Apostila de MATEMÁTICA FINANCEIRA (2)

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Centro Universitário Ítalo Brasileiro 
 
 
Administração de Empresas 
Processos Gerenciais 
Ciências Contábeis 
Gestão Financeira 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Profa Dra Liana Maria Ferezim Guimarães 
Profa Ms. Júlia Satie Morita Nobre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
 
Prof
a
 Liana Guimarães e Prof
a
 Júlia Nobre 1 
 
 
Apresentação 
 
 
Este caderno de estudo tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de 
exemplos práticos, os conceitos da matemática financeira e suas aplicações. Utiliza, para isso, 
uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. 
Algumas formas de solução para os exemplos apresentados são mostradas, 
principalmente, na forma algébrica e pela calculadora HP-12C. 
O nível de aprofundamento apresentado, tanto na teoria como nos exercícios, assegura a 
necessária preparação do aluno para o desenvolvimento de disciplinas afins em sua formação 
acadêmica e possibilita, além da familiarização do estudante com a linguagem da área financeira, 
a otimização de sua capacidade de raciocínio. 
 
 
 
Profa Dra Liana Maria Ferezim Guimarães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira 
 
Prof
a
 Liana Guimarães e Prof
a
 Júlia Nobre 2 
 
Matemática Financeira 
 
 
O material aqui apresentado contém, resumidamente, conceitos, definições, exercícios e 
problemas extraídos dos textos abaixo relacionados: 
 
1) ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12.ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
2) BODIE, Z.; MERTON, R. C. Finanças. São Paulo: Bookman, 2012. 
3) BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
4) BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira com HP 12C. 5.ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
5) CASAROTTO, F. N.; KOPITTKE, B. H. Análise de Investimentos. 9.ed. São Paulo: Atlas, 
2000. 
6) CASCINO, M. A. G. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro Universitário Ítalo 
Brasileiro, 2006. 
7) CAXIAS, M. A. S. Matemática financeira: com o uso da HP 12C. 3.ed. São Paulo: Thomson 
IOB, 2015. 
8) FARIA, J. L. Apostila de Matemática Financeira. São Paulo: Centro Universitário Ítalo 
Brasileiro, 2008. 
9) FORTUNA, E. Mercado Financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: 
Qualitymark, 2002. 
10) GIMENES, C. M. Matemática Financeira. 2.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
11) GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 12. ed. São Paulo: Harbra, 2010. 
12) HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. 7.ed.São Paulo: Atlas, 2009. 
13) MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
14) ROSS, S. et al. Princípios de Administração Financeira. 12.ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
15) SECURATO, J. R. Cálculo Financeiro das Tesourarias – Bancos e Empresas. São Paulo: 
Saint Paul, 2008. 
16) VERAS, L. L. Matemática Financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações do 
mercado financeiro, introdução à engenharia econômica. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2007. 
17) VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PORCENTAGEM 
 
 
HISTÓRICO 
 
 A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. O símbolo % é 
uma deturpação da abreviatura Cto (Ciento) – usada pelos mercadores italianos do século XV nas 
suas transações comerciais – e aparece, pela primeira vez, em 1685, num livro francês, Le Guide 
de Negotien (O Guia do Comerciante). 
 
 
CONCEITO 
 
 
 
 
47% = 
100
47
 = 47 ÷ 100 = 0,47 
 
 
 TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA 
 (o denominador desta fração é igual a 100) (o denominador desta fração é igual a 1) 
 
 
 São exemplos de razões centesimais: 
100
37
 
100
4
 
100
34,52
 
100
215
 
 
 
 As razões centesimais podem ser representadas na forma decimal (taxa unitária) e, 
também, em taxas percentuais utilizando o símbolo %, como é mostrado a seguir: 
 
%3737,0
100
37
 %404,0
100
4
 %34,525234,0
100
34,52
 %21515,2
100
215
 
 
 
 Observa-se, portanto, que a expressão por cento, indicada pelo símbolo %, significa 
centésimos. Assim, 20% é simplesmente uma outra maneira de expressar 20 centésimos ou 
100
20
 
ou 0,20 ou 
5
1
, etc. 
 
 
Exemplo 1 
Calcule 27,5% de R$ 5.800,00. 
 
Como 275,0
100
5,27
%5,27  
 
Então, o cálculo a ser feito é: 595.1800.5275,0  reais. 
 
Toda razão centesimal 
100
a
 chama-se taxa percentual 
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Exemplo 2 
Calcule R$ 700,00 + 32% de R$ 700,00. 
 
Como 32,0
100
32
%32  
Então, o cálculo a ser feito é: 92422470070032,0700  reais. 
 
Exemplo 3 
Calcule R$ 900,00 – 5,2% de R$ 900,00. 
 
Como 052,0
100
2,5
%2,5  
Então, o cálculo a ser feito é: 20,85380,46900900052,0900  reais. 
 
Exemplo 4 
Em uma blitz ocorrida em uma avenida da cidade de São Paulo, dos 25 automóveis fiscalizados 4 
apresentaram documentação irregular. A razão entre o número de automóveis com documentação 
irregular e o número total de automóveis é: 
 
%1616,0
100
16
25
4
 
%16
100
16
16,0  é a taxa percentual de automóveis com problemas na documentação. 
 
Exemplo 5 
Os 360 funcionários de uma empresa submeteram-se a exames clínicos para verificação dos 
níveis de colesterol no sangue. Desse total, 35% apresentaram níveis acima do limite sugerido 
pelo teste. Para calcular o número de funcionários com nível de colesterol superior ao 
recomendado, pode-se estabelecer a proporção: 
 
%35x
%100360
________________
_____________
 126x
35
100
x
360
 funcionários 
 
O cálculo poderia ser feito diretamente 35% de 360 .12636035,0  
 
Exemplo 6 
Uma calça é vendida por R$ 99,00. Se seu preço for aumentado em 8%, quanto passará a custar? 
Têm-se: 
 novo preço = preço antigo + aumento 
 novo preço = 99 + 99 x 0,08 = 99 x (1 + 0,08) = 99 x 1,08 = 106,92 reais 
 
Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,08 ou (1 + 0,08). 
 
Exemplo 7 
Uma agência de turismo anunciou redução de 28% no preço de seus pacotes. Se 3 dias em 
Buenos Aires custavam US$ 340,00, quanto passará a custar essa viagem? 
Têm-se: novo valor = valor antigo – desconto 
 novo valor = 340 – 0,28 x 340 = 340 x (1 – 0,28) = 340 x 0,72 = 244,80 dólares 
 
Observe que o valor original fica multiplicado por 0,72 ou (1 – 0,28). 
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DETERMINAÇÃO DE ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS PERCENTUAIS: TAXA DE VARIAÇÃO 
PERCENTUAL (%) 
 
Quando comparamos a diferença entre o valor novo e o valor antigo de uma variável com 
seu valor antigo, obtemos a taxa de variação. Se a taxa de variação for expressa em 
porcentagem, ela é chamada de taxa de variação percentual. Portanto: 
 
 
 
 
 
onde Vant = valor antigo da variável; Vnovo = valor novo da variável. 
 
Essa fórmula expressa, apenas, quanto vale percentualmente a variação absoluta entre os valores 
novo e antigo em relação ao valor antigo. Assim, ela é uma generalização da proporção que pode 
ser observada na regra de três: 
 
%)VV(
%100V
_________
antnov o
_________________
ant

  100)VV(%V antnovoant 100
V
VV
%
ant
antnovo 






 
 
 
 
Exemplo 8 
O Produto Interno Bruto (PIB) do Brasil variou de R$ 5,316 trilhões a R$ 5,521 trilhões de reais 
entre os anos de 2013 e 2014. Qual foi o aumento percentual do PIB? 
 
Primeiramente, identificamos os valores novo e antigo do PIB: 
 
Vant = R$ 5,316 trilhões e Vnovo = R$ 5,521 trilhões 
 
Aplicamos, então, a fórmula: 
 
%86,3100
316,5
316,5521,5
100
V
VV
%
ant
antnovo 




 







 
 
 
A variação percentual (no caso, o aumento percentual) é dado pela variação dos valores em 
relação ao valor mais antigo, ou seja, houve um aumento de 3,86% no PIB do Brasil em 1 ano. 
 
Para esse caso, poderia ser feito, também: 
 
%205,0
%100316,5
___________
_________

%86,3
316,5
5,20
%100205,0%316,5  de aumento no PIB. 
 
 
Exemplo 9 
Uma mercadoria que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, passando a custar 
R$ 13,50. Qual a porcentagem de aumento no preço? 
 
Identificando os valores novo e antigo da mercadoria: 
 
Vant = R$ 12,50 e Vnovo = R$ 13,50 
100
V
VV
%
ant
antnov o 






 
 
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Aplicando, então, a fórmula: 
 
%8100
50,12
50,1250,13
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 
 
 
A mercadoria sofreu um aumento de 8% em seu preço. 
 
Exemplo 10 
O número de sequestros relâmpagos no Estado de São Paulo caiu de 1.105 em 2014 para 838 
em 2015, depois da criação da lei de repressão a sequestros relâmpagos pela Delegacia de 
Polícia de Repressão a Roubos com Restrição de Liberdade. Qual foi a redução percentual 
registrada? 
 
Vant = 1.105 e Vnovo = 838 
 
Aplicando, então, a fórmula: 
 
%16,24100
1105
1105838
100
V
VV
%
ant
antnovo 




 







 
 
 
A variação percentual (no caso, a redução percentual) é dada pela variação dos valores em 
relação ao valor mais antigo, ou seja, houve uma redução 24,16% no número de sequestros 
relâmpagos. 
 
