Aula 18 Exercícios de Análise Combinatória

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Disciplina: ÁLGEBRA		 Ano Escolar: 2º.			Aula nº: 06
Título:					 Nº do PE.: 			Aula Rest.
										 Data: ___/___/___
RESUMO TEÓRICO
O lanche de certa pessoa consiste de um sanduíche (escolhido dentre quatro espécies), uma bebida (escolhida dentre: café, leite ou chá) e um sorvete (escolhido dentre três sabores). Quantos lanches diferentes essa pessoa pode fazer?
De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras em fila?
De quantos modos pode-se organizar a tabela da 1ª rodada de um campeonato de futebol com 8 clubes?
Quantos divisores positivos possui o número 72?
Quantas coleções não vazias podemos formar com 5 exemplares iguais da revista R, 4 exemplares da revista S e 3 exemplares da revista T?
Quantos subconjuntos possui um conjunto com n objetos?
Um dado é lançado 4 vezes. Ache o número de maneiras nas quais o “6” pode aparecer em seqüência, precisamente duas vezes.
Quantos números inteiros de três algarismos distintos podem ser formados de modo que os dois primeiros sejam primos absoluto e o último (algarismo das unidades) seja divisível por 3?
Quantos números inteiros de cinco algarismo distintos e maiores do que 53.000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 /
No quadro abaixo;
L
L
I
L
I
N
L
I
N
E
L
I
N
E
A
L
I
N
E 
A
R
	De quantos modos é possível formar a palavra LINEAR partindo de um L e indo sempre para a direita ou para baixo?
n automóveis devem entrar sucessivamente numa rua que dá mão para um único lado e estacionar em n vagas existentes. Cada carro deve justapor-se a um carro já estacionado. Podendo o primeiro carro ocupar qualquer das vagas, quantas filas distintas podem ser formadas?
Sejam os conjuntos: E = {x1, x2, ... , xp} e F = {y1, y2, ... , ym}
Quantas aplicações podem ser definidas de E em F?
Sendo p 
 m, quantas aplicações injetoras podem ser definidas de E em F?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Quantos são os números de três algarismos no sistema de base dez?
No sistema de base dez, quantos são os números de três algarismos diferentes?
No sistema de base seis, quantos números de quatro algarismos existem?
Quantos números de cinco algarismos significativos há no sistema de base quatro?
Quantos números de três algarismos distintos se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Quantas palavras se pode formar com as quatro letras da palavra “RAMO”, sem repetir nenhuma letra?
Em um concurso com doze participantes, de quantas maneiras podem ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmio, se nenhum participante pode ganhar mais de um prêmio?
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números pares de três algarismos podemos formar:
Sendo permitido repetir os algarismos?
Sem repetição de algarismos? 
 
No sistema decimal, quantos números de quatro algarismos existem
Sem restrição?
Sem o algarismo 4?
Sem repetição?
Sem o algarismo 4 e sem repetição?
Quantos números de quatro e de cinco algarismos maiores que 2000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 5 e 7?
Quantos números de quatro e de cinco algarismos diferentes e maiores que 2000 podem ser formados com os algarismos 0,1, 3, 5 e 7?
Em cada um dos vértices de um quadrado são colocadas duas lâmpadas de duas cores: vermelha e branca. De quantos modos podemos iluminar os quatro vértices de forma que em cada vértice haja somente uma lâmpada acesa?
Quantos números de três algarismos, sem repetição, podem ser formados a partir dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, de modo que o algarismo do meio seja 3?
De quantas maneiras distintas podemos distribuir cinco prêmios de valores diferentes a sete pessoas, de modo que cada uma receba no máximo um prêmio?
Uma sala possui seis portas. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente?
Num ônibus há seis lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes essas duas pessoas podem sentar-se?
Quantos números inteiros há entre 10000 e 100000, formados com os algarismos 3, 5 e 7?
Quantos números inteiros há entre 10000 e 100000, formados com os algarismos 6, 7, 8 e 0?
Em um questionário existem seis questões, sendo que cada questão tem três opções para respostas: A, B ou C. Os candidatos devem marcar as seis respostas em um cartão. Quantas respostas diferentes podem ser dadas?
De quantas maneiras se pode preencher um cartão da loteria esportiva apenas com prognósticos simples?
De quantas maneiras se pode preencher um cartão da loteria esportiva com um único prognóstico duplo e os demais simples?
