistência (R) - ohm - é porque ambas as grandezas são análogas . Fig.16 – Lei de Ohm para indutor ideal Como no indutor ideal a corrente está sempre atrasada 90º da tensão: XL= V/ 0º / I / - 90º XL= XL’ /0º - (- 90º) XL= XL’ / 90º Ω ou jXL Aplicando-se a lei de Ohm e tratando as grandezas envolvidas como números complexos, pode-se afirmar que a reatância indutiva apresenta fase inicial igual a 90º. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 29 Exercícios: 1- À um solenóide ideal de 100 mH, é aplicada uma tensãoCA de 220 VRMS / 60 Hz. Considerando-se o ângulo de fase inicial da tensão igual a zero, determine: a- A reatância indutiva em n.º complexo. b- O valor RMS da corrente. c- O valor de pico da tensão. d- As formas de onda de V e I e- O diagrama fasorial 2- Em qual freqüência uma bobina de 300 mH tem reatância indutiva de 80 Ω? 3- Qual a reatância indutiva de uma bobina de 500 mH alimentada por uma tensão com freqüência de 50 Hz? 4- Dado o circuito abaixo, calcule a reatância indutiva e a indutância da bobina, sabendo-se que I=600 mA. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 30 5- Uma bobina ideal tem indutância = 0,1 H e está ligada a uma fonte V(t) = 156 sen (ωt) V / 50 Hz. Determine a reatância indutiva e o valor RMS da corrente em número complexo. 6- Uma bobina apresenta reatância indutiva XL= 20 Ω e indutância L= 200 mH. Determine o valor da freqüência à qual a bobina está ligada: 4.8 Potência no indutor ideal: Fig. 17 – Potência no indutor ideal Observando o gráfico constata-se que a freqüência da potência apresenta o dobro da freqüência da corrente da tensão. Ainda observando o gráfico, tem-se que no circuito puramente indutivo a potência apresenta um semi-ciclo positivo e outro negativo. Assim a potência média no circuito é igual a zero. Como já foi visto, potência média e potência eficaz são a mesma potência, e recebem o nome de potência ativa P. Para qualquer tipo de circuito (resistivo, indutivo ou capacitivo) a potência ativa será dada pela fórmula: PRMS = IRMS . VRMS . cos Ø Onde cosØ = coseno do ângulo da impedância (Z), da reatância (X) ou da resistência (R). Com a fórmula acima é possível comprovar matematicamente aquilo que havia sido observado no gráfico: P = VRMS . IRMS . cos Ø P = VRMS . IRMS . cos (90º) P = VRMS . IRMS . 0 P = 0 Watts Em circuitos puramente indutivos a potência ativa (média ou eficaz) é igual a zero. Isso significa dizer que quando a potência total é positiva, o gerador está fornecendo energia ao indutor, que por sua vez a armazena em forma de campo magnético. Quando a potência total é negativa, o indutor está devolvendo esta energia ao gerador. Portanto, não há dissipação de potência ativa em circuitos puramente indutivos. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 31 4.9 Indutor real: Tudo que foi abordado até agora se referia ao indutor ideal (sem resistência ôhmica). Na prática, porém, todo indutor apresenta além da indutância (e consequentemente da reatância indutiva XL) uma pequena componente de resistência ôhmica que é devida ao material metálico do qual ele é feito. Desta maneira, o correto seria representar um indutor real com uma pequena resistência r em série com a reatância indutiva XL. Fig. 18 – Indutor real Quando uma tensão alternada á aplicada ao indutor real, a corrente permanece atrasada da tensão, porém de um ângulo um pouco menor que 90º, pois enquanto a resistência tende a mantê-las em fase, a reatância indutiva tende a defasá-las. A combinação entre resistência (r) e reatância indutiva (XL) faz surgir outra grandeza elétrica: a impedância indutiva (ZL). Logo o indutor real apresenta uma impedância indutiva ZL, diferentemente do indutor ideal que apresenta apenas a reatância indutiva XL. 4.10 Circuito RL série: O indutor real do exemplo anterior, com sua pequena resistência “r” em série com sua reatância indutiva XL, constitui um circuito que poderia ser chamado RL série. Um circuito RL série é a associação em série de uma fonte de tensão, uma resistência e um indutor. A representação gráfica de um circuito RL série deveria trazer