FUNDAMENTOS DA MAMTEMÁTICA FINANCEIRA

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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Juros (J) 
 
 É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a 
partir de dois pontos de vista: 
 
- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, 
etc. 
- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. 
 
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio 
ou de terceiros. 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) 
 É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação 
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou 
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. 
 
Taxa (i) 
 É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado 
em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por 
exemplo: 
- taxa de inflação; 
- taxa real de juros; 
- taxa acumulada; 
- taxa unitária; 
- taxa percentual; 
- taxa over; 
- taxa equivalente; 
- taxa nominal, entre outras. 
- 
Prazo ou Tempo ou Períodos (n) 
 É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para 
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um 
exemplo: 
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. 
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, 
um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como 
estão sendo tratados nos problemas. 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) 
 É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira 
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J). 
 
Assim temos: M = C + J 
 
Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J 
 
 
 2 
Exemplo 01: 
 
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi 
o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ? 
 
Solução algébrica: 
J = 78,25 C = 1.568,78 M = ? 
M = C + J 
M = 1,568,78 + 78,25 
M = R$ 1.647,03 
 
 
Exemplo 02: 
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e 
que gerou um montante de R$ 1.380,75 ? 
 
 
Solução algébrica: 
C = 1250,18 M= 1380,75 J= ? 
J = M - C 
J = 1380,75 – 1250,18 
J = R$ 130,57 
 
 
 
Exemplo 03: 
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento 
deste investimento foi de R$ 378,25 ? 
 
Solução algébrica: 
M= 1500,00 J=378,25 C= ? 
C = M - J 
C = 1500,00 – 378,25 
C = R$ 1.121,75 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de 
juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou 
seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. 
 
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: 
 
 J= PV . i . n 
 
Colocando o PV em evidência, teremos: 
 
 PV = J 
 i.n 
 
Solução pela HP-12C 
 
1568,78 ENTER 
 
78,25 + 
 R$ 1.647,03 
Solução pela HP-12C 
 
1380,75 ENTER 
 
1250,18 - 
 
 R$ 130,57 
Solução pela HP-12C 
 
1500 ENTER 
 
378,25 - 
 
 R$ 1.121,75 
 3 
Colocando o n em evidência, teremos: 
 
 n = J 
 PV.i 
 
Colocando o i em evidência, teremos: 
 
 i = J ou i = FV - 1 
 PV.n PV 
 
 
Exemplo 04: 
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao 
mês. 
 
Solução algébrica: 
 
J = 1250 . 0,055 . 5 
J = R$ 343,75 
 
 
 
 
 
Exemplo 05: 
 
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao 
mês ? 
 
Solução algébrica: 
J= 342,96 
PV = 342,96 
 0,025 . 11 
 
PV = 342,96 = R$ 1.247,13 
 0,275 
 
Exemplo 06: 
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre 
uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ? 
 
Solução algébrica: 
i = 2,14 
 537,17 . 1 
i = 2,14 = 0,003984.... 
 537,17 
i = 0,003984 . 100 
i = 0,3984% ao dia 
imensal = 0,3984 . 30 
imensal = 11,95% 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
1250,00 ENTER 
 
0,055 X 
 
5 X 
R$ 343,75 
 
 
 
 
 
 R$ 1.121,75 
Solução pela HP-12C 
2,14 ENTER 
 
537,17 ENTER 
 
1 
 
100 30 
11,95% ao mês 
 
 
X 
X 
X 
 
Solução pela HP-12C 
 
342,96 ENTER 
 
0,025 ENTER 
 
11 X ÷ 
R$ 1.247,13 
 
 4 
 
Exemplo 07: 
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 
com uma taxa de 1,5% ao mês ? 
Solução algébrica: 
n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45 
n = 226,45 = 226,45 
 967,74 . 0,015 14,52 
 
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias 
 
 
 
 OBSERVAÇÃO: 
 
- A parte inteira 15 representa os 15 meses. 
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos 
os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18). 
 
 
Exemplo 08: 
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André 
efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? 
Qual foi a taxa mensal de juros? 
Solução algébrica: 
PV = 15,00 
FV = 23,75 
N = 6 meses 
i(ac) = ? 
imensal = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) 
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, 
onde tenhamos que: 
FV = PV + J e J = PV . i . n 
Assim teremos: 
 
FV = PV ( 1 + i . n) 
 
Exemplo 09: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 
dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? 
 
Solução algébrica: 
n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ? 
 
Solução pela HP-12C 
 
226,45 
 
967,74 
 
0,015 
 
15,60meses 
 
 
ENTER 
X 
ENTER 
 
 
 
i(ac) = 23,75 - 1 . 100 
 15 
 
 
i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100 
 
i(ac) = 0,5833 . 100 
i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre 
imensal = 58,33 / 6 
imensal = 9,72%ao mês 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
15 
 
23,75 
 
 
 58,33 a . p. 
 
6 
 
 9,72% ao mês 
ENTER 
% 
 
 5 
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3) 
FV = 84.975,59(1 + 0,0435) 
FV = 84.975,59(1,0435) 
FV = R$ 88.672,03 
 
 
 
 
 
 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) 
 
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante 
ou Valor Futuro (FV). 
 
