4 Transformadas de Laplace e Z

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Transformada de Laplace e Transformada Z 
 
 
DEET– Departamento de Engenharia Elétrica e de 
Telecomunicações 
 
Mestrado em Engenharia Elétrica 
 
 
Prof. Fábio Luis Perez, Dr. 
 
 
FURB – Universidade Regional de Blumenau 
Análise de Sistemas LCIT 
(Domínio da Frequência) 
 Qualquer sistema físico (causal) LCIT (SISO) 
pode ser modelado através da seguinte equação 
diferencial: 
 
 
 
Entretanto, resolver tais equações no domínio do 
tempo apresenta uma grande dificuldade 
matemática. 
Assim, a Transformada de Laplace é uma ótima 
ferramenta para a análise de sistemas lineares, a 
qual decompõe f(t) em sinais exponenciais 
complexos. 
 
2
o 1 2 2
2
o 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n n
n
n n
dy t d y t d y t
a y t a a a
dt dt dt
dx t d x t d x t
b x t b b b
dt dt dt
    
   
Transformada de Laplace 
 Definição: Dado um sinal f(t), a sua T.L. bilateral é 
definida como: 
 
 Ex: T.L. do impulso unitário 
 
 
 Ex: T.L. do degrau unitário 
{ ( )} ( ) ( ) , stL f t F s f t e dt s



  
0{ ( )} ( ) ( )st sL t t e dt t e dt
 
 
 
     { ( )} ( ) 1L t t dt


   
0
0
{ ( )} ( ) 0 1st st stL u t u t e dt e dt e dt
 
  
 
    
 0
0
1
{ ( )} 0
st
se eL u t
ss s


     
  
Transformada de Laplace 
 Transformada inversa de Laplace 
 
 
onde c assegura a convergência da integral. 
 
 Propriedades da Transformada de Laplace 
1) A T.L. é biunívoca 
 
 
1 1{ ( )} ( ) ( )
2
c j
st
c j
L F s f t F s e ds
j
 
 
  
 
 
1
{ ( )}
{ ( )}
( ) ( )
L f t
L F s
f t F s


Transformada de Laplace 
2) A T.L. é linear 
 1 2 1 2{ ( ) ( )} [ ( ) ( )]
stL f t f t f t f t e dt



  
1 2 1 2{ ( )} { ( )} ( ) ( )
st stL f t L f t f t e dt f t e dt
 
 
 
   
1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) F ( ) (Aditividade)L f t f t F s s  
{ ( )} ( ) ( )st stL kf t kf t e dt k f t e dt
 
 
 
  
{ ( )} ( ) (Homogeneidade)L kf t kF s
Transformada de Laplace 
3) Deslocamento no tempo 
 
o o{ ( )} ( )
stL f t t f t t e dt



  1 ot t t 
1 o( )
o 1 1{ ( )} ( )
s t t
L f t t f t e dt

 

  
o1
o 1 1{ ( )} ( )
ststL f t t f t e e dt



  
o 1
o 1 1{ ( )} ( )
st stL f t t e f t e dt

 

  
o
o{ ( )} ( )
st
L f t t e F s
 
Transformada de Laplace 
4) Convolução no tempo 
 
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f f t d


     
1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( )
stL f t f t f f t d e dt
 

 
 
      
 
 
1 2 1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( )
st stL f t f t f f t d e dt f d f t e dt
   
 
   
             
1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( ) (deslocamento no tempo)
sL f t f t f d e F s

 

   
1 2 1 2 1 2{ ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( )
sL f t f t f e d F s F s F s

 

    
Transformada de Laplace 
5) Integração no tempo 
 
 
6) Derivação no tempo 
 
{ ( )}( ) ( )L f tf t F s  1( ) ( )L f t dt F s
s

{ ( )}( ) ( )L f tf t F s
( )
( ) (0)
df t
L sF s f
dt
 
  
 
2
2
2
( )
( ) (0) (0)
d f t
L s F s sf f
dt
 
   
 
3
3 2
3
( )
( ) (0) (0) (0)
d f t
L s F s s f sf f
dt
 
    
 
Transformada de Laplace 
7) T.L. de Sistemas Causais  Considerando 
apenas sistemas lineares contínuos causais, isto é, 
f(t) = 0 p/ t < 0, a T.L. pode ser calculada apenas 
para 
 
