Apostila ANOVA e CEP

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O TESTE QUIQUADRADO 
 
TESTE DE ADERÊNCIA 
 
O objetivo é comparar se uma distribuição de freqüência é realmente a 
distribuição esperada teoricamente (teste de aderência) 
Sejam: 
n - o nº de observações 
ei - a freqüência esperada na classe i 
oi - a freqüência observada na classe i 
k - o nº de classes 
O teste se baseia no grau de concordância entre ei e oi . 
A medida denominada quiquadrado é definida por: 
 ∑ ∑
= =
−=−=
k
i
k
i i
i
i
ii n
e
o
e
eo
1 1
22
2 )(χ 
Os valores esperados são baseados na distribuição da população. 
Rejeitamos a hipótese de aderência se tal valor for maior que o valor do 
quiquadrado crítico com (k-1) graus de liberdade com o nível de significância estipulado. 
O teste quiquadrado só pode ser utilizado se todas as freqüências esperadas 
forem maiores que 1 e se no máximo 20% das freqüências esperadas forem menores 
que 5. Caso contrário deve-se agrupar as classes de forma a satisfazer tais condições. 
 
Por exemplo, se a porcentagem de funcionários de um laboratório nos grupos de 
idades de 18 a 20; 21 a 23; 24 a 26; 27 a 29 anos é de, respectivamente, 15%, 20%, 30% 
e 35% e se o nº de ocorrências de ações fora do padrão de segurança ocorridos em um 
ano nestas faixas etárias foram de 5, 10, 9 e 6, podemos afirmar que o número de ações 
fora do padrão de segurança para os funcionários segue a distribuição das faixas etárias, 
isto é, que a distribuição observada é de respectivamente 15%, 20%, 30% e 35% das 
ações fora do padrão em cada faixa etária? Testar utilizando α = 0,05. 
18 a 20 21 a 23 24 a 26 27 a 29
oi 5 10 9 6
ei 4,5 6,0 9,0 10,5 
Temos, por exemplo: 4,5 é igual a 15% do total de número de ações fora do 
padrão de segurança (30). 
Como temos uma casela com valor esperado inferior a 5, temos que agrupar as 
caselas. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 1 
18 a 23 24 a 26 27 a 29
oi 15 9 6
ei 10,5 9,0 10,5 
 
g.l. = 2 
991,5
857,330
5,10
6
0,9
9
5,10
15857,3
5,10
)5,106(
9
)99(
5,10
)5,1015(
2
2,
222
2
222
2
=
=−


 ++==−+−+−=
cr
ou
χ
χχ
 
R.C. = {χ2 / χ2 ≥ 5,991} 
3,857 ∉ R.C., logo ao nível de significância de 5% afirmo que o número de ações 
fora do padrão de segurança para os funcionários é independente da idade. 
 
 
TABELAS DE CONTIGÊNCIA 
 
Queremos testar se duas variáveis aleatórias são independentes. Neste caso 
temos uma tabela de dupla entrada (as duas variáveis). Seja r o nº de níveis da primeira 
variável e c o nº de níveis da segunda variável. Temos que g.1. = (r-1) (c-1) e 
( )
n
e
o
e
eo
ij
ij
c
j
r
iij
ijij
c
j
r
i
−=−= ∑∑∑∑
====
2
11
2
11
2χ 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 2 
Neste caso eij é o produto das marginais da observação oij dividido pelo tamanho 
da amostra. 
Quando a tabela de contingência não for 2 x 2, a prova que quiquadrado pode ser 
aplicada somente se o nº de caselas com freqüência inferior a 5 for menor que 20% do 
total de caselas e se nenhuma casela tiver freqüência esperada inferior a 1. Se essas 
condições não forem satisfeitas pelos dados na forma em que foram coletados 
originalmente, o pesquisador deve combinar categorias de modo a aumentar as 
freqüências esperadas nas diversas caselas. Se em uma tabela 2 x 2, tivermos alguma 
freqüência esperada inferior a 5, o teste quiquadrado não poderá ser usado. Neste caso 
recomendamos a utilização do teste não-paramétrico de Fisher. 
 