Para esse caso, poderia ser feito, também: 
 
%16,24)100(17584,07584,0
1105
838
 (24,16% de redução) 
 
Exemplo 11 
Um investimento de R$ 20.000,00 em ações propiciou um resgate líquido de 
R$ 14.300,00. Qual a porcentagem de desvalorização desse investimento? 
 
Vant = R$ 20.000,00 e Vnovo = R$ 14.300,00 
 
%5,28100
20000
2000014300
100
V
VV
%
ant
antnov o 




 







 
 
 
Esse investimento sofreu uma desvalorização de 28,5%. 
 
 
ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
Uma propriedade importante das taxas percentuais é aquela em que se deseja calcular a 
porcentagem de uma porcentagem. Neste caso, as taxas percentuais não podem ser adicionadas, 
mas sim devem ser multiplicadas. 
 
No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam acréscimos 
sucessivos a um mesmo número: 
 efetuamos um primeiro acréscimo ao número; 
 efetuamos um segundo acréscimo ao resultado obtido e assim sucessivamente. 
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Em geral, se um valor V sofre n acréscimos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, então o 
novo valor R é dado por: 
     n21 i1.....i1.i1VR  
 
No caso de serem dadas duas ou mais porcentagens que representam descontos 
sucessivos a um mesmo número: 
 efetuamos um primeiro desconto ao número; 
 efetuamos um segundo desconto ao resultado obtido e assim sucessivamente. 
 
 Em geral, se um valor V sofre n descontos sucessivos de taxas unitárias i1, i2,..., in, então o 
novo valor R é dado por: 
     n21 i1.....i1.i1VR  
 
Portanto, para encontrarmos o valor de taxas acumuladas por acréscimos ou descontos 
sucessivos, calculamos: 
     100.1i1.....i1.i1i n21ac  
onde utilizamos (+) para acréscimos e (–) para descontos. 
 
Exemplo 12 
Uma aplicação de R$ 12.000,00 rendeu por 3 meses consecutivos as taxas líquidas de 1,5%, 
1,3% e 1,2%, qual o valor resgatado? 
 
R = V.[(1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3)] = 1200.[(1 + 0,015).(1 + 0,013).(1 + 0,012)] 
R = 12000 . 1,015 . 1,013 . 1,012 
R = R$ 12.486,40 
 
O valor resgatado foi de R$ 12.486,40. 
 
Exemplo 13 
Sobre uma fatura de R$ 50.000,00 foram feitos dois descontos sucessivos de 7% e 4%. Qual o 
valor líquido dessa fatura? 
 
R = V.[(1 - i1) . (1 - i2)] = 50000.[(1 - 0,07).(1 - 0,04)] 
R = 50000 . 0,93 . 0,96 
R = R$ 44.640,00 
 
O valor líquido da fatura foi de R$ 44.640,00. 
 
Exemplo 14 
Durante 5 meses consecutivos, a variação do valor das cotas de um fundo de ações foi de 12%, 
7%, -6%, 1% e -2%. Qual foi a variação nesse período? 
 
iac = [(1 ± i1) . (1 ± i2) . … . (1 ± in) - 1] x 100 
 
iac = [(1 + 0,12).(1 + 0,07).(1 – 0,06).(1 + 0,01).(1 – 0,02) - 1] x 100 
 
iac = (1,12 . 1,07 . 0,94 . 1,01 . 0,98 - 1) x 100  iac = 11,5006% nos cinco meses. 
 
 
 Observação: 
Note que, nas fórmulas, as taxas são utilizadas sempre na forma unitária. 
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Problemas envolvendo porcentagem 
 
1. O salário de um trabalhador em dezembro era $ 2.870,00. Determine o novo salário após um 
reajuste de 9,5% em janeiro. [R: $ 3.142,65] 
 
2. Um vendedor ganha 3,5% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido $ 483,00 
de comissões, quanto vendeu? [R: $ 13.800,00] 
 
3. Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de $ 800,00 e comissão de 2,5% sobre as 
vendas que realiza. Tendo recebido um salário de R$ 1.680,00 em determinado mês, determine o 
valor total vendido. [R: $ 35.200,00] 
 
4. Uma pessoa gasta seu salário da seguinte maneira: 30% vão para a poupança, 20% para o 
aluguel, 35% para a alimentação e o restante é utilizado em atividades de lazer. Qual é o salário 
dessa pessoa, se são gastos $ 450,00 em lazer? [R: $ 3.000,00] 
 
5. Numa determinada turma de um curso universitário, 78% dos alunos foram aprovados, 15% 
reprovados e os 14 alunos restantes desistiram do curso. Qual é o número de alunos dessa 
turma? [R: 200 alunos] 
 
6. Um eletrodoméstico passou a ser vendido por $ 200,00, após um aumento de 25%. Determine 
o preço antes da alteração. [R: $ 160,00] 
 
7. Um automóvel está sendo vendido por $ 48.100,00. Se o comprador efetuar o pagamento à 
vista ele será vendido por $ 42.087,00. Qual é o desconto percentual oferecido para pagamento à 
vista? [R: -12,50%] 
 
8. O preço de determinado produto sofreu dois aumentos sucessivos: 15% e 25%. Qual foi o 
aumento percentual total? [R: 43,75%] 
 
9. O preço de determinado produto sofreu duas reduções sucessivas: 15% e 25%. Qual foi a 
redução percentual total? [R: - 36,25%] 
 
10. Em determinado ano, as vendas de uma empresa foram $ 245.000,00. Um ano depois, as 
vendas apresentaram um acréscimo de 12% e no ano seguinte, uma redução de 7%. Determine o 
valor das vendas dessa empresa após esses dois anos. [R: $ 255.192,00] 
 
11. Um objeto é oferecido por $ 600,00; este preço sofre um desconto de 20% e depois de 15%. 
Determine o novo preço. [R: $ 408,00] 
 
12. Há muito temponão se via um verão tão intenso em São Paulo. A temperatura chegou a bater 
a casa dos 38oC. O que se viu nas lojas de varejo foi uma procura enorme por ventiladores, a 
ponto de não se encontrar o produto para venda. As lojas que ainda tinham o produto 
aumentaram os preços sensivelmente. A loja Achetudo foi uma das que elevou seu preço. Um 
ventilador que antes saía por $ 149,00 teve um aumento de 20% em janeiro e mais outro de 10% 
em fevereiro. Após os aumentos, quanto passou a custar o ventilador nessa loja? [R: $ 196,68] 
 
13. Promoções do tipo “leve 3 e pague 2” têm sido cada vez mais utilizadas no comércio. Calcule 
o desconto percentual oferecido sobre cada unidade vendida. [R: 33,33%] 
 
14. Uma rede de papelarias anuncia: “compre 12 e pague 10”. Sabendo-se que Mariana levou 
12 cadernos e pagou $ 64,00, pergunta-se: Quanto ela pagaria se levasse apenas 3 cadernos? 
Qual é a porcentagem de desconto oferecida na promoção? [R: $ 19,20; 16,6667%] 
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15. Analise o anúncio a seguir: 
 
Uma pessoa que passeava no shopping viu a promoção do anúncio, comprou dois jogos de lençol 
e pagou o valor total de $ 324,00. Qual era o valor original de cada jogo de lençol? [R: $ 216,00] 
 
16. Determinada empresa vendeu em março um total de $ 175.300,00. Já em abril vendeu apenas 
$ 145.500,00. Qual foi a queda percentual nas vendas da empresa? [R: -17,00%] 
 
17. Um investidor comprou uma casa por $ 50.000,00 e gastou 80% do custo em uma reforma. 
Mais tarde, vendeu a casa por $ 120.000,00. Qual foi seu lucro? De quanto foi seu lucro 
percentual? [R: $ 30.000,00; 33,33%] 
Obs.: MARKUP é a diferença entre o custo de um bem ou serviço e seu preço de venda. Pode ser 
expresso em percentual assim: 
100
Custo
CustoVenda
(%)MARKUP 




 
 , que é o mesmo que VendaCusto%  . 
 
