1 Introducao a Sinais e Sistemas Parte 2

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Operações com Sinais 
 Inversão no tempo 
1- Analógico ( ) ( )x t x t  
( )x t ( )x t
1- Digital ( ) ( )x n x n  
Operações com Sinais 
 Deslocamento temporal  Avanço ou atraso 
 
 
 
 
o- Analógico ( ) ( )y t x t t  
o- Digital ( ) ( )y n x n n  
Operações com Sinais 
 Escalonamento no tempo  Compressão ou expansão 
de um sinal no tempo. 
 ( ) (a ) (compressão p/ a 1)
( ) ( ) (expansão p/ a 1)
y t x t
y t x t a
 
 
Operações com Sinais 
 Escalonamento no tempo para sinais discretos 
( ) (a ) (sub-amostragem p/ a 1)
( ) ( ) (sobre-amostragem p/ a 1)
y n x n
y n x n a
 
 
Sinais Elementares 
 Função Degrau Unitário u(t) 
 
 
 
 
 Pulso Unitário 
0, 0
( )
1, 0
t
u t
t

 

( ) ( ) ( 1)p t u t u t  
1
1
p(t)
t [s]
Sinais Elementares 
 Função Impulso Unitário  Também conhecida 
como Delta de Dirac, é uma das mais importantes 
funções no estudo de sinais e sistemas. 
 
 
 
 
 Obs: O valor 1 da função impulso não é magnitude, 
mas sim sua área. Assim, 
( )t
 
1, 0
0, 0
t
t
t

  

( ) 1t dt


 
Sinais Elementares 
 A função impulso pode ser interpretada como a função 
pulso retangular de área unitária cuja base tende à 
zero. 
 
 
 
 
 
 Multiplicação de qualquer função g(t) por um impulso 
unitário: 
0
( ) lim ( )t p t

 
( ). ( ) (0)g t t g  ( ). ( 10) (10)g t t g  
Amostra de g(t) 
Sinais Elementares 
 Relação entre 
 
 
 Função Exponencial Complexa  Outra importante 
função na área de sinais e sistemas, onde s, no caso 
geral, é um número complexo na forma de 
 
 Identidade de Euler  
 
 
( ) e ( )u t t
( )
( )
du t
t
dt
  ( ) ( )du t


   
ste
.s j  
( )j t t j t t j te e e e       
cos( ) sen( )je j     
[cos( ) sen( )]t j t te e e t j t     
Re[( )] cos( )
cos( ) sen( )
Im[( )] sin( )
st t
st t t
st t
e e t
e e t je t
e e t

 

  
    
 
Analógico 
Digital 
Sinais Elementares – Sinais Digitais 
 Impulso unitário: 
 
 Degrau unitário 
 
 
 Relação entre o impulso unitário e degrau 
unitário 
1 0
( )
0 0
n
n
n

  

1 0
( )
0 0
n
u n
n

 

( ) ( )
n
k
u n k

 ( ) ( ) ( 1)n u n u n   
( )
( )
du t
t
dt
  ( ) ( )du t


   
Sistemas 
 Os sistemas são responsáveis por processar 
ou extrair informações de um sinal. 
 Um sistema é uma entidade que processa um 
conjunto de sinais (entradas) resultando em 
um outro conjunto de saídas. 
 Um sistema pode ser construído com 
componentes físicos, elétricos, mecânicos ou 
hidráulicos (realização por hardware) ou um 
algoritmo que calcula um sinal de saída a 
partir de um sinal de entrada (realização por 
software). 
Sistemas 
 Os sistemas podem ter múltiplas entradas e 
múltiplas saída (MIMO – Multiple-input 
Multiple-output) 
 
 
 
 Sistemas SISO (Single-input Single-output) 
Sistemas – Modelagem 
 Para facilitar o conhecimento e a análise, o 
sistema físico pode ser modelado 
matematicamente. 
 
