DINAMICA (EQ. BERNOULLI) PT 1

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
A equação de Bernoulli é um caso particular da equação da
energia aplicada ao escoamento, onde adotam-se as seguintes
hipóteses:
 Escoamento em regime permanente;
 Escoamento incompressível;
 Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, aquele onde a
viscosidade é considerada nula, ou aquele que não apresenta dissipação de
energia ao longo do escoamento;
 Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a presença de
um dispositivo que forneça, ou retira energia do fluido;
 Escoamento sem troca decalor.
TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS
 ENERGIA POTENCIAL (𝐸𝑝)
 É o estado de energia do sistema devido a sua posição no campo da gravidade 
em relação a um plano horizontal de referências (PHR):
Obs.: o PHR é adotado arbitrariamente, conforme a conveniência da solução do
problema.
∴
Onde:
m = massa;
g = gravidade;
z = altura.
𝐸𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧
TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS
 ENERGIA CINÉTICA (𝐸𝑐)
 É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema 
de massa “m” e velocidade “v”:
∴
Onde:
m = massa;
v = velocidade;
𝐸𝑐 =
𝑚 ∙ 𝑣²
2
TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS
 ENERGIA DE PRESSÃO (𝐸𝑝𝑟)
 Corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no
escoamento do fluido.
∴
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 ∙ 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐸𝑝𝑟 = 𝐺 ∙
𝑃
𝛾
Onde:
G = peso;
P = pressão;
γ = peso específico.
𝑃 = γ ∙ h ℎ =
𝑃
γ
𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝐺
ENERGIA TOTAL
 É a soma das parcelas:
𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑟
“NO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO IDEAL, SUA ENERGIA TOTAL PERMANECE 
CONSTANTE”
𝐸1 = 𝐸2
ENERGIA TOTAL
 Logo:
Como, 𝐺 = 𝑚 ∙ 𝑔 ou m =
𝐺
𝑔
temos:
Dividindo ambos membros por G, temos:
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Onde:
z = carga de posição (m);
𝑃
γ
= carga de pressão (m);
𝑣²
2𝑔
= carga de velocidade (m).
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQ. DE BERNOULLI
Onde:
z = linha altimétrica;
𝑧 +
𝑃
γ
= linha piezométrica;
𝑧 +
𝑃
γ
+
𝑣²
2𝑔
= linha de energia.
𝑧 +
𝑃
𝛾
+
𝑣²
2𝑔
= 𝑐𝑡𝑒
APLICAÇÕES
• Teorema de Torricelli
P1 = P2= Patm = 0
Considerando muito pequena, desprezível e PRH passando em 2:
v1 = 0 e Z2 = 0 
𝒁𝟏 +
𝒗𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
= 𝒁𝟐 +
𝒗𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟐
𝜸
𝒁𝟏 =
𝒗𝟐
𝟐
𝟐𝒈
𝒉 =
𝒗𝟐
𝟐
𝟐𝒈
𝒗𝟐 = 𝟐𝒈𝒉
APLICAÇÕES
• Tubo de Pitot
Considerando o ponto de estagnação em 2 e PRH passando em 1 e 2:
v2 = 0 e Z1 = Z2 = 0
P1 P2
Analisando as pressões:
P1 = 0 e P2 = h ∙ γ
𝒁𝟏 +
𝒗𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
= 𝒁𝟐 +
𝒗𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟐
𝜸
𝒗𝟏
𝟐
𝟐𝒈
=
𝑷𝟐
𝜸
𝒗𝟏
𝟐
𝟐𝒈
=
𝒉 ∙ 𝜸
𝜸
𝒗𝟏 = 𝟐𝒈𝒉∴
APLICAÇÕES
• Tubo de Venturi
Consiste em um conduto convergente, seguido de um conduto de
diâmetro constante chamado garganta e, posteriormente, de uma
porção gradualmente divergente. É utilizado para determinar a vazão
num conduto.
Fluido escoando
(γ)
Fluido manométrico
(γm)
(Q)
APLICAÇÕES
Z1=Z2
𝒁𝟏 +
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
= 𝒁𝟐 +
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟐
𝜸
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟐
𝜸
𝑷𝟏
𝜸
−
𝑷𝟐
𝜸
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
−
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
Fluido escoando
(γ)
Fluido manométrico
(γm)
(Q)
APLICAÇÕES
𝑷𝟏
𝜸
−
𝑷𝟐
𝜸
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
−
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈Fluido escoando
(γ)
Fluido manométrico
(γm)
(Q)
𝑷𝟏 + 𝑳 + 𝒉 ∙ 𝜸 − 𝒉 ∙ 𝜸𝒎 − 𝑳 ∙ 𝜸 = 𝑷𝟐
𝑷𝟏 + 𝑳 ∙ 𝜸 + 𝒉 ∙ 𝜸 − 𝒉 ∙ 𝜸𝒎 − 𝑳 ∙ 𝜸 = 𝑷𝟐
𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = −𝒉 ∙ 𝜸 + 𝒉 ∙ 𝜸𝒎
(−𝒉 ∙ 𝜸 + 𝒉 ∙ 𝜸𝒎)
𝜸
=
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
−
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
Equação da Continuidade
𝑸𝒗𝟏 = 𝑸𝒗𝟐
𝑨𝟏 ∙ 𝒗𝟏 = 𝑨𝟐 ∙ 𝒗𝟐
EXEMPLO 01
Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório
de grandes dimensões mostrado na figura.
Dados: 𝜌𝐻2𝑂= 1000 kg/m³e g = 10 m/s²
EXEMPLO 01
EXEMPLO 01
Aplicação da Eq. da energia nos pontos (1) e (2)
EXEMPLO 2
Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a
superfície livre da água e (2) a saída do tubo. Portanto, temos que:
Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2
são nulas pois são iguais à pressão atmosférica. Em relação ao
plano de referências, temos que:
EXEMPLO 2
Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície
livre da água pode ser considerada desprezível. Portanto:
Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à:
EXEMPLO 2
A vazão em volume será:
EXEMPLO 3
A água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi
mostrado. Considere no trecho mostrado que as perdas são
desprezíveis. A área da seção (1) é 20 cm² e da seção (2) é 10 cm².
Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e
indica o desnível mostrado. Determine a vazão de água que escoa
pelo tubo.
EXEMPLO 3
(I)
EXEMPLO 3
EXEMPLO 3
(II)
EXEMPLO 3
Substituir (II) em (I)
(I)
(II)
EXEMPLO 3
EXEMPLO 4
Água escoa numa tubulação de D = 75mm. Determinar a
velocidade do escoamento e a vazão.
Dados: 𝜌𝐻2𝑂= 1000 kg/m³e g = 10 m/s²
EXEMPLO 4
𝒁𝟏 +
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
= 𝒁𝟐 +
𝑽𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟐
𝜸
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+
𝑷𝟏
𝜸
=
𝑷𝟐
𝜸
𝑷𝟏 = 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟐 𝑲𝑷𝒂
𝑷𝟐 = 𝟎, 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔 𝑲𝑷𝒂
𝑽𝟏
𝟐
𝟐𝟎
+
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
=
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒗𝟏 = 𝟐, 𝟖𝟑 𝒎/𝒔
𝑸 = 𝑨 ∙ 𝒗
𝑸 =
𝝅 ∙ 𝑫²
𝟒
∙ 𝒗
𝑸 =
𝝅 ∙ (𝟕𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑)²
𝟒
∙ 𝟐, 𝟖𝟑
𝑸 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝒎3/𝒔