Apostila Matemática Financeira

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Apostila de Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
Conteúdo 
1. Conceitos Básicos .................................................................................................... 4 
1.1 Introdução – Fundamentos e Objetivos da Matemática Financeira ....................... 4 
1.2 Conceito de Juros ................................................................................................. 4 
1.3 Regimes de Juros Adotados ................................................................................. 5 
1.4 Fluxo de Caixa de Uma Operação ........................................................................ 5 
1.5 Revisão Sobre Porcentagem ................................................................................. 6 
1.6 Taxas de Juros ..................................................................................................... 7 
1.7 Exercícios ............................................................................................................ 9 
2. Juros Simples......................................................................................................... 10 
2.1 Juros Simples – Crescimento Linear .................................................................. 10 
2.2 Fórmula dos Juros Simples e do Montante ......................................................... 11 
2.3 Exercícios .......................................................................................................... 13 
2.4 Taxas Proporcionais ou Taxas Equivalentes a Juros Simples .............................. 14 
2.5 Exercícios .......................................................................................................... 15 
2.6 Juro Exato e Juro Comercial .............................................................................. 16 
2.7 Exercícios .......................................................................................................... 16 
2.8 Valor Nominal e Valor Atual (ou Presente) ........................................................ 17 
3. Desconto Simples .................................................................................................. 18 
3.1 Desconto “Por Dentro” ou Racional ................................................................... 18 
3.2 Desconto “Por Fora” ou Comercial .................................................................... 21 
3.3 Desconto Bancário ............................................................................................. 23 
3.4 Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro” e “Por Fora” ......................... 25 
3.5 Exercícios .......................................................................................................... 26 
4. JUROS COMPOSTOS .......................................................................................... 28 
4.1. Fórmula do Montante ou Valor Futuro .............................................................. 28 
4.2 Exercícios .......................................................................................................... 32 
4.3 Períodos Não Inteiros ......................................................................................... 33 
4.4 Exercícios: ......................................................................................................... 34 
4.5 Taxas Equivalentes a Juros Compostos .............................................................. 35 
4.6 Exercícios .......................................................................................................... 37 
4.7 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ............................................................................. 38 
4.8 Exercícios .......................................................................................................... 39 
5. DESCONTO COMPOSTO .................................................................................... 40 
5.1 Desconto Composto Por Dentro ou Racional ..................................................... 40 
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5.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário (“por fora”) ................................... 41 
5.3 Exercícios .......................................................................................................... 42 
6. Equivalência de Capitais a Juros Compostos .......................................................... 44 
6.1 Equivalência de Dois Capitais ............................................................................ 44 
6.2 Conjunto de Capitais Equivalentes ..................................................................... 45 
6.3 Exercícios .......................................................................................................... 46 
7. Sequência de Capitais ............................................................................................ 47 
7.1 Sequência Uniforme de Capitais ........................................................................ 47 
7.2 Exercícios - Sequência Uniforme de Capitais ..................................................... 48 
8. Amortização de Empréstimos ................................................................................ 51 
8.1 Introdução ......................................................................................................... 51 
8.2 Sistema de Amortizações Constantes (SAC) ..................................................... 52 
8.3 Sistema de Amortização Francês – Tabela Price................................................. 53 
8.4 Cálculo do Saldo Devedor No Sistema Francês .................................................. 54 
8.5 Sistema de Amortizações Crescentes - (SACRE) ............................................. 55 
8.6 Sistema de Amortização Americano................................................................... 56 
8.7 Exercícios .......................................................................................................... 57 
Bibliografia ............................................................................................................... 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Conceitos Básicos 
 
1.1 Introdução – Fundamentos e Objetivos da Matemática Financeira 
 
A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as formas de evolução do dinheiro ao 
longo do tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. A Matemática Financeira 
nos fornece instrumentos para a tomada de decisão em relação a aplicações, investimentos, 
compra e venda de bens, etc., ou seja, nos auxilia para decidirmos o que fazer com o capital. 
É importante que fique bem claro, os principais objetivos da Matemática Financeira, bem 
como seu mandamento fundamental. 
Objetivos principais: 
• a transformação e o manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros 
de cada período, para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; 
• a obtenção da taxa interna de retorno de juros que está implícita no fluxo de caixa; 
• a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa. 
 
Mandamento Fundamental: os valores de uma mesma data são grandezas que podem ser 
comparadas e somadas algebricamente; valores de datas diferentes são grandezas que só 
podem ser comparadas e somadas algebricamente depois de serem movimentadas para uma 
mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros. 
 
1.2 Conceito de Juros 
 
Chamamos de capital a qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) 
empresta para outra durante certo período de tempo. Tendo em vista que o emprestador se 
abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em funçãoda perda de poder aquisitivo do 
dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro. São os juros que 
efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de 
novos investimentos na economia. 
 
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As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: 
• o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado 
genericamente pela incerteza com relação ao futuro; 
• a perda de poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um 
fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de 
compra com o mesmo montante; 
• o capital emprestado ou aplicado. Os juros devem gerar um lucro ao proprietário do 
capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de 
tempo. 
 
1.3 Regimes de Juros Adotados 
 
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como juros 
simples e juros compostos. 
 
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende 
juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rende juros. 
 
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o cálculo de 
novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. 
 
1.4 Fluxo de Caixa de Uma Operação 
 
O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução 
de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a partir 
de um instante inicial; a unidade de tempo pode ser qualquer ano, mês, dia, etc. As entradas de 
dinheiro num determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal e 
orientadas para cima (+); as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a 
orientação das setas é para baixo (−). 
 
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1.5 Revisão Sobre Porcentagem 
 
Porcentagem ou percentagem é o valor que se obtém ao aplicar a taxa percentual em um 
determinado valor que chamaremos de principal. 
 
 𝑝 = 𝑃𝑉 × 𝑖 onde, 𝑃𝑉 é o principal, 𝑖 a taxa percentual e 𝑝 a porcentagem. 
 
 
Exemplo 1: Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão 
numa venda de $3.600,00? 
Resolução: Seja p a comissão obtida, logo 
p = $3.600,00 × 
3
100
= $108,00. 
Portanto a comissão será de $108,00. 
 
 
Exemplo 2: Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Qual o número total de alunos do 
colégio, se o número de meninas é igual a 182? 
Resolução: Seja T o número total de alunos do colégio, logo 
182 = 𝑇 ×
26
100
⟹ 𝑇 =
182 × 100
26
= 700. 
Portanto, temos um total de 700 alunos no colégio. 
 
 
 
 
 
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1.6 Taxas de Juros 
 
A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do 
capital utilizado durante certo período de tempo. 
As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e 
podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. 
• A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada 
centésima parte do capital. 
Por exemplo, um capital de $1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros, ao final 
deste período: 
 
𝐽𝑢𝑟𝑜 = 
 $1.000,00
100
× 20 = $10,00 × 20 = $200,00 
 
O capital de $1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração 
total da aplicação no período é, portanto, de $200,00. 
 
• A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade 
do capital em certo período de tempo. 
No exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 
(20 100⁄ ) por unidade de capital aplicado, ou seja: 
 
𝐽𝑢𝑟𝑜 = $1.000,00 ×
20
100
= $1.000,00 × 0,20 = $200,00. 
 
A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da 
notação em percentual por 100. Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária 
por 100. 
 