Por exemplo, num estudo sobre suicidas realizado em Campo Grande -M.S., foi 
testado se havia independência entre as variáveis aleatórias motivo de tentativa de 
suicídio e sexo do suicida. Os resultados encontrados foram os seguintes: 
MOTIVO X SEXO FEMININO MASCULINO TOTAL
Briga com namorado/cônjuge 40 7 47
34,23 12,77
Perda de emprego 3 1 4
2,91 1,09
Perda de ente querido 6 2 8
5,83 2,17
Conflitos familiares 38 10 48
34,96 13,04
Problemas financeiros 6 8 14
10,20 3,80
Não informa 4 1 5
3,64 1,36
Problemas na escola 1 0 1
0,73 0,27
Motivos de saúde 17 13 30
21,85 8,15
Outros 3 2 5
3,64 1,36
TOTAL 118 44 162 
Temos por exemplo, 23,34
162
47118
11 == xe 
Como temos duas caselas com valor esperado menor que 1 e 10 caselas com 
valor esperado menor que 5, temos que agrupar as caselas. 
 
MOTIVO X SEXO FEMININO MASCULINO TOTAL
Briga com namorado/cônjuge 40 7 47
34,23 12,77
Perda de emprego / Problemas 9 9 18
financeiros 13,11 4,89
Conflitos familiares 38 10 48
34,96 13,04
Motivos de saúde 17 13 30
21,85 8,15
Perda de ente querido/ Não 14 5 19
informa/Probl. na escola/Outros 13,84 5,16
TOTAL 118 44 162 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 3 
266,13005,0002,0889,2077,1707,0264,0457,3289,1604,2971,02 =+++++++++=obsχ
 ou 
266,13162266,175162
16,5
5...
11,13
9
77,12
7
23,34
40 22222 =−=−


 ++++=obsχ 
Temos uma casela com valor esperado menor que 5, o que é menos de 20% do total de 
caselas. 
g.l. = 4 x 1 = 4 
2
4%,5χ = 9,488 
R.C. = { χ2 / χ2 ≥ 9,488} 
13,266 ∈ R.C., logo ao nível de significância de 5%, rejeitamos H0, isto é, ao nível 
de significância de 5% afirmamos que as variáveis aleatórias motivo da tentativa de 
suicídio e sexo do suicida não são independentes. 
 
EXEMPLO ADICIONAL DE TESTE QUIQUADRADO 
 
1)Foi retirada uma amostra de 125 bolos industrializados cujo peso marcado é de 
250 grs. 
Deseja-se saber se o peso dos bolos tem uma distribuição aproximadamente 
normal. 
 
 Peso dos 125 bolos amostrados 
276 274 284 272 276
278 278 278 278 280
288 270 280 270 292
255 266 264 266 272
266 266 266 266 282
247 280 280 270 272
272 280 264 264 284
282 268 272 261 275
264 270 269 258 260
266 256 249 260 260
259 250 266 258 257
268 270 274 269 260
260 272 258 262 283
254 272 274 268 265
269 274 269 286 268
258 272 272 280 265
280 272 268 270 265
264 270 278 264 270
260 266 258 270 269
270 261 255 263 271
291 296 293 287 300
289 265 283 276 289
295 308 289 287 275
267 292 256 275 270
262 268 276 274 260 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 4 
Temos: 
grss
grsX
0076,11
24,271
=
=
 
 
Os dados foram agrupados em 7 classes: 
 
PESO Frequência
240 I 250 2
250 I 260 13
260 I 270 43
270 I 280 39
280 I 290 20
290 I 300 6
300 I 310 2
Total 125 
 
Vamos calcular os valores esperados, supondo a distribuição normal: 
 
12706,034614,047320,0
)02,193,1(
0076,11
24,271260
0076,11
24,271250)260250(
02680,047320,05,0)93,1(
0076,11
24,271250)250(
=−=
=−<≤−=

 −<≤−=<≤
=−=−<=

 −<=<
ZPZPXP
ZPZPXP
 
 
Prosseguimos o cálculo e obtemos a seguinte tabela: 
 
PESO zinf zsup Probab. ei oi
240 I 250 - -1,93 0,02680 3,35 2,00
250 I 260 -1,93 -1,02 0,12706 15,88 13,00
260 I 270 -1,02 -0,11 0,30234 37,79 43,00
270 I 280 -0,11 0,80 0,33194 41,49 39,00
280 I 290 0,80 1,70 0,16729 20,91 20,00
290 I 300 1,70 2,61 0,04004 5,01 6,00
300 I 310 2,61 - 0,00453 0,57 2,00
Total 125,00 125,00 
 
Como temos uma classe com valor esperado inferior a 1, vamos agrupar as 
classes. Podemos continuar com um valor esperado inferior a 5 pois este representa 
menos de 20% do total de classes. 
 