0.t 
0
{ ( )} ( ) ( ) stL f t F s f t e dt

  
Transformada de Laplace Unilateral 
Transformada de Laplace 
 Resposta de sistemas LCIT 
 
 
 
 Determinação de H(s) (CI´s = 0) 
 
 
 
 
Aplicando-se a T.L. tem-se 
o 1 o
Resposta comResposta à
CI´s nulasentrada nula
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t y t y t y t h t x t    
o o{ ( )} (s) { ( )} { ( ) ( )} ( ) ( ) ( )L y t Y L y t L h t x t Y s H s X s     2
o 1 2 2
2
o 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n
n n
m
n m
dy t d y t d y t
a y t a a a
dt dt dt
dx t d x t d x t
b x t b b b
dt dt dt
    
   
Transformada de Laplace 
1
1 1
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n o
m m
m m o
a s Y s a s Y s a sY s a Y s
b s X s b s X s b sX s b X s




    
   
1
1 1
1
1 1
[ ] ( )
[ ] ( )
n n
n n o
m m
m m o
a s a s a s a Y s
b s b s b s b X s




    
   
1
1 1
1
1 1
( )
( )
( )
m m
m m o
n n
n n o
b s b s b s bY s
H s
X s a s a s a s a




   
 
   
Função de Transferência 
do sistema 
( ) ( ) ( )Y s H s X s
( ) { ( )}H s L h t
Teorema do Valor Inicial e Final 
 Em muitos casos, deseja-se saber apenas o valor 
inicial de uma função e/ou final 
 Teorema do Valor Inicial (TVI): 
Dado um sinal f(t) qualquer, o valor inicial desta 
função é dado por 
 
 
 Teorema do Valor Final (TVF): 
Dado um sinal f(t) qualquer, o valor final desta 
função é dado por 
 
(0 )f  ( ).f 
(0 ) lim ( )
s
f sF s


0
( ) lim ( )
s
f sF s

 
Teorema do Valor Inicial e Final 
 Ex: Sejam as funções causais f(t) abaixo, 
determine seu valor inicial e final. 
 5 3 2a) ( ) 3 2 ( )
5
tf t e F s
s s
    

3 2 2
(0 ) lim ( ) lim lim 3 1
5 5s s s
s
f sF s s
s s s

  
   
        
    
0 0 0
3 2 2
( ) lim ( ) lim lim 3 3
5 5s s s
s
f sF s s
s s s  
   
         
    
Teorema do Valor Inicial e Final 
 Seja o sistema LCIT abaixo 
 
 
- TVI: 
 
 
 
- TVF: 
 
( ) ( ) ( )Y s H s X s
TVI
(0 ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( )
s s s s
y sY s sH s X s H s sX s
   
  
(0 ) ( ) (0 )y H x  
0 0 0 0
TVF
( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( )
s s s s
y sY s sH s X s H s sX s
   
   
( ) (0) ( )y H x  
Teorema do Valor Inicial e Final 
 Ex: Determine o valor inicial e final da sistema 
abaixo. 
(0 ) ( ) (0 ) 2 5 10y H x     
2( ) 2 3 tx t e 
2
2
2 3 1
( )
5
s s
H s
s s
 

 
( )y t
( ) (0) ( ) 2 0,2 0,4y H x     
Polos e Zeros de Um Sistema 
 Definição: 
a) Zeros  Dado um sistema com F.T. H(s), os 
zeros do sistema são os valores de s que 
resultam em H(s) = 0. 
b) Polos  Dado um sistema com F.T. H(s), os 
polos do sistema são os valores de s que 
resultam em H(s) = ∞. 
Ex: 
 
2
zeros: - 22
( )
polos: 0; 0,5 0,87( 1)
s
H s
s s js s s

 
     
Polos e BIBO Estabilidade de Um Sistema 
 Considere um sistema LCIT com a função de 
transferência H(s) dada por 
 
 
Assumindo que não há raízes múltiplas em D(s), 
pode-se reescrever H(s) como 
 
 
Considerando uma entrada degrau unitário, pode-se 
determinar a saída do sistema como 
1
1 1 o
1
1 1 o
( )
( )
( )
m m
m m
m m
m m
b s b s b s bN s
H s
D s a s a s a s a




   
 
   
1 2
1 2
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
n
n
s z s z s z
H s
s p s p s p
  

  
1 2
1 2
( )( ) ( )1
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
n
n
s z sz s z
Y s H s X s
s s p s p s p
  
