Prova 2 Vibrações Mecânicas Professor

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Vibrações Mecânicas 
2ª PROVA 
 
 
 
 
 
 
Nome : __________________________________________________ 28/11/2018 
Professor: Joatan S. C. de Melo 
1. Para o sistema massa-mola-amortecedor da figura abaixo, determine o fator de 
amortecimento para a seguinte condição: 
m = 5 kg; c = 75 N.s/m; k = 500 N/m 
 
 
𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐
=
75
100
= 0,75 
𝑐𝑐 = 2 ∙ √𝑘 ∙ 𝑚 = 2 ∙ √500 ∙ 5 = 2 ∙ 50 = 100 
 
2. Uma força harmônica com 23 N e velocidade angular de 20 rad/s atua sobre sistema 
com um grau de liberdade. Este possui 10 kg e constante de rigidez de 1.000 N/m. 
Considere que no tempo inicial o deslocamento inicial é igual zero, porém, a velocidade 
inicial de 0,2 m/s. Determine a resposta do sistema considerando não haver 
amortecimento. 
𝑥(𝑡) = (
�̇�0
𝜔𝑛
) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 ∙ 𝑡) + (𝑥0 −
𝐹0
𝑘 − 𝑚 ∙ 𝜔2
) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 ∙ 𝑡) + (
𝐹0
𝑘 − 𝑚 ∙ 𝜔2
) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡) 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
1.000
10
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
(
�̇�0
𝜔𝑛
) = (
0,2
10
) = 0,02 
 
𝐹0
𝑘 − 𝑚 ∙ 𝜔2
=
23
1.000 − 10 ∙ 202
= −3.000 
 
 
𝑥(𝑡) = 0,02 ∙ 𝑠𝑒𝑛(10 ∙ 𝑡) + (0 −
23
−3.000
) ∙ 𝑐𝑜𝑠(10 ∙ 𝑡) + (
23
−3.000
) ∙ 𝑐𝑜𝑠(20 ∙ 𝑡) 
 
 
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𝑥(𝑡) = 0,02 ∙ 𝑠𝑒𝑛(10 ∙ 𝑡) + 7,67 ∙ 10−3 ∙ 𝑐𝑜𝑠(10 ∙ 𝑡) − 7,67 ∙ 10−3 ∙ 𝑐𝑜𝑠(20 ∙ 𝑡) 
 
3. Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 1 x 105 N/m. 
Determinar: 
a. A constante de amortecimento para um fator de amortecimento ζ = 0,1. 
b. O decremento logarítmico e a frequência natural amortecida. 
 
Item a 
𝑐𝑐 = 2 ∙ √𝑘 ∙ 𝑚 = 2 ∙ √100.000 ∙ 30 = 3.464,10𝑁. 𝑠/𝑚 
 
𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐
= 0,1 
 
𝑐 = 𝜉 ∙ 𝑐𝑐 = 0,1 ∙ 3.464,10 = 346,41𝑁. 𝑠/𝑚 
 
Item b 
𝛿 =
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜉
√1 − 𝜉2
=
2 ∙ 𝜋 ∙ 0,1
√1 − 0,12
= 0,6314 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
100.000
30
= 57,74 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
𝜔𝑑 = √1 − 𝜉
2 ∙ 𝜔𝑛 = √1 − 0,1
2 ∙ 57,74 = 57,45𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
4. Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de 
amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1.500 N/m. Determinar: 
a. O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a frequência natural 
amortecida. 
b. A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
Item a 
𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐
=
3,8
16,43
= 0,231 
 
𝑐𝑐 = 2 ∙ √𝑘 ∙ 𝑚 = 2 ∙ √1.500 ∙ 0,045 = 16,43 
 
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𝛿 =
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜉
√1 − 𝜉2
=
2 ∙ 𝜋 ∙ 0,231
√1 − 0,2312
= 1,49 
 
𝜔𝑑 = √1 − 𝜉
2 ∙ 𝜔𝑛 = √1 − 0,231
2 ∙ 183 = 178 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
1.500
0,045
= 183 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Item b 
 
x(t) = 𝑒−ξ∙𝜔𝑛∙𝑡 ∙ {𝑥0 ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − ξ2 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑡 +
�̇�0 + ξ ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑥0
√1 − ξ2 ∙ 𝜔𝑛
∙ 𝑠𝑒𝑛√1 − ξ2 ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑡} 
 
x(t) = 𝑒−𝟎,𝟐𝟑𝟏∙𝟏𝟖𝟑∙𝑡
∙ {0,001 ∙ 𝑐𝑜𝑠√1 − 𝟎, 𝟐𝟑𝟏2 ∙ 𝟏𝟖𝟑 ∙ 𝑡 +
�̇�0 + 𝟎, 𝟐𝟑𝟏 ∙ 𝟏𝟖𝟑 ∙ 0,001
√1 − 𝟎, 𝟐𝟑𝟏2 ∙ 𝟏𝟖𝟑
∙ 𝑠𝑒𝑛√1 − 𝟎, 𝟐𝟑𝟏2
∙ 𝟏𝟖𝟑 ∙ 𝑡} 
 
x(t) = 𝑒−42,27∙𝑡 ∙ {0,001 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝟏𝟕𝟖, 𝟎𝟓 ∙ 𝑡) + 0,0002374 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝟏𝟕𝟖, 𝟎𝟓 ∙ 𝑡} 
 
𝐶′1 = 𝑥0 = 0,001 
 
𝐶′2 =
�̇�0 + ξ ∙ 𝜔𝑛 ∙ 𝑥0
√1 − ξ2 ∙ 𝜔𝑛
=
0 + 𝟎, 𝟐𝟑𝟏 ∙ 𝟏𝟖𝟑 ∙ 0,001
√1 − 𝟎, 𝟐𝟑𝟏2 ∙ 𝟏𝟖𝟑
= 0,0002374 
 
X = (√𝐶′′
2 + 𝐶′2
2) = (√0,0012 + 0,00023742) = 0,0010278 
 
ϕ = 𝑡𝑔−1 (
𝐶′1
𝐶′2
) = 𝑡𝑔−1 (−
0,0002374
0,001
) = 0,233 𝑟𝑎𝑑 
 
x(t) = 1,03 ∙ 𝑒−42,27∙𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝟏𝟕𝟖, 𝟎𝟓 ∙ 𝑡 − 0,233)