18. “O salário mínimo foi criado no século XIX na Austrália e na Nova Zelândia. No Brasil o salário 
mínimo surgiu no século XX na década de 30, com a promulgação da Lei de nº185 em janeiro de 
1936 e decreto de lei em abril de 1938. No dia 1º de Maio o então presidente Getúlio Vargas, fixou 
os valores do salário mínimo que começou a vigorar no mesmo ano. Nesta época existiam 14 
salários mínimos diferentes, sendo que na capital do país, o Rio de Janeiro, o salário mínimo 
correspondia a quase três vezes o valor do salário mínino no Nordeste. A primeira tabela do 
salário mínimo tinha um prazo de vigência de três anos, mas em 1943 foi dado o primeiro reajuste 
seguido de um outro em dezembro do mesmo ano. Os aumentos eram calculados para recompor 
o poder de compra do salário mínimo. A unificação total do salário mínimo aconteceu em 1984.” 
 Fonte: www.brasilescola.com 
Considere os valores de salário mínimo, instituídos no Brasil nos últimos anos, apresentados na 
tabela abaixo: 
Data Salário Mínimo (R$) Data Salário Mínimo (R$) 
01/02/2009 465,00 01/01/2013 678,00 
01/01/2010 510,00 01/01/2014 724,00 
01/03/2011 545,00 01/01/2015 788,00 
01/01/2012 622,00 01/01/2016 880,00 
 
Com base nesses dados, pede-se determinar a variação percentual do salário mínimo para: 
a) 02/2009 a 01/2016; 
b) 01/2015 a 01/2016. [R: a) 89,25%; b) 11,68%] 
 
19. O Estado de São Paulo atravessou uma forte crise de abastecimento de água em 2015. Em 
função da longa estiagem, o volume de água nos principais reservatórios chegou a níveis 
alarmantes. Em função disso, a SABESP passou a conceder um desconto de 30% na conta de 
água para quem economizasse 20% de água. O cálculo da quantidade economizada se baseou 
no consumo médio anual. Ao saber desta informação, a família de Cleide fez vários ajustes, pois 
tinha um gasto médio mensal de $ 150,00. Se a família de Cleide conseguir atingir a meta 
proposta pela SABESP, qual será o valor de sua conta de água? [R:$ 84,00] 
 
 
http://www.brasilescola.com/
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20. "O Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbana (IPTU) é um imposto brasileiro 
instituído pela Constituição Federal cuja incidência se dá sobre a propriedade urbana. Ou seja, o 
IPTU tem como fato gerador a propriedade, o domínio útil ou a posse de propriedade imóvel 
localizada em zona urbana ou extensão urbana...Os contribuintes do imposto são as pessoas 
físicas ou jurídicas que mantém a posse do imóvel, por justo título. ...Atualmente ele é definido 
pelo artigo 156 da Constituição de 1988, que caracteriza-o como imposto municipal, ou seja, 
somente os municípios têm competência para aplicá-lo. A única exceção ocorre no Distrito 
Federal, unidade da federação que tem as mesmas atribuições dos Estados e dos municípios. 
....A base de cálculo do IPTU é o valor venal do imóvel sobre o qual o imposto incide. Este valor 
deve ser entendido como seu valor de venda em dinheiro à vista, ou como valor de liquidação 
forçada.... A alíquota utilizada é estabelecida pelo legislador municipal, variando conforme o 
município." Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana/ 
 
Considere uma situação na qual um contribuinte pagou o IPTU devido com atraso, arcando com 
multa de 20% sobre o valor devido. Tendo efetuado um pagamento de $ 1.212,00 (multa inclusa), 
determinar o valor do imposto sem a multa. [R: O valor do imposto sem multa é de $ 1.010,00] 
 
21. “Promoção de pacotes de viagem para Orlando no mês de março: desconto de 9%!" – este foi 
o anúncio publicado no site "decolar.com” na última semana. O pacote de viagem inclui passagem 
aérea ida e volta, traslado aeroporto-hotel-aeroporto, 14 noites de hospedagem em hotel 3* com 
café da manhã e seguro viagem. Determine o preço de tabela, se o valor pago pelo cliente por 
esse pacote com a promoção foi de $ 2.912,00. [R: O preço de tabela é $ 3.200,00] 
 
22. " A produção de automóveis, comerciais leves (picapes e furgões), caminhões e ônibus caiu 
42,09% em setembro passado, na comparação com o mesmo mês do ano anterior, informou na última 
terça-feira (6) a associação das fabricantes de veículos, Anfavea. Em setembro de 2016, foram 
fabricados 174,2 mil veículos." 
Fonte: http://g1.globo.com/carros/noticia/2015/10/producao-de-veiculos-cai-421-em-setembro-informa-anfavea.html/ 
adaptado 
Com base na informação apresentada acima, determinar a produção de veículos em setembro de 
2015. [R: A produção de veículos em setembro de 2014 foi 300,8 mil veículos] 
 
23. Um carro foi adquirido por R$ 45.000,00. Por quanto deve ser vendido, se a margem de lucro 
pretendida é de 5% sobre o preço de custo? [R: $ 47.250,00] 
 
24. Um comerciante comprou uma mercadoria por $ 8.000,00. Se o lucro que ele quer obter, ao 
revender a mercadoria, representa 20% do valor do custo, por quanto deve vende-la? 
 [R: $ 9.600,00] 
 
25. Um comerciante comprou uma mercadoria por $ 8.000,00. Se o lucro que ele quer obter, ao 
revender a mercadoria, representa 20% do preço de venda, por quanto deve vende-la? 
 [R: $ 10.000,00] 
 
26. Um comerciante vendeu uma mercadoria com lucro de 10% sobre o valor de venda. 
Sabendo-se que o preço de custo do produto foi $ 1.800,00, determine o valor do lucro dessa 
operação. [R:$ 200,00] 
 
 
 
 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Brasilhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Constitui%C3%A7%C3%A3o_do_Brasil
http://pt.wikipedia.org/wiki/Propriedade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cidade
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Propriedade_im%C3%B3vel&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Zona_urbana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_f%C3%ADsicas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_f%C3%ADsicas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pessoas_jur%C3%ADdicas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Constitui%C3%A7%C3%A3o_de_1988
http://pt.wikipedia.org/wiki/Munic%C3%ADpio
http://pt.wikipedia.org/wiki/Distrito_Federal_(Brasil)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Distrito_Federal_(Brasil)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Estados_do_Brasil
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_venal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Al%C3%ADquota
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imposto_sobre_a_propriedade_predial_e_territorial_urbana
http://g1.globo.com/carros/assuntos/anfavea.html
 Matemática Financeira 
 
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 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises 
e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes 
momentos. 
 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
 
 O diagrama de fluxo de caixa de uma operação financeira ou de um investimento é uma 
representação esquemática das entradas e saídas de caixa que ocorrem ao longo do tempo. 
 Na escala horizontal é indicado o período de tempo, que pode ser: dias, semanas, meses, 
anos,... . As setas orientadas para baixo estão associadas a saídas de caixa e costuma-se atribuir 
a seus valores o sinal negativo. As setas orientadas para cima estão associadas a entradas de 
caixa e costuma-se atribuir a seus valores o sinal positivo. 
 
Exemplos: 
 
1, Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: uma empresa fez uma 
aplicação de $ 50.000,00 em um banco e, após dois meses, resgatou $ 52.500,00. 
 
FLUXO DE CAIXA DA EMPRESA FLUXO DE CAIXA DO BANCO 
 (INVESTIDOR) (TOMADOR) 
 (+) (+) 
 52.500 50.000 
 
 
 0 2 0 2 
 
 
 
 (-) (-) 
 50.000 52.500 
 
2. Representar no diagrama de fluxo de caixa a seguinte situação: um indivíduo (pessoa física) 
tomou um empréstimo de $ 20.000,00 em um banco e pagará o mesmo em quatro prestações 
mensais de $ 5.500,00 cada uma, a partir do mês seguinte. 
 
 FLUXO DE CAIXA DO INDIVÍDUO FLUXO DE CAIXA DO BANCO 
 (+) 
20.000 
 (+) 5.500 5.500 5.500 5.500 
 
0 1 2 3 4 
 0 1 2 3 4 
 
 (-) 5.500 5.500 5.500 5.500 
 (-) 
 20.000 
 
 
 
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 Em matemática financeira, definimos Capital, como um “valor disponível para aplicação 
numa certa data”. Uma pessoa ou instituição que decide aplicar (ou emprestar) certo capital para 
outra pessoa ou instituição, por um certo período de tempo, espera ser remunerada por isso. A 
remuneração recebida pelo aplicador é chamada de Juro. 
 
 Juro é, portanto, um valor que remunera um capital empregado por determinado tempo, de 
acordo com uma taxa (geralmente estipulada em percentual) previamente combinada. Assim, se 
um capital (PV) estiver aplicado por um tempo (n) a uma taxa de juros (i), ao resgatá-lo, após 
findar o prazo de aplicação, o aplicador deverá receber do tomador, além do valor aplicado, um 
valor a mais, calculado com base na taxa (i) combinada, que vem a ser o juro ou o rendimento 
sobre o capital empregado. 
 
Termos básicos 
 
Juro (J): remuneração do capital emprestado (aluguel pago pelo uso do dinheiro). 
 
Taxa de juros (i): razão entre os juros recebidos pagos (ou recebidos) e o capital inicial aplicado, 
ou seja: 
PV
J
i  
 
Principal ou Valor Presente (PV): capital inicial, também chamado de principal. 
 
Montante ou Valor Futuro (FV): capital inicial acrescido da remuneração (juro) obtida durante o 
período da aplicação, também chamado de Montante. 
 
Montante = Capital Inicial + Juros ou JPVFV  
 
Existem basicamente duas metodologias para o cálculo de juros: a capitalização simples e 
a capitalização composta. 
 
Capitalização Simples  a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. 
 
n.i.PVJ  )n.i1.(PVFV  
 
Capitalização Composta  a taxa de juros incide sobre o montante do período anterior (capital 
inicial + juros acumulados até o período anterior). 
 