 
  
Polos e BIBO Estabilidade de Um Sistema 
Expandindo em frações parciais, obtém-se 
 
 
 
1) Polos reais 
 
 
a) Se 
 
o 1 2
1 2
Resposta
Resposta natural 
forçada
do sistema
( )
( ) ( ) ( )
n
n
C CC C
Y s
s s p s p s p
    
  
0ip 
1 Resposta exponencial
( )
ip ti
i
i
C
L C e
s p
     
 
Estável 
Polos e BIBO Estabilidade de Um Sistema 
a) Se 
 
 
 
 
2) Polos complexos  Se é complexo, então 
também é raiz de H(s). Além disso, a constante 
associada a raiz conjugada também é conjugada. 
Assim, 
 
ip
Instável 
ip
1
( ) ( )
ii i
i i i
C AC C
L
s p s p p j


 
   
      
0ip 
Polos e BIBO Estabilidade de Um Sistema 
 
 
Se 
 
 
 
Se 
1 2 cos( )
( ) ( )
t
A A
L Ae t
s j s j
 
      
    
0 
Estável 
0 
Instável 
Polos e BIBO Estabilidade de Um Sistema 
Dessa forma, pode-se concluir que para que o 
sistema seja BIBO estável, é necessário que todos 
os polos do sistema tenha parte real negativa, isto é, 
estejam posicionados no semi-plano esquerdo do 
plano “s”. 

j
Plano s 
BIBO Estabilidade de Um Sistema 
Outra forma de assegurar a BIBO estabilidade de um 
sistema é através de sua resposta ao impulso, 
onde mostra-se que o sistema será BIBO estável se 
sua resposta ao impulso for absolutamente 
integrável, isto é, 
 
( )h t
| ( ) |h t


 
Transformada Z 
• A Transformada Z é uma ferramenta muito útil 
na análise de sinais e sistemas discretos; 
 
• É o equivalente em tempo discreto da 
transformada de Laplace de tempo contínuo; 
 
• Pode ser usada na resolução de equações de 
diferenças, na determinação da resposta de um 
sistema LID e no projeto de filtros digitais 
lineares. 
 
Transformada Z 
 Amostragem 
 
 
 
 
 
 
 Como visto anteriormente, para modelagem 
matemática, pode-se considerar que o sinal 
amostrado é resultado da multiplicação do sinal 
analógico por um trem de impulsos deslocados a 
cada Ts segundos. 
( )x t
*( )x tsT (0) ( ) (t)x x t (1) (1 ) (t 1 )s sx x T T  (2) (2 ) (t 2 )s sx x T T  (3) (3 ) (t 3 )s sx x T T  
Transformada Z 
*( )x t
*( ) ( ) ( )s s
n
x t x nT t nT


  
Aplicando-se a T. de Laplace e lembrando que o atraso
no tempo é modelado por , tem-seTse 2 3*( ) (0) ( ) (2 ) (3 )s s sT s T s T ss s sX s x x T e x T e x T e      
Transformada Z 
*( ) ( ) s
nT s
s
n
X s x nT e



 
Para efeito de simplificação, definide-se
sT sz e
*
Com isso, a Transformada Z é estabelicida como
( ) ( ) [ ] n
k
X z X s x n z



  Como ( ) representa a n-ésima amostra do sinal amostrado [ ]
[0] (0), [1] (1 ), [2] (2 ), 
s
s s
x nT x n
x x x x T x x T  
1Note que representa o atraso
de 1 período de amostragem.
zO espaço do plano complexo para o qual
ela converge define a região de convergência.
Transformada Z 
• Como a Transformada Z de um sinal de tempo 
discreto dada por 
 
 
• e z é uma variável complexa, z pode ser escrito 
na forma polar como: 
 
 
 
• Observe que a TFTD é obtida fazendo r = 1 na 
variável complexa “z”, isto é, 
( )
Magnitude 
(anal dig)
número complexo na
 
forma polar
s s s s
s
sT j T T j T j
T
z e e e e re
    



    

 (Círculo unitário)jz e 
Transformada Z 
• Ex: Calcular a Transformada Z do sinal x(n) dado a 
seguir: 
( ) 2 ( ) 3 ( 2) ( 4)x n n n n       
( ) ( ) [2 ( ) 3 ( 2) ( 4)]n n
n n
X x x n z n n n z
 