Se a loteria esportiva determinasse que cada volante só tenha uma marcação dupla, quantos casos distintos poderia haver com zero pontos?
Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Sugestão: Considerar dois casos:
a) pares terminados por zero.
b) pares não terminados por zero.
Quantos números pares, de cinco algarismos, podem ser formados:
Sendo permitida a repetição de algarismos?
Sem repetir algarismos?
Sugestão: Veja exercício nº 23.
Uma empresa classifica seus empregados de acordo com:
Estado civil: casado (a), solteiro (a), desquitado (a), viúvo (a);
Sexo: masculino, feminino;
Cargo: executivo, gerência, supervisão;
Quantos tipos de classificação diferentes podem existir?
Calcule quantos tipos de etiquetas diferentes podem ser manufaturados, sabendo-se que uma etiqueta pode ser:
Quanto à forma: circular ou quadrada;
Quanto à cor: vermelha, branca, amarela, azul ou verde;
Quanto à numeração: impressa com um número desde 1 a 500, inclusive.
Há 20 estações num ramal de estrada de ferro. Quantos tipos de bilhetes de passagem são necessários para permitir a viagem entre duas estações quaisquer?
De quantas maneiras um grupo de seis pessoas pode ser agraciada com quatro prêmios diferentes:
Se nenhuma pessoa receber mais do que um prêmio?
Se uma pessoa pode receber qualquer número de prêmios (até quatro, naturalmente)?
Se o vencedor do primeiro prêmio não pode receber outro prêmio, mas vencedores de outros prêmios podem receber mais de um prêmio?
 
Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismo iguais?
Sugestão: Calcule a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e a quantidade de números de quatro algarismos diferentes.
Quantos números de seis algarismos distintos, com exceção do algarismo das unidades e das centenas que devem ser iguais, podemos formar com os algarismos 0, 1, 3, 4, 5, 6 e 7?
De quantos modos podemos distribuir cinco brinquedos diferentes a duas crianças?
De quantos modos podemos distribuir cinco brinquedos diferentes a duas crianças, de modo que nenhuma delas fique sem receber brinquedo?
Cinco bandeiras coloridas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais podem ser feitos com bandeiras de sete cores diferentes:
Sendo permitida a repetição de cores?
Sem repetição de cores?
Se duas bandeiras adjacentes não são da mesma cor?
Calcule quantos divisores tem o número:
N = 23 . 32 . 54
N = am . bn . cP . dq
No sistema de base b, quantos números existem, tendo k algarismos?
Não se considerando a letra O do nosso alfabeto (de vinte e três letras), quantas placas de automóvel podem ser feitas:
Com duas letras do alfabeto, seguidas de três algarismos?
Com duas letras do alfabeto seguida de, no máximo, três algarismos?
 
No quadro abaixo;
L
L
O
L
O
G
L
O
G
A
L
O
G
A
R
L
O
G
A
R
I
L
O
G
A
R
I
T
L
O
G
A
R
I
T
M
L
O
G
A
R
I
T
M
O
De quantas modos é possível formar a palavra “LOGARITMO”, partindo de um L e indo semprepara a direita ou para baixo. 
Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química?
Um biólogo classifica uma família com crianças da seguinte forma: FMM designa um tipo de família com três crianças, onde a mais velha é do sexo feminino, a do meio e a caçula são do sexo masculino; desse modo, FMM, MFM e MMF são tipos diferentes. Quantos tipos de família existem numa cidade cujas famílias têm, pelo menos, uma criança e, no máximo, sete crianças?
Dados n objetos a1, a2, a3, ..., an, de quantos modos podemos ocupar com no máximo, um objeto as n quadrículas do quadro abaixo, sendo permitida a repetição de objetos, de modo que:
c1
c2
c3
.........
c
L1
L2
L3
.
.
.
LN
Nenhuma quadrícula deve ficar vazia?
Qualquer quadrícula possa ficar vazia?
Se em (i + j + k) objetos, i são iguais entre si, j também são iguais entre si e os k objetos restantes são todos diferentes, qual o número de coleções não vazias que podemos formar com esses (i + j + k) objetos?
Se os (n + 1) números a, b, c, d, ..., 1 são todos diferentes, e cada um deles é um número primo. Calcule o número de fatores diferentes da expressão ambcd...1.
