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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio Curso: Sistema de Informação - Disciplina: Matemática Aplicada - Ano 2018.2 Profª Gilselene Guimarães Funções 4.1. Definição Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B. Notação: f : A → B Exemplo: Observação: Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Exemplo: CP(f) = D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15}; Im(f) = {16}. 4.2. Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. • Funções Sobrejetoras – as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem. De forma geral, uma função f de A em B é denominada sobrejetora (ou sobrejetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de pelo menos um elemento do conjunto A. Unidade 4 - Funções 4.1. Definição. 4.2. Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras. A relação g é função, pois: - todo elemento de C está associado, através de g, a um único elemento de D. No entanto, t não é função, pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6). A relação f é função, pois todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B. 2 Observação: Em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio. Funções Injetoras - Uma função f de A em B é denominada injetora se para quaisquer dos elementos distintos de seu domínio correspondem dois elementos distintos de sua imagem. De forma geral, uma função f de A em B é denominada injetora (ou injetiva) quando cada elemento da sua imagem tem uma única associação com elemento do domínio. • Funções Bijetoras – são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras. Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } 3 Resumindo Exercícios Questão 1 - Sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso. I. Toda função injetora é bijetora. II. Quando elementos diferentes geram imagens diferentes,temos uma função sobrejetora. III.Toda função bijetora admite inversa. VI. Quando a imagem é igual ao contra domínio temos uma função sobrejetora. a) V V V V b) F F V V c) V V F F d) F F F F Resolução - Vamos analisar caso a caso: I – Falso Uma função pode ser injetora, porém existir um elemento no contradomínio que não esteja associado a um elemento do domínio, fato este que tornaria a função não sobrejetora e consequentemente não bijetora. II – Falso O fato do elemento do domínio estar associado a um elemento igual ou diferente no contradomínio não é determinante na classificação das funções. III – Verdadeiro Uma função é bijetora se e somente se possui uma função inversa. IV – Verdadeiro Se o contradomínio e a imagem são iguais, então todo elemento do contradomínio está associado a pelo menos um elemento do domínio e essa função é sobrejetora. Resposta: B 4 Questão 2 -Na figura a seguir está evidenciada, através de setas, uma relação entre os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B. A respeito desta relação é correto afirmar que: (A) não é uma função. (B) é uma função que não é injetora nem sobrejetora. (C) é uma função injetora, mas não sobrejetora. (D) é uma função sobrejetora, mas não injetora. (E) é uma função bijetora. Resolução Se nos concentrarmos apenas no conjunto B, iremos marcar de cara que é uma função bijetora pois cada elemento de B está associado a um, e apenas um, elemento de A. A pegadinha está no elemento 5 do conjunto A, pois para ser uma função, cada elemento do conjunto A deve estar associado a um, e apenas um, elemento do conjunto B. Resposta: A Questão 3) Verifique se as funções são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras: a) f: A→ B c) f: R → R+ definida por f(x) = x² d) f: R→ R definida por f(x) = x + 2 e) f:{0;1;2;3;4} → N definida por f(x) = 2x f) f: [1;6] → [2;8] b) f: A→ B g) f: [1;6] [0;10] 5 h) f: [1;8] → [2;10] Questão 4) Analise as afirmações abaixo classificando as em (V) verdadeiras ou (F) falsas: a) ( ) Se uma função é bijetora, então é ela sobrejetora. b) ( ) Toda função injetora é bijetora. c) ( ) Uma função afim do tipo f(x) = ax + b, com a ≠0, com domínio e contradomínio nos reais é bijetora. d) ( ) Qualquer função quadrática é bijetora. e) ( ) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora. f) ( ) Se o contradomínio de uma função é igual ao conjunto imagem, então a função é sobrejetora. g) ( ) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora. h) ( ) Se uma função é bijetora, então ela é injetora. Respostas: 3) a) bijetora b) injetora c) sobrejetora d) bijetora e) injetora f) bijetora g) injetora h) sobrejetora 4) V F V F V V V V
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