PESO ei oi oi
2/ei
240 I 250 3,35 2,00 1,1940
250 I 260 15,88 13,00 10,6406
260 I 270 37,79 43,00 48,9251
270 I 280 41,49 39,00 36,6572
280 I 290 20,91 20,00 19,1285
290 I 310 5,58 8,00 11,4695
Total 128,0149 
 
 
g.l. = 5 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 5 
 
0149,31250149,128
6
1
2
2 =−=−= ∑
=
ne
o
i i
iχ 
 
070,112 5, =crχ 
 
R.C. = {χ2 / χ2 ≥ 11,070} 
 
3,0149 ∉ R.C., logo ao nível de significância de 5% afirmo que a distribuição do 
peso dos bolos é aproximadamente normal. 
 
Pesos dos Bolos
Histograma
Fr
eq
ue
nc
ia
50
40
30
20
10
0
 
2)Uma indústria fez uma pesquisa para saber se os funcionários mais antigos 
estavam mais satisfeitos com a empresa que os mais novos. Definiu-se como funcionário 
antigo aquele funcionário que tinha mais de 5 anos de casa. Os resultados obtidos foram: 
Satisfação Má Boa Total
Tempo de Casa
17 33 50
2 77 79
19 110 129
Novo
Antigo
Total 
Testar ao nível de significância de 5% as hipóteses: 
H0 : As variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação são independentes 
Ha : As variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação não são independentes 
o11 = 17 e11 = (19 x 50) /129 = 7,36 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 6 
o12 = 33 e12 = (110 x 50) /129 = 42,64 
o21 = 2 e21 = (19 x 79) /129 = 11,64 
o22 = 77 e22 = (110 x 79) /129 = 67,36 
Satisfação Má Boa Total
Tempo de Casa
17 33 50
7,36 42,64
2 77 79
11,64 67,36
19 110 129
Antigo
Total
Novo
 
 
143,24378,1979,7178,2607,122 =+++=obsχ 
ou 
143,24129143,153129
36,67
77
64,11
2
64,42
33
36,7
17 22222 =−=−


 +++=obsχ 
g.l. = 1 x 1 = 1 
2
1%,5χ =3,841 
R.C. = { χ2 / χ2 ≥3,841} 
24,143 ∈ R.C. 
Logo, ao nível de significância de 5%,rejeitamos H0, isto é, ao nível de 
significância de 5% afirmamos que não há independência entre as variáveis aleatórias 
tempo de casa e satisfação com a empresa.(Os mais antigos estão mais satisfeitos). 
 
O TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV 
 
O teste de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra é um outro teste de aderência. 
Deve-se calcular a freqüência acumulada esperada segundo H0 com a freqüência 
acumulada observada. Determina-se o ponto em que estas distribuições têm maior 
diferença (em módulo). Rejeita-se H0 se este valor for superior a um valor D tabelado, o 
qual depende do tamanho n da amostra e do nível de significância utilizado. 
O teste de Kolmogorov-Smirnov não tem suposições quanto à magnitude dos 
valores esperados para poder ser utilizado e é, em geral, mais poderoso que o teste 
Quiquadrado, isto é, tem maior probabilidade de rejeitar que a verdadeira distribuição de 
freqüências é a distribuição testada segundo H0 quando esta hipótese for realmente falsa. 
 