]1)i1.[(PVJ n  n)i1(PVFV  
 
 
Observação: Taxa de juros (i) 
 
Como já foi visto, a taxa de juros pode ser apresentada em duas formas: 
 forma centesimal (10%, 2%) 
 forma unitária: (0,10; 0,02) 
 
Nos enunciados ou nas respostas de exercícios será usada a forma centesimal (%). 
Nas fórmulas deve ser usada a forma unitária. 
Na HP-12C, a entrada da taxa de juros deve ser feita na forma centesimal (%). 
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
No regime de juros simples, a taxa de juros cobrada na transação financeira incide sempre 
sobre o mesmo valor, isto é, sobre o valor inicial do capital. Isto quer dizer que os juros de um 
determinado período não são incorporados ao capital para efeitos de formação de uma nova base 
de cobrança para o período seguinte. Esse modo de aplicação é chamado de “convenção linear 
de cobrança de juros”. Logicamente essa taxa de juros cobrada ficará multiplicada pelo tempo de 
aplicação contratado. Assim temos: 
 
Juros = Capital x Taxa de Juros x Tempo de Aplicação ou n.i.PVJ  
 
A soma do valor dos juros (J) com o capital (PV) inicialmente aplicado é chamada de 
Montante (FV), isto é: 
 
JPVFV  , ou seja, n.i.PVPVFV  e, portanto, )n.i1.(PVFV  
 
Podemos esquematizar os elementos acima em uma escala de tempo conforme o diagrama 
apresentado abaixo: 
 )n.i1(PVFV  
 
 
 n 
 
 
 
)n.i1(
FV
PV

 
 
Exemplos 
 
1. Calcular os juros recebidos por um investidor que aplicou $ 5.000,00 por 3 meses à taxa de 
juros simples de 3% ao mês. 
Dados: Solução: 
PV = 5.000 Como J = PV.i.n , então, substituindo os valores dados, temos: 
 i = 3 % a.m. 
 n = 3 meses J = 5000 . 0,03 . 3 
 J = ? J = 5000 . 0,09 
 J = 450,00 
 
Resposta: Os juros recebidos nessa aplicação foram iguais a $ 450,00. 
 
 
2. Imagine que você toma emprestado hoje $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a 
devolução será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização simples para a taxa de 
10% a.m.,qual o valor dos juros (J)? Quanto deverá ser devolvido (FV)? 
 
1o modo: 
Cálculo dos juros (J): 
J = PV.i.n 
J = 1000 . 0,1 . 5 
J = 500,00 
 
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Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): 
FV = PV + J 
FV = 1000 + 500 
FV = 1.500,00 
 
2o modo: 
Cálculo do Montante ou Valor Futuro (FV): 
FV = PV ( 1 + i.n ) 
FV = 1000 ( 1 + 0,10. 5 ) 
FV = 1000 . (1 + 0,5) 
FV = 1000 . (1,5) 
FV = 1.500,00 
 
Cálculo dos juros (J): 
J = FV – PV 
J = 1.500 – 1.000 
J = 500,00 
 
Resposta: Os juros pagos por este empréstimo foram iguais a $ 500,00 e, portanto, deverá ser 
devolvido o valor de R$ 1.500,00. 
 
 
Nos exemplos acima podemos notar que os períodos de tempo (n) e taxa de juro (i) são 
homogêneos, ou seja, as variáveis estão na mesma unidade de tempo (nestes exemplos, a taxa e 
o prazo estão em meses). Contudo, há casos em que o prazo e a taxa de juros não são 
apresentados na mesma unidade de tempo. 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE HOMOGENEIDADE ENTRE A TAXA DE JUROS E O TEMPO 
 
1. Se a taxa ( i ) é mensal e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão: 
n.
30
i
.PVJ  , onde n é o número de dias. 
 
2. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em meses, teremos a expressão: 
n.
12
i
.PVJ  , onde n é o número de meses. 
 
3. Se a taxa ( i ) é anual e o prazo ( n ) de aplicação é em dias, teremos a expressão: 
n.
360
i
.PVJ  , onde n é o número de dias. 
 
Nestes casos, é necessário adequarmos o prazo e a taxa de juros para a mesma 
unidade de tempo. 
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Exemplos 
 
Determinar o rendimento produzido por uma aplicação de $ 20.000,00 à taxa simples de 39% a.a., 
pelo prazo de: 
a) 2 anos b) 2 anos e 5 meses c) 2 anos 5 meses e 11 dias 
 
 
a) 
Dados: Solução: 
PV = 20.000 Como J = PV . i . n , substituindo os valores dados, temos: 
 i = 39 % a.a. 
 n = 2 anos J = 20000 . 0,39 . 2 
 J = 20000 . 0,78 
 
 J = 15.600,00 
 
Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 15.600,00. 
 
 
b) 
Dados: Solução: 
PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: 
 i = 39 % a.a. 
 n = 2 anos e 5 meses = 29 meses 29.
12
39,0
.20000J  
J = ? 
 J = 20000 . 0,0325 . 29 
 
 J = 20000 . 0,9425 
 
 J = 18.850,00 
 
Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 18.850,00. 
 
 
c) 
Dados: Solução: 
PV = 20.000 Como J = PV . i . n, então: 
i = 39 % a.a. 
n = 2 anos e 5 meses e 11 dias = 881 dias 881.
360
39,0
.20000J  
 
 J = 20000 . 0,001083 . 881 
 
 J = 20000 . 0,954417 
 
 J = 19.088,33 
 
Resposta: O rendimento (juros) obtido é de $ 19.088,33. 
 
 
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PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS SIMPLES 
 
1. Calcular o valor do juro recebido por um investidor que aplicou um capital de $ 26.000,00 à taxa 
de juros simples de 0,8% ao mês pelo prazo de 90 dias. [R: $ 624,00] 
 
2. Uma pessoa tomou um empréstimo no valor de $ 8.400,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 
juros simples de 2,3% ao mês. Quanto pagou ao final do prazo? [R: $ 13.036,80] 
 
3. “O cheque especial é um crédito pré-aprovado que os bancos colocam à disposição dos 
clientes levando em conta o seu cadastro e o relacionamento. Sua disponibilidade é automática 
até o limite estabelecido e ocorre sempre que há um débito na conta corrente superior ao saldo 
disponível. A utilização está sujeita ao pagamento de juros proporcionais ao valor utilizado 
durante o mês. Os encargos – juros e IOF – são calculados diariamente e cobrados 
mensalmente.” Fonte: financenter.terra.com.br 
 
Considere que um determinado cliente tomou um empréstimo no valor de $ 6.200,00 e pagou, ao 
final de 21 dias, o valor de $ 6.780,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada pela 
instituição financeira? [R: A taxa mensal cobrada foi de 13,3641% a.m.] 
 
4. Um cliente de determinada loja efetuou um pagamento de uma prestação de $ 250,00 por 
$ 277,08. Sabendo-se que a taxa de juros simples praticada pela loja é de 5% ao mês, por 
quantos dias esta prestação ficou em atraso? [R: 65 dias] 
 
5. Qual foi o capital que, aplicado a juros simples por 210 dias, à taxa de 1,2% ao mês, produz um 
montante de $ 16.260,00? [R: $ 15.000,00] 
 
6. Calcular os juros pagos em um empréstimo no valor de $ 7.200,00 pelo prazo de 18 dias, se a 
taxa negociada foi de 8,4% ao mês (juros simples). [R: $ 362,88] 
 
7. Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00, ou por $ 54.000,00 para 
pagamento após seis meses. Qual é a taxa mensal de juros simples que está sendo cobrada? 
[R: 2,0833% a.m.] 
 
8. Determinar qual o valor do capital, que aplicado à taxa de juros simples de 2,5% a.t. (ao 
trimestre), produz juros de $ 600,00 ao final de um ano. [R: $ 6.000,00] 
 
9. Uma loja financia um televisor de $ 390,00 sem entrada para pagamento em uma única 
prestação de $ 420,00 no final de 3 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada ao mês? 
[R: 2,5641% a.m.] 
 
10. Quanto tempo você deve deixar aplicado um capital no valor de $ 8.000,00 para obter um 
montante de $ 10.760,00, se a taxa de juros simples da aplicação é de 11,5% ao ano? [R: 3 anos] 
 
11. Uma instituição bancária anuncia: aplique hoje $ 5.000,00 e receba $ 6.000,00 daqui a 150 
dias. Qual é a taxa mensal de juros que está sendo oferecida, considerando o sistema de juros 
simples? [R: 4% a.m.] 
 
12. Em quanto tempo um capital aplicado dobra de valor, se a taxa de juros simples remunerada é 
de 2% ao mês? [R: 50 meses] 
 
13. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 2.700,00 pelo prazo de 12 
meses à taxa de juros simples de 7,5% ao mês? [R: $ 2.430,00] 
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14. Um capital de $ 57.000,00, aplicado a juros simples gerou, depois de certo prazo, o montante 
de $ 62.130,00. Sabendo-se que a taxa da operação é 1,5% ao mês, calcule o prazo da aplicação. 
[R: 6 meses] 
 
15. Que taxa de juro anual triplica um capital, no regime de juros simples, ao final de 10 anos? 
[R: 20% a.a.] 
 
16. Uma pessoa empresta a um amigo $ 3.000,00 à taxa de juros simples de 65% ao ano, pelo 
prazo de 4,5 anos. Determinar o valor do resgate. [R: $ 11.775,00] 
 
17. Determinar a taxa de juros simples mensal correspondente à aplicação de $ 1.500,00 por 
5 meses, com valor de resgate igual a $ 1.869,30. [R: 4,92% a.m.] 
 
18. Qual o principal que, aplicado a juros simples durante 15 dias, à taxa de 0,12% ao dia, produz 
um montante de $ 14.000,00? [R: $ 13.752,46] 
 
19. Qual o juro produzido pela aplicação de $ 10.000,00, durante 3 trimestres, à taxa de juros 
simples de 5,5% ao mês? [R: $ 4.950,00] 
 
20. Qual foi o capital investido em certa operação, cujo valor resgatado é de $ 38.000,00 e foi feita 
pelo período de 1 ano, à taxa de juros simples de 13% ao bimestre?[R: $ 21.348,31] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DESCONTO BANCÁRIO OU DESCONTO COMERCIAL SIMPLES 
 
 Desconto é o nome dado a um abatimento que se faz quanto um título é resgatado antes de 
seu vencimento. Trata-se de uma operação rotineira no mercado financeiro e no setor comercial, 
em que o portador de títulos de crédito (duplicatas, notas promissórias, etc.) pode levantar fundos 
em uma instituição financeira (em geral bancos), descontando o título num período de tempo n, 
antes do vencimento. 
 