(CICE – 68) Num baralho de cinqüenta e duas cartas, quantas “mãos” de cinco cartas contêm, exatamente, quatro azes?
a) 36		b) 48		c) 60		d) 72		e) 120
(CICE – 67) Consideremos o conjunto de todos os números de seis algarismos, nos quais o algarismo da unidades é igual ao das centenas e em cuja composição não entrem outros algarismos além de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. O número de elementos desse conjunto é:
a)
(CICE – 67) Consideremos o conjunto de todos os inteiros de cinco algarismos, nos quais os algarismos das dezenas seja 2 e em cuja composição não entrem outros algarismos além de 0, 1, 2, 3, 4 e 5. O número de elementos desse conjunto é:
a) 720		b) 120		c) 1080		d) 1296		e) 7776
(CICE – 69) Com os algarismos 2, 3, 4 e 5, quando são os números de quatro algarismos que podemos formar, que sejam divisíveis por cinco e inferiores a 5000?
(ENCE – 70) Quantos são os números de três algarismos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e que tenham 2 como um de seus algarismos?
(ENCE – 70) Quantos números de sete algarismos significativos, cujos dois primeiros algarismos são pares e os três últimos ímpares, podem ser formados?
(ENCE – 68) Forma-se o conjunto C de todos os números de seis algarismos significativos, de modo que o algarismo 8 ocupe sempre a posição dos algarismos das unidades e das centenas. Quantos elementos possui o conjunto C?
(ENCE – 67) Determinar o número de elementos do conjunto formado por todos os números de seis algarismos distintos em que a soma do algarismo das centenas com o das unidades é três.
Sugestão: Considerar dois casos: 0 + 3 = 3 + 0 e 1 + 2 = 2 + 1.
(ENCE – 70) Quantos números podemos formar com os algarismos do sistema decimal, de modo que comecem por 1, terminem por 9 e tenham o algarismo zero eqüidistante dos extremos? (Os números procurados não devem apresentar repetição de algarismos.)
(EEUFJF – 67) Determine o número de elementos do conjunto de todos os números de seis algarismos em que o algarismo das dezenas é 7 e o das centenas é igual ao algarismo das unidades.
(MUSP – 69) Uma bandeira é formada de sete listas, que devem ser pintadas de três cores diferentes. De quantas maneiras diferentes será possível pintá-la, de modo que duas listas adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
(FAUUSP – 69) Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: formado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e o outro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponha que só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas, começando com o algarismo 2, poderia ser lançadas?
 
RESPOSTAS
900
648
1080
243
60
24
132
a) 324	b) 224
a) 9000	b) 5832	c) 4536	d) 2688
2875
168
16
12
2520
30
30
35 = 243
3 . 44 = 768
36 = 729
313
13 . 313
13 . 212
328
a) 45000	b) 13776
24
5000
380
a) 360	b) 1296	c) 750
4464
5880
25 = 32
30
a) 75	b) 2520	c) 7 . 64
a) 60	b) (m + 1) . (n + 1) . (p + 1) . (q + 1)
(b – 1)bk-1
a) 222 . 103	b) 222 (10 + 102 + 103)
28
71
2 + 22 + ... + 27
a) 
 	b) 
(i + 1) . (j + 1) . 2k – 1
(m + 1) . 2n
B
D
C
48
61
42 . 92 . 52
94
6300
5923
9 . 103
192
(9 . 8) (10 . 9 . 7)
PROBLEMAS PROPOSTOS
De quantos modos cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras em fila?
De quantos modos podemos enfileirar n objetos?
Quantos números de cinco algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
De quantas maneiras podemos pintar quatro faixas de uma bandeira, sendo cada faixa de uma cor, se dispomos apenas de quatro cores?
De quantos modos podemos enfileirar cinco vogais e quatro consoantes de modo que não haja vogais adjacentes?
Quantos são os anagramas da palavra ROMA?
Quantos anagramas da palavra RENATO se pode formar de modo que cada palavra comece por vogal?
Quantos disposições diferentes podem ser feitas com sete livros na prateleira de uma estante, se os livros são de tamanho diferentes entre si?
Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 de modo que em todos os números formados o algarismo “6” seja imediatamente seguido do algarismo “7”?
Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 de modo que os algarismos 3, 5 e 6 fiquem sempre juntos?
Com a palavra PERNAMBUCO, determinar:
Todos os anagramas possíveis;
Os anagramas que começam por PER, nesta ordem;
Os anagramas que começam por PER, numa ordem qualquer;
Os anagramas que têm juntas, nesta ordem, as letras PER;
Os anagramas que começam por PER, nesta ordem, e terminam por BUCO, numa ordem qualquer.