 
 
 
 
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Exemplos na tabela: 
Taxa percentual Taxa unitária 
1,5% 0,015 
8% 0,08 
17% 0,17 
86% 0,86 
120% 1,20 
1.500% 15,0 
 
 
Observação: Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados 
utilizando-se a taxa unitária de juros. Nos enunciados e nas respostas dos exercícios os juros são 
indicados pela taxa percentual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.7 Exercícios 
 
1) Em uma liquidação, uma camisa que custava $240,00 foi vendida com 25% de 
abatimento. De quanto foi o abatimento? 
 
2) Um corretor recebe $5.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de 
comissão. Qual o valor de venda das propriedades? 
 
3) Uma pessoa devia $20.000,00 e pagou $7.400,00. Qual a porcentagem da dívida que foi 
paga? 
 
4) Paulo é vendedor de café e recebe 1,8% de comissão pelas vendas que efetua. Sabendo 
que o café está custando $7,10 o quilograma e que Paulo precisa ter uma renda de 
$3.450,00 este mês para que possa pagar todas as suas contas, quantos quilos de café 
Paulo deverá vender este mês? 
 
5) Calcule 25% de 30% de 1800. 
 
6) Um terreno tem 70% de sua área plantada, o que corresponde a 154 hectares. Qual a 
área total do terreno? 
 
7) Uma pessoa deseja comprar uma TV que custa $1.460,00. Se o pagamento for à vista, 
tem-se um desconto de 5%. Qual o preço da TV à vista? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Juros Simples 
 
2.1 Juros Simples – Crescimento Linear 
 
No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do 
capital inicial aplicado. Os juros de cada período não são somados ao capital para o cálculo de 
novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não 
rende juros. 
 
Exemplo: Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco ABC, pelo 
prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. 
Determinar o valor dos saldos credores desse investidor no Banco ABC no final de cada um dos 
quatro anos da operação. 
 
Solução: A tabela abaixo apresenta dos valores solicitados em reais: 
 
Ano Saldo no 
início do 
ano 
Juros do ano Saldo no final do 
ano antes do 
pagamento 
Pagamento 
do ano 
Saldo no final do 
ano após o 
pagamento 
1 1.000,00 8% 𝑑𝑒 1.000,00
= 80,00 
1.080,00 0,00 1.080,00 
2 1.080,00 8% 𝑑𝑒 1.000,00
= 80,00 
1.160,00 0,00 1.160,00 
3 1.160,00 8% 𝑑𝑒 1.000,00
= 80,00 
1.240,00 0,00 1.240,00 
4 1.240,00 8% 𝑑𝑒 1.000,00
= 80,00 
1.320,00 1.320,00 0,00 
 
 
 
 
 
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A representação gráfica dos valores da tabela é mostrada a seguir: 
 
 
 
 
Figura 1: Crescimento de R$1.000,00 a juros simples de 8% ao ano 
 
2.2 Fórmula dos Juros Simples e do Montante 
 
Os juros simples são calculados pela fórmula: 
 
O montante (valor futuro) é a somatória do capital ou valor presente mais os juros. 
 
 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝐽 ⟹ 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛 ⟹ 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖. 𝑛) 
 
Logo, temos: 
 
 
Onde: 
𝐽 = 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝐹𝑉 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝑛 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 
 
 
1000
1080
1160
1240
1320
1400
0 1 2 3 4 5
J = PV . i . n 
FV = PV(1 + i. n) 
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Observação: Na resolução de qualquer problema financeirodevemos observar as unidades 
de tempo da taxa de juros e do prazo, pois ambas devem se referir à mesma unidade de tempo. 
 
Exemplo 1: Um capital de $5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três meses, à taxa 
de 5% ao mês. 
a) Obtenha os juros. 
b) Obtenha o montante. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Que capital rende juros simples de $3.000,00 no prazo de cinco meses, se a 
taxa for de 2% a.m.? 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Em uma aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% ao ano, o 
montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. 
 
 
 
 
Exemplo 4: Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu 
$9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? 
 
 
 
 
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2.3 Exercícios 
 
1) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês, durante um trimestre. Pede-se 
determinar o valor dos juros simples acumulados neste período. 
 
2) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês, 
durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270,00 o total dos juros auferidos 
na operação. Determinar o valor do empréstimo. 
 
3) Um capital de $7.000,00 é aplicado a juros simples durante um ano e meio, à taxa de 50% ao 
semestre. Calcule o montante. 
 
4) Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa 1,5% ao mês, durante 8 meses. Determine o valor 
acumulado ao final deste período. 
 
5) Qual o montante de uma aplicação de $6.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 
8% ao mês? 
 
6) Em uma aplicação de $2.000,00, à taxa de juros simples de 2% ao ano, o montante recebido 
foi de $2.800,00. Determinar o prazo da aplicação. 
 
7) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% ao ano 
para que duplique? 
 
8) Bruno aplicou $300.000,00 pelo prazo de 12 meses e recebeu $90.000,00 de juros. Calcule a 
taxa de juros simples semestral da aplicação e a taxa de juros simples mensal. 
 
 
 
 
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2.4 Taxas Proporcionais ou Taxas Equivalentes a Juros Simples 
 
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas sobre um 
mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido 
possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de 1 ano. 
 
 
Exemplo 1: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.? 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.? 
 
 
 
 
 
 
Como pudemos observar nos exemplos precedentes, as taxas equivalentes são 
proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. Isto pode ser justificado da seguinte 
forma: sejam 𝑖1 e 𝑖2 duas taxas equivalentes, e sejam 𝑑1 e 𝑑2 os prazos (em dias) das 
referidas taxas. Como elas são equivalentes, considerando um capital 𝑃𝑉 e um prazo de 
aplicação de 1 ano, devemos ter 
 
𝑃𝑉 . 𝑖1 . 
360
𝑑1
= 𝑃𝑉 . 𝑖2 . 
360
𝑑2
 ⟹ 
𝑖1
𝑖2
=
𝑑1
𝑑2
 
 
 
 
 
1 × 𝑖𝑎 = 2 × 𝑖𝑠 = 4 × 𝑖𝑡 = 6 × 𝑖𝑏 = 12 × 𝑖𝑚 = 360 × 𝑖𝑑 
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2.5 Exercícios 
 
1) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
a) 15% a.t. 
b) 24% a.s. 
c) 0,04% a.d. 
 
2) Calcule a taxa anual proporcional a: 
a) 1,5% a.m. 
b) 8% a.t. 
c) 21% a.s. 
d) 0,05% a.d. 
 
3) Qual o montante de uma aplicação de $6.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 
8% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 Juro Exato e Juro Comercial 
 
É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos é 
conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas 
convenções: 
▪ 1ª - considerando-se o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu 
número real de dias; ou 
▪ 2ª - considerando-se o ano comercial com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias. 
 
Os juros obtidos segundo a 1ª convenção são chamados juros exatos, e aqueles obtidos 
pela 2ª convenção, juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais. 
 
Exemplo: Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de 
juros simples. 
a) Obter os juros exatos; 
b) Obter os juros comerciais. 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 Exercícios 
 
1) Um capital de R$25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a., pelo prazo de 67 
dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação. 
 
2) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a certa taxa anual, rendeu 
R$240,00. Determine os juros auferidos nessa aplicação se fossem comerciais. 
 