Exemplos: 
1)No exemplo dos funcionários do laboratório, queremos saber se a distribuição 
do número de ações fora do padrão de segurança por faixa etária é a mesma distribuição 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 7 
dos funcionários nestes grupos de idades de 18 a 20; 21 a 23; 24 a 26; 27 a 29 anos, isto 
é, respectivamente, 15%, 20%, 30% e 35%. 
distr teórica oi distr observada distr acum teórica distr acum observada diferença
0,1500 5 0,1667 0,1500 0,1667 0,0167
0,2000 10 0,3333 0,3500 0,5000 0,1500
0,3000 9 0,3000 0,6500 0,8000 0,1500
0,3500 6 0,2000 1,0000 1,0000 0,0000
1,0000 30 1,0000 
Diferença máxima = 0,15 
Para n = 30 e nível de significância de 5%, temos que D = 0,24 
Como 0,15 < 0,24 , ao nível de significância de 5%, afirmo que as ações fora dos 
padrões de segurança ocorreram segundo a distribuição de 15%, 20%, 30% e 35% nas 
faixas etárias estabelecidas. 
 
2) No exemplo dos bolos industrializados, deseja-se saber se o peso dos bolos 
tem uma distribuição aproximadamente normal. 
PESO zinf zsup distr teórica distr t acum oi distr observ distr o acum diferença
240 I 250 - -1,93 0,02680 0,02680 2,00 0,01600 0,01600 0,01080
250 I 260 -1,93 -1,02 0,12706 0,15386 13,00 0,10400 0,12000 0,03386
260 I 270 -1,02 -0,11 0,30234 0,45620 43,00 0,34400 0,46400 0,00780
270 I 280 -0,11 0,80 0,33194 0,78814 39,00 0,31200 0,77600 0,01214
280 I 290 0,80 1,70 0,16729 0,95543 20,00 0,16000 0,93600 0,01943
290 I 300 1,70 2,61 0,04004 0,99547 6,00 0,04800 0,98400 0,01147
300 I 310 2,61 - 0,00453 1,00000 2,00 0,01600 1,00000 0,00000
Total 1,00000 125,00 1,00000 
Diferença máxima = 0,03386 
Para n=125 e nível de significância de 5%, temos que 12164,0
125
36,136,1 ===
n
D 
Como 0,03386 < 0,12164 , ao nível de significância de 5%, afirmo que o peso dos 
bolos tem uma distribuição aproximadamente normal. 
Average: 271,24
StDev: 11,0076
N: 125
Kolmogorov-Smirnov Normality Test
D+: 0,076 D-: 0,035 D : 0,076
Approximate P-Value: 0,073
250 260 270 280 290 300 310
,001
,01
,05
,20
,50
,80
,95
,99
,999
Pr
ob
ab
ilit
y
C1
Normal Probability Plot
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 8 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
A análise de variância deve ser utilizada quando queremos comparar mais de dois 
grupos ao mesmo tempo. 
Por exemplo, se quisermos comparar a produção de uma indústria nos três 
turnos, a saber, das 6h00 às 14h00, das 14h00 às 22h00 e das 22h00 às 6h00, podemos 
sortear aleatoriamente cinco funcionários por turno e anotar o nº de lotes produzidos por 
cada um deles. 
 
1º Turno 2º Turno 3º Turno
23 22 18
22 19 19
21 19 21
22 20 20
21 18 18
Nº DE LOTES PRODUZIDOS
 
Seja: 
n = o nº de elementos em cada grupo. (n = 5 ) 
k = o nº de grupos. (k = 3 ) 
Xij = o resultado obtido pelo i-ésimo indivíduo do j-ésimo grupo. Temos: 
1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ k 
Por exemplo, X32 =19 é o nº de lotes produzidos pelo 3º indivíduo do 2º grupo 
(turno). 
Seja: 
T Xj
i
n
=
=
∑
1
ij = soma dos valores do grupo j. 
No exemplo temos T1 = 109 ; T2 = 98 e T3 = 96 
T
T
n
j
j= = média do grupo j. 
No exemplo temos 2,196,19;8,21 321 === TeTT 
G Tj
j
k
=
=
∑
1
= soma geral. 
No exemplo, G = 303 
G
X
nk
T
ki
n
ij
j
k
j
j
k
= =
= = =
∑ ∑ ∑
1 1 1
= média geral. 
Para quantificar a variabilidade dentro do grupo 1 usamos: 
( )X T X
T
nii
n
i
i
n
1 1
2
1
1
2 1
2
1
− = −
= =
∑ ∑ 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 9 
Para quantificar a variabilidade dentro do grupo j , usamos: 
( )X T X
T
nij
j
i
n
ij
j
i
n
− = −
= =
∑ ∑2
1
2
2
1
 