Considerando-se a palavra TRIÂNGULO, pergunta-se:
Permutando todas as letras desta palavra, quantas começarão pela sílaba TRI?
Em quantas permutações a sílaba AN se conservará intacta?
Quantas permutações começarão por consoante?
Quantas começarão por vogal?
Em quantas permutações as letras T, R e I estarão sempre juntas? 
De quantos modos é possível encaçapar cinco bolas, uma seguida à outra, numa mesa de sinuca com seis caçapas?
Determinar o número de anagramas da palavra CAPÍTULO que não possuem vogais e tem consoantes juntas?
Em uma estante há nove livros diferentes: quatro de Física e cinco de Matemática. De quantos modos é possível arrumá-los em uma prateleira:
Sem restrições?
Ficando os livros de Física juntos e os de Matemática juntos?
Um carro de montanha russa é formado de n bancos de dois lugares cada um. De quantos modos n casais podem sentar-se nesse carro?
Permutando-se os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7 de todos os modos possíveis, qual é a soma dos números assim formados?
Formam-se todos os números de seis algarismos sem os repetir, com os algarismos do número 786415. Colocando-os em ordem crescente, qual a posições do número dado?
Com as letras a, b, c, d, e, determine quantas ordenações diferentes se pode formar e, ao ordená-las alfabeticamente, determine a posição que ocupa a palavra cebda.
De quantos modos dez pessoas podem sentar-se em dez cadeiras enfileiradas:
Sem restrições?
Ficando A e B sempre juntos?
Sem que A e B fiquem juntos?
Em uma uma há dez bolas, numeradas de 1 a 10. Sacam-se, uma a uma, todas as bolas de uma.
De quantos modos se pode esvaziar a uma?
Quantos são os casos em que os quatro últimos números aparecem nas quatro últimas sacadas?
Quantos são os casos em que as bolas de número ímpar aparecem nas sacadas de ordem par?
De quantosmodos podemos decompor um produto de 2n objetos em n pares?
De quantos modos podemos decompor um produto de pn fatores em n produtos de p fatores cada um?
De quantos modos podemos decompor oito objetos em três grupos, sendo dois deles com 3 objetos e o outro com 2 objetos?
Consideremos um tabuleiro quadrado composto de 36 casas:
De quantos modos podemos colocar fichas de uma única cor em 6 casas, de forma que haja uma única ficha em cada linha e em cada coluna?
De quantos modos podemos colocar fichas azuis ou vermelhas nas casas, de forma que haja uma única ficha em cada linha e em cada coluna?
(IME – 66 E FPUFRJ – 70) De quantos modos três rapazes e duas moças podem ocupar sete lugares em fila, de forma que as moças se sentem juntas uma das outras e os rapazes juntos uns dos outros?
(CCSPUC – 69) Numa uma há m bolas numeradas de 1 a m. Sacam-se, uma a uma, todas as bolas da urna. Pede-se o número de casos em que os p últimos números aparecem nas p últimas extrações.
a) (m – p)!		b) (m – p)! p!		c) p!		d) (m – p)! – p!	 e) n.r.a.
(EEUFJF – 45) Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal?
(EPUC – 59) Calcule o número de permutações das letras a, b, c, d, e, f, em que as letras c e d aparecem juntas e nesta ordem.
(EAUFMG – 59) Quantas são as permutações das letras a, b, c, d, e, f, g, em que as quatro primeiras ficam juntas em qualquer ordem?
(EEUFF – 61 e UEG – 70) Têm-se 12 livros todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?
(IFUFRJ – 69) De quantos modos podem ser arrumadas as letras da palavra VESTIBULAR, de formar que se mantenham juntas, numa ordem qualquer, as letras VES?
a) 306040		b) 404060	 c) 200020		d) 120260	 e) 241920
(ENCE – 71) Quantas palavras de seis letras, começando e terminando por consoante, podem ser formadas com as letras da palavra FECHAR, cada letra figurando uma só vez?
RESPOSTAS
5!
N!
5!
4!
5! . 4!
4!
3 . 5!
7!
6!
5! . 3!
a) 10!		b) 7! 		 c) 7!		d) 8!			e) 3! . 4!
a) 6!		b) 8!		 c) 5 . 8!		d) 4 . 8!		e) 7! . 3!
5! . 65
2 . (4!)2
a) 9!		b) 2 . 4! . 5!