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n) 
Colocando PV em evidência: 
 
 PV = FV 
 (1 + i . n) 
 
Exemplo 10: 
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 
3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. 
 
 Solução algébrica: 
 
PV = 84.248,00 
 (1 + 0,0177 . 3) 
 
PV = 84.248,00 = 84.248,00 
 (1 + 0,0531 ) 1,0531 
 
PV = R$ 80.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
84975,59 
 
1,45 
 
3 
 
R$ 88.672,03 
ENTER 
% 
X + 
Solução pela HP-12C 
 
84248 
 
1 
 
0,0177 
 
3 
R$ 80.000,00 
ENTER 
ENTER 
ENTER 
X
x 
+  
 6 
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes 
 
 Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da 
taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente . 
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período 
de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. 
 
Exemplo 11: 
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de 
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? 
 
Solução algébrica: 
PV = 15.000,00 
i = 28% ao ano 
n = 92 dias 
J = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Exato e Comercial 
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, 
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: 
Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. 
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, 
um ano comercial vai ter sempre 360 dias. 
 
Exemplo 12: 
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a 
taxa de 48% ao ano. Pede-se: 
 a) Determinar os juros exato 
 b) Determinar os juros comercial 
 
Solução algébrica: PV = R$ 14.500; i = 48% ao ano 
 
a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88 
 365 
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00 
 360 
 
 
 
 
 
Opção1: transformando a taxa 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,000778 . 92 
J = R$ 1.073,33 
Opção2: transformando o prazo 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,28 . 0,255556 
J = R$ 1.073,33 
Opção3: transformando o produto 
J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 
 360 360 
J = R$ 1.073,33 
 
Solução pela HP – 12C 
 
15000 
 
0,28 
 
92 
 
360 
R$ 1.073,33 
ENTER 
X 
X 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTOS SIMPLES 
 
 É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado 
antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, 
em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode 
levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, 
libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os 
tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). 
 
Desconto Racional ou Real Simples - “ desconto por dentro” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor 
de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou 
de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros 
simples. 
Vamos aplicar as seguintes fórmulas: 
 
Para calcular o desconto racional simples: 
 
 DRS = VN – VL 
 
 
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte 
fórmula: 
 
 DRS = VN . i . n 
 ( 1 + i . n ) 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
14500 
 
0,48 
42 
 
365 
 
R$ 800,88 
 
14500 
 
0,48 
 
42 
 
360 
 
R$ 812,00 
ENTER 
X 
X
x 
X
+ 
 
X 
ENTER 
 
 8 
 Para calcular o valor líquido: 
 
 VL = VN - DRS . 
 
O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: 
 
 
 VL = VN . 
 ( 1 + i . n ) 
 
Exemplo 01: 
 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DRS = ? 
 
DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 
 ( 1 + 0,025 . 2 ) 
DRS = 1250 
 1,05 
DRS = R$ 1190,48 
VL = VN - DRS 
VL = 25000 – 1190,48  VL = R$ 23.809,52 
 
Desconto Bancário ou Comercial - “ desconto por fora ” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou 
valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é 
obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo 
prazo a decorrer até o vencimento do título. 
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: 
 
 
 DBS = VN . i . n e VL = VN – DBS 
 
 
 
Exemplo 02: 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DBS = ? 
DBS = 25000,00 . 0,025 . 2 
DBS = R$ 1250,00 
VL = 25000 – 1250,00 
VL = R$ 23.750,00 
 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
1 ENTER 
0,025 ENTER 
2 X +  
CHS 
25000,00 + 
R$ 23.809,52 
 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
CHS 
25000 + 
R$ 23.750,00 
 
 9 
Exemplo 03: 
 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antesdo seu 
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de 
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia 
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria 
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%; 
i = 2,8% ao mês(empréstimo); VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ? 
ONDE: 
D = despesas; DIOF = despesas com IOF; Dadm = despesas administrativas 
VL = VN – DBS – DIOF - Dadm 
DBS = VN . id . n 
DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00 
Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00 
DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50 
VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50 
VL= R$ 23.438,50 
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta 
operação será: 
i = FV - PV 
 FV . n 
i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês 
 25.000(2) 50.000 
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. 
 
Operações com um conjunto de títulos 
 
Veremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de 
títulos ou duplicatas. 
 
Exemplo 04: 
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa 
de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ? 
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) 
A 2.500,00 25 dias 
B 3.500,00 57 dias 
C 6.500,00 72 dias 
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. 
Solução algébrica: 
a)Duplicata A: 
DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50 
 30 
b)Duplicata B: 
DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50 
 30 
c)Duplicata C: 
DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00 
 30 
Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00 
 10 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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Paulo: Atlas,2002. 
 
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12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo: 
Saraiva, 2002. 
 
FARO, Clovis de. Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982. 
 
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira –54a ed. – São Paulo: Saraiva, 
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_________. Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual, 1993. 
 
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SÁ, Ilydio Pereira de. Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira- R. de Janeiro: Editora 
Ciência Moderna Ltda., 2008. 
 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 3a 
ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002. 
 
SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes. Matemática para o Ensino Médio- São 
Paulo: IBEP, 2000 
 
VIEIRA Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.