CÁLCULO III - PROVA 2

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UNIVERSIDADE ESTAUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII 
CENTRO DE CIENCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE - CCTS 
COORDENAÇÕES DE ENGENHARIA CIVIL & FÍSICA 
 
ALUNO(A): 
 
Cálculo Diferencial e Integral III – 2014.2 
Prof. Israel B. Galvão 
2ª PROVA DA 1ª UNIDADE – 14/10/2014 
 
Obs.: Expresse suas ideias com clareza e organização. Respostas sem as devidas 
justificativas serão sumariamente desconsideradas. Esta avaliação tem duração máxima 
de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 
𝟏. (2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para calcular a área da região 𝐷 
delimitada inferiormente pelo plano 𝑧 = 0, lateralmente pelo cilindro circular 
𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 e superiormente pelo paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2. 
 
𝟐. (2,0 pontos) Determine o volume compreendido a esfera de equação 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 e o cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
𝟑. (2,0 pontos) Mude a ordem de integração para uma que torne a integral 
∫ ∫ ∫ 12𝜌 sen3 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜌
𝜋/4
0
𝜋
0
1
0
 
em uma integral mais fácil de calcular, e a calcule! 
 
𝟒. (2,0 pontos) Mostre que os Jacobianos das coordenadas polares, cilíndricas e 
esféricas são, respectivamente 
𝐽(𝑟, 𝜃) = 𝑟, 𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 𝑒 𝐽(𝜌, 𝜙, 𝜃) = 𝜌2 sen 𝜙. 
 
𝟓. (2,0 pontos) Calcule a integral 
∫ ∫ √
𝑦
𝑥
𝑒√𝑥𝑦
𝑦
1/𝑦
 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2
1
 
usando a transformação 𝑢 = √𝑥𝑦 e 𝑣 = √𝑦/𝑥,detalhando o procedimento e 
esboçando as regiões envolvidas. 
 
 
 
VAI DAR TUDO CERTO!