N! . 2n
5333280
5970 lugar
a) 120		b) 70
a) 10!		b) 9! . 2!		c) 10! – 9! . 2!
a) 10!		b) 6! . 4!		c) (5!)2
 
a) 6!		b) 6! . 26
144
b
5 . 4 . 7!
5!
(4!)2 
5! . 4! . 3! . 3!
e
4 . 3 . 4!
RESPOSTA
De quantos modos seis crianças podem brincar de roda?
De quantos modos sete crianças podem brincar de roda, de modo que João e Maria, duas dessas crianças, fiquem sempre juntos?
De quantos modos cinco meninos e cinco meninas podem brincar de roda, de modo que criança do mesmo sexo não fiquem juntas?
De quantos modos oito pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular:
Sem restrições?
Não ficando juntas duas determinadas pessoas?
De quantos quatro casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular:
Não sentando juntos dois homens?
Não sentando juntos dois homens e nem um homem com sua esposa?
De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de modo que não sentem juntos dois homens e que cada homem sente ao lado de sua esposa?
Uma pirâmide quadrangular regular deve ser colorida, cada face com uma cor, com cinco cores diferentes. De quantos modos isso pode ser feito?
De quantos modos dez casais podem sentar-se em uma roda gigante com dez bancos de dois lugares cada um?
De quantos modos cinco casais podem sentar-se em uma roda gigante com dez bancos de dois lugares cada um?
De quantos modos podem incrustar cinco pedras preciosas diferentes em um anel?
RESPOSTAS
5!
5! . 2!
4! . 5!
a) 7!		b) 7! – 2 . 6! ou 5 . 6!
a) 3! . 4!		b) 3! . 2
5! . 2
5 . 3!
9! . 210
9 . 8 . 7 . 6 . 25
 
EXERCÍCIOS
Calcule:
a) 
		b) 
		 c) 
�� EMBED Equation.3 		d) 
	
Calcule n:
a) 
 = 66	b) 
 = 7n	 c) 
 = 28	d) 
 = 4C
Resolva as equações:
(FAUUFRJ – 62) - 
 = 
(FAUUFRJ – 64) - 
 = 
(EEFRJ – 59) - 
(FEUEG – 63) - 
 = 
(FEI – 65) Se 
 = 
 com p < 10 e q < 10, então:
a) p = q		b) p = q = 5		c) p + q = 10		d) p + q = 10 ou p = q 	e) n.r.a.
(EESC – 66) A igualdade 
 é verificada para:
a) n = 50! 40!	b) n = 
	c) n = 2000	d) n = 90	e) nenhum valor de n
(IME – 56) Calcule y em função de x sabendo que 
.
(ITA – 59) È falsa ou verdadeira a afirmação: “Se 
 = 
, então m é, necessariamente, ímpar”?
(ITA – 69) Resolvendo C15, x-1 = C15,2x+1, obtemos:
a) x = 2 e x = 5		b) x = 2 e x = - 2		c) x = - 2 e x = 5
d) x = 2			e) n.r.a.
Calcule m, sabendo que: 
Calcule p, sabendo que: 
Resolva: 
Resolva: 
Resolva: 
(IMT – 63) Se 
; calcule n.
(EEUGE – 70) Resolva a equação: Pn = 12
a) 10		b) 8		c) 5		d) 4		e) n.r.a.
(FAUM – 65) Calcule p, sabendo que: 
 = 2
(EAUFRRJ – 57) Resolva: 
Prove que:
a) 
		b) 
		c) 
d) 
Calcule: 
Sugestão: Usar o item d) do Exercício 18.
Dados 10 objetos, qual o número de combinação de taxa 4 que:
contém um determinado objeto?
não contém o objeto considerado?
Dados 12 objetos, qual o número de combinação de taxa 5 que:
contém 2 determinados objetos?
não contém os 2 objetos considerados?
Dados 15 objeto, qual o número de combinação de taxa 7 que:
contém 3 determinados objetos?
não contém os 3 objetos considerados?
Dados n objetos, qual o número de combinação de taxa p que:
a) contém
Qual o número de combinação de n elementos p a p que não contém k elementos determinados?
(EEUFP – 59) O número de combinação de n elementos p a p que contém k elementos determinado é:
a) 
		b) 
		c) 
	 d) 
	 e)
Qual o número de combinação p a p de n elementos distintos que contém r elementos determinados e não contém s elementos diferentes dos r elementos considerados, sendo r < p, s < p e r + s 
 n?
De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 5 objetos?
