AULA 11 - Análise do Lugar das Raízes

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Análise do Lugar das Raízes
Prof: Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
LUGAR DAS RAÍZES
O Método do Lugar das Raízes (M.L.R.) é uma técnica gráfica que permite visualizar de que forma os pólos de um sistema em malha fechada variam quando se altera o valor de um parâmetro específico (o ganho, em geral). 
Originalmente, a técnica era utilizada para determinar o valor numérico dos pólos de malha fechada de um sistema. Por essa razão era necessário efetuar a construção gráfica da forma mais precisa possível. 
Atualmente, porém, é possível obter os pólos do sistema em malha fechada de maneira rápida e precisa usando programas computacionais. 
2
LUGAR DAS RAÍZES
Apesar disso, o M.L.R. continua sendo uma ferramenta de grande utilidade no projeto de sistemas de controle por permitir ao projetista definir adequadamente a estrutura do controlador apropriado a cada problema.
O diagrama do LGR consiste em um conjunto de curvas no plano complexo s, onde estas curvas representam as posições admissíveis para os pólos de malha fechada de um dado sistema quando o seu ganho varia de zero a infinito.
Foi desenvolvido em 1948 por R. W. Evans.
3
INTRODUÇÃO AO LUGAR DAS RAÍZES
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Seja um sistema em malha fechada com a forma: 
Logo, o sistema terá o equivalente:
Esse sistema possui as seguintes características.
4
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
O lugar das raízes de um sistema é um gráfico das raízes da equação característica do sistema em malha fechada que mostra como estas variam segundo algum parâmetro do sistema. No caso do sistema acima,pretendemos mostrar como variam as raízes segundo o parâmetro livre K. 
O pólo supondo K=0 é chamado pólo de malha aberta, já que representa o pólo para a equação característica de ramo direto do sistema em malha fechada.
Elaborando-se o diagrama de pólos e zeros do sistema e variando-se o parâmetro K, teremos um indicativo gráfico da variação dos pólos. É então possível determinar a características como a estabilidade do sistema para valores do parâmetro livre. 
5
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM (EXEMPLO 1)
Consideremos o sistema abaixo. Determinar se o sistema é instável para algum valor de K (considere sempre K>0). 
 Solução:
Esse sistema terá um equivalente dado por: 
Considerando K=0 temos p1=-2, K=1 temos p1=-3 etc.
Aumentando-se K até o limite ( K = ∞), teremos: 
Graficamente podemos representar a solução como:
6
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM (EXEMPLO 1)
Analisando o lugar das raízes, fica claro que, independentemente do valor de k, o sistema sempre será estável, já que as raízes se mantém sempre no semiplano esquerdo do diagrama. 
7
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Consideremos agora um sistema com a F.T. de ramo direto:
Obtendo-se o equivalente do sistema em malha fechada, teremos :
As raízes da equação característica do sistema podem ser determinadas fazendo: 
8
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Analisando-se o comportamento das raízes do sistema, podemos observar que existem três casos distintos: 
Os três casos acima são os três momentos distintos a serem analisados para a elaboração do lugar das raízes de um sistema de segunda ordem. 
9
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (2 EXEMPLO)
Seja o sistema abaixo. Determinar: 
os valores de K para os quais o sistema é estável; 
os valores de K para os quais o sistema é criticamente estável; 
os valores de K para os quais o sistema apresenta resposta criticamente amortecida. 
Solução:
 O sistema terá uma função de transferência de ramo direto dada por: 
O equivalente do sistema em malha fechada será dado por:
A equação característica é:
10
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (2 EXEMPLO)
Deseja-se determinar o LGR desta equação conforme k varia de de 0 a +∞: k>0.
11
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (2 EXEMPLO)
Analisando o lugar das raízes, é fácil observar que o sistema é criticamente estável para valores de K=0, já que existe um pólo com nível real igual a zero. Para qualquer outro valor de k o sistema será sempre estável. O sistema será criticamente amortecido quando K=1/4. 
12
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (3 EXEMPLO)
Um sistema tem uma F.T. de malha aberta de: 
Determinar: 
 O ganho quando existe amortecimento crítico; 
 O ganho quando o coeficiente de amortecimento é 0,6. 