duas resistências em série com uma reatância indutiva. Entretanto, como geralmente a resistência ôhmica do indutor real é muito pequena em relação à resistência ôhmica do resistor, este valor (da resistência ôhmica do indutor) poderá ser desconsiderado sempre que for 10 vezes (ou mais) menor que a do resistor. Fig. 19 – Circuito RL série 4.10.1 Impedância indutiva ZL no circuito RL série: A impedância indutiva é a oposição total que um circuito oferece à circulação de corrente. Então a impedância indutiva em um circuito RL série é a soma vetorial da resistência (R) com a reatância indutiva (XL). Sua unidade também é ohm (Ω). ZL= R + jXL ZL = R / 0º + XL / 90º ZL = √R2 + XL2 e Ø= tg-1 XL/R Fig. 20 – impedância indutiva Em circuitos RL série Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 32 4.10.2 Lei de Ohm para circuito RL série: Fig. 21 – Lei de Ohm para circuito RL série VT = IT / Ø . ZL / Ø VR = IT / Ø . R / 0º VL = IT / Ø . XL / 90º Exercícios: 1- Uma bobina real possui uma resistência ôhmica de 3Ω, uma indutância L de 50 mH e é alimentada por uma tensão CA de V(t)= 191 sen (377t) V RMS. Calcule: a- Reatância indutiva b- Impedância indutiva c- O valor da corrente d- O valor de VR e VL e- Diagrama fasorial 2- Um indutor de 200 mH está associado em série com uma resistência de 40Ω e ambos são alimentados por uma fonte de tensão CA de V(t)= 170 sen (377t + 20º) V RMS. Calcule: a- Reatância indutiva b- Impedância indutiva c- O valor da corrente d- O valor de VR e VL e- Diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 33 3- Dado o circuito abaixo, calcule: a- A indutância da bobina b- A Impedância indutiva c- O valor da corrente d- O valor de VR e VL e- O Diagrama fasorial 4- Dado o circuito abaixo, calcule: a- A indutância da bobina b- A Impedância indutiva c- O valor da corrente d- O valor de VR e VL e- O Diagrama fasorial 5- Uma bobina quando ligada a uma fonte CC de 10 V solicita uma corrente de 100 mA. Quando ligada a uma fonte CA de 10 VRMS / 500 Hz consome uma corrente de 20 mARMS. Calcule: a- O valor da resistência da bobina b- A reatância indutiva e a indutância c- A impedância da bobina d- A representação gráfica de ZL Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 34 6- Dado o circuito abaixo, calcule: a- A reatância indutiva b- A Impedância indutiva c- O valor da corrente d- O valor de VR e VL e- O Diagrama fasorial 4.10.3 Potência em circuitos indutivos: No que diz respeito à potência elétrica, já ficou definido que: Circuitos puramente resistivos apresentam apenas a potência ativa (P). Circuitos puramente indutivos apresentam apenas a potênciareativa (Q). Já os circuitos RL, além destas, apresentam outra potência que é a potência aparente (S). Fig. 22 - Triângulos de tensão e de potência em circuitos RL 4.10.3.1 Relação entre as potências no circuito RL 4.10.3.1.1 Potência aparente (S): É a potência total fornecida pelo gerador a um circuito CA. Sua unidade é o Volt Àmpere (VA) e seu valor pode ser encontrado através da fórmula: S = Vrms x Irms 4.10.3.1.2 Potência ativa (P): É a potência dissipada pela parte resistiva do circuito RL. É a potência que efetivamente realiza trabalho. Sua unidade é o Watt (W) e seu valor pode ser encontrado através da fórmula: P = Vrms x Irms x cos Ø 4.10.3.1.3 Potência reativa (Q): É a potência “perdida” pela reatância indutiva. Sua unidade é o var (var) e seu valor pode ser encontrado através da fórmula: Q = Vrms x Irms x sen Ø Como Vrms x Irms é a potência aparente S: P = S x cos Ø Q = S x sen Ø Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 35 Do triângulo das potências (fig.25) é possível obter: S2 = P2 + Q2 4.10.4 Fator de potência no circuito RL série: É a medida de aproveitamento da potência fornecida a um circuito, já que de toda a potência aparente (S) fornecida pela fonte a um circuito CA, uma parte (reativa – Q) não será aproveitada. O fator de potência em um circuito RL Série é dado por: FP = cos Ø ou FP = P/S ou FP = R/ZL ou FP = VR/VT Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- Dado os circuitos abaixo, calcule S, P, Q e o