Uma sociedade possui 5 diretores:
Quantas comissões de 3 membros podemos formar com estes diretores?
Em quantas dessa comissões não figura o presidente?
Em quantas dessas comissões figuram juntos o presidente e o vice-presidente?
Um aluno recebe instruções para responder oito de dez perguntas de um teste. Quantas maneiras diferentes existem para ele escolher as perguntas a que responderá?
Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma reunião. Sabendo-se que cada pessoa cumprimentou todas as outras, pergunta-se o número de pessoas presentes à festa.
De quantos modos podemos iluminar uma sala que possui 5 lâmpadas, devendo ficar acesa, pelo menos, uma lâmpada?
Quantas comissões constituídas de 3 moças e 2 rapazes podem se formadas de um conjunto de 6 moças e 4 rapazes?
Quantos paralelogramos são determinados por um conjunto de oito retas paralelas interceptando um outro conjunto de cinco retas paralelas?
Dados 10 pontos distintos, 3 a 3, não em linha reta, quantas retas ficam determinadas por esses 10 pontos?
Quantos triângulos são determinados por oito pontos num plano, se não há três pontos colinerares?
Quantas permutações podemos formar com todas as letras da palavra ARARA?
De quantas maneiras se pode escolher 3 números naturais de 1 a 30, de modo que soma dos números escolhidos seja par?
Quantas diagonais tem um polígono que delimita uma parte convexa do plano, se o número de seus lados é: 
a) 6		b) 8		c) n
Quantos são os anagramas da palavra CARIJÓ, que não possuem vogais juntas?
Sugestão: considere as consoantes numa certa ordem, por exemplo, – C – R – J -, e procure encaixar as vogais nos 4 lugares possíveis, isto é: antes da primeira consoante, depois da última e entre duas consoantes consecutivas.A seguir, efetue as permutações das consoantes e vogais.
A guarnição de um escaler é composta de 8 homens, dos quais 2 podem remar somente do lado esquerdo do escaler, 3 somente do lado direito e os restantes podem remar de qualquer um dos lados. De quantos lados a guarnição pode ser disposta com 4 homens de cada lado?
Sugestão: Retire inicialmente os 5 homens que remam nos lados determinados e, a seguir, complete o lado esquerdo com 2 dos 3 homens restantes, etc.
Quantos números de 9 algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 de modo que:
Cada número principie e termine por um dos 3 primeiros algarismos dados e 
O algarismo 4 figure três vezes, o algarismo 5 duas vezes, e os demais uma única vez?
Sugestão: Considere as posições 
Quantos são os números de 7 algarismos, formados com os algarismos significativos, de modo que em cada número haja exatamente três algarismos iguais a 4 e dois iguais a 3?
Considere as 7! Permutações dos sete algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Quantas destas permutações são tais que:
O algarismos 1 ocorre na permutação antes do algarismo 2?
O algarismo 1 ocorre antes do 2 e o algarismo 2 antes do 3?
Os algarismos 1 e 2 ocorrem antes dos algarismos 3 e 4?
Em uma urna há 4 bolas brancas, 6 bolas pretas, 7 bolas vermelhas e 10 bolas azuis, todas numeradas. Sacam-se de uma vez, 8 bolas.
Quantas sacadas distintas são possíveis?
Quantas são as sacadas em que aparecem 3 bolas brancas, 2 pretas, uma vermelha e as restantes azuis?
Quantas são as sacadas em que não aparecem bolas brancas? 
Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de Matemática. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas:
Sem restrições?
Havendo pelo menos 3 professores de Física e 3 de Matemática?
Havendo pelo menos um professor de Matemática?
Sacam-se de uma vez 5 pedras de uma uma, onde se encontram 90 pedras numeradas de 1 a 90. Quantas são as sacadas:
Possíveis?
Em que saiam, pelo menos, duas pedras de número ímpar?
Em que saiam 3 pedras de número par e 2 de número ímpar?
São dados os pontos A, B, C, D, E e F sobre uma reta e os pontos A, M, N, P e Q sobre uma reta s distinta de r. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se esses pontos?
Sobre os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC considerando-se, respectivamente, 3 pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não coincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determinadas pelos 12 pontos?
Dados n pontos coplanares, dos quais p (p < n) são colineares, pede-se:
O número de triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos.
O número de quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos.
O número de pentágonos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos.
Sugestão: Ver problema resolvido nº 18.
É dado um polígono convexo de n lados. Qual o número máximo de pontos de interseção de suas diagonais que sejam interiores ao polígono?