Solução: 
A F.T. em malha fechada será:
13
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (3 EXEMPLO)
Para obter o lugar das raízes, faremos uma análise do comportamento das raízes da equação característica. Estas serão dadas por: 
Analisando-se as raízes para K = 0 , obteremos os pólos em malha aberta. Assim: 
O aumento de k desloca a raiz r1 para a esquerda, e a raiz r2 para a direita. Isto se repete até que o valor de Δ, que é positivo, torne-se zero. 
14
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (3 EXEMPLO)
Assim, o próximo ponto de interesse para a análise será quando k=9. Teremos: 
Com este valor de k, as duas raízes se encontram no ponto –3. Novos incrementos no valor de k provocarão Δ < 0 , e, portanto, raízes complexas. Assim: 
O limite com o aumento de K será:
15
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (3 EXEMPLO)
Claramente, com k>9 as raízes do sistema deixam o eixo dos reais, e geram um segundo ramo com parte real –3, tendendo para ± ∞. O lugar das raízes para o sistema é mostrado na figura 3. 
16
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (3 EXEMPLO)
Respondendo-se às questões formuladas:
a) Ganho para amortecimento crítico: 
	O ponto onde o sistema possui duas raízes reais iguais é k=9. 
b) Ganho para amortecimento 0,6 
O valor de k para algum ponto específico pode ser obtido fazendo a seguinte igualdade:
Logo, vem que:
Tomando-se a igualdade no numerador, teremos:
Como o esperado, necessariamente k>9, que é o limite para que existam raízes complexas. 
17
REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
Seja um número complexo na forma z = a + bj , como o mostrado na figura abaixo: 
FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 Na forma polar tal número pode ser escrito como:
onde:
18
REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
PRODUTO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
O cálculo do produto de dois números complexos pode ser representado por: 
19
REVISÃO SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS REPRESENTADOS NA FORMA POLAR
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 O cálculo da divisão de dois números complexos pode ser representado por: 
20
LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS DE MALHA FECHADA
Seja um sistema em malha fechada com uma F.T. de malha aberta Go(s) genérica. A F.T. para o sistema será dada por: 
A F.T. em malha fechada será dada por: 
A equação característica do sistema será: , ou seja:
A função Go(s) pode ser escrita na forma de pólos e zeros como: 
21
LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS DE MALHA FECHADA
Fazendo ( II ) em ( I ), teremos:
Uma vez que cada termo entre parênteses representa um número complexo, pode-se observar que a expressão ( III ) apresenta um produto de números complexos no numerador e denominador. Assim:
Utilizando-se da definição de divisão de números complexos, teremos:
22
LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS DE MALHA FECHADA
Para que um número complexo z seja igual ao número real –1, teremos que:
Aplicando tal conceito à equação (IV), teremos duas implicações:
A equação (VI) é usualmente utilizada para determinar se um certo
ponto pertence ao lugar das raízes, enquanto a equação (V) é usada para determinar o valor de K nesse ponto. 
23
LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS DE MALHA FECHADA (EXE. 4)
No diagrama de pólos e zeros abaixo, determinar se o ponto A pode pertencer ao lugar das raízes para algum valor de K. Em caso afirmativo, determine o valor de K. 
O sistema em questão apresenta três raízes. Para que o ponto A pertença ao lugar das raízes, este terá que satisfazer a equação (VI). Traçando-se um vetor de ligação de cada um dos pólos ao ponto A, podemos identificar o módulo e o ângulo formado em cada caso.
24
LUGAR DAS RAÍZES PARA SISTEMAS GENÉRICOS DE MALHA FECHADA (EXE. 4)
Seja a figura 4, abaixo:
Pela aplicação da eq. (VI), sabemos que o ponto A pertence ao lugar das raízes. Aplicando (V), obtemos o valor de K para este ponto. 
Aplicando-se as relações anteriores (V) e (VI), teremos:
Análise dos Ângulos
Análise dos Módulos
25
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
A determinação dos pontos que pertencem ao lugar das raízes usualmente é feita utilizando as equações (VI) e (V). Contudo, existem algumas técnicas que auxiliam a sua construção. Um resumo das regras pode ser dado por: 
O número de ramos do lugar das raízes será igual à ordem da equação característica em malha aberta; 
 Como as raízes complexas aparecem sempre na forma conjugada, o lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real; 
Os ramos do lugar das raízes começam em pólos (K = 0) e terminam em zeros ( K = ∞). Caso existam mais pólos do que zeros, os ramos excedentes tenderão ao infinito; 
Os trechos no eixo real que pertencem ao lugar das raízes são aqueles que possuem um número ímpar de pólos e zeros à direita. 