 
 
         
( ) 2 ( ) 3 ( 2) ( 4)n n n
n n n
X x n z n z n z
  
  
  
         
2 4( ) 2 3X x z z   
Pares Comuns de Transformada Z 
Plano Z 
• Como a Transformada Z é uma função de 
variável complexa, é conveniente descrevê-la 
usando um plano complexo Z; 
 
• Para 
Funções Racionais de Z 
• Muitos sinais de interesse em processamento 
digital de sinais têm transformadas Z que são 
funções racionais de “z”: 
 
 
 
 
• Esta função pode ser fatorada da seguinte 
forma: 
raízes do numerador = zeros de ( )k X z 
raízes do denominador = polos de ( )k X z 
Funções Racionais de Z 
• Ex: Determine os polos e zeros de H(z) 
 
 
Multiplicando por nos dois termos, tem-se 
1 2
1 2
0.5
( )
1 0.6 0.05
z z
H z
z z
 
 


 
2
zero = 0.20.2 0.2
( ) 
polos = -0.5 e -0.1( 0.5)( 0.1)0.6 0.05
z z
H z
z zz z
 
  
   
2z
1
Propriedades da Transformada Z 
• Linearidade: A Transformada Z é um operador 
linear, ou seja: 
 
 
 
• Deslocamento no tempo: O deslocamento de 
uma sequência x(n) em n corresponde à 
multiplicação da Transformada Z por uma 
potência de z: 
Propriedades da Transformada Z 
• Inversão no tempo: 
 
 
 Neste caso, se a região de convergência era: 
 
 
 passa a ser: 
Propriedades da Transformada Z 
• Multiplicação por uma exponencial: corresponde 
a um escalamento no domínio z. 
 
 
Se a região de convergência era: 
 
 
 Passa a ser: 
 
 
Propriedades da Transformada Z 
• Teorema da Convolução: A convolução no 
domínio “n” corresponde a uma multiplicação no 
domínio “z”: 
 
 
• A região de convergência de Y(z) é dada pela 
intersecção de Rx e Ry 
• Entretanto a região de convergência de Y(z) 
pode ser maior caso ocorra o cancelamento de 
pólos e zeros 
 
 
Resumo Propriedades da Transformada Z 
Transformada Z Inversa 
• Existem diversos métodos para a realização da 
Transformada Z Inversa, tais como por inspeção 
usando a tabela, expansão em frações parciais e 
divisão contínua. 
 
1) Usando a Tabela e as propriedades 
Ex: 
 
 
 
 
Obs: Considerando a linearidade e que o sinal é 
causal. 
( ) 5
2
z
X z
z
 

( ) 2 ( ) 5 ( )nx n u n n  
Transformada Z Inversa 
2) Expansão em frações parciais 
Procedimento: 
• Expandir em frações parciais X[z]/z 
• Isolar X[z] e utilizar a tabela em frações parciais 
Ex: 
 (2 1)
( 1)( 0,5)
(z)
z z
z z
X

 

(2 1)
( 1)( 0,5)
(z) 2 / 3 4 / 3
1 0,5
z
z z
X
z z z

 
  
 
2 / 3 4 / 3
(z)
1 0,5
z z
X
z z
 
 
2 4
( ) [ ( 0,5) ]u(n)
3 3
nx n   
Transformada Z Inversa 
2) Divisão contínua (Expansão em série de potência) 
A partir da definição da TZ 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
2 1 2
(z) ( )
( 2) ( 1) (0) (1) (2)
n
n
X x n z
x z x z x x z x z



 

        

2
2 1
(z) z
z z
X
 

Transformada Z Inversa 
2 2
2 1 2 3 4
1
1
1 2
1 2
1 2 3
2 3
1
1 1 2 3 5
0 1
1
0 2
2 2 2
0 3 2
3 3 3
0 5 3
z z z
z z z z z z
z
z z
z
z z
z z
z z z
z z
   


 
 
  
 
 
       
 
  
 
  
 
  
 
Transformada Z Inversa 
Logo, 
 
1 2 3 4(z) 1 2 3 5X z z z z        
(0) 1
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 5
x
x
x
x
x




 -1 0 1 2 3 4 5
0
2
4
6
8
n
x(n
)
Transformada Z vs TFTD 
• Se calcularmos a Transformada Z para valores 
de “z”‘sobre o círculo de raio unitário, obtemos 
a TFTD, ou seja: 
 