Sugestão: Observe que cada quadrilátero convexo formado por esses pontos determina uma interseção.
Dados n pontos de um plano, dos quais não há 3 em linha reta, qual o número máximo de interseções das retas formadas por esses pontos, excluindo-se desses números os n pontos dados?
Sugestão: Cada 4 pontos, como A, B, C, D, da figura, determinam 3 interseções.
Das 26 letras do alfabeto, quantos subconjuntos de 3 letras existem, tais que duas letras quaisquer de cada subconjunto não sejam consecutivas do alfabeto?
Formam-se as combinações de classe 6 dos objetos a1, a2, a3, ..., a10 escrevendo-se os objetos, em cada combinação, em ordem crescente de índices. Em quantas combinações a4 aparece e não ocupa o segundo lugar?
Formam-se todas as combinações simples de taxa p, dos elementos a1, a2, ..., am, (p 
 m). Em cada combinação os elementos são arrumados em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações em que o elemento a1 ocorre e não ocupa o j-ésimo lugar, sendo j < i < m?
(EN – 59) Quantos são os jogos do turno do campeonato carioca, que é disputados por dozes clubes?
(EN – 59) Com as três cores primárias (amarelo, azul e vermelho) e mais as superposição das mesmas, quantas colorações diferente podem ser obtidas?
(FEUEG – 61) De quantos modos 8 objetos podem ser distribuídos em grupos de 3 e 5 objetos?
(IME – 65) Dados 20 pontos do espaço do espaço, dos quais não existem 4 coplanares, quantos ficam definidos?
(IME – 55) Com os algarismos significativos, quantos números constituídos de 3 algarismos pares e 3 algarismos ímpares, sem repetição, podem ser formados?
(EEUFF – 55) Em quantos números de 7 algarismos significativos os algarismos 4 e 8 aparecem exatamente duas e três vezes, respectivamente?
(EEUFRJ – 64) Tem-se 13 pontos cuja maioria pertence a uma reta R e os restantes se situam sobre uma paralela a R. Com esses pontos como vértices, constróem-se todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. A razão do número de quadriláteros para o número de triângulos é 
. Quantos dos pontos pertencem a R?
(IMPUCSP – 68) De um grupo de 9 professores, 5 lecionam Matemática. Quantas comissões de 3 componentes podem ser formadas de modo que cada uma compareça, pelo menos, um professor de Matemática?
a) 80		b) 79		c) 84		d) 83		e) n.r.a.
(FHPS – 70) Quantos triângulos distintos podemos formar dispondo de 11 pontos num plano, cinco dos quais estão numa mesma reta?
(EEUFRJ – 62) Dadas duas retas paralelas, tomam-se 8 pontos sobre uma delas, e 5 sobre a outra . Quantos triângulos existem cujos vértices sejam 3 dos pontos considerados?
(EEUFRJ – 45) De quantos modos diferentes podem ser dispostas em fila m + h pessoas, sendo m mulheres e h homens, de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem entre si, em ordem crescente de altura?
(CICE – 68) Para a seleção brasileira de futebol, foram convocados 22 jogadores, os quais jogam em todas as posições, exceto dois deles, que só jogam no gol. De quantos modos se podem selecionar os 11 titulares?
a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
(CICE – 68 – J) Uma caixa contém 7 bolas de cores diferentes. Quantas coleções de bolas desta caixa se podem formar?
Nota: Cada coleção deve conter pelo menos uma bola.
a) 130		b) 129		c) 128		d) 126		e) 127
(EPUSP – 61) Quantas diagonais possui um prisma cuja base é um polígono de n lados?
(EPUSP – 70 – J) Considere-se no espaço 50 pontos “em posição geral”, isto é, não existe reta que passe por 3 deles. Então, o número de triângulos com vértices distintos que tais pontos determinam é:
a) 117600		b) 19600		c) 50!		e) n.r.a.
(CICE – 70 – J) Um número x de professores se distribuem em 4 bancas examinadoras, de acordo com as seguintes regras:
Cada professor participa de duas e somente duas bancas.
Cada duas bancas tem um e somente um professor em comum.
Existe um único valor de x tal que 4 
 8.
Existem dois valores de x tais que 4 
 8.
Existe um único valor de x tal que 8
 16.
Existem dois valores de x tais que 8
 16.
n.r.a.