3) Uma aplicação de R$800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de R$908,00 após 
135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação. 
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2.8 Valor Nominal e Valor Atual (ou Presente) 
 
Considerando-se que uma pessoa tenha uma dívida de $11.000,00 a ser paga daqui a 5 
meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto 
precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? 
Em situações como esta, costuma-se chamar o valor da dívida, na data de seu vencimento, 
de valor nominal. Ao valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data do 
vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual 
ou (valor presente). 
Indicando por 𝑁 o valor nominal, por 𝑉 o valor atual, por 𝑖 a taxa de juros e por 𝑛 o prazo da 
aplicação até o vencimento. Temos, portanto: 
 
 
 
 
 
Assim, no exemplo citado, teremos: 
 
V + V. (0,02). 5 = 11.000 
 
1,1. V = 11.000 
 
V =
11.000
1,1
= 10.000 
 
Dessa forma, esta pessoa deverá aplicar $10.000,00 hoje, para saldar o compromisso 
mencionado daqui a 5 meses. 
 
Exercício: Uma dívida de $50.000,00 vence daqui a 8 meses. Considerando uma taxa de 
juros simples de 2% a.m., calcule seu valor atual: 
a) hoje; 
b) 3 meses antes do vencimento; 
c) daqui a 2 meses. 
 
 𝑉 + 𝑉. 𝑖. 𝑛 = 𝑁 
 
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3. Desconto Simples 
 
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual. 
A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em 
determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande 
quantidade é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio 
é bastante comum também o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o 
comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço 
oferecido. 
Outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um 
produto a prazo; neste caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber 
do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, 
poderá ir a um banco e efetuar um desconto de duplicata, ocorrendo o seguinte: a empresa 
cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido 
antecipadamente. 
De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas 
promissórias num banco. As notas promissórias surgem quando, por alguma razão, um devedor 
assume uma dívida junto a um credor; a nota promissória é um papel que representa uma 
promessa de pagamento ao credor, feita pelo devedor. 
As operações de desconto de duplicatas e promissórias, sendo bastante comuns no sistema 
financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizado chamado desconto 
comercial ou bancário. 
 
3.1 Desconto “Por Dentro” ou Racional 
 
A taxa de juros 𝑖, também denominada taxa de rentabilidade ou,ainda, taxa de desconto 
“por dentro”, pode ser obtida a partir da fórmula do montante a juros simples, 𝐹𝑉 =
𝑃𝑉(1 + 𝑖. 𝑛), isolando a taxa de juros 𝑖. Logo 
 
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 𝑖 = (
𝐹𝑉
𝑃𝑉
− 1) × 
1
𝑛
 
 
 
 
 O valor do desconto, expresso em reais, corresponde aos juros acumulados no período. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro e o valor 
presente, ou seja: 
 
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
 
 
O valor do desconto “por dentro” ou racional, (denotado por 𝐷𝑑), é obtido multiplicando-
se o valor presente 𝑃𝑉 pela taxa de desconto 𝑖, e esse produto pelo prazo da operação 𝑛, ou 
seja: 
𝐷𝑑 = 𝑃𝑉. 𝑖. 𝑛 
 
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita (desconhecido), sendo 
normalmente conhecidos o valor futuro 𝐹𝑉, o prazo 𝑛, e a taxa de desconto 𝑖. Vamos a seguir 
deduzir a fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis 
conhecidas. 
O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da 
expressão geral para desconto, isto é: 
 
 
 𝐷𝑑 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
 
 
 
A partir da expressão, 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉(1 + 𝑖. 𝑛), pode-se obter a seguinte relação: 
 
 
 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
 
 
 
20 
 
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Substituindo o valor de 𝑃𝑉 na expressão do desconto obtemos: 
 
 
 
𝐷𝑑 = 𝐹𝑉 . 
𝑖. 𝑛
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa 
operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do 
principal é R$9.750,00. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determinar o valor do desconto simples “por dentro” de um título de 
$1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 
1,2% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
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3.2 Desconto “Por Fora” ou Comercial 
 
A expressão genérica do valor do desconto “por fora” ou comercial, no regime de juros 
simples, é baseada no fluxo de caixa representado no diagrama a seguir, que obedece à 
simbologia desenvolvida anteriormente. 
 
 
 
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da 
taxa de desconto 𝑑 sempre sobre o valor futuro 𝐹𝑉, ou valor nominal, fazendo com que os 
descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos: 
 
desconto de 𝑛 períodos: 𝑛 . 𝐹𝑉 . 𝑑 
 
Observar que a taxa de desconto 𝑑 (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro 𝐹𝑉 para 
produzir o valor presente 𝑃𝑉, ao passo que a taxa de desconto 𝑖 (“por dentro”), ou taxa de 
rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente 𝑃𝑉 para produzir o valor futuro 𝐹𝑉. 
Assim, o valor do desconto “por fora” 𝐷𝑓, ou comercial, é obtido multiplicando-se o valor futuro 
𝐹𝑉 pela taxa de desconto 𝑑 por período, e esse produto pelo número de períodos de desconto 
𝑛, ou seja: 
 
𝐷𝑓 = 𝐹𝑉 . 𝑑 . 𝑛 
 
O valor presente 𝑃𝑉, ou valor atual, resultante do desconto “por fora” sobre o montante 
𝐹𝑉, durante 𝑛 períodos, com uma taxa de desconto 𝑑 por período, é obtido, a juros simples, 
pela expressão: 
22 
 
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𝑃𝑉 = 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝐹𝑉 − 𝑛 . 𝐹𝑉. 𝑑 
 
 
ou seja, 
 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉. (1 − 𝑑 . 𝑛) 
 
 
em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto 𝑑 deve coincidir com a unidade 
referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos 𝑛. 
 
Convém ressaltar que a expressão anterior para o cálculo do valor presente 𝑃𝑉 tem 
limitações práticas, pois só pode ser utilizada para valores de 𝑑 e 𝑛 tais que o produto 𝑑. 𝑛 ≤ 1, 
pois, caso contrário, podemos chegar ao absurdo de encontrar valores de 𝑃𝑉 ≤ 0. 
A relação, 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑑 . 𝑛), fornece a seguinte expressão para a obtenção da taxa de 
desconto 𝑑 “por fora”, ou comercial: 
 
 
 𝑑 = (1 −
𝑃𝑉
𝐹𝑉
) × 
1
𝑛
 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com 
vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês. 
 
 
 
23 
 
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Exemplo 2: Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa 
operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor 
do principal igual a $9.750,00. 
 
 
 
 
 
 
3.3 Desconto Bancário 
 
Uma variação das operações de desconto comercial poder ser representada pelo desconto 
bancário. As operações de desconto bancário são similares às operações de desconto comercial, 
porém, no caso do desconto bancário, existe a cobrança de uma taxa na operação, que 
comumente inclui o Imposto sobre Operações Financeiras (IOF), o que alteraria levemente a 
expressão anterior. De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto comercial mais 
uma taxa prefixada incidente sobre o valor nominal uma única vez, chamemos de ℎ esta taxa. 
Algebricamente, poder ser apresentado da seguinte forma: 
 
𝐷𝑏 = 𝐷𝑓 + ℎ. 𝐹𝑉 
 
𝐷𝑏 = 𝐹𝑉. 𝑛. 𝑑 + ℎ. 𝐹𝑉 
 
Logo, 
 
 
O valor presente ou valor líquido da operação de desconto bancário pode ser calculado 
mediante a aplicação da seguinte fórmula: 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 − 𝐷𝑏 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 − 𝐹𝑉(𝑛. 𝑑 + ℎ) 
𝐷𝑏 = 𝐹𝑉(𝑛. 𝑑 + ℎ) 
24 
 
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Assim, 
 
 
 