 
• Os valores de “z” para os quais X(z) converge 
definem uma região do plano Z denominada 
Região de Convergência (RDC) 
 
• Observe que para a TFTD existir, o círculo 
unitário deve estar contido na RDC. 
Análise de Sistemas LID utilizando a 
Transformada Z 
• A ideia aqui é utilizar a Transformada Z para 
simplificar a análise de sistemas LID 
 
• A utilização da Transformada Z para análise de 
sistemas LID é análoga à utilização da 
transformada de Laplace para análise de 
sistemas LCIT 
 
• A partir da Transformada Z pode-se verificar a 
BIBO estabilidade e obter resposta em 
frequência de sistemas LID de maneira 
simplificada 
Transformada Z da Resposta ao Impulso 
• A resposta ao impulso h(n) de sistemas LID 
apresenta informações sobre 
• BIBO estabilidade 
• Resposta em frequência H(ejω) 
• A Transformada Z de h(n), representada por 
H(z), também permite obter essas informações 
• H(z) pode ser obtido a partir de 
 
 
• H(z) é chamado de função de transferência no 
domínio de Z 
 
( ) ( ) n
n
H z h n z



 
( 1 )jr z e   
Função de Transferência 
• A saída de um sistema LID é dada por 
 
 
• Aplicando a Transformada Z em ambos os lados 
da expressão anterior, obtém-se 
( ) ( ) ( )y n x n h n 
( ) ( ) ( )Y z X z H z
( )
( )
( )
Y z
H z
X z

Função de Transferência 
• Assim, podemos obter H(z) a partir da equação 
de diferenças que representa um sistema LID 
 
 
 
• Aplicando a Transformada Z em ambos os lados 
da expressão anterior e utilizando a propriedade 
de deslocamento, chega-se na seguinte 
expressão: 
 
 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N M
k k
a k y n k b k x n k
 
   
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N M
k k
k k
Y z a k z X z b k z 
 
 
Função de Transferência 
• Dessa forma, pode-se obter a F.T. como sendo 
 
 
 
 
 
• Ex: Seja a equação de diferenças abaixo, obtenha a 
F.T. do sistema. 
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
M
k
k
N
k
k
b k z
Y z
H z
X z
a k z




 


( ) 0.9 ( 1) 0.1 ( )y n y n x n  
1 1( ) 0.9 ( ) 0.1 ( ) ( ) [1 0.9 ] 0.1 ( )Y z Y z z X z Y z z X z     
1
( ) 0.1
( )
( ) 1 0.9
Y z
H z
X z z
 

BIBO Estabilidade 
• No caso de um sistema discreto, os polos 
(modos característicos) são dados por 
 
• Mostra-se que para que um sistema LID ser 
BIBO estável, sua resposta ao impulso h(n) 
deve ser absolutamente somável, isto é, 
 
 
 
• Para que isso ocorra, os polos do sistema 
devem possuir módulo menores do que 1, isto 
é, estar dento do círculo unitário: 
 
| | 1k k  
polos | | k
j
k k e
   
0
| ( ) |
n
h n


 
BIBO Estabilidade 
• Ex: Considerando o exemplo anterior, determine 
se o sistema abaixo é estável. 
 
 
 
 
 
• Note a resposta ao impulso do sistema é dada 
por (fazendo a T.Z.-1) 
 
1
0.1
( )
1 0.9
H z
z

 zero = 00.1
( ) 
polo = 0.91 0.9
Sistema estável (polo dentro do círculo unitário)
z
H z
z

 
 
( ) 0.1 0.9 ( )nh n u n 
0
1
| ( ) | 0.1 | 0.9 | 0.1 1 (absolutamente somável)
1 0.9
n
n n
h n
 
 
    

 
Resposta em Frequência do Sistema 
• Conforme discutido anteriormente, a TFTD pode 
ser facilmente obtida a partir da Transformada 
Z, utilizando a relação 
 
• Assim, a resposta em frequência de um sistema 
LID pode ser facilmente encontrada a partir de 
 
 
• Ex: Seja a F.T abaixo, determine a TFTD do 
sistema. 
jz e 
e
(e ) ( ) j
j
z
H H z

 

1 1
0.1 0.1 0.1
( ) ( )
1 0.9 1 0.9( ) 1 0.9
j j jz e
H z H z
z e e
    
   
  