(CCMN – 70) Numa classe existem 10 alunas das quais uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de um deles. Formam-se comissões constituídas por 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões das quais participam, simultaneamente, João e Maria?
a) 
		b) 
		c) 
		d) 
		e) 
f) Não se pode calcular.
(CICE – 70) Seja C um conjunto de 25 pontos do espaço e C1 um subconjunto de 8 pontos coplanares de C. Sabe-se que sempre que 4 pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C1. O número de planos diferentes, cada um dos quais contém menos de 3 pontos de C1 é:
a) 2245		b) 2300		c) 2244		d) 6901		e) 13464
(ENCE – 71) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 bolas brancas. De quantos modos distintos se podem retirar da urna 5 bolas, de modo que pelo menos umadelas seja branca?
(MAPOFEJ – 73) Seja P o conjunto dos pontos de p retas (p 
 2), paralelas duas a duas, de um plano. Seja Q o conjunto dos pontos de q retas (q 
 2), paralelas duas a duas, do mesmo plano, concorrentes com as primeiras. Calcule o número total de paralelogramos de vértices pertencentes ao conjunto P ( Q e de lados contidos no conjunto P ( Q.
RESPOSTAS
1) a) 21	b) 45		c) 35		d) 19900
2) a) n = 12	b) n = 8	c) n = 8	d) n = 19
3) a) x = 4	b) x = 4	c) p = 5	d) m = 3
4) d
5) d
6) y = 2x . 1
7) Verdadeira
8) n.r.a.
9) m = 7
10) p = 4
x = 3 ou x = 2
n = 5
n = 5
n = 6
c
p = 1
n = 29
desenvolver os 2 lados da igualdade
a) 
		b) 
a) 
		b) 
a) 
		b) 
a) 
		b) 
a
10
a) 10		b) 4	c) 3
45
8
31
45
35) 56
36)
37) 
38) a) 
		b) 20 				c) 
39) 
40) 
41) 3 . 2
42) 
43) a) 
		b) 
	 		c) 
44) a) 
		b) 
		c) 
45) a) 
		b) 2 
	c) 
46) a) 
		b) 
	c) 
47) 
48) 
49) a) 
	b) 
		c) 
50) 
51) 3
52)
 – 24 – 2.23 – 22.23 = 2024
53) 
 = 81
54)
55) 
56) 
 = 7
57) 
58) 
59) 
60) 
61) 8
62) a
63) 
64) 220
65) 
66) d
67) e
68) n (n – 3)
69) b
70) 
71) e
72) a
73) 
74) 
PROBLEMAS PROPOSTOS
Quantas permutações distinguíveis podemos formar com todas as letras das seguintes palavras:
a) ARARA?		b) ARARAQUARA?
De quantos modos podemos enfileirar 4 cabos, 3 sargentos e 2 tenentes, de modo que 2 militares de mesma patente sejam considerados indistinguíveis?
Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam por A?
Quantos anagramas da palavra MARAJÓ começam por consoantes?
Quantos são os anagramas da palavra COROLÁRIO que começam por vogal?
Em quantas permutações das 9 letras AAABBBCCC não aparecem duas letras C juntas?
Quantos anagramas da palavra MARACUJÁ não possuem vogais e nem consoantes juntas? Quantas não possuem vogais juntas?
Com uma letra A, uma letra B e um certo número de letras C podemos formar 20 permutações. Calcule o número de letras C?
Quantos anagramas da palavra PARANAPIACABA começam por PARA, nesta ordem, e terminam por CABA, numa ordem qualquer/
Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 verdes. De quantos modos se podem extrair as 10 bolas da urna, sendo uma de cada cor?
Dadas m letras, dentre as quais x são iguais a A, B são iguais a B e as demais são todas distintas, formam-se palavras de p letras, contendo j vezes a letras A e k vezes a letra B. Calcular o número dessas palavras.
Quantos são os anagramas da palavra CONTADORIA:
Em que aparecem juntas, nesta ordem, as letras da palavra CONTO?
Em que aparecem juntas, numa ordem qualquer, as letras da palavra CONTO?
Em que as letras da palavra CONTO aparecem nesta ordem?
De quantos modos podemos dispor em fila 10 letras iguais a A e 6 letras iguais a B, sem que duas letras iguais a B fiquem juntas?
Quantos são os anagramas da palavra MISSISSÍPI que não possuem duas letras l juntas?
RESPOSTAS
1) a) 
		b) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 2 . 4! 
8) 
9) 
a) 
		b) 
		c) 
1050
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