aula 01

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Engenharia de Produção
Processos Estocásticos
5º/6º Semestre
Dr. Aroldo Salviato
TA 1
Introdução aos Processos 
Estocásticos
Resumo
Unidade de Ensino: Introdução aos Processos Estocásticos
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer os elementos básicos da teoria das 
distribuições associadas, os tipos de processos e 
fundamentos de espaços.
Resumo:
Introdução dos processos estocásticos e à probabilidade, 
a partir da qual possamos entender o conceito básico 
dos processos estocásticos, bem como o uso de 
distribuições de probabilidades, sua classificação, e a 
abordagem do conceito de espaço. 
Palavras-chave: Distribuição de Probabilidade; Poisson; Bernoulli
Título da teleaula: Introdução aos Processos Estocásticos
Teleaula nº:1
Quantas decisões tomamos ao longo do dia?
Quantas incertezas afetam o nosso dia?
E as decisões de um engenheiro de produção? 
Será que os processos são sempre precisos? 
Qual a base de dados para a tomada dessas decisões? 
Convite ao estudo
http://queconceito.com.br/decisao
Temos que conseguir entender o comportamento
do processo: como você classificaria o
comportamento de um processo, quais as
diferenças resultantes dessa classificação?
Convite ao estudo
http://queconceito.com.br/decisao
Conhecimentos prévios
Processos Estocásticos
 Enumerável ou discreto.
 Não enumerável ou contínuo.
Processos Estocásticos
Processos Estocásticos
 Conceito probabilístico.
 Conceito de aleatoriedade
 De forma geral um processo estocástico é um 
fenômeno que varia em algum grau, de forma 
imprevisível, à medida que o tempo passa.
 um processo estocástico como sendo
uma família de variáveis aleatórias
{xθ}
Processos Estocásticos
Para um tempo total T, que será o nosso espaço amostral,
teremos uma grande quantidade de valores dependendo cada
um de cada tempo t1, t2, t3, t4,..., tn, ou seja, o nosso sistema
de variável X, onde X pode ser qualquer tipo de medida ou de
observação, será interpretado como um “Estado do sistema
no tempo t”, denominado X t, onde t=1,2,3,4,...,n
Representado por {Xt: t ∈ T}.
Processos Estocásticos
A própria palavra estocástico é um sinônimo de aleatório
Em cada ponto t do 
conjunto T, quer dizer, 
t1,t2,t3,...,tn , pode-se 
observar uma medida 
Xt ou uma medida 
aleatória Xt. 
{Xt : t ∈ T}
Fonte: o autor
Processos Estocásticos
Propriedades básicas da probabilidade
1. Probabilidade máxima é 1, ou 100%.
2. A probabilidade não pode assumir um valor negativo; ou
seja, sempre vai estar entre 0 e 1.
3. Em eventos mutuamente exclusivos, ou seja, eventos que
não podem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade de
ocorrência de todos os eventos será a soma da probabilidade
de que cada evento ocorra isoladamente, lembrando que a
soma das probabilidades é igual a 1.
Processos Estocásticos
Variável Discreta (sequência aleatória)
Assumir apenas um número finito de valores. discreto :{ }, 1,2,3,..., tProcessos em tempo X t n
Processos Estocásticos
 Discreta: o parâmetro θ encontra-se no conjunto de 
inteiros, representando pontos temporais. Estes 
caracterizam o processo estocástico no tempo discreto. A 
notação padrão para processos em tempo discreto é {Xn}.
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/16-histograma
Quando um economista mede a taxa
mensal de desemprego, o tempo é um
indicador igualmente espaçado de
quando as observações são feitas. O
número de desempregados varia a cada
mês de forma aleatória, e o tempo é
apenas uma grandeza usada para ordenar
os eventos. Neste caso, a variável tempo
é discreta.
Processos Estocásticos
Variável contínua.
São aquelas que representam características que podem 
assumir quaisquer valores numa escala contínua, ou seja, 
os valores fracionados também fazem parte desta análise.
 },0 {: tProcessos em tempo contínuo X t
Processos Estocásticos
Contínua: Se o conjunto for contínuo, teremos um processo 
estocástico no tempo continuo e usamos a notação {Xt}. 
Espaço de Estados
Os valores que Xt pode assumir são chamados estados, e o
conjunto de todos os valores possíveis de Xt , ou seja, de todos os
possíveis estados, é chamado de espaço de estados.
Processos Estocásticos
Definição: um processo estocástico é uma coleção de variáveis
aleatórias {Xt} em que t e um índice temporal que assume valores
de um dado conjunto T.
Tanto Xt como T podem ser contínuos ou discretos, dando origem,
assim, a diferentes categorias de modelos.
Processos Estocásticos
Espaço de estados
O conjunto de todos os possíveis estados observáveis é 
chamado de espaço de estados. Ele pode ser finito, dando 
uma variável resposta categórica, ou infinito, dando
ou uma variável resposta discreta ou continua.
Processos Estocásticos
Espaço de Parâmetros
é o nosso conjunto T.
Lembrando: t é o índice que representa a variação do
tempo, que pertence a um conjunto T , de modo que
{Xt , t ϵ T}.
O que são “ESTADOS” 
Em um ponto qualquer no tempo, um processo esta em
algum estado. Isto é normalmente observado
registrando o valor de uma variável de resposta em um
instante t.
Processos Estocásticos
- Processos estocásticos de estado discreto e tempo 
discreto.
YATES, Roy D., GOODMAN, David J. Probabilidade e Processos Estocásticos - 3ª edição. LTC, 2016. 
Processos Estocásticos
- Processos estocásticos de estado contínuo e tempo 
discreto.
YATES, Roy D., GOODMAN, David J. Probabilidade e Processos Estocásticos - 3ª edição. LTC, 2016. 
Processos Estocásticos
- Processos estocásticos de estado contínuo e tempo 
contínuo.
-
YATES, Roy D., GOODMAN, David J. Probabilidade e Processos Estocásticos - 3ª edição. LTC, 2016. 
Processos Estocásticos
- Processos estocásticos de estado contínuo e tempo 
discreto.
YATES, Roy D., GOODMAN, David J. Probabilidade e Processos Estocásticos - 3ª edição. LTC, 2016. 
Processos Estocásticos
A propriedade Markoviana define que, se o estado
atual for conhecido, a probabilidade condicional do
próximo estado e independente dos estados
anteriores.
Para um processo estocástico no tempo discreto com 
estados discretos, a probabilidade condicional do 
próximo estado (Xt + 1 = j), dado o estado atual (Xt = i) 
e todos os estados anteriores ao estado atual, e 
idêntica a probabilidade condicional para um próximo
estado específico, dado um estado atual. Isto pode ser 
escrito como:
Processos Estocásticos
Essencialmente, por simplicidade matemática, as
distribuições de Poisson, Binomial e Normal, são as
mais usadas para modelar a aleatoriedade dos
processos estocásticos.
( )
!
v
p v e
v
 