Para quantificar a variabilidade total dentro dos grupos utilizamos a soma de 
quadrados dentro (SQD) definida por: 
 
SQD X T X
T
nj
k
i
n
ij j ij
j
i
n
j
k
= − =
= = ==
∑ ∑ ∑∑
1 1
2 2
2
11
( ) ( − ) 
 
 
No exemplo em questão: 
8,188,62,98,2
5
96)18...18(
5
98)18...22(
5
109)21...23(
2
22
2
22
2
22
=++=






 −+++


 −+++


 −++=
SQD
SQD
 
Observação: 
O SQD mede o caráter aleatório do experimento, isto é, o que não foi controlado 
pelo pesquisador. Por isto o SQD é também chamado de soma de quadrados devido ao 
erro experimental ou resíduo (SQR). 
Para quantificar a variabilidade existente entre os grupos utilizamos a soma de quadrados 
entre (SQE) definida por: 
 
SQE n T G
T
n
G
nkj
k
j
j
j
k
= − =
= =
∑ ∑
1
2
2 2
1
( ) − 
 
 
No exemplo por nós utilizado, temos: 
6,196,61202,6140
15
91809
5
9216960411881
15
303
5
96
5
98
5
109 2222 =−=−++=−


 ++=SQE
 
A SQE representa a variação devida aos tratamentos utilizados (1º turno, 2º turno 
ou 3º turno). 
Se usarmos os dados como um todo, sem a informação de que há diferentes 
níveis do fator “tratamento”, como quantificaremos a variabilidade total? 
A soma de quadrados total (SQT) é definida por: 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria:Raquel Cymrot 10 
 
SQT X G X G
nki
n
j
k
ij ij
i
n
j
k
= − =
= = ==
∑ ∑ ∑∑
1 1
2 2
2
11
( ) − 
 
No exemplo temos que SQT = 4,38
15
3032 =−6159 
Prova-se que: 
 
SQT = SQD + SQE 
 
No exemplo utilizado 38,4 =18,8 + 19,6. 
Queremos testar: 
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = ... = µk 
Sob H0, o quadrado médio dentro (QMD) é uma estimativa de σ2, onde: 
 
QMD SQD
k n
= −( )1 
 
Sob H0, o quadrado médio entre (QME) também é uma estimativa de σ2, onde: 
QME SQE
k
= − 1 Pois
SQE
k
n T G
k
n
j
k
j
X− =
−
− = ==
∧ ∧∑1 11
2 2 2( ) σ σ 
Logo, se H0 é verdadeira, QMD e QME devem estar próximos, portanto a razão 
QME
QMD
 deve estar próxima de um. 
Se H0 não for verdadeira o valor de QMD não deve se alterar pois este é baseado 
em cálculos de cada coluna separadamente. Neste caso, porém, o valor de QME deverá 
crescer à medida que as médias amostrais se afastem uma das outras, logo 
QME
QMD
 
excederá um quando H0 não for verdadeira. 
Denotamos 
F = 
QME
QMD
 
No exemplo por nós utilizado 255,6
57,1
80,9
12
8,18,
2
6,19 ==== FeQMDQME . 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 11 
Temos que F = 
QME
QMD
tem distribuição F com υ1 = k-1 e υ2 = k(n-1) graus de 
liberdade onde a distribuição F tem origem na divisão de dois quiquadrados divididos 
anteriormente por seus graus de liberdade. 
Sob H0: 
QME
QMD
SQE
k
SQD
k n
= −
−
σ
σ
2
2
1
1
( )
( )
 ~ F (k - 1, k (n - 1)) 
 
onde 
SQE
σ 2 ~ χ
2 (k - 1) 
e 
SQD
σ 2 ~ χ
2 (k (n - 1)) 
Rejeito H0 se Fobservado for maior que Fcrítico, α% com (k - 1), k (n - 1) graus de 
liberdade (Fcr). 
Resumindo: 
Fonte de 
Variação 
Soma dos Quadrados g.1 Q.médio F 
Entre 
n T G
T
n
G
nkj
k
j
j
j
k
= =
∑ ∑− = −
1
2
2 2
1
( ) 
 
k - 1 
QME SQE
k
= − 1 
QME
QMD
 = Fo 
Dentro 
j
k
i
n
ij j ij
j
i
n
j
k
X T X
T
n= = ==
∑ ∑ ∑∑− = −