fator de potência: Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 36 2- No circuito abaixo, pede-se: a- A leitura dos aparelhos b- As potências S, P, Q c- O fator de potência 3- No circuito abaixo foram inseridos um amperímetro, um wattimetro e um voltímetro que leram respectivamente: 55 A, 10.000 W, e 220 V. Com base nestas leituras pede-se: a- A resistência do circuito b- A impedância complexa c- A indutância da bobina d- Todas as potências 4.11 Circuito RL paralelo: Um circuito RL paralelo apresenta indutor e resistor associados em paralelo com um gerador de tensão CA. Consequentemente a tensão sobre ambos será sempre a mesma, ao passo que a corrente se dividirá entre eles. Fig. 23 – Circuito RL paralelo Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 37 4.11.1 Fator de potência no circuito RL paralelo: O fator de potência em um circuito RL Paralelo é dado por: FP = cos Ø ou FP = P/S ou FP = ZL/R ou FP = IR/IT 4.11.2 Impedância equivalente no circuito RL paralelo Neste tipo de associação, a impedância será dada por: ZL= (R /0º . XL /90º ) / (R /0º + XL /90º) ZL= (R . XL) / (√ R2 + XL2) e Ø= tg-1 R / XL Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- No circuito abaixo, pede-se: a- A impedância complexa b- Todas as correntes c- A expressão matemática da corrente total d- As potências S, P, e Q e- O fator de potência f- O diagrama fasorial 2- No circuito abaixo, pede-se: a- Corrente total b- Corrente sobre os dispositivos c- Todas as potências d- O fator de potência e- O diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 38 3- No circuito abaixo, pede-se: a- Corrente total b- Corrente sobre os dispositivos c- Todas as potências d- O fator de potência e- O diagrama fasorial 4- No circuito abaixo, pede-se: a- A tensão do gerador b- A corrente sobre os dispositivos c- Todas as potências d- O fator de potência e- O diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 39 Módulo 5 - Circuitos capacitivos em CA 5.1 Introdução: Um capacitor (ou condensador) é um dispositivo construído com duas placas metálicas paralelas, separadas por um material dielétrico (isolante). Os capacitores possuem a propriedade de armazenar cargas elétricas. Capacitores podem ser alimentados com CC ou CA. 5.2 Capacitor em corrente contínua: Fig. 24 – Comportamento do capacitor em corrente contínua Ao se fechar a chave, uma tensão VCC alimenta o circuito. Consequentemente uma corrente ICC circula pelo circuito. Quando encontra o capacitor, a corrente ICC já possui seu valor de regime (nominal), porém a tensão no capacitor, neste instante ainda é zero. Para que a tensão no capacitor atinja o valor da tensão da fonte, é necessário um determinado tempo. Após este tempo o capacitor se encontra carregado com o valor máximo de tensão e a corrente deixa de circular. Esta demora em atingir o valor máximo de tensão se dá porque o capacitor armazena energia em forma de campo elétrico. Assim a quantidade de carga armazenada por um capacitor é dada por: Q= c.V Por sua vez, a corrente no capacitor é dada por: I(t) = c . ∆V/∆t 5.3 Capacitância: Um capacitor é caracterizado por sua capacitância que é a medida da capacidade de armazenamento de energia em forma de campo elétrico. O símbolo da capacitância é a letra C, e sua unidade é o farad (F). A capacitância depende: da área (em m2) das placas. da distância entre elas. do material que as separa. 5.4 Capacitor em corrente alternada: Uma vez alimentado em CA: Fig.25 – Comportamento do capacitor em CA Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 40 O capacitor com CA, traz sobre si a corrente adiantada 90º da tensão. Neste caso as expressões senoidais e fasorais são: V(t)= Vp. Sen ωt ou V(t)= Vp / 0º I(t)= Ip. Sen (ωt + 90º) ou I(t)= Ip / 90º 5.5 Reatância capacitiva (XC): A medida de oposição que um capacitor oferece à circulação de corrente é dada por sua reatância capacitiva. O símbolo da reatância capacitiva é XC e sua unidade o ohm (Ω). A reatância capacitiva édada pela fórmula: XC = 1 / 2π.f.c ou XC = 1 / ω.c Assim o valor da reatância capacitiva (XC) é inversamente proporcional aos valores de freqüência e de capacitância. Exercício: Calcule os valores de reatância capacitiva de um condensador de 4,7 µF, quando este for alimentado com freqüências de: a- 0 Hz b) 6 Hz c) 60 Hz d) 600 Hz d) 6000 Hz e) 60000 Hz Do exercício acima podemos concluir que o capacitor: - Em corrente contínua comporta-se como um circuito aberto. - Em corrente alternada de altas freqüências comporta-se como curto-circuito. 