RESUMÃO VIBRAÇÕES P1

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RESUMO PARA 𝐏𝟏 DE VIBRAÇÕES 
 
Movimento Periódico Oscilatório 
Período do movimento 𝑇 =
∆𝑡
𝑛
=
1
𝑓
 
Frequência do Movimento 𝑓 =
𝑛
∆𝑡
=
1
𝑇
 
Funções Horárias 
Elongação 𝑥 = 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) 
Velocidade 𝑣 = −𝜔 ⋅ 𝐴 ⋅ sen(𝜔𝑡 + 𝜙0) 
Aceleração 𝑎 = −𝜔2 ⋅ 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜙0) = −𝜔
2 ⋅ 𝑥 
Pulsação/ Frequência Angular 𝜔 = 2𝜋𝑓 =
2𝜋
𝑇
 
Força no MHS 
Força 𝐹 = −𝐾𝑥 
Constante de Força do MHS 𝐾 = 𝑚𝜔2 
Pulsação/ Frequência Angular 𝜔 = √
𝐾
𝑚
 
Período do Movimento 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝐾
 
Frequência do Movimento 𝑓 =
1
2𝜋
⋅ √
𝐾
𝑚
 
Oscilador Massa-Mola 
Força 𝐹 = −𝑘𝑥 
Período 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
Pêndulo Simples 
Força 𝐹 = −
𝑚𝑔
𝑙
𝑥 = −
𝑃
𝑙
𝑥 
Período 𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
Energia 
Energia Cinética 𝐸𝐶 =
1
2
𝑚𝑣2 
Energia Potencial Elástica 𝐸𝑃𝐸𝑙 =
1
2
𝑘𝑥2 
Energia Mecânica 𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝐸𝑙 
 
Vibrações em Sistemas Dinâmicos 
Frequência Angular 
Natural ou Circular 𝑓𝑛 =
1
2𝜋
⋅ √
𝑘
𝑚
 
Período Natural 𝑇𝑛 =
1
𝑓𝑛
= 2𝜋 ⋅ √
𝑚
𝑘
 
Frequência Angular 
Natural 𝜔𝑛 =
√
𝑘
𝑚
 
Coeficiente de 
Amortecimento Crítico 
𝑐𝑐 = 2 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝜔𝑛 = 2√𝑘 ⋅ 𝑚 
Razão de Amortecimento 
ou Fator de 
Amortecimento 
𝜁 =
𝑐
𝑐𝑐
 
Frequência Angular 
Natural Amortecida 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 ⋅
√1 − 𝜁2 
Sistema Superamortecido (𝛇 > 𝟏) sem Ângulo de Fase Inicial 
Função Deslocamento: 
Subamortecido 
𝑥𝑆𝑢𝑝(𝑡) = 𝑒
−𝜁𝜔𝑛𝑡 (𝑎1𝑒
−𝜔𝑛√𝜁
2−1𝑡 + 𝑎2𝑒
𝜔𝑛√𝜁
2−1𝑡) 
Constante de Interação 𝑎1 =
−𝑣0 + (−𝜁 + √𝜁
2 − 1)𝜔𝑛𝑥0
2𝜔𝑛√𝜁
2 − 1
 
Constante de Interação 𝑎2 =
𝑣0 + (𝜁 + √𝜁
2 − 1)𝜔𝑛𝑥0
2𝜔𝑛√𝜁
2 − 1
 
Sistema Criticamente Amortecido (𝛇 = 𝟏) sem Ângulo de Fase Inicial 
Função Deslocamento: 
Criticamente Amortecido 
𝑥𝐶𝐴(𝑡) = (𝑎1 + 𝑎2𝑡)𝑒
−𝜔𝑛𝑡 
Constante 𝑎1 = 𝑥0 
Constante 𝑎2 = 𝑣0 + 𝜔0𝑥0 
Sistema Subamortecido (𝛇 < 𝟏) com Ângulo de Fase Inicial 
Amplitude de Sistema com 
Amortecimento 𝐴 =
√(𝑣0 + 𝜁𝜔𝑛𝑥0)
2 + (𝑥0𝜔𝑑)
2
𝜔𝑑
 