Exemplo 1: A Cia. Náufragos do Deserto S.A. possui em seu grupo de contas a receber um 
cheque pré-datado no valor de $3.000,00 cuja data de depósito está programada para daqui a 
três meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar este título em um banco que cobra 
uma taxa de desconto por fora de 2% a.m. mais uma taxa operacional igual a 1% do valor 
nominal, calcule o desconto sofrido pelo título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2: O Banco Bom da Praça costuma realizar operações de desconto de notas 
promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 3% ao mês. 
Além disso, cobra a título de serviços uma taxa igual a 0,2% sobre o valor nominal. Qual será o 
valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a $40.000,00 e 
vencimento em 50 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑛. 𝑑 − ℎ) 
25 
 
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3.4 Relação entre as Taxas de Desconto “Por Dentro” e “Por Fora” 
 
As expressões 𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1+𝑖.𝑛
 e 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉(1 − 𝑑 . 𝑛) permitem escrever a relação: 
 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1+𝑖.𝑛
= 𝐹𝑉(1 − 𝑑 . 𝑛) que fornece 1 − 𝑑 . 𝑛 =
1
1+𝑖.𝑛
 
 
Nessa relação, ao se explicitar a taxa 𝑖 (desconto “por dentro”), ou a taxa 𝑑 (desconto “por 
fora”), obtém-se, respectivamente: 
 
 
𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑. 𝑛
 
 
 
 
𝑑 =
𝑖
1 + 𝑖. 𝑛
 
 
 
Nessas duas relações, as unidades referenciais de tempo das taxas 𝑖 e 𝑑 devem coincidir 
com a unidade referencial de tempo utilizada para medir o número de períodos 𝑛. 
 
Exemplo: No exemplo 1 do item 3.1 e no exemplo 2 do item 3.2, foram calculadas as taxas 
de desconto “por dentro” e “por fora”, respectivamente, de um mesmo título com as seguintes 
características: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅$10.000,00 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑅$9.750,00 
𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 = 60 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. 
Usar as expressões acima para verificar a relação entre essas duas taxas de desconto, 
considerando, o ano comercial com 360 dias. 
 
 
26 
 
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3.5 Exercícios 
 
1) Um comerciante tem uma duplicata com valor de R$9.000,00 com vencimento para dois 
meses e pretende descontá-la em um banco à taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual 
o valor líquido a que ele terá direito? 
 
2) Sr. Décio tem um lote de cheques pré-datados com vencimento em 45 dias com o valor 
nominal de R$6.550,00. Tendo negociado com seu gerente uma taxa de desconto comercial 
de 4% a.m., quanto deverá receber? 
 
3) Qual o valor nominal de uma duplicata que foi descontada por R$2.345,00, sessenta dias 
antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 3,6% a.m.? 
 
4) Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75, a taxa de 
desconto comercial de 6% a.a., 4 meses antes do vencimento? 
 
5) Um título foi descontado a taxa de desconto racional de 2% a.m.. Sabendo-se que o valor 
nominal era R$7.144,40 e o valor descontado R$6.740,00, qual o prazo de antecipação? 
Resposta: 3 meses 
 
 
6) Uma duplicata de valor nominal de R$9000,00 é descontada em um banco dois meses 
antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 5% a.m., 
pede-se: 
a) o desconto comercial 
b) o valor líquido recebido 
c) a taxa efetiva de juros 
 
7) Um título de valor nominal de R$200.00,00 foi descontado três meses antes do 
27 
 
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vencimento. Sendo de 96% a.a. a taxa de desconto comercial, determine o desconto e o 
valor atual comercial. 
 
8) Uma nota promissória de valor nominal de R$860,00 foi paga 3 meses e 15 dias antes de 
seu vencimento com desconto comercial de 1,5% a.m.. 
a) Qual o valor do resgate? 
b) Qual a taxa efetiva de juros? 
 
9) O valor atual de um título, pelo desconto comercial de 2% a.m., 5 meses antes de seu 
vencimento, é de R$720,00. Qual o valor atual desse título pelo desconto racional? 
 
10) Um título com vencimento em 18/09 foi resgatado em 20/07 por R$2.560,00, sabendo que 
a taxa de desconto comercial foi de 3%a.m., calcule o valor nominal do título 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
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4. JUROS COMPOSTOS 
 
Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, o juro se 
incorpora ao principal e calcula-se o juro sobre o montante relativo ao período anterior. 
 
4.1. Fórmula do Montante ou Valor Futuro 
 
O montante ou valor futuro é dado por: 
 
 
 
 
O fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. 
 
O valor dos juros compostos pode ser obtido pela fórmula: 
 
 
 ou 
 
 
 
Exemplo 1: Um capital de $6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à 
taxa de 2% ao mês. 
a) Qual o montante? 
b) Qual o total de juros auferidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 . (1 + 𝑖)𝑛 
𝐽 = 𝑃𝑉 . [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝐽 = 𝐹𝑉 − 𝑃𝑉 
29 
 
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Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: 
a) 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
6000 
 
CHS indica uma saída de caixa e PV entra com o Valor 
Presente ou Capital 
3 
 
Entra com o Prazo da operação (deve estar na mesma 
unidade de tempo da taxa) 
2 
 
Entra com a Taxa de Juros 
 
 6.327,25 Retorna o Valor Futuro ou Montante 
 
 
b) Após os passos anteriores faz o seguinte: 
 
 
327,25 
 
Esta sequência recupera o Valor Presente (negativo) 
e o soma com o Valor Futuro o que resulta no Valor 
dos Juros 
 
 
 
Exemplo 2: Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% ao mês, produz um 
montante de $3.500,00 após um ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
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Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
3500 
 
Entra com o Valor Futuro 
12 
 
Entra com o Prazo da operação (deve estar na mesma 
unidade de tempo da taxa) 
2,5 
 
Entra com a Taxa de Juros 
 
 -2.602,45 
Retorna o Capital ou Valor Presente (negativo, pois 
indica uma saída de caixa) 
 
 
Exemplo 3: Um capital de $2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, 
produzindo um montante de $3.500,00. Qual a taxa de juros? 
 
 
 
Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
3500 
 
Entra com o Valor Futuro 
2500 
 
Entra com o Valor Presente (negativo, pois indica uma 
saída de caixa) 
4 
 
Entra com o Prazo da operação (deve estar na mesma 
unidade de tempo da taxa) 
 
 8,78 Retorna a taxa de juros (na forma percentual %) 
31 
 
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Exemplo 4: Durante quanto tempo um capital de $1.000,00 deve ser aplicado a juros 
compostos à taxa de 10% ao mês para resultar em um montante de $1.610,51? 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
1610,51 
 
Entra com o Valor Futuro 
1000 
 
Entra com o Valor Presente (negativo, pois indica uma 
saída de caixa) 
10 
 
Entra com a taxa de juros mensal 
 
 5 Retorna o prazo da aplicação em meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
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4.2 Exercícios 
 
1) Calcule o montante produzido por R$2.000,00, aplicado em regime de juro composto a taxa 
de 5% ao mês, durante 3 meses. 
 
2) Durante quanto tempo devemos aplicar um capital, para que o mesmo dobre, sendo a taxa 
de 3% ao mês a juros compostos? 
 
3) Estou querendo comprar um notebook que custa R$4.690,00. O vendedor da loja me 
garantiu que este preço não sofrerá aumento nos próximos 6 meses. Meu gerente do 
banco me ofereceu uma aplicação com taxa de 2% ao mês, quanto devo aplicar hoje para 
que eu possa comprar o notebook, daqui a 6 meses? 
 