5.6 Primeira lei de Ohm para capacitor: Se a unidade da reatância capacitiva (XC) é a mesma da resistência e da reatância indutiva – o ohm – é possível comprovar que as grandezas são análogas. Fig. 26 – Lei de Ohm para capacitor Como no capacitor a corrente está sempre adiantada 90º da tensão: XC= V / 0º / I / 90º XC= XC’ /0º - 90º XC= XC’ / - 90º Ω ou - jXC Aplicando-se a lei de Ohm e tratando as grandezas envolvidas como números complexos é possível atribuir à reatância capacitiva XC fase inicial igual a – 90 º. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 41 Exercícios: 1- Um capacitor de 200 µF recebe uma tensão CA de 110 VRMS / 60 HZ. Considerando o ângulo de fase inicial da tensão igual a 0º, determine: a- Reatância capacitiva b- Valor da corrente no circuito c- Forma de onda d- Diagrama fasorial 2- Em qual freqüência um capacitor de 100 µF assume valor de reatância capacitiva de 150Ω ? 3- Qual a reatância capacitiva de um condensador de 500 µF quando alimentado com uma tensão de freqüência igual a 50 Hz? E para freqüência de 60 HZ? 5.7 Potência no capacitor: Fig. 27 – Potência no capacitor Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 42 A freqüência da potência é o dobro da freqüência da corrente e da tensão. Entretanto, a potência instantânea assume valores positivos no semi-ciclo positivo e valores negativos no semi-ciclo negativo. Por este comportamento é definido que no circuito puramente capacitivo não existe dissipação de potência ativa, já que a potência média é zero. Desta forma, no semi-ciclo positivo o capacitor está recebendo energia do gerador e armazenando-a em forma de campo elétrico. No semi-ciclo negativo, o capacitor devolve esta energia ao gerador. Logo, a potência que se nota no capacitor é apenas a potência reativa (Q). 5.8 Circuito RC série: Um circuito RC Série é a aquele que apresenta resistores e capacitores associados em série com uma fonte de tensão . Fig. 28 – Circuitos RC série 5.8.1 Impedância capacitiva (ZC) no circuito RC série: A oposição total que um circuito RC série oferece à circulação de corrente é dada por sua impedância capacitiva. A impedância capacitiva depende dos valores de R e de XC. Assim a impedância capacitiva será a soma vetorial da resistência ôhmica (R) com a reatância capacitiva (XC) presentes no circuito RC. ZC = R – j XC ZC = R/0º + XC / - 90º ZC = √R2 + XC2 e Ø= tg-1 - XC/R 5.8.2 Lei de Ohm para circuito RC série: Fig. 29 – Lei de Ohm para circuitos RC série VT = IT / Ø º . ZC / Ø º VR = IT / Ø º . R / 0º VC = IT / Ø º . XC / - 90º Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 43 Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- Dado o circuito abaixo, pede-se: a- Reatância capacitiva b- A impedância complexa c- A corrente total d- Vc e VR e- Diagrama fasorial 2- Dado o circuito abaixo, pede-se: a- A capacitância do condensador b- A impedância capacitiva c- A corrente total d- VR e VC e- Diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 44 3- Dado o circuito abaixo, pede-se: a- A impedância capacitiva b- A corrente total c- VR e VC d- Diagrama fasorial 4- Dado o circuito ao lado, pede-se: a- A impedância capacitiva b- A corrente total c- VR e VC d- Diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 45 5.8.3 Fator de potência no circuito RC série: O fator de potência em um circuito RC Série é dado por: FP = cos Ø ou FP = P/S ou FP = R/ZC ou FP = VR/VT 5.9 Potência em circuitos capacitivos: Basicamente valem os mesmos conceitos adotados para os circuitos R: Fig. 30 – Triangulos de tensão e de potência em circuitos RC Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- Dado os circuitos abaixo, calcule S, P, Q