Ângulo de Fase Inicial com 
Amortecimento 
𝜙 = tg−1 (
𝑥0𝜔𝑑
𝑣0 + 𝜁𝜔𝑛𝑥0
) 
Função Deslocamento: 
Subamortecidado 
𝑥𝑆𝑢𝑏(𝑡) = 𝐴𝑒
−𝜁𝜔𝑛𝑡 sen(𝜔𝑑𝑡 + 𝜙) 
Vibração Forçada Amortecida (Existência do Ângulo de Fase Inicial) 
Amplitude de Sistema sem 
Amortecimento 𝐴 =
√𝜔𝑛
2𝑥0
2 + 𝑣0
2
𝜔𝑛
 
Amplitude de Vibração 𝜙 = tg−1 (
𝜔𝑛𝑥0
𝑣0
) 
Função Deslocamento: 
Vibração Livre 
𝑥𝑉𝐿(𝑡) = 𝐴 sen(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙) 
Vibração Forçada Não Amortecida (Inexistência do Ângulo de Fase Inicial) 
Força Periódica 𝐹 = 𝐹0 sen(𝜔0𝑡) 
Amplitude de Vibração em 
Estado Constante 
𝐴𝐶 =
𝐹0 𝑚⁄
𝜔𝑛
2 − 𝜔0
2 =
𝐹0 𝑘⁄
1 − (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )
2 
Função Deslocamento: 
Vibração em Estado 
Constante 
𝑥𝑉𝐸𝐶(𝑡) = 𝐴𝐶 sen(𝜔0𝑡) 
Vibração Forçada Amortecida Viscosa 
Função da excitação 
Harmônica 
𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔0𝑡 − 𝜙) 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹0 sen(𝜔0𝑡 − 𝜙) 
Amplitude de Sistema por 
Vibração em Estado 
Constante (Harmônica) 
𝐴𝑉𝐸𝐶
′ =
𝐹0 𝑘⁄
√[1 − (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )
2]2 + [2𝜁 ⋅ (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )]
2
 
Ângulo de Fase Inicial 
Amortecido sob Excitação 
Harmônica 
𝜙 = tg−1 [
2𝜁 ⋅ (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )
1 − (𝜔0 𝜔𝑛⁄ )
2] 
Função Deslocamento: 
Vibração Livre Amortecida 
𝑥𝑉𝐹𝐴𝑚 (𝑡) = 𝐴𝑉𝐸𝐶
′ ⋅ sen(𝜔0𝑡 − 𝜙) 
 
Obs.: chamado de parâmetro de frequência ou de sintonia (adimensional): 𝑟 = 𝜔0 𝜔𝑛⁄ . 
 
 
NOMENCLATURA 
 
Variável Descrição S.I. 
 𝑥, 𝑥0, 𝑥𝑆𝑢𝑝, 𝑥𝐶𝐴, 𝑥𝑆𝑢𝑏, 𝑥𝑉𝐿, 𝑥𝑉𝐹𝐴𝑀 Elongação, Deslocamento m 
𝐴, 𝐴𝐶, 𝐴𝑉𝐸𝐶
′ Amplitude de Vibração m 
𝑎1, 𝑎2, 𝑙 Constante de Interação, Comprimento m 
𝑚 Massa kg 
∆𝑡, 𝑡, 𝑇 Intervalo de Tempo, Período s 
𝑣, 𝑣0 Velocidade m s⁄ 
𝑎, 𝑔 Aceleração, Aceleração Gravitacional (9,81 m/s2) m s2⁄ 
𝑓, 𝑓𝑛 Frequência, Frequência Natural Hz 
𝜔, 𝜔𝑛, 𝜔𝑑 , 𝜔0 Frequência Angular (natural, amort. ou forçamento) rad s⁄ 
𝐸𝐶 , 𝐸𝑃𝐸𝑙 , 𝐸 Energia: cinética, potencial elástica e mecânica J 
𝐹, 𝑃, 𝐹0 Força (periódica, peso ou força-amplitude periódica) N 
𝑘, 𝐾 Constante Elástica da Mola, Rigidez N m⁄ 
𝑐, 𝑐𝑐 Constante de Amortecimento: comum e crítico N⋅s m⁄ ou kg s⁄ 
𝜙, 𝜙0 Ângulo de Fase rad 
𝜁 Fator de Amortecimento - 
𝑛 Número de Voltas -