 Nas operações de desconto o valor do desconto é calculado, multiplicando-se o valor 
nominal (VN) do título a ser descontado pela taxa de desconto e pelo tempo que falta para o seu 
vencimento. Este tipo de desconto, no qual a taxa de desconto incide sempre sobre o valor de 
resgate, é denominado Desconto bancário ou Desconto comercial simples. 
 
n.i.VND D 
 
onde: 
D = valor do desconto 
VN = Valor Nominal: é o valor definido para um título em sua data de vencimento. 
iD = taxa de desconto. 
n = prazo de antecipação (a decorrer do início da operação de desconto até o vencimento do 
título), em dias corridos. 
 
 Como o valor do juro é subtraído do valor nominal do título, o valor atual (VA) do título, após 
o desconto, passa a ser: 
 
Valor Atual = Valor Nominal - Desconto 
 
ou DVNVA  ou )n.i1(VNVA D 
 
 
 Na verdade podemos ver que o desconto comercial nada mais é que o juro simples cobrado 
antecipadamente sobre o valor nominal de um título realizado antes do prazo de vencimento. 
 
 O esquema abaixo ilustra as operações de desconto comercial simples: 
 
 VA 
 
 
 0 n 
 
 VN 
 
 
 
Observação: Nas operações de desconto simples, além do desconto propriamente dito, ocorrem 
duas outras despesas: IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) e TAC (Taxa de Abertura de 
Crédito), correspondente às despesas administrativas da instituição financeira. 
 
VA = VN – D – IOF – TAC 
 
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 A TAC pode ser um percentual que incide sobre o valor de face do título ou Valor Nominal 
(VN). Contudo, a TAC também pode ser um valor fixo. 
 
 No caso de duplicatas e notas promissórias, o IOF é calculado sobre o valor descontado 
(VN-D), ou seja: 
 
IOF = n.(VN – D). sendo  = alíquota de IOF 
 
Atualmente, o IOF é cobrado à alíquota de 0,0041% ao dia para pessoa jurídica e também para 
pessoa física (Decreto 7.726, 21 de maio de 2012). 
 
 
Exemplos: 
 
1. Um título de Valor Nominal $ 100.000,00 foi descontado 55 dias antes de seu vencimento à 
taxa simples de desconto de 3% ao mês. Calcular o valor do desconto e o valor recebido. 
Desconsiderar pagamento de IOF (imposto sobre operações financeiras) e taxas administrativas. 
 
1o modo: 
Dados: Solução: 
VN= 100.000 Como: D = VN . iD . n , então: 
iD = 3% a.m. 
n = 55 dias 55.
30
03,0
.100000D  
D = ? 
VA = ? D = 100000 . 0,001 . 55 
 
 D = 5.500,00 
 
Uma vez conhecido o valor do desconto, podemos encontrar o valor recebido, substituindo o valor 
do mesmo na expressão: 
 
VA = VN – D 
VA = 100.000 – 5.500  VA = 94.500 
 
Resposta: O valor do desconto é $ 5.500,00 e o valor recebido ou Valor Atual (VA) é de 
$ 94.500,00. 
 
 
Poderíamos, alternativamente, utilizar a expressão VA = VN( 1 – iD . n ), daí: 
 
2o modo: 






 55.
30
03,0
1.100000VA 
 
VA = 100000 .(1 – 0,001 . 55) = 100000 . (1 – 0,055) = 100000 . 0,945 
 
VA = $ 94.500,00 
 
D = VN – VA = 100.000 – 94.500  D = $ 5.500,00 
 
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2. Um título de Valor Nominal $ 35.000,00 foi descontado num banco 45 dias antes de seu 
vencimento à taxa simples de desconto de 2,8% ao mês. O banco cobra IOF de 0,0041% ao dia e 
taxas administrativas de 0,3% do valor nominal do título. Calcular o valor do desconto e o valor 
líquido recebido. 
 
Dados: 
VN= 35.000 Solução: 
d = 2,8 % a.m. Como D = VN . iD . n, então: 
n = 45 dias 45.
30
028,0
.35000D  
 
IOF = 0,0041% a.d. D = 35000 . 0,000933333 . 45 
TAC = 0,3% de VN D = 35000 . 0,041999985 
D = ? 
VA = ? D = $ 1.470,00 
 
 
Podemos encontrar o valor do IOF, aplicando a alíquota de 0,0041% a.d. sobre o Valor Nominal 
(VN) menos o valor do Desconto (D) no prazo n. Então: 
IOF = (VN – D).0,000041 . 45 
IOF = (35000 – 1.470) . 0,001845 
IOF = 33530 . 0,001845 
 
 IOF = $ 61,86 
 
 
Já a TAC, pode ser calculada facilmente como: 
 
TAC = 0,003 . 35.000 
 
 TAC = $ 105,00 
 
 
Uma vez conhecidos o valor do DESCONTO, do IOF e da TAC podemos encontrar o Valor Atual 
(valor líquido recebido), substituindo seus valores na expressão: 
 
VA = VN – D – IOF – TAC 
 
VA = 35.000 – 1.470 – 61,86 – 105 
 
 
 VA = $ 33.363,14 
 
 
Resposta: O valor líquido recebido é igual a $ 33.363,14. 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMAS ENVOLVENDO DESCONTO BANCÁRIO 
 
1. Um empresário deseja descontar uma nota promissória no valor de $ 80.000,00 com prazo de 
vencimento de 36 dias. Se a taxa de desconto bancário (desconto comercial) negociada foi de 
4,5% ao mês, determinar: a) o valor do desconto; b) o valor recebido. 
[R: $ 4.320,00; b) $ 75.680,00] 
 
2. Uma empresa recebe $ 30.000,00 pelo desconto de uma duplicata com valor de resgate de 
$ 36.465,30 e com prazo de vencimento de 4 meses. Qual é a taxa de desconto comercial 
aplicada pelo banco? [R: 4,4325% a.m.] 
 
3. Quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata no valor de $ 9.800,00, que sofreu um 
desconto comercial simples de $ 448,50, à taxa de 18% ao ano? [R: 92 dias] 
 
4. O desconto comercial simples de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de 
uma empresa. Calcular o valor da duplicata, sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer 
de 37 dias até o seu vencimento e que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% a.m. nessa 
operação. [R: $ 75.000,00] 
 
5. Qual a taxa mensal de desconto bancário utilizada numa operação por 35 dias cujo valor de 
resgate é de $ 1.000,00 e o valor atual é de $ 850,00? [R: 12,8571% a.m.] 
 
6. Qual o valor atual de um título de $ 1.500,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de juros 
simples de 8% ao mês? [R: $ 1.140,00] 
 
7. Uma duplicata no valor de $ 32.000,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de 
$ 26.800,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é 
de 6,5% a.m., determinar o prazo (em dias) de vencimento da duplicata? [R: 75 dias] 
 
8. O banco Alpha S.A. oferece empréstimos pessoais cobrando 20% a.m. de taxa de desconto 
comercial. Se uma pessoanecessita de $ 12.000,00 agora para pagar daqui a 45 dias, qual será o 
valor do compromisso assumido? [R: R$ 17.142,86] 
 
9. Sabendo que o desconto de uma duplicata no valor de $ 25.000,00, com 14 dias a vencer, 
gerou um crédito de $ 23.600,00 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto 
bancário utilizada. [R: 12% a.m.] 
 
10. Calcular a que taxa mensal um título de R$ 80.000,00, com 25 dias a vencer, gera um 
desconto no valor de R$ 10.200,00? [R: 15,30% a.m.] 
 
11. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $ 44.000,00 e com 60 dias de prazo até o 
vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto comercial de 5,3% a.m., 
calcular o valor creditado na conta da empresa e o valor do desconto. 
[R: $ 39.336,00 ; $ 4.664,00] 
 
12. “O Desconto de Titulos ou Duplicatas é um adiantamento de recursos, feito pelo banco, sobre 
os valores dos respectivos títulos (duplicatas ou notas promissórias). Neste tipo de operação, o 
cliente recebe dinheiro antecipado de suas vendas a prazo. Ao apresentar um título para 
desconto, entretanto, o cliente não recebe seu valor total, pois são descontados diversos encargos 
sobre o seu valor nominal como por exemplo: taxa de desconto, IOF e taxa administrativa.” 
 Fonte: Fortuna, E. Mercado Financeiro, 19. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2013 
 
 
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O gerente de uma empresa de materiais de construção realizou uma operação de desconto 
bancário de uma duplicata no valor de $ 41.200,00, tendo sido negociada uma taxa de desconto 
comercial simples de 2,7% a.m. Determine o prazo de vencimento desse título (em dias), 
sabendo-se que o valor recebido pela empresa foi de $ 35.900,00. Desconsiderar pagamento de 
IOF (imposto sobre operações financeiras) e taxas administrativas. 
[R: O prazo de vencimento da duplicata é de 143 dias] 
 