( ) Sendo p( ) a probabilidade de 
contagens no intervalo definido
p v v vtaxa média
eventosv
 

Processos Estocásticos
Distribuição de Bernoulli
 Na prática muitos experimentos admitem apenas dois 
resultados. (0 ou 1) ou (sucesso ou fracasso).
 Resultado de um exame.
 Concorda ou não com uma afirmação feita.
 Lançamento de um dado. 
 Lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
V.A. com distribuição de Bernoulli.
Processos Estocásticos
Distribuição de Bernoulli
 Assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se 
ocorrer fracasso (F), com probabilidade de sucesso p, isto 
é:
 Associaremos p, a probabilidade de sucesso, ao evento 
que nos interessa e 1-p, será a probabilidade de fracasso.
Com P(X=0)=q e P(X=1)=p com q = 1-p, 
então diremos que a variável aleatória X
admite distribuição de Bernoulli .
O conceito de distribuição de Bernoulli 
Processos Estocásticos
Com P(X=0)=q e P(X=1)=p com q = 1-p, 
então diremos que a variável aleatória X
admite distribuição de Bernoulli 
Ex: Moeda: 
Se você jogar a moeda uma única vez,a probabilidade ρ de 
sair cara (0,5 ou 50%) e um complementar de ρ , que é ρ −1, de 
sair coroa, ou seja, = 0,5 , assim ambos os resultados 
apresentam a mesma probabilidade de ocorrência.
Portanto, podemos dizer que temos um 
experimento qualquer λ e um evento A, 
de modo que esse evento tem 
probabilidade ρ de acontecer, ou seja, 
probabilidade de sucesso.
Processos Estocásticos
 1. Os eventos A são independentes;
 2. A probabilidade de sucesso do n-ésimo evento é ρ e 
a probabilidade de fracasso do n-ésimo elemento é o 
seu complementar, ρ −1, para qualquer n = 1, 2,....
 Processo estocástico será chamado de processo 
de Bernoulli quando:
Processos Estocásticos
Os diagramas de transição de estados são uma maneira
muito interessante de representar os processos
estocásticos.
Em um diagrama de transição, tenho a característica de 
que a probabilidade de ir de um estado à outro, P12
(probabilidade de ir de 1 para 2), se 
for uma cadeia de Markov, será a 
probabilidade esperada.
Diagramas de transição 
Processos Estocásticos
 Probabilidade de transição probabilidade de
transição é aquela associada à mudança de
estado de um processo
Nosso processo está no estado i e 
irá para o estado j após um 
determinado tempo t
Processos Estocásticos
Diagramas de transição 
p01 = α (ou seja, o sistema estava 
desocupado e vai para o estado 
ocupado);
p00 =1− α (ou seja, o sistema estava 
desocupado e continua 
desocupado);
p10 = β (ou seja, o sistema estava
ocupado e vai para o estado
desocupado);
p11 =1− β (ou seja, o sistema 
permanece ocupado e não pode 
registrar outra chegada).
(Akkari,2017)
Processos Estocásticos
(Akkari,2017)
Processos Estocásticos
Um componente funcionando , foi convencionado de 
0 e quando este componente queima ele é 
convencionado como 1. Se após um ano de uso ele 
ainda estiver funcionando ele tem a probabilidade 
de 3/5 de funcionar mais um ano.
Se ele queimou, a probabilidade de ele funcionar no 
próximo ano é de ½. Construa a matriz e o diagrama 
de transição.
Processos Estocásticos
00 01
10 11
3 / 5 2 / 5
1/ 2 1/ 2
ij
ij
P P
P
P P
P
 
  
 
 
  
 Construa a matriz transição e o diagrama de transição
Processos Estocásticos
Exemplo: A precisão do tempo indica que hoje teremos 
um dia com Sol (1), entretanto, as probabilidades de 
mudança são as seguintes: 20% para chuva (2), e 40% 
para nublado (3) para o próximo dia. Além disso, indica, 
que caso tenhamos chuva no segundo dia, as 
probabilidades para o terceiro são 30% de sol e 30% de 
tempo nublado, e caso tenhamos tempo nublado no 
segundo dia, as probabilidades de mudança do tempo 
são as seguintes, 50% para sol e 50% para chuva.
Processos Estocásticos