4) Calcule o montante de uma aplicação de R$8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 
meses. 
 
5) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, 
durante 4 meses, rendeu um montante de R$79.475,00, calcule o capital inicial aplicado. 
 
6) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$3.200,00, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de R$4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
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4.3 Períodos Não Inteiros 
 
Na fórmula do montante, vista no item anterior, o prazo era um número inteiro não 
negativo. A fórmula do montante 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 + 𝑖)𝑛 é geralmente estendida para valores de 
𝑛 positivos e não inteiros, e esta convenção é conhecida como convenção exponencial. 
Teoricamente, há outra convenção, chamada convenção linear, que consiste em calcular o 
montante a juros compostos durante a parte inteira do período e, sobre o montante assim 
obtido, aplicar juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Esta última 
convenção é raramente utilizada na prática. 
Observação: Para a maioria das calculadoras financeiras, as teclas financeiras estão 
programadas para funcionar de acordo com a convenção exponencial. Uma exceção ocorre com 
a calculadora modelo HP-12C, que efetua o cálculo por ambas as convenções: acionando-se a 
tecla STO e, em seguida, a tecla EEX, aparecerá no visor a letra C; nestas condições, ela estará 
operando pela convenção exponencial. Acionando-se novamente o par de teclas mencionado, a 
letra C desaparecerá do visor; ela estará operando pela convenção linear. 
 
Exemplo: Um capitalde R$1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e 
meio, à taxa de 8% ao mês: 
a) Qual o montante pela convenção exponencial? 
b) Qual o montante pela convenção linear? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
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4.4 Exercícios: 
 
1) Mário fez uma aplicação de R$12.000,00 por 18 meses à taxa de 22% a.a. 
a) Qual o montante pela convenção exponencial? 
b) Qual o montante pela convenção linear? 
 
2) Em um empréstimo a juros compostos de R$100.000,00, a taxa foi de 2% a.m. e o prazo de 
90 dias. No entanto, havia uma cláusula contratual estabelecendo a convenção linear caso 
o pagamento fosse feito com atraso. Se o pagamento foi feito com um atraso de 17 dias, 
qual o valor do montante? 
 
3) Uma empresa recebeu um empréstimo para capital de giro no valor de R$30.000,00, para 
pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a. a.. Qual o 
montante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
4.5 Taxas Equivalentes a Juros Compostos 
 
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas em um 
mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem montantes iguais. 
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o montante produzido pelo 
capital 𝑃𝑉, aplicado a taxa 𝑖𝑎, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo 
capital 𝑃𝑉, aplicado a taxa 𝑖𝑚, durante 12 meses. 
 
Ou seja, 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖𝑎)
1 = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑖𝑚)
12 
 
o que resulta em (1 + 𝑖𝑎)
1 = (1 + 𝑖𝑚)
12 
 
Para outras frações de ano, temos: 
 
(1 + 𝑖𝑎)
1 = (1 + 𝑖𝑠)
2 = (1 + 𝑖𝑡)
4 = (1 + 𝑖𝑏)
6 = (1 + 𝑖𝑚)
12 = (1 + 𝑖𝑑)
360 
 
Exemplo 1: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
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Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: Neste 
caso utilizamos um valor presente qualquer, pois não faz diferença, por exemplo 100. 
 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
100 
 
Entra com o Valor Presente (negativo, pois indica uma 
saída de caixa) 
12 
 
Entra com o prazo de um ano contato em meses 
2 
 
Entra com a taxa de juros mensal 
 
 126,82 Retorna o Valor Futuro da Operação 
1 
 
Alteramos o prazo para a unidade de tempo de acordo 
com a taxa que queremos, neste caso taxa anual, o prazo 
é 1 
 
26,82 Retorna a taxa de juros composto anual equivalente 
 
 
Exemplo 2: Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
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Para resolvermos pela calculadora financeira HP-12C, temos de proceder como segue: Neste 
caso utilizamos um valor presente qualquer, pois não faz diferença, por exemplo 100. 
 
 
Limpa os registros financeiros da memória da HP-12C 
100 
 
Entra com o Valor Presente (negativo, pois indica uma 
saída de caixa) 
1 
 
Entra com o prazo de um ano contato em anos. 
15 
 
Entra com a taxa de juros anual 
 
 115,00 Retorna o Valor Futuro da Operação 
4 
 
Alteramos o prazo para a unidade de tempo de acordo 
com a taxa que queremos, neste caso taxa trimestal, o 
prazo é 4 trimestres 
 
3,56 Retorna a taxa de juros composto trimestral equivalente 
 
 
 
4.6 Exercícios 
 
1) Qual a taxa trimestral equivalente a taxa de 30% ao ano? 
 
2) Calcule a taxa anual equivalente a taxa de 2% ao mês? 
 
3) Determine à taxa bimestral equivalente a taxa de 18% ao semestre? 
 
4) Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 25% ao mês? 
 
38 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
4.7 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 
 
Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que a taxa 
se refere. 
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual. 
Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, 
por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
 
Exemplo: Uma aplicação paga 6% ao ano de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa 
nominal? Qual a taxa mensal de juros? 
 
 
 
 
 
Taxa efetiva é a taxa que representa o custo ou remuneração efetiva da operação 
financeira em pauta, tomando-se como base de cálculo o valor do capital que realmente foi 
recebido ou desembolsado na data da contratação. 
É evidente que, ao adotarmos a convenção que a taxa por período de capitalização seja 
proporcional à taxa nominal, teremos uma taxa efetiva por período de capitalização e uma taxa 
efetiva anual que será maior que a taxa nominal anual. 
 
Exemplo: Uma aplicação paga 6% ao ano de juros, capitalizados mensalmente, logo qual é a taxa 
efetiva de juros do período? 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
4.8 Exercícios 
 
1) Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva. 
2) Um banco emprestou a importância de R$35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco 
cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o 
montante a ser devolvido ao final dos 2 anos? 
3) O capital de R$18.000,00 foi colocado por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados 
trimestralmente. Qual o montante? 
4) Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% ao ano capitalizados trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
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5. DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto 
simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento. 
Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do 
desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. 
Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: “por 
dentro” e “por fora”. 
5.1 Desconto Composto Por Dentro ou Racional 
 
O desconto por dentro representa o juro incidente sobre o valor líquido. Comparando, o 
cálculo do desconto racional com o dos juros compostos, podemos observar que: 
• O valor nominal representa o montante; 
• O desconto corresponde aos juros; 
• E o valor líquido, sobre o qual é calculado o desconto, corresponde ao capital ou valor 
atual. 
 
Calculo do desconto a partir do valor nominal ou valor futuro: 
 
 
 
 
Calculo do desconto a partir do valor atual ou valor presente: 
 
 
 
 
Calculo do valor atual (líquido ou descontado) 
 
 
 
𝐷𝑐 = 𝐹𝑉. (1 − (1 + 𝑖)
−𝑛) 
 
𝐷𝑐 = 𝑃𝑉. ((1 + 𝑖)
𝑛 − 1) 
 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
41 
 
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Exemplo 1: Um título de $60.000,00 foi resgatado três meses antes de seu vencimento, a 
uma taxa de juros de 3% ao mês. Calcule o valor atual desse título, segundo o conceito de 
desconto composto por dentro. 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o valor do desconto composto por dentro de um título de $80.000,00, 
descontado a uma taxa de juros de 5% ao mês, quatro meses antes de seu vencimento? 
 
