lista 02 - funções vv LAURITO

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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia
Cálculo de Várias Variáveis – Lista de Exercícios
Prof. Laurito Alves 
1a parte - Do nosso livro
No livro do Thomas, volume 2, fazer os seguintes exercícios:
Seção 14.3 – Páginas 234 e seguintes
1 a 50, 52, 54, 55d, 56b, 61, 63, 65 a 68, 73, 78, 79, 80, 83, 86, 90
Seção 14.4 – Páginas 243 e seguintes
1 a 12, 25 a 38, 40 a 44, 49 e 50.
Seção 14.5
11 a 18
2a parte - Exercícios avulsos
Dada a função f(x,y,z) = 3xy cos (z4) + yz arcsen x + xz ln(3y) + arctan (x+y+z), determine o valor de f(1,2,3) + 
Dada a função f(x,y) = xy + 2x – ln(x2y) , existe um ponto P no primeiro quadrante no qual (P) são ambos nulos ?
Como você deve saber mais do que eu, a pressão de um gás é dada por P(T,V) = KT/V, em que K é uma constante, T é a temperatura e V é o volume que ele ocupa. Suponha K = 8. Determine:
Qual é a pressão para T = 10 e V = 5
Determine e 
Dada f(x,y,z,w) = xey+z + sen(yzw), calcule 
Dada u(r,t) = , determine o valor de 
Calcule, usando a definição, os valores de Fx, Fy e Fz para:
F(x,y,z) = 3x2y3z2
F(x,y,z) = 
Calcule, usando a definição, os valor de Fx, Fy, Fz e Fw para F(x,y,z,w) = x2yz + 3xy2w3
Sendo f(x,y) = x2 + 3xy + y + 1, encontre os valores de no ponto (4,-5)
Dada a função f(x,y) = e os pontos P(1,2) e Q(3,4), qual é maior: ?
Considere que três resistores de resistências respectivamente iguais a x, y e z são ligados em paralelo. A resistência combinada R é dada pela expressão R(x,y,z) = . Calcule o valor de quando x = 30, y = 45 e z = 90.
Esboce as curvas de nível das funções dadas abaixo
F(x,y) = x + y2 + 1
F(x,y) = x2 + y + 1
F(x,y) = 4x2 – y2
F(x,y) = x2 + 9y2
F(x,y) = 3x + 2y
F(x,y) = x cos y
Considere a função f(x,y,z) = e os pontos P = (1,2,3), Q = (1.01 , 2, 3), R = (1 , 2.01 ,3) e S = (1, 2, 3.01). 
Calcule, com 4 casas de precisão após a vírgula, os valores de f(P), f(Q), f(R) e f(S).
Ainda com 4 casas de precisão após a vírgula, determine os valores de .
Abaixo é dada uma função F, um ponto P e um vetor u. Determine o valor de :
F(x,y,z) = 2xy2z + xy + yz3, P = (1, 2, 3) e u = (2,2,3)
F(x,y,z) = x cos y + y sen z, P = (0,0,0) e u = (1,
F(x,y,z) = ex+y + ln(x2 + y2 + z2 + 1), P = (-1,2,-3) e u = (-2, -3,5)
F(x,y,z) = , P = (2,0,3) e u = (1,1,0)
F(x,y,z) = ln(y/x) + arctan(x/z), P = (1,1,2) e u = (4,5,8)
Considere a função f(x,y,z) = 2x2y + z, o ponto P = (3,4,5) e o vetor b = (8,4,1). Determine o valor de :
usando a definição
sem usar a definição
Considere a função f(x,y,z) = exyz , o ponto P = (1,2,0) e o vetor u = (2, 2, 1). Determine o que se pede:
a) f(P)			b) 
Considere os vetores u = (1,1), v = (0,-2) e w = (-1,-2) e o ponto P(1,2). Sobre uma função f(x,y) sabemos que Determine o valor de 
A temperatura em um ponto (x,y,z) do espaço é dada por T(x,y,z) = 2xy – yz. Um objeto está no ponto P(1,-1,1). Determine:
A temperatura no ponto P
A taxa de variação da temperatura no ponto P na direção do vetor (2,3,1)
Considere a função f(x,y,z,w) = xy2 + z3 + yzw. Dado o vetor u = (2,2,1,-1), calcule :
Usando a definição 
Sem usar a definição 
Considere a função f(x,y,z) = . Dados os vetores u = (2,9,6) e v = (8,9,10), calcule e 
Usando a definição 
Sem usar a definição 
Considere a função f(x,y,z,w) = e o vetor v = (1,-2,0,3). Ao calcular , para P = , obtemos uma resposta que é positiva ou negativa ?