13. Uma duplicata com prazo de 43 dias foi descontada à taxa de desconto bancário de 5,4% ao 
mês. O valor nominal da duplicata é de $ 2.000,00. Sabe-se que a alíquota de IOF (Imposto sobre 
Operações Financeiras) é de 0,0041% a.d. e a TAC (Taxa de Abertura de Crédito) é de 0,2% do 
valor nominal do título. Calcular: 
a) o desconto bancário (D). 
b) o imposto sobre operações financeiras (IOF). 
c) o valor da taxa de abertura de crédito (TAC). 
d) o valor colocado à disposição da empresa. [R: $ 154,80; $ 3,25; $ 4,00; $ 1.837,95] 
 
14. Uma duplicata de $ 1.000,00 foi descontada num banco que cobra 0,5% de despesa 
administrativa. O título foi descontado 37 dias antes de seu vencimento e a taxa de desconto é de 
5,1% ao mês. Considerando-se que o IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) é de 0,0041% 
ao dia, calcule: 
a) o valor do desconto bancário; 
b) o IOF; 
c) as despesas administrativas; 
d) o valor colocado à disposição do cliente. [R: $ 62,90; $ 1,42; $ 5,00; $ 930,68] 
 
 
15. Uma Nota Promissória de $ 5.800,00 foi descontada 54 dias antes de seu vencimento num 
banco que cobra 0,7% de taxas administrativas. Se a taxa de desconto comercial simples é de 
4,5% ao mês e que o IOF é de 0,0041% ao dia, calcule o valor colocado à disposição do cliente. 
 [R: $ 5.277,80] 
 
16. Uma duplicata com prazo de 3 meses foi descontada à taxa de desconto bancário de 4% ao 
mês. O valor nominal do título é de $ 20.500,00. Se a alíquota de IOF é de 0,0041% ao dia e as 
despesas administrativas cobradas pelo banco são de 0,25% do valor nominal do título, calcule o 
valor creditado na conta do cliente. [R: $ 17.922,18] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 Enquanto que no regime de juros simples a taxa de juros incide sempre sobre o capital 
inicial, no regime de juros compostos, o rendimento gerado pelo capital é incorporado a ele e 
capitalizado novamente. É o que chamamos de “juros sobre juros” ou modo exponencial de 
cobrança de juros, já que, para a obtenção do montante (FV) de um capital aplicado nessa 
modalidade, a taxa de juros (i) fica multiplicada por ela mesma n vezes, sendo n o tempo de 
aplicação do capital inicial (PV). Dessa forma temos: 
 
)]i1)......(i1).(i1).(i1.[(PVFV  
 
 ........ n vezes ........ 
 
de modo que o montante, no regime de juros compostos, é dado por: n)i1(PVFV  
 
Nessa fórmula o fator (1 + i)n é o “fator de valor futuro ou de capitalização”. Logo, o seu inverso 
(1 + i)-n , é chamado de “fator de valor presente ou de descapitalização”. 
 
O esquema abaixo ilustra as operações: 
 
 
n)i1(
FV
PV

 descapitalizando 
 
 
 
 n 
 
 
 n)i1.(PVFV  capitalizando 
 
 
 
CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS 
 
 Quando o prazo da operação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa 
considerada, são adotadas duas convenções: a exponencial e a linear. 
 
Convenção Exponencial 
Calcula-se o montante correspondente ao prazo total da operação (n) no sistema de juros 
compostos: n)i1.(PVFV  
 
 
 
 
 
 
Atenção: HP-12C 
C no visor: convenção exponencial. 
Sem a letra C no visor: convenção linear. 
 
Com a sequência de teclas [STO] [EEX] aparecerá ou desaparecerá a letra C no visor. 
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Convenção Linear 
 Calcula-se o montante correspondente à parte inteira de períodos (k) no sistema de juros 
compostos e 
 Na fração de tempo não inteiro restante, calcula-se os juros segundo o sistema de 
capitalização simples. 
 
)m.i1.()i1.(PVFV k  , onde k é a parte inteira de períodos e m é a parte fracionária de 
períodos, ou seja, nmk  . 
 
 
EXEMPLOS DE USO DA HP-12C PARA CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS 
 
1. Imagine que você toma emprestado $ 1.000,00. Na negociação fica acordado que a devolução 
será daqui a 5 meses. Considerando o regime de capitalização composta para taxa de 10% a.m., 
quanto deverá ser devolvido (FV)? 
 
 
FV = PV.(1 + i)n 
 
FV = 1000 . (1 + 0,10)5 
Na HP-12C: 
 
FV = 1000 . (1,10)5 f clear FIN 
 
FV = 1000 . 1,610510000 1000,00 CHS PV 
 10 i 
 5 n 
 FV 
 
VISOR 
 
 
 
 
 
Resposta: O valor a ser devolvido (FV) é igual a $ 1.610,51. 
 
 
1.610,51 
 c 
FV = 1.610,51 
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2. Qual será o valor de resgate (FV) de uma aplicação inicial de $ 1.800,00 (PV) no final de 
12 meses à taxa composta de 1 % a.m.? 
 
 
FV = PV.(1 + i)n 
 
 
FV = 1800 . (1 + 0,01)12 
Na HP-12C: 
 
FV = 1800 . (1,01)12 f clear FIN 
 
FV = 1800 . 1,126825030 1800,00 CHS PV 
 1 i 
 12 n 
 FV 
 
 
 VISORResposta: O valor resgatado (FV) é igual a $ 2.028,29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.028,29 
 c 
FV = 2.028,29 
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3. Determinar o valor de emissão (PV) de um título que, no fim de 10 meses à taxa composta de 
3% a.m., tem $ 6.719,58 de valor de resgate (FV). 
 
 
FV = PV.(1 + i)n 
 
 
6719,58 = PV . (1 + 0,03)10 Na HP-12C: 
 
 
6719,58 = PV . (1,03)10 f clear FIN 
6719,58 = PV . 1,343916379 6719,58 FV 
 
PV = 
343916379,1
58,6719
 3 i 
 
 10 n 
 
 
 PV 
 
 
 VISOR 
 
 
 
 
Resposta: O valor de emissão (PV) para esse título foi de $ 5.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 5.000,00 
 c 
PV = 5.000,00 
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4. Uma pessoa aplicou $ 13.000,00 (PV) e deseja resgatar $ 15.000,00 (FV) ao final de 1 ano (n) 
para pagar uma dívida. A que taxa mensal composta deve aplicar seu capital? 
 
 
FV = PV.(1 + i)n 
 
 
15000 = 13000 . (1 + i)12 
 
Ou 
 
13000 . (1 + i)12 = 15000 
 
13000
15000
)i1( 12  
 
153846154,1)i1( 12  
 
12 153846154,1i1  
 
12
1
)153846154,1(i1  
 
011996457,1i1  
 
1011996457,1i  
 
i = 011996457,0 a.m. 
 
(x100) 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP-12C: 
 
f clear FIN 
 
[STO] [EEX] (com a letra C no visor) 
 
f 2 (duas casas) 
 
13000,00 CHS PV 
 
15000,00 FV 
 
12 n 
 
 i 
 
VISOR 1,20 
 
Na HP-12C: 
 
f 9 (nove casas) 
 
15000 ENTER 
 
13000 ÷ 
 
VISOR 1,153846154 
 
12 1/x 
 
VISOR 0,083333333 
 
yx 
 
VISOR 1,011996457 
 
1 - (menos) 
 
100 x (vezes) 
 
f 2 (duas casas) 
 
VISOR 1,20 
 
 
 
i ≈ 1,20% a.m. 
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5. Qual será o prazo (em anos) necessário para que $ 10.000,00 (PV) aplicado à taxa composta 
de 12% a.a. se transforme em $ 34.785,50 (FV)? 
 
 
FV = PV.(1 + i)n 
 
 
34785,50 = 10000 . (1 + 0,12)n 
 
Ou 
 
10000 . (1 + 0,12)n = 34785,50 
 
10000
34785,50
12,1 n  
 
3,4785512,1 n  
 
3,47855ln12,1ln n  
 
3,47855ln12,1ln.n  
 
ln1,12
3,47855ln
n  
 
50,11332868
24661554,1
n  
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP-12C: 
 
f clear FIN 
 
f 2 (duas casas) 
 
[STO] [EEX] (com a letra C no visor) 
 
10000,00 CHS PV 
 
34785,50 FV 
 
12 i 
 
 n 
 
VISOR 11,00 
 
Na HP-12C: 
 
f 9 (nove casas) 
 
34785,50 ENTER 
 
10000 ÷ 
 
VISOR 3,478550000 
 
 
 
VISOR 1,246615540 
 
1,12 
 
 
VISOR 0,113328685 
 
 
÷ f 2 (duas casas) 
 
VISOR 11,00 
 
 
 
n = 11 anos 
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6. Utilizando a convenção linear, calcular o montante (FV) produzido por $ 1.000,00 aplicados à 
taxa de juros compostos de 40% a.a., capitalizados anualmente, ao final de 2 anos e 3 meses. 
 