26
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
Os ramos que terminam no infinito tenderão a seguir as assíntotas com ângulos em relação ao eixo real de:
As assíntotas interceptam o eixo real no ponto:
A intersecção do lugar das raízes com o eixo imaginário pode ser determinada de duas maneiras diferentes:
Calculando-se valores de K que resultam em raízes puramente imaginárias. Por exemplo: s=jw;
Usando o critério de Routh e verificando k limite para a estabilidade; 
A intersecção de dois ou mais ramos do lugar das raízes ocorrem em pontos onde dK/ds = 0. Observe-se que nem todos os pontos onde dK/ds =0 são necessariamente pontos de intersecção;
O ângulo de partida de um pólo pode ser determinado supondo um s muito próximo do pólo e utilizando-se a equação (VI). 
27
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES
Uma metodologia simplificada para a determinação do lugar das raízes de um sistema é descrita por Bolton (1995): 
Determinar a F.T. em malha fechada; 
Determinar os pólos e zeros em malha aberta; 
Determinar o número de ramos; 
Determinar os segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes; 
Determinar o ângulo das assíntotas; 
Determinar o ponto de encontro das assíntotas com o eixo real; 
Determinar as intersecções do L. R. com o eixo imaginário; 
Determinar os pontos de ramificação; 
Determinar os ângulos de partida dos pólos complexos; 
Determinar os ângulos de chegada dos zeros complexos; 
 Esboçar o lugar das raízes. 
 A seguir, apresenta-se o método para a construção do lugar das raízes. 
28
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
Esboçar o lugar das raízes para o sistema em malha fechada com F.T. de ramo direto de: 
1) Determinação da F.T. em malha fechada: 
2) Determinação dos pólos e zeros em malha aberta: Inicialmente, p1 =0 . Assim, para k=0, teremos a equação característica escrita como: 
29
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
O diagrama de pólos e zeros será dado por:
3) Determinação do número de ramos: a equação é de 3a ordem. Logo, existirão 3 ramos. 
30
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
4) Determinação dos segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes: o eixo real encontra-se dividido em dois segmentos: o segmento (a) possui à sua direita 1 (um) pólo ou zero (número ímpar). Já o segmento (b) possui 0 (zero) pólos ou zeros à sua direita (número par). O segmento (a) pertence ao lugar das raízes. Como um ramo sempre se inicia em um pólo e termina em um zero, pode-se concluir que existe um zero em - ∞. 
31
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
5) Determinação do ângulo das assíntotas: 
número de pólos: n=3 
número de zeros: m=0 
Logo, as assíntotas terão ângulos:
6) Determinação do ponto de encontro das assíntotas com o eixo real: 
32
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
7) Determinação das intersecções com o eixo imaginário: Fazendo-se s=jw, teremos:
Como , teremos que a parte imaginária necessariamente é igual a zero. Assim:
Como a solução w=0 leva a uma parte real também zero e estamos buscando K>0, teremos:
Quando k=150, teremos: 
 Esta equação tem raízes em ± 5 j.
 
33
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
8) Determinação dos pontos de ramificação:
A equação tem como raízes:
Logo, não existe ponto de ramificação sobre o eixo real.
9) Determinação do ângulo de partida dos pólos 
Considerando-se o pólo complexo em –3+4j, o ângulo de partida pode ser determinado supondo-se que um ponto genérico s esteja muito próximo do pólo. 
34
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
9) Determinação do ângulo de partida dos pólos 
35
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
9) Determinação do ângulo de partida dos pólos: A direção de partida do ramo é indicada na figura 9. 
36
CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES EXEMPLO 5
10) Esboço do lugar das raízes: O lugar das raízes para o sistema adotado é mostrado na figura 10. 
37
MUITO OBRIGADO
BIBLIOGRAFIA
Bolton, W. ; “Engenharia de Controle” Makron Books, 1995. 
Phillips, C. L.; Harbor, R. D.; “Feedback Control Systems” Prentice Hall - 3rd edition – 1996. 
Ogata, K; Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall – 4rd edition – 2003. 
Dorf, R. C.; Bishop, R. H.; “Sistemas de controle modernos” LTC Editora – 8a edição – 1998. 
Facchini; “Matemática: volume único” Editora Saraiva – 1a edição – 1996.
Apostila de sistemas de controle- Lugar das raízes- Prof. Msc. Alexandre da Silva Simões- São Paulo – SP (2001)
39