 
 
 Ex: Circuito Elétrico 
Modelado a partir de uma expressão 
matemática que relaciona a saída 
com a entrada. 
R
Ve(t) C
+
Vc(t)
-
i(t)
( ) ( ) ( ) 0e cV t Ri t V t   
( )
( ) ( )c c e
dV t
RC V t V t
dt
 
( )
( ) c
dV t
i t C
dt

Sistemas de Tempo Discreto 
Um sistema de tempo discreto transforma um sinal 
(de entrada) em um outro sinal (de saída) por meio 
de um conjunto fixo de operações. 
 
 
Exemplo 1: 
 
 
Exemplo 1: 
( ) 0,5 ( 1) ( )y n y n x n  
( ) [0 1 2 3 4 5]x n  ( ) [0 1 4 6 8 10]y n 
2( ) ( )y n x n
Classificação de Sistemas 
 Linearidade  Um sistema será linear se 
atender simultaneamente às propriedades da 
aditividade e da homogeneidade. 
 Aditividade 
 
 
 Aplicando uma entrada , o que resulta em 
uma saída e uma entrada , o que 
resulta em , o sistema será aditivo se, e 
somente se: 
1( )x t
1( )y t 2 ( )x t
2 ( )y t
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t  
Classificação de Sistemas 
 Homogeneidade: Considerando uma 
constante k qualquer, o sistema será 
homogêneo se, e somente se: 
 
 Para o caso discreto, a propriedade da 
linearidade segue o mesmo princípio do caso 
analógico. 
1 1( ) ( )kx t ky t
1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] (Aditividade)T x n x n T x n T x n  
[ ( )] [ ( )] (Homogeneidade)T kx n kT x n
Classificação de Sistemas 
 Variante e invariante no tempo  Sistemas 
cujos parâmetros não são alterados com o 
tempo são chamados invariantes no tempo, 
caso contrário são chamados de variantes. 
 Em um sistema invariante no tempo, se a 
entrada for atrasada to segundos, a saída 
será a mesma que a entrada anterior, porém 
também atrasada de to segundos. 
 
Sistema invariante no tempo 
Classificação de Sistemas 
Classificação de Sistemas 
 Caso discreto - Invariância ao deslocamento 
 Definição: Seja y(n) a resposta de um sistema a 
uma entrada arbitrária x(n). O sistema é dito invariante 
ao deslocamento se, para qualquer n0, a resposta a uma 
entrada atrasada x(n – n0) for y(n – n0) 
 
Exemplo: Seja o sistema definido por 
 
 
 
 
 
2( ) ( )y n x n
o
2
1 o( )
( ) ( ) [deslocando o sinal de entrada]
x n n
y n x n n

 
o
2
2 o( )
( ) ( ) [deslocando o sinal de saída]
y n n
y n x n n

 
1 2Como ( ) ( ), o sistema é invariante ao deslocamento.y n y n
Classificação de Sistemas 
 Causalidade  Um sistema será causal se 
sua saída y(t) em qualquer instante to 
depender apenas de entradas x(t) para t ≤ to. 
 Sistema causal  depende apenas da 
entrada atual e/ou passadas. 
 Ex: y(t) = x(t +2) (Não causal) 
 Ex: Filtro passa-baixas ideal 
 
Não causal 
Classificação de Sistemas 
 Caso discreto  similar ao caso analógico 
Definição: Um sistema é dito causal se a 
resposta do sistema no tempo n0 depender 
apenas dos valores de entrada para n ≤ n0 
(valores passados). 
Em um sistema causal, a saída não pode 
antecipar uma alteração na entrada. 
 Exemplo 
( ) ( ) ( 1) [causal]y n x n x n  
( ) ( ) ( 1) [não causal]y n x n x n  
Convolução 
 A saída de um sistema linear invariante no 
tempo excitado por um sinal x(t) é dado pela 
integral de convolução (ou simplesmente 
convolução) 
 
 
 
 
 
onde é a resposta ao impulso do sistema. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t x t h t x d


      
( )h t
Convolução – Sistemas Discretos 
 A saída de um sistema linear invariante ao 
deslocamento excitado por um sinal x(n) é 
dado pela soma de convolução (ou 
simplesmente convolução) 
 
 
 
 
 
onde é a resposta ao impulso do sistema 
discreto. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
y n h n x n h n k x k


   
( )h n