e o fator de potência Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 46 2- Com base nos exercícios anteriores, e tomando por referencia aumentos sucessivos do valor da reatância capacitiva XC, comente o que está acontecendo comas grandezas listadas abaixo: Freqüência Impedância Corrente Tensão no capacitor Tensão no resistor Potências S, P, Q Fator de potência Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 47 5.10 Circuito RC paralelo: Um circuito RC paralelo apresenta capacitor e resistor associados em paralelo com um gerador de tensão CA. Consequentemente a tensão sobre ambos será sempre a mesma, ao passo que a corrente se dividirá entre eles. Fig . 31 – Circuito RC paralelo 5.10.1 Impedância equivalente no circuito RC paralelo: Neste tipo de associação, a impedância é dada por: ZC= (R /0º . XC /- 90º ) / (R /0º + XC /-90º ) ZC= (R . XC) / (√R2 + XC2) e Ø= tg-1 R / - XC 5.10.2 Fator de potência no circuito RC paralelo: O fator de potência em um circuito RC Paralelo é dado por: FP = cos Ø ou FP = P/S ou FP = ZC/R ouFP = IR/IT Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- No circuito ao lado, pede-se: a- A impedância complexa b- Todas as correntes c- A expressão matemática da corrente total d- As potências S, P, e Q e- O fator de potência f- O diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 48 2- No circuito abaixo, pede-se: a- A impedância Complexa b- A corrente total c- A corrente sobre os dispositivos d- Todas as potências e- O fator de potência 3- No circuito abaixo, a corrente total é de 10 / 30º A . Pede-se: a- Tensão do gerador b- A corrente sobre os dispositivos c- Todas as potências d- O fator de potência e- O diagrama fasorial Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 49 Módulo 6 - Circuitos RLC em CA 6.1 Introdução: Um circuito RLC é aquele que combina entre seus elementos resistor, indutor e capacitor. Este tipo de associação pode se apresentar em série, em paralelo ou misto. 6.2 Circuito RLC série: Em um circuito RLC série, os elementos são dispostos em série com uma fonte de tensão. Neste caso a corrente é a mesma sobre todos os dispositivos e encontra-se em fase com a tensão sobre o resistor, adiantada em relação à tensão do capacitor e atrasada em relação à tensão no indutor. A corrente em um circuito RLC série é dada pela simples aplicação da lei de Ohm, ou seja: Fig.32 – Lei de Ohm para circuitos RLC Por isso é muito importante o conceito de impedância RLC. 6.2.1 Impedância no circuito RLC série: A impedância total de um circuito RLC série é a soma vetorial da resistência R + XL + XC: ZL = √R2 + (XL – XC)2 O ângulo de fase da impedância em circuitos RLC série é dado por: Ø= tg-1 (XL – XC) / R O diagrama fasorial é dado por: Fig.33 – Diagrama fasorial de um circuito RLC série Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 50 6.2.2 Potência no circuito RLC série: Assim como os circuitos indutivos e capacitivos, o circuito RLC (tanto em série quanto em paralelo) apresenta três potências: Aparente (S), Ativa (P) e Reativa (Q). A única diferença notada no circuito RLC é quanto à potência reativa (Q) que poderá ser capacitiva ou indutiva, dependendo dos valores de XC e XL. Se predominar o valor da reatância capacitiva XC, então a potência reativa será chamada de reativa capacitiva. Ao contrário, se o valor da reatância indutiva XL for maior que o valor de XC, a potência resultante será chamada de reativa indutiva. Para qualquer condição de relação entre as reatâncias, as fórmulas utilizadas para cálculo dos valores de potência serão as mesmas. Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- Para o circuito RLC abaixo, calcule a- impedância complexa b- Corrente total c- VR, VL e VC d- Potências S, P, Q e fator de potência 2- Para o circuito RLC abaixo, calcule a- Impedância complexa b- Corrente total c- VR, VL e VC d- Potências S, P, Q e fator de potência Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 51 3- Para o circuito RLC abaixo, calcule: a- Impedância complexa b- Corrente total c- VR, VL e VC d- Potências S, P, Q e fator de potência 6.3 Efeito da freqüência e freqüência de ressonância: Observar a freqüência de alimentação de uma associação RLC (série ou paralelo) é muito importante para análise de um circuito, já que a freqüência afeta significativamente os valores das reatâncias indutiva e capacitiva e por conseqüência a impedância total. Existe uma freqüência na qual os valores da reatância indutiva (XL) e a reatância capacitiva (XC) atingem os mesmos valores. Esta freqüência é chamada de freqüência de ressonância. Na freqüência de ressonância, com os valores de XL = XC, os efeitos da reatância capacitiva anulam os efeitos da reatância indutiva e vice-versa. Consequentemente a única oposição à circulação de corrente é aquela oferecida pela resistência. Nesta condição o circuito é dito ressonante. 6.3.1 Ressonância em série: Para um circuito RLC em série, a impedância total (Z) é a soma (vetorial) de R + XL + XC. Estando ressonante, a impedância (Z) será igual ao valor da resistência (R). Logicamente o valor da impedância de um circuito RLC série quando na freqüência de ressonância será menor do que era anteriormente. A freqüência de ressonância para circuitos RLC série é dada pelas fórmulas: Fr= 1 / 2π √LC ou Fr= f. √(XC / XL) Quando um circuito RLC série encontra-se ressonante, a impedância total (Z) tem seu valor mínimo e a corrente no circuito, seu valor máximo. Além disso, o fator de potência neste caso é unitário, uma vez que o circuito assume características puramente resistivas. Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 52 Exercício: Calcule a corrente total, a freqüência de ressonância e a corrente na freqüência de ressonância: 6.3.2 Curva característica freqüência X impedância no circuito RLC série: Fig. 34 – Curva característica freqüência x impedância no circuito RLC Série Observando-se a curva característica acima pode-se notar que: Abaixo da freqüência de ressonância XC aumenta e XL diminui tornando o circuito capacitivo. Acima da freqüência de ressonância XC diminui e XL aumenta tornando o circuito indutivo. 6.4 Circuitos RLC em paralelo: Em um circuito RLC paralelo, os elementos são dispostos em paralelo com uma fonte de tensão. Neste caso a tensão é a mesma sobre todos os dispositivos e encontra-se em fase com a corrente sobre o resistor, atrasada em relação a corrente no capacitor e adiantada em relação a corrente no indutor. A corrente em um circuito RLC paralelo também é dada pela simples aplicação da lei de Ohm, ou seja: Fig. 35 – Lei de Ohm para circuitos RLC paralelo Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 53 6.4.1 Impedância no circuito RLC paralelo: A impedância total de umcircuito RLC paralelo é dada pela equivalência entre R e as reatâncias XL e XC. Para tanto é necessário primeiramente determinar qual o valor equivalente das reatâncias: Xeq= XL . (– XC) / XL – XC Com o resultado da equivalência entre XL e XC, adota-se a fórmula: ZC= R . Xeq / √R2 + Xeq2 O ângulo de fase da impedância em circuitos RLC Paralelo é dado por: Ø= tg-1 R / Xeq O diagrama fasorial é dado por: Fig. 36 – Diagrama fasorial de um circuito RLC paralelo 6.5 Efeito da freqüência no circuito RLC paralelo: 6.5.1 Ressonância em paralelo: Para um circuito RLC paralelos, a impedância total (Z) sempre será menor que os valores de R ou Xeq. Estando ressonante, a impedância (Z) será igual ao valor da resistência (R). Assim o valor da impedância de um circuito RLC paralelo quando na freqüência de ressonância será maior do que era anteriormente.A freqüência de ressonância para um circuito RLC em paralelo é dada pelas mesmas fórmulas do RLC série. Quando um circuito RLC paralelo encontrar-se ressonante, a impedância total (Z) terá o seu valor máximo e a corrente total no circuito, seu valor mínimo. Além disso, o fator de potência neste caso será unitário, uma vez que o circuito assume características puramente resistivas. 