 
FV = PV.(1 + i)k.(1 + i.m) 
 
k = 2 anos 
 
25,0
12
3
m  anos Na HP-12C: 
 
FV = 1000.(1 + 0,40)2.(1 + 0,40.0,25) f clear FIN 
 
FV = 1000 . (1,40)2.(1 + 0,10) [STO] [EEX] (sem a letra C no visor) 
 
FV = 1000 . 1,96 . 1,10 1000,00 CHS PV 
 40 i 
 
 2,25 n 
 
 FV 
 
 VISOR 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O montante produzido (FV) é igual a $ 2.156,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV = 2.156,00 
2.156,00 
 
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PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 
 
1. Um capital de $ 8.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 5% a.t. Calcule o montante 
para os seguintes prazos de aplicação: a) 1 ano b) 6 meses c) 90 dias 
 [R: a) $ 9.724,05; b) $ 8.820,00; c) $ 8.400,00] 
 
2. Considere um empréstimo no valor de $ 18.500,00 pelo prazo de 60 dias à taxa de juros de 
2,5% a.m. Calcule o valor dos juros e do montante a ser pago ao final do prazo, no sistema de 
capitalização composta. [R: $ 936,56; $ 19.436,56] 
 
3. Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 72.000,00. Como alternativa, o vendedor 
oferece a seguinte condição de pagamento: 20% de entrada e o restante após 120 dias. Qual o 
valor do pagamento final, se a taxa de juros compostos negociada foi de 2,8% a.m.? 
[R: $ 64.327,24] 
 
4. Uma pessoa aplicou um determinado capital pelo prazo de 84 dias à taxa de juros compostos 
de 1,2% a.m. e obteve um montante de $ 16.800,00. Qual foi o capital aplicado? [R: $ 16.248,15] 
 
5. O preço de um carro é de $ 36.000,00 podendo este valor ser pago até o prazo de 3 meses. 
Quem optar pelo pagamento à vista beneficia-se de um desconto de 10%. Qual é a taxa de juro 
composto cobrada nesta operação? [R: 3,5744% a.m.] 
 
6. Um cliente tem 2 alternativas de pagamento na compra de um imóvel: $ 96.000,00 à vista ou 
$ 120.000,00 após 6 meses sem entrada. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pela 
imobiliária. Considerando que a taxa de juros auferida pelo cliente em suas aplicações financeiras 
é de 4,5% a.m., qual é a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? 
[R: 3,7891% a.m.; a melhor opção de compra é a prazo, já que as aplicações financeiras oferecem 
maior rentabilidade] 
 
7. Uma aplicação de $ 21.700,00 à taxa de juros compostos de 2,4% a.m. gerou um montante de 
$ 27.900,00. Calcular o prazo da operação. [R: 10,60 meses, ou 10 meses e 18 dias] 
 
8. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês: 
a) dobra seu valor? 
b) triplica seu valor? 
c) aumenta em 20% o seu valor? [R: a) 17,67 meses; b) 28,01 meses; c) 4,65 meses] 
 
9. Se você empresta a uma pessoa o valor de $ 6.000,00, quanto você receberia de juros, após 
1 ano e meio, se a taxa de juros composta no empréstimo for de 2,75% a.m.? [R: $ 3.777,42] 
 
10. Se você tem uma dívida junto a uma instituição financeira cujo valor hoje é de 
$ 28.224,08 e ela foi contraída há 4 trimestres, qual o valor originalmente devido, se a taxa 
composta envolvida é de 7,5% a.m.? [R: $ 11.850,00] 
 
11. Uma pessoa deixou de pagar uma fatura de cartão de crédito no valor de $ 540,00. Sabendo 
que após 1 ano e meio, o valor devido era de $ 4.796,06, pergunta-se: qual a taxa mensal 
composta cobrada pela administradora do cartão? [R: 12,90% a.m.] 
 
12. Considere que uma pessoa procurou uma concessionária de veículos para adquirir um carro 
popular e constatou que, por conta crise econômica, a loja ofereceu uma redução na taxa de 
juros. O carro escolhido estava sendo vendido nas seguintes condições: pagamento à vista de 
$ 28.500,00 ou um pagamento de $ 34.350,00 após um ano. Determinea taxa mensal de juros 
compostos que está sendo cobrada por essa concessionária. [R: 1,5680% a.m.] 
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13. Um trabalhador, estimulado pela redução da taxa de juros anunciada pela Caixa Econômica 
Federal no crédito pessoal, encontra, em uma determinada loja, o notebook com a configuração 
desejada com o valor à vista de $ 1.945,00. Para pagamento a prazo, o vendedor oferece a 
seguinte alternativa de pagamento: 30% de entrada e uma parcela de $ 1.425,00 após 63 dias. 
Qual é a taxa mensal de juros compostos cobrada por essa loja? [R: 2,1944% a.m.] 
 
14. Uma concessionária está oferecendo um automóvel ano 2014 por $ 44.500,00 à vista ou por 
$ 24.800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 21.222,50 ao final de 5 meses. Sabendo-se que 
uma outra opção seria aplicar este capital à taxa de juros compostos de 0,8% a.m. no mercado 
financeiro, determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis, 
calculando a taxa mensal de juros compostos praticada pela concessionária e comparando-a com 
a taxa praticada pelo mercado financeiro. 
[R: A taxa cobrada pela concessionária é de 1,5% a.m. e, portanto, a melhor opção de compra é à 
vista, já que as aplicações financeiras oferecem menor rentabilidade] 
 
15. O objetivo do Governo Federal, quando reduz as alíquotas do IPI, é estimular setores 
internamente, diante de crises econômicas. Com a expectativa do aumento nas vendas, algumas 
redes de lojas de eletrodomésticos anunciaram promoções especiais para esses produtos. É o 
caso de um determinado modelo de refrigerador, que pode ser adquirido por $ 3.400,00 para 
pagamento à vista, ou a prazo com taxa de juros de 1,5% a.m. Considere que um cliente deseja 
adquirir esse produto nas seguintes condições: entrada de $ 1.200,00 e pagamento do restante 
após 90 dias. Determine o valor desse último pagamento. 
[R: O valor do último pagamento deve ser de $ 2.300,49] 
 
16. Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma promoção em que na compra de qualquer 
produto até $ 1.800,00, o pagamento será em uma única prestação, 6 meses depois. Um 
consumidor adquiriu mercadorias no valor de $ 1.750,00, sendo informado de que a prestação a 
ser paga, dentro de 6 meses, seria de $ 1.980,00. Nesse caso, qual é a taxa mensal de juros 
compostos cobrada pela loja? [R: 2,0793% a.m.] 
 
17. Utilizando um computador cujo sistema operacional é o Windows 10, um usuário da Internet 
realizou, em um site de busca, por meio do Internet Explorer 11, uma pesquisa acerca dos temas 
cidadania, informática e inclusão digital. Entre os diversos links que foram apresentados como 
resultado da pesquisa, o usuário acessou a página do site: http://www.telecentros.sp.gov.br 
Fonte: http://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/servicos/inclusao_digital/ 
 
Caso uma pessoa, para se conectar à Internet, adquira um computador cujo preço à vista é de 
$ 1.900,00 dando uma entrada de $ 950,00 e mais uma prestação de $ 1.020,00, com vencimento 
para 30 dias contados a partir da data da compra, qual será a taxa mensal de juros paga nesse 
financiamento? [R: 7,3684% a.m.] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.telecentros.sp.gov.br/
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TAXAS DE JUROS 
 
 
Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes / Taxas Nominais / Taxas Efetivas 
 
Taxas Proporcionais 
Duas taxas se dizem proporcionais se: 
2
2
1
1
n
i
n
i
 , 
onde n1 e n2 representam os períodos de capitalização de cada taxa e i1 e i2 representam os 
percentuais das taxas consideradas. 
 
Exemplo: 
As taxas 72% a.a., 36% a.s., 18% a.t. e 6% a.m. são proporcionais, pois tomando o período de um 
mês como unidade de tempo, tem-se: 
 
%6i
1
%6
3
%18
6
%36
12
%72
mensal  a.m. 
 
Taxas Nominais 
Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. 
É comum adotar-se a convenção de que a taxa por período de capitalização seja proporcional à 
taxa nominal. 
 
Exemplo: 
Se a taxa negociada é de 18% a.a. capitalizada mensalmente, a taxa aplicada é a taxa 
proporcional do período da capitalização, ou seja, a taxa aplicada é a taxa mensal proporcional: 
imensal = 18/12 = 1,5% a.m. (taxa nominal). 
 
 
Taxas Efetivas 
Taxa efetiva é a taxa efetivamente aplicada na operação financeira. Neste caso, a unidade de 
tempo referida na taxa coincide com o período de capitalização. 
 
Regra: 
Para se calcular a taxa efetiva quando o período de capitalização não coincide com o 
período da taxa: 
a) Calcula-se a taxa simples (proporcional) correspondente a um período de capitalização; 
b) Potencia-se essa taxa simples ao número de períodos de capitalização existente no 
intervalo de tempo a que se refere a taxa nominal. 
 
Ou seja: 
1001
k
i
1i
k
ef et 














 , onde k é o número de sub-períodos de capitalização. 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
1. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 12% a.a. capitalizada mensalmente? 
1001
k
i
1i
k
ef et 














 
       100112682503,1100101,1100101,011001
12
12,0
1i 12
12
12
ef et 














 
 
 
 
Observação: Um exemplo clássico da utilização de taxas efetivas ocorre no financiamento de 
imóveis. Nesses contratos sempre estará informada a taxa nominal, por exemplo, 12% ao ano 
capitalizada mensalmente. Para cada parcela mensal incidirá 1%, o que equivale à taxa efetiva de 
12,682503% ao ano. Por que não se divulga diretamente no contrato 12,682503% ao ano? 
Simplesmente, por ser uma prática usual de mercado!!! Correta ou não, essa é uma prática de 
mercado amplamente usada e aceita no nosso país. 
 
2. Qual a taxa anual efetiva para uma taxa de 10% a.a. capitalizada semestralmente? 
1001
k
i
1i
k
ef et 














 
       10011025,1100105,1100105,011001
2
10,0
1i 2
2
2
ef et 














 
 
 
 
 
 
Taxas Equivalentes 
Duas taxas se dizem equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado 
tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. 
 