 
 
 
 
 
5.2 Desconto Composto Comercial ou Bancário (“por fora”) 
 
Seu valor é calculado com base na aplicação de uma taxa de desconto composto sobre o 
valor nominal (futuro) do título, por 𝑛 períodos antes de seu vencimento. Exemplo: para um 
período, o valor do desconto será calculado aplicando-se a taxa de desconto sobre o valor 
nominal inicial do título; para o segundo período, o valor do desconto será obtido pela aplicação 
da taxa de desconto sobre o valor atual obtido anteriormente (𝐹𝑉 − 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜); para o terceiro 
período,o valor do desconto será obtido pela aplicação da taxa de desconto sobre o valor atual 
anterior, ou seja, o valor nominal do título menos os descontos do primeiro e segundo períodos, 
e assim sucessivamente até o último período definido. 
Obtemos as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 ou 𝐷𝑐𝑓 = 𝐹𝑉. (1 − (1 − 𝑑)
𝑛) 𝐷𝑐𝑓 = 𝑃𝑉. ((1 − 𝑑)
−𝑛 − 1) 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉. (1 − 𝑑)𝑛 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉. (1 − 𝑑)−𝑛 
42 
 
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onde: 
𝐹𝑉 é o valor nominal do título; 
𝑃𝑉 é o valor atual do título; 
𝑑 é a taxa de desconto por fora; 
𝑛 é o prazo expresso na mesma unidade de tempo da taxa; 
𝐷𝑐𝑓 é valor do desconto. 
 
No mercado financeiro brasileiro, o desconto composto comercial ou bancário tem 
demonstrado pouca aplicação prática. 
 
Exemplo 1: Um título de $60.000,00 foi resgatado três meses antes de seu vencimento, a 
uma taxa de desconto de 3% ao mês. Calcule o valor atual desse título, segundo o conceito de 
desconto por fora. 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o valor do desconto composto por fora de um título de $80.000,00, 
descontado a uma taxa de 5% ao mês, quatro meses antes de seu vencimento? 
 
 
 
5.3 Exercícios 
 
1) Calcular o desconto composto por dentro de um título de R$4.600,00 dois meses antes do 
vencimento, à taxa de 2% ao mês. 
2) Determine o valor atual de um título de R$3.000,00 resgatado três meses e 15 dias antes de 
seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Resposta: R$2.751,62 
3) Qual o desconto de um título de R$5.000,00 submetido a desconto composto, com 
capitalização bimestral à taxa de 9% ao trimestre, seis meses antes do vencimento? 
Resposta: R$801,90 
43 
 
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4) Um título de R$4.000,00 é resgatado por R$3.553,95, faltando oito meses para seu 
vencimento. Calcular a taxa nominal (anual) da operação, considerada capitalização 
bimestral para o desconto composto. Resposta: 18% 
5) Calcular o valor nominal de um título que recebeu um desconto de R$513,82, ao ser 
descontado um trimestre antes do vencimento, à taxa de 3,5% ao mês. Resposta: 
R$5.240,00 
6) Depois de concedido desconto de 2% ao mês, certa dívida foi paga pelo valor de 
R$2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 
dias. Resposta: R$421,63 
7) O valor nominal de um título é de R$200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 
meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de 
desconto (composto) é de 28% ano ano, capitalizado trimestralmente. 
8) Qual o valor atual de um título, descontado cinco meses antes de seu vencimento, à taxa de 
3% ao mês, que produziu um valor de desconto por fora de $4.938,15? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
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6. Equivalência de Capitais a Juros 
Compostos 
 
Este capítulo reveste-se de importância fundamental nas aplicações práticas. O conceito de 
equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras 
equivalentes e, consequentemente, efetuar comparações entre alternativas. 
 
6.1 Equivalência de Dois Capitais 
 
Consideremos dois capitais, 𝑃𝑉1 e 𝑃𝑉2 , separados por 𝑛 períodos de tempo, por exemplo, 
o primeiro na data 0 e o segundo na data 𝑛. Dizemos que 𝑃𝑉1 e 𝑃𝑉2 são equivalentes a uma 
taxa de juros compostos 𝑖 se: 
 
𝑃𝑉1. (1 + 𝑖)
𝑛 = 𝑃𝑉2 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑃𝑉1 =
𝑃𝑉2
(1 + 𝑖)𝑛
 
Em outras palavras, 𝑃𝑉1 é equivalente a 𝑃𝑉2 se, ao aplicarmos 𝑃𝑉1 até a data 𝑛, o 
montante obtido for igual a 𝑃𝑉2. Dizemos também que 𝑃𝑉1 é o valor atual de 𝑃𝑉2. 
 
Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, $15.000,00, daqui a três meses, 
equivalem a quanto hoje? 
Resolução: Neste caso, temos: 𝑃𝑉2 = 15.000 e 𝑃𝑉1 =? 
 
𝑃𝑉1 =
𝑃𝑉2
(1 + 𝑖)𝑛
=
15.000
(1 + 0,02)3
=
15.000
1,061208
= 14.134,83. 
 
Assim, por exemplo, uma dívida de $15.000,00, daqui a três meses, é o mesmo que uma 
dívida de $14.134,83 hoje, já que, dispondo desse valor hoje, pode-se aplicá-lo e obter, daqui a 
três meses, os $15.000,00. Dizemos que $14.134,83 é o valor atual de #15.000,00 daqui a três 
meses, à taxa de 2% ao mês. 
 
45 
 
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6.2 Conjunto de Capitais Equivalentes 
 
Consideremos os conjuntos de capitais: 
 
𝑌0 , 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 , 𝑌4 , … , 𝑌𝑛 nas datas 0, 1, 2, 3, 4, ... ,𝑛, respectivamente, e 
 
 
𝑍0 , 𝑍1 , 𝑍2 , 𝑍3 , 𝑍4 , … , 𝑍𝑚 nas datas 0, 1, 2, 3, 4, ... ,𝑚, respectivamente. 
 
Dizemos que esses conjuntos são equivalentes, a uma taxa de juros compostos 𝑖, se os seus 
valores atuais forem iguais. 
Assim, chamando de 𝑃𝑉1 e 𝑃𝑉2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter 
𝑃𝑉1 = 𝑃𝑉2 
 
Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de $1.000,00 
mais uma parcela de $1.200,00, após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de 
$600,00 mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se 
a loja financia a uma taxa de juros de 3% a. m., qual o valor de cada parcela, de modo que as 
duas formas de pagamento sejam equivalentes? 
Resolução: Calculemos os valores presentes das duas alternativas de pagamentos, assim: 
1ª alternativa de pagamento: 𝑃𝑉1 = 1000 +
1200
(1+0,03)
= 1000 + 1165,05 = 2165,05 
2ª alternativa de pagamento: 𝑃𝑉2 = 600 +
𝑥
(1+0,03)
+
𝑥
(1+0,03)2
= 600 +
𝑥
1,03
+
𝑥
1,0609
 
Agora, devemos igualar os valores presentes das duas alternativas de pagamentos: 
 
𝑃𝑉1 = 𝑃𝑉2 
 
2165,05 = 600 +
𝑥
1,03
+
𝑥
1,0609
 
 
2165,05 − 600 = 0,970873786. 𝑥 + 0,942595909. 𝑥 
1565,05 = 1,913469695. 𝑥 
𝑥 =
1565,05
1,913469695
= 817,91 
Ou seja, o valor de cada prestação deverá ser de $817,91. 
 