A superfície de um lago é um plano. A profundidade,em m, em um ponto (x,y) desse lago é dada por p(x,y) = 10 – ln(x2 + y2 + e2) + cos(x/3 + y/2). Determine:
A profundidade na origem, no ponto A(2,1) e no ponto B(-4,-6)
Ao sair de A para B, em linha reta, a profundidade do lago está aumentando ou diminuindo ? Justifique sua resposta.
Ao sair de B para a origem, em linha reta, a profundidade do lago está aumentando ou diminuindo ? Justifique sua resposta.
Supondo que o sentido positivo do eixo x representa o leste e o sentido positivo do eixo y representa o norte, ao sair da origem no sentido nordeste a profundidade do lago está aumentando ou diminuindo ?
Considere a função f(x,y,z) = tan(xyz2) + , os vetores u = (4,4,7) e v = (2,1,2) e os pontos P = (2,5,1) e Q = (7,2,1). Determine o produto entre a derivada de f na direção de u calculada em P e a derivada de f na direção de v calculada em Q.
Dada a função f(x,y,z) = e o vetor u = (2,-1,2), determine , USANDO A DEFINIÇÃO.
Considere a função f(x,y,z,w) = , o ponto P(1,2,1,3) e os vetores u = (4,8,8,9) e v = (4,3,2,1). Laurito calculou a derivada de f na direção de u. A seguir, calculou a derivada dessa resposta na direção de v e substituiu o ponto P nessa última. Ele obteve um número positivo ou negativo ?
3ª parte - ESSAS SÃO PARA O TRABALHO
Trabalhe sempre usando 8 casas após a vírgula durante seus cálculos nessa questão. Calculadoras em radianos (sempre).
Inicialmente, gostaria que você calculasse alguns produtos notáveis
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = calcule
(a + b)5 = calcule
(a + b)6 = calcule
Qualquer função f(x,y) pode ser aproximada por polinômios. A fórmula que nos permite fazer isso é
Você percebeu como cada colchete na fórmula corresponde a um produto notável.
Qual é o próximo colchete na fórmula ?
Use a fórmula acima e aproxime, com o uso de 4 colchetes, a função f(x,y) = . Chame sua aproximação de função p4(x,y). (Observe: 4 colchetes você chama de p4, captou ?)
Qual é o valor de f(0,2 ; 0,3) , p4(0,2 ; 0,3) , f(2,3) e p4(2,3) ?
Esboce o gráfico de f(x,y) e de p4(x,y). Quero um lindo print da tela do computador. Construa dois gráficos para cada função, no primeiro, tanto x quanto y devem variar entre -1 e 1 e, no segundo, eles devem variar entre -10 e 10. No total, quero ver 4 gráficos.
Podemos dizer que, próximo da origem, p4(x,y) é uma boa aproximação de f(x,y) ?
Use a fórmula com 5 colchetes, obtendo p5(x,y). Qual é a lei de p5(x,y) ? Quero uma resposta mais simples possível. 
Seja f(x,y,z) = e o vetor v = (1,2,-2). Usando a definição, calcule o valor de 
Cálculo de Várias Variáveis - Prof. Laurito Alves