6.5.2 Curva característica freqüência X impedância no circuito RLC paralelo: Fig. 37 – Curva característica freqüência x impedância no circuito RLC paralelo Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 54 Observando-se a curva característica acima podemos notar que: Abaixo da freqüência de ressonância XC aumenta e XL diminui tornando o circuito indutivo. Acima da freqüência de ressonância XC diminui e XL aumenta tornando o circuito capacitivo. Exercícios: * Todos os valores de tensão estão expressos em RMS. 1- Uma fonte de tensão V(t) = 220 V / 60 Hz, alimenta em paralelo os seguintes dispositivos: R = 150 Ω, XL= 100 Ω e XC= 50 Ω, calcule: a- Impedância total e as correntes IT, IR, IC e IL b- A freqüência de ressonância c- A corrente IT na freqüência de ressonância 2- Uma fonte de tensão V(t) = 220 V / 60 Hz, alimenta em paralelo os seguintes dispositivos: R = 50 Ω , XL= 100 Ω e XC= 150 Ω , calcule: a- Impedância total e as correntes IT, IR, IC e IL b- A freqüência de ressonância c- A corrente IT na freqüência de ressonância Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 55 Módulo 7 - Circuitos mistos em CA 7.1 – Introdução: Circuitos mistos em corrente alternada são aqueles formados por associações série-paralelo de resistores, indutores e/ou capacitores. Fig. 38 – Circuitos mistos em CA 7.2 Associação de indutores: Indutores podem ser associados em série, em paralelo ou em forma mista. Sempre que estiverem associados em série, a indutância total será dada por: Fig. 39 – Indutores em série LT = L1 + L2 + L3 Sempre que estiverem em paralelo, a indutância equivalente será dada por: Fig. 40 – Indutores em paralelo 1/ Leq = 1/L1 + 1/L2 + 1/ L3 Sempre que estiverem em forma mista, a indutância equivalente será dada pela combinação entre as duas fórmulas acima. Obs: Geralmente no estudo de circuitos mistos em CA que apresentem indutores, os efeitos da auto- indução e da indutância mútua nestes dispositivos são desconsiderados. 7.3 Associação de capacitores: Assim como os indutores, os capacitores também podem ser associados em série, em paralelo ou em forma mista. Sempre que estiverem associados em série, a capacitância total será dada por: Fig. 41 – capacitores em série 1 / CT = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 56 Sempre que estiverem em paralelo, a capacitância equivalente será dada por: Fig. 42 – Capacitores em paralelo CT = C1 + C2 + C3 Sempre que estiverem em forma mista, a capacitância equivalente será dada pela combinação entre as duas fórmulas acima. 7.4 – Associação de impedâncias: Nas associações RL, RC, LC, e/ou RLC, a oposição total à circulação de corrente é dada pela impedância (Z), e as impedâncias (ZL e/ou ZC) também podem ser combinadas em série, paralelo ou forma mista. Sempre que estiverem associadas em série, a impedância total será dada por: 6ΩΩΩΩ j8ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ j4ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ j16ΩΩΩΩ Fig. 43 – Impedâncias em série ZT = Z1 + Z2 + Z3 Sempre que estiverem associadas em paralelo, a impedância equivalente será dada por: 8 ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ j6 ΩΩΩΩ -j3 ΩΩΩΩ Fig. 44 – Impedâncias em paralelo 1/ Zeq = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/ Z3 Zeq = Z1 x Z2 / Z1 + Z2 Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 57 Exercícios: 1- O circuito abaixo é alimentado por uma fonte de 110 V eficazes e fase inicial igual a 0º. Determine os valores de Z, IT, I1, I2 e o FP: 50 ΩΩΩΩ 50 ΩΩΩΩ j20 ΩΩΩΩ j80 ΩΩΩΩ Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 58 2- O circuito abaixo é alimentado por uma fonte de 110 V eficazes e fase inicial igual a 80º. Determine o valor de ZT 4 ΩΩΩΩ 5 ΩΩΩΩ j3 ΩΩΩΩ - j4 ΩΩΩΩ 3- O circuito abaixo é alimentado por uma fonte de 110 V eficazes e fase inicial igual a 0º. Determine o valor de ZT: 10 ΩΩΩΩ j5 ΩΩΩΩ 8 ΩΩΩΩ -j5 ΩΩΩΩ -j5 ΩΩΩΩ j10 ΩΩΩΩ Eletricidade teórica e análise de circuitos em corrente alternada – 2º Período Prof. Enio Humberto de Souza – CREA - MG 34437 59 Módulo 8 - Correção do fator de potência Nos módulos anteriores foi definido que o fator de potência é a medida de aproveitamento da potência disponibilizada pelo gerador à uma determinada carga. E também que o ideal é que este
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