46 
 
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6.3 Exercícios 
 
 1) Uma nota promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O devedor 
propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o 
valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 
juros compostos de 2% a.m.? Resposta: $52.020,00 
 
2) Um aparelho de TV é vendido à vista por $1.500,00, ou por 20% de entrada mais duas 
parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 6% a.m., qual o 
valor de cada parcela para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? 
Resposta: $654,52 
 
3) Uma loja vende um conjunto de sofás por $500,00 de entrada, mais três prestações 
mensais de $800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 
1,2% ao mês, quanto deverá dispor hoje para efetuar a compra? Resposta: $2.843,53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
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7. Sequência de Capitais 
 
Vimos, no capítulo anterior, de que forma conjuntos de capitais podiam ser transformados 
em outros equivalentes, para efeito de comparação. Na prática, é comum que esses conjuntos 
tenham algumas características, tais como periodicidade, uniformidade, crescimento (ou 
decrescimento), de acordo com certas regras. Tais conjuntos são chamados de sequências de 
capitais (os capitais tanto podem referir-se a pagamentos como a recebimentos). No que 
segue, iremos supor, como no capítulo anterior, que o regime é de capitalização composta. 
 
7.1 Sequência Uniforme de Capitais 
 
Consideremos a sequência de capitais: 
 
𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 , 𝑌4 , … , 𝑌𝑛 , respectivamente nas datas 1, 2, 3, 4, ... ,𝑛. 
 
Dizemos que esse conjunto constitui uma sequência uniforme se 
 
 
𝑌1 = 𝑌2 = 𝑌3 = 𝑌4 = … = 𝑌𝑛 =𝑃𝑀𝑇 
 
isto é, se todos os capitais forem iguais. Indicando esse capital constante por 𝑃𝑀𝑇, a 
representação gráfica da sequência uniforme é a seguinte: 
 
Figura: Série Uniforme – Prestações Iguais (convenção de final de período) 
 
 
 
48 
 
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Da representação anterior podemos obter as seguintes fórmulas: 
 
1ª Dados 𝑷𝑴𝑻, 𝒊 e 𝒏: Calcular 𝑷𝑽 
( )
( )






+
−+
=
ii
i
PMTPV
n
n
1
11
 
2ª Dados 𝑷𝑽, 𝒊 e 𝒏: Calcular 𝑷𝑴𝑻 
( )
( )






−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PVPMT 
3ª Dados 𝑷𝑴𝑻, 𝒊 e 𝒏: Calcular 𝑭𝑽 
( )





 −+
=
i
i
PMTFV
n
11
 
4ª Dados 𝑭𝑽, 𝒊 e 𝒏: Calcular 𝑷𝑴𝑻 
( )






−+
=
11
n
i
i
FVPMT 
7.2 Exercícios - Sequência Uniforme de Capitais 
 
1) Obtenha o preço à vista de um eletrodoméstico que é vendido a prazo, em 4 prestações 
mensais e iguais de 500 reais, vencendo a primeira prestação um mês após a compra, e 
sabendo que a loja opera com uma taxa de 5% a.m.. 
 
2) Obtenha o preço à vista de um eletrodoméstico que é vendido a prazo, em 5 prestações 
mensais e iguais de 200 reais, vencendo a primeira prestação um mês após a compra, e 
sabendo que a loja opera com uma taxa de 5% a.m. 
 
3) Um eletrodoméstico é vendido nas seguintes condições: 
• Entrada de R$ 70,00; e 
• 5 prestações mensais de R$ 80,00 cada. 
Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% a.m., pede-se o preço à vista. 
 
49 
 
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4) Uma loja está vendendo seus produtos a uma taxa de 3% ao mês. Qual é o valor das 
prestações para uma operação de venda de um bem, cujo valor a vista é de 1500 reais nos 
seguintes casos: 
a) uma entrada de 500 reais e o restante em cinco prestações iguais; 
b) em 8 prestações iguais sem entrada. 
 
5) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, R$ 3.500,00 num fundo que 
remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m.. Qual o montante no instante do último 
depósito? 
 
6) Determine o valor dos 4 depósitos trimestrais que permite que se acumule R$ 10.000,00 no 
final do quarto trimestre, com taxa de 3% ao trimestre. 
 
7) Uma loja está vendendo seus produtos a uma taxa de 2,92% ao mês. Qual é o valor das 
prestações para uma operação de venda de um bem, cujo valor a vista é de 2500 reais nos 
seguintes casos: 
• uma entrada de 500 reais e o restante em cinco prestações iguais; 
• em 5 prestações iguais sem entrada. 
 
8) Uma pessoa deposita mensalmente, durante 18 meses, R$ 1.500,00 num fundo que 
remunera seus depósitos à taxa de 2% a.m.. Qual o montante no instante do último 
depósito? 
 
9) Obtenha o preço à vista de um eletrodoméstico que é vendido a prazo, em 12 prestações 
mensais e iguais de 200 reais, vencendo a primeira prestação um mês após a compra, e 
sabendo que a loja opera com uma taxa de 4,95% a.m. 
 
10) Sabendo que a Loja Esperança (de Mirassol) cobra uma taxa de juros composto de 4% ao 
mês, o valor da prestação de um notebook, cujo preço à vista é de R$1.000,00 e que foi 
comprado em 10 parcelas mensais consecutivas e iguais sem entrada, é de: 
a) R$111,33 
b) R$114,26 
50 
 
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c) R$117,23 
d) R$120,24 
e) R$123,29 
 
11) Uma empresa toma emprestado R$70.000,00 pelo prazo de dois anos. Se a taxa do banco 
for de 28% ao ano, com capitalização trimestral, podemos garantir que o montante 
devolvido será: 
a) R$120.273,03 
b) R$189.000,48 
c) R$154.636,76 
d) R$137.454,90 
e) R$171.818,61 
 
12) O valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a seguir, com uma taxa de juros de 
10% ao mês, no regime de juros composto, é: 
 
 PV=? 50 50 50 50 40 
 
 
 0 1 2 3 4 5 (meses) 
 
a) R$183,05 
b) R$177,12 
c) R$170,91 
d) R$175,12 
e) R$164,70 
 
13) O número de meses que uma pessoa deverá realizar depósitos mensais no valor de 
R$1.000,00, num fundo que remunera seus depósitos a taxa de 2% ao mês, para obter 
R$100.000,00 é: 
a) 52 b) 68 c) 62 d) 56 e) 73 
51 
 
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8. Amortização de Empréstimos 
 
8.1 Introdução 
 
 Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou 
contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz 
respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. 
 Quando os juros são pagos nos finais dos períodos 1, 2, 3, ..., n, a soma das 
amortizações é igual ao principal. Assim, existem inúmeras sequências de amortizações que têm 
por soma o principal. 
 Damos o nome de planilha a um quadro demonstrativo em que comparecem, em cada 
instante de tempo, o juro, a amortização, o saldo devedor, a prestação, os impostos, e outros 
encargos. 
 
 Exemplo: Um empréstimo de R$50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações 
semestrais à taxa de juros de 5% ao semestre, com juros pagos semestralmente. Obtenha a 
planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: 
 𝐴1 = 𝑅$5.000,00; 𝐴2 = 𝑅$10.000,00; 𝐴3 = 𝑅$15.000,00; 𝐴4 = 𝑅$20.000,00. 
 Resolução: 
 
Semestres Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 
1 
2 
3 
4 
Total … 
 
52 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
8.2 Sistema de Amortizações Constantes (SAC) 
 
 Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado (devolvido) em 
quotas de amortização iguais. Dessa maneira as prestações são decrescentes, já que os juros 
diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo 
número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema 
Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e 
também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades 
governamentais. 
 