Capitalização Simples: as taxas proporcionais são taxas equivalentes. 
 
Capitalização Composta: as taxas equivalentes são calculadas pela expressão abaixo: 
 iq = [ ( 1 + i t ) 
q / t – 1 ] . 100 
onde: 
 
iq = taxa para o período que eu quero; q = período da taxa que eu quero 
 
it = taxa que eu tenho; t = período da taxa que eu tenho 
 
 
 
682503,12ief et  % a.a. 
25,10ief et  % a.a. 
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Exemplos: 
 
1. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? 
 
 iq = [ ( 1 + i t ) 
q / t – 1 ] . 100 
 
 i12 = [ ( 1 +0,02 ) 
12 /1 – 1 ] . 100 = [ ( 1,02 ) 12 – 1 ] . 100 
 
 
 
 
 
2. Qual a taxa mensal equivalente a 15,39% a.a.? 
 
 iq = [ ( 1 + i t ) 
q / t – 1 ] . 100 
 
 i1 = [ ( 1 +0,1539 ) 
1 /12 – 1 ] . 100 = [ ( 1,1539 ) 1/12 – 1 ] . 100 
 
 
 
 
 
Taxa Bruta 
A taxa bruta é aquela obtida sem levar em consideração o desconto dos diversos encargos 
envolvidos em uma operação financeira: refere-se aos juros brutos da operação. 
 
 
Taxa Líquida 
A taxa de juros líquida é aquela obtida após o desconto dos diversos encargos envolvidos na 
operação, tais como o imposto de renda (IR), impostosobre operações financeiras (IOF), etc. A 
taxa de juros líquida refere-se aos juros líquidos efetivamente pagos ou recebidos em uma 
operação financeira. 
 
 
Taxa Acumulada 
A composição da taxa acumulada de juros com taxas variáveis pode ocorrer de duas formas, com 
taxas positivas ou com taxas negativas. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa 
positiva pode ser representado por (1 + i) e de uma taxa negativa por (1 – i). Assim, têm-se a 
seguinte fórmula genérica: 
 
100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac  
 
Exemplo: 
 
Calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada no segundo semestre de 2008, sabendo que de 
julho a dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 
0,38% e -0,13%. 
 
100]1)i1(...)i1()i1()i1[(i n321ac  
 
100]1)0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01[(iac  
 
i12 = 26,824180% a.a. 
i1 = 1,20% a.m. 
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100]1)9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1[(iac  
 
 
 
 
Resposta: O IGP-M acumulado no segundo semestre de 2008 foi de 2,7969%. 
 
 
Taxa Média 
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Do 
ponto de vista da matemática financeira, calcula-se a taxa média de um conjunto de taxas 
variáveis extraindo a raiz n-ésima da taxa acumulada, onde n é o número de taxas que foram 
acumuladas. Ou seja: 
100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n
1
n321média  
 
Exemplo: 
 
Calcular o IGP-M (FGV) médio para o segundo semestre de 2008, sabendo que de julho a 
dezembro, os valores deste índice foram, respectivamente: 1,76%, -0,32%, 0,11%, 0,98%, 0,38% 
e -0,13%. 
100}1)]i1(...)i1()i1()i1{[(i n
1
n321média  
 
100}1)]0013,01()0038,01()0098,01()0011,01()0032,01()0176,01{[(i 6
1
média  
100}1)]9987,0()0038,1()0098,1()0011,1()9968,0()0176,1{[(i 6
1
média  
 
 
 
 
Resposta: O IGP-M médio no segundo semestre de 2008 foi de 0,4608%. 
 
 
Taxa Aparente 
A taxa aparente é aquela adotada normalmente em operações correntes de mercado, incluindo os 
efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. 
Em outras palavras, a taxa aparente é constituída de dois componentes: um, relacionado à 
inflação e outro, relacionado com os juros realmente recebidos ou pagos. 
 
 
Taxa Real 
A taxa real é o rendimento ou custo de uma operação financeira, seja de aplicação ou captação, 
apurado livre dos efeitos inflacionários. 
 
É calculada a partir da expressão: 
)i1).(i1(100)i1( reallaçãoinfaparente
 
iac = 2,7969% em seis meses 
imédia = 0,4608% ao mês 
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e portanto: 1001
i1
i1
i
laçãoinf
aparente
real 



















 
 
Quando se considera as operações financeiras em contexto inflacionário, pode ser utilizada a 
expressão: nreal
n
laçãoinf )i1.()i1.(PVFV  
 
 
Exemplos: 
 
1. Uma empresa fez uma aplicação por 30 dias em CDB à taxa de 1,5% a.m.. Se a inflação nesse 
período foi de 0,5%, qual a taxa de remuneração real dessa aplicação? 
 
1001
i1
i1
i
laçãoinf
aparente
real 



















 
1001
005,1
015,1
1001
005,01
015,01
ireal 

























 
 
ireal = 0,009950249 (x 100) 
 
 
 
 
2. Um capital foi aplicado por 12 meses à taxa de 18,2% a.a.. Se a taxa de inflação foi de 21,5% 
nesse período, calcule a taxa real dessa aplicação. 
 
1001
i1
i1
i
laçãoinf
aparente
real 



















 
1001
215,1
182,1
1001
215,01
182,01
ireal 

























 
 
ireal = - 0,027160494 (x 100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ireal = 0,9950249% a.m. 
ireal = - 2,7160494% no período 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO TAXAS DE JUROS 
 
 
1. Determine as taxas mensais proporcionais a: a) 0,2% a.d. b) 15% a.a. c) 6,9% a.t. 
[R: 6,00% a.m.; b) 1,25% a.m.; c) 2,30% a.m.] 
 
2. Uma aplicação remunera à taxa de 6% a.a. capitalizada mensalmente. Neste caso, a taxa 
anunciada, de 6% a.a. é denominada taxa nominal. Determinar a taxa mensal proporcional e a 
taxa anual efetiva. [R: taxa mensal proporcional = 0,5% a.m.; taxa anual efetiva = 6,1678% a.a.] 
 
3. A taxa de juros cobrada no financiamento imobiliário de uma determinada instituição financeira 
é de 10,5% a.a. capitalizada mensalmente, pela Tabela Price. Determine a taxa anual efetiva 
cobrada. [R: 11,0203% a.a.] 
 
4. Uma aplicação de $ 25.000,00 por 3 anos é remunerada à taxa de 18% a.a. capitalizada 
mensalmente. Qual será o valor dos juros pagos após esse prazo? [R: $ 17.728,49] 
 
5. Considere uma aplicação de $ 82.000,00 à taxa de 6% a.a. capitalizada semestralmente por 5 
anos. Qual será o montante resgatado após esse prazo? [R: $ 110.201,14] 
 
6. Considerando as taxas nominais abaixo, qual é a taxa efetiva anual para cada hipótese? 
a) 24% a.a. Capitalização mensal [R: iefet = 26,8242% .a.a.] 
b) 28% a.a. Capitalização trimestral [R: iefet = 31,0796% a.a.] 
c) 21% a.a. Capitalização quadrimestral [R: iefet = 22,5043% a.a.] 
d) 40% a.a. Capitalização semestral [R: iefet = 44% a.a.] 
e) 30% a.a. Capitalização anual [R: iefet = 30% a.a.] 
 
7. Determine a taxa anual equivalente correspondente a: 
a) 2,7% a.s. b) 0,12% a.d. c) 0,9% a.m. d) 3,6% a.t. 
[R: a) 5,4729 % a.a.; b) 53,9936 % a.a.;c) 11,3510% a.a.;d) 15,1964% a.a.] 
 
8. Determine a taxa diária equivalente: a) 1,8% a.m. b) 14% a.a. c) 0,7% em 20 dias 
[R: a) 0,0595% a.d.; b) 0,0364% a.d.; c) 0,0349% a.d.] 
 
9. Uma aplicação cuja taxa é igual a 26% a.a. foi realizada pelo prazo de 37 dias. Qual a taxa 
equivalente para o prazo da aplicação? [R: 2,4038% para 37 dias] 
 
10. A rentabilidade de determinado fundo foi 0,79% a.m.. Qual a taxa semestral equivalente? 
[R: 4,8346% a.s.] 
 
11. Qual é a taxa mensal equivalente à taxa de 96% a.a.? E a taxa diária equivalente? 
[R: 5,7681% a.m.; 0,1871% a.d.] 
 
12. “Os brasileiros que entram no cheque especial estão pagando as maiores taxas de juros em quase 
20 anos. Pesquisa da Fundação Procon-SP mostrou que a taxa média do cheque chegou a 11,49% ao 
mês em julho – a maior desde novembro de 1995, quando era de 11,71%." 
 Fonte: http://g1.globo.com/economia/seu-dinheiro/noticia/2015/07/taxa-de-juro-do-cheque-especial-e-desde-1995-
mostra-procon.html/ 
Considerando que a taxa mensal de juros do cheque especial, como afirma o texto acima, está, 
em média, de 11,49% a.m., qual é a taxa anual equivalente de juros cobrada? 
[R: A taxa anual de juros cobrada no cheque especial é de 268,83% a.a.] 
 
http://g1.globo.com/tudo-sobre/procon/
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13. Aplicou-se um capital de $ 80.000,00 à taxa de 2,8% a.m. por 5 meses. Considerando que o 
imposto de renda (alíquota de 20% sobre os rendimentos brutos) será pago somente ao final do 
prazo, determinar: a) os juros brutos ou nominais; b) o valor do imposto de renda; c) o valor líquido 
de resgate; d) a taxa mensal