 Exemplo: Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento: 
• Valor financiado R$200.000,00 
• Reembolso em quatro meses pelo SAC 
• Taxa de juros 10% a.m. 
 Resolução: Neste caso temos: 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴3 = 𝐴4 = 𝑅$50.000,00 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 
1 
2 
3 
4 
Total … 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
8.3 Sistema de Amortização Francês – Tabela Price 
 
 A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado 
primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do 
principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições 
financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua 
vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, 
consequentemente, as amortizações do principal são crescentes. 
 
 Exemplo: Um empréstimo de R$200.000,00, será pago pela Tabela Price em 4 
prestações mensais e consecutivas, sem entrada. A taxa de juros de 10% ao mês construir a 
planilha de amortização. 
 Resolução: Devemos calcular o valor das prestações, ou seja, o PMT que é dado pela 
fórmula 𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 × [
𝑖×(1+𝑖)𝑛
(1+𝑖)𝑛−1
]. Realizando os cálculos obtemos 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$63.094,16. 
 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 
1 
2 
3 
4 
Total … 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
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8.4 Cálculo do Saldo Devedor No Sistema Francês 
 
 Quando desejamos calcular o saldo devedor, em um determinado instante, no sistema 
francês, o procedimento consiste no seguinte:calculamos o valor atual das prestações a vencer. 
Com isso, eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim, esse valor atual 
corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. 
 
 Exemplo: Em um empréstimo de R$100.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 
meses e à taxa de 3% ao mês, qual o saldo devedor no 25º mês? (Supor paga a prestação deste 
mês). 
 Resolução: Valor da prestação 𝑃𝑀𝑇 = 𝑅$4.326,24. O saldo devedor no 25º mês é o 
valor atual (PV) da sequência uniforme das prestações a vencer (15 prestações). 
 
𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 = 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇.
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖
 
 
𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 = 𝑃𝑉 = 4.326,24 . 
(1 + 0,03)15 − 1
(1 + 0,03)15 . 0,03
 
 
𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑑𝑜𝑟 = 𝑃𝑉 = 51.646,37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
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8.5 Sistema de Amortizações Crescentes - (SACRE) 
 
 O Sistema de Amortização Crescente (SACRE) foi adotado recentemente pelo SFH na 
liquidação de financiamentos da casa própria. O Sacre é baseado no SAC e no Sistema Price, já 
que a prestação é igual à media aritmética entre as prestações desses dois sistemas, nas 
mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de 
financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a 
queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do 
contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas 
prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do 
período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o 
pagamento das prestações. 
 
 Exemplo: Um empréstimo de R$200.000,00, será pago pelo sistema sacre em 4 
prestações mensais e consecutivas, sem entrada. A taxa de juros de 10% ao mês construir a 
planilha de amortização. 
 Resolução: As amortizações são mensais, com os seguintes valores (utilizar os itens 
anteriores para obter as amortizações): 
=
+
=
2
11
1
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
22
2
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
33
3
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
44
4
pricesac
AA
A
 
 
 
 
 
56 
 
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Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 - - - 
1 
2 
3 
4 
Total … 
 
 
 
8.6 Sistema de Amortização Americano 
 
 Neste sistema de amortização o principal é restituído por meio de uma única parcela ao 
fim da operação. Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e 
pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado (tudo depende do acordo entre as 
partes interessadas). 
 Exemplo: Por um empréstimo de R$200.000,00, um cliente propõe-se a devolver o 
principal daqui a 4 meses, pagando mensalmente somente os juros à taxa de 10% ao mês. 
Obtenha a planilha. 
 Resolução: 
 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 200.000,00 - - - 
1 
2 
3 
4 
Total … 
57 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
8.7 Exercícios 
 
1) Um empréstimo de $60.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de 
juros de 5% ao semestre, com juros pagos semestralmente. Obter: 
a) a planilha, pelo sistema de amortizações constantes; 
 Resolução: 
 
 
b) a planilha, pelo sistema francês de amortizações. 
Resolução: 
( )
( )






−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PVPMT
 
 
Semestres Saldo devedor Amortizações Juros Prestações 
0 #### ### #### 
1 
2 
3 
4 
Total #### 
 
 
Semestres Saldo devedor Amortizações Juros Prestações 
0 #### ### #### 
1 
2 
3 
4 
Total #### 
58 
 
Matemática Financeira – Prof. Me. Sílvio R. Castelão 
 
c) a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores 
(utilizar os itens a e b para obter as amortizações): 
=
+
=
2
11
1
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
22
2
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
33
3
pricesac
AA
A
 
=
+
=
2
44
4
pricesac
AA
A
 
 
 
Semestres Saldo devedor Amortizações Juros Prestações 
0 #### ### #### 
1 
2 
3 
4 
Total #### 
 
 
2) Um carro foi financiado pela tabela Price a uma taxa de 3% a.m., sendo que o valor 
financiado foi de R$36.000,00 e o prazo foi de 4 meses, monte a planilha de amortização e 
calcule o valor total de juros pago. 
 
3) Um equipamento foi pago em 15 prestações mensais iguais e consecutivas no valor de 
R$3.450,00, mais uma entrada. Se a taxa contratada foi de 4% a.m., e o valor do 
equipamento à vista é R$ 45.000,00 calcule o valor da entrada. 
 
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4) Carlos comprou um carro, financiando R$12.000,00 para pagamento em 24 prestações 
mensais iguais a um juro de 3% ao mês. Após pagar 12 prestações, resolveu liquidar a dívida. 
Pergunta-se: 
a) Quanto Carlos pagou na 12ª prestação? 
b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? 
c) Qual foi a parcela de amortização paga na 12ª prestação? 
d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? 
 
 
5) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 reais para ser devolvido pelo 
sistema de amortizações constantes (SAC) em 6 parcelas semestrais. Sendo a taxa de juros 
de 5% a.s., obtenha a planilha. 
 
6) Um banco libera para uma empresa um crédito de 10.000 reais para ser devolvido pelo 
sistema de amortizações constantes (SAC) em 4 parcelas semestrais. Sendo a taxa de juros 
de 5% a.s., obtenha a planilha. 
 
7) Um empréstimo de 120.000 reais deve ser devolvido pelo sistema francês (Sistema Price) 
em 6 parcelas semestrais à taxa de 5% a.s.. Obtenha a planilha. 
 
8) Um empréstimo de 10.000 reais deve ser devolvido pelo sistema francês (Sistema Price) em 
4 parcelas semestrais à taxa de 5% a.s.. Obtenha a planilha. 
 
9) Um empréstimo de $80.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações mensais à taxa de juros 
de 1% ao mês, com juros pagos mensalmente. Obter: 
a) a planilha, pelo sistema de amortizações constantes; 
b) a planilha, pelo sistema francês de amortizações. 
 
10) Por um empréstimo de $80.000,00, um cliente se propõe a devolver o principal daqui a 4 
meses, pagando mensalmente somente os juros à taxa de 1% a.m.. Obtenha a planilha 
(sistema americano). 
 
 
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Bibliografia 
 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 
2007. 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira – objetiva e aplicada. 9ª ed. São Paulo: 
Elsevier, 2011. 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 7ª Edição. São Paulo: 
Atlas, 2002.