1 1
2 2
2
11
( ) 
 
k (n - 1) 
QMD SQD
k n
= −( )1 
 
Total 
i
n
j
k
ij ij
i
n
j
k
X G X G
nk= = ==
∑ ∑ ∑∑− =   −1 1 2 21
2
1
( ) 
 
nk - 1 
 
Comparar o F0 com o Fcrítico, α%, (k - 1), k (n - 1) 
No exemplo por nós utilizado, temos: 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 12 
Fonte de variação Soma de quadrados g.l. Quadrado médio F
Entre turnos 19,60 2 9,80 6,255
Dentro dos turnos 18,80 12 1,57
Total 38,40 14 
89,3255,6 12;2%,5 =>= FFobs logo, ao nível de significância de 5%, afirmamos que 
há diferença entre a produção dos três turnos. 
 
Contrastes 
Um contraste é uma comparação envolvendo duas ou mais médias dos níveis do fator 
em estudo. 
Representamos por C e definimos 
j
k
j
jCC µ∑
=
=
1
 
 
 
onde Cj’s são tais que 
 ∑ 
j
k
jC o
=
=
1
 
Exemplos: 
;1;1;0
2
1;
2
1;1
2
32132
321
32
1
−===→−
−=−==→+−
CCC
CCC
µµ
µµµ
 
 
Teste de Contraste 
∑
=
∧ =
k
j
jjTCC
1
 
C
∧
 ~ N
n
C
j
k
j0
2
1
2, σ
=
∑

 
H0 : C = 0 
Ha : C ≠ 0 
 
Estimaremos por QMD. 2σ
Para os dados do exemplo inicial sobre a produção nos três turnos, queremos 
testar ao nível de significância de 5% se: 
 
0
2
: 3211 ≤
+−= µµµCH o 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 13 
e 
 
0: 322 =−= µµCH o 
 
Temos um problema a resolver. Quando um grande número de comparações são 
feitas em seguida a um teste F significante, algumas das rejeições das hipóteses nulas 
referentes aos contrastes podem ser devidas ao erro tipo I. 
 
Por exemplo, se dois testes independentes são feitos, cada um com nível de 
significância de 5%, qual a probabilidade das duas afirmações serem simultaneamente 
verdadeiras? 
P(V1 e V2) = P(V1) P(V2) = (1 - 0,05) (1 - 0,05) = 0,95 x 0,95 = 0,9025 
 
Precisamos adotar um procedimento de comparações múltiplas, como por 
exemplo, o método de Bonferroni. O método consiste em trabalhar com nível de 
significância 
k
α
, para cada um dos testes, quando desejamos realizar k testes 
simultâneos. 
 
No exemplo faremos cada teste ao nível de significância de 2,5%. 
Temos: 
QMD = 1,57 
n = 5 
0
2
: 3210 ≤+− µµµH 
40,2
2
20,1960,1980,21
2
ˆ 32
1 =+−=+−= TTTC 
2
1;
2
1;1 321 −=−== CCC 
2
33
1
2 =∑
=j
jC 
 
Ccr = 0 + t 2,5%;12 sc 
 
t 2,5%;12 = 2,179 ( teste unilateral ) 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 14 
496,1
2
3
5
57,1179,20 =



+=crC 
 
R.C. = { C / C ≥ 1,496 } ˆ ˆ
 
Cobs = 2,40 ∈ R.C. 
 
0: 322 =− µµoH 
 
40,020,1960,1932 =−=−=∧ TTC 
 
C1 = 0 ; C2 = 1 ; C3 = -1 
 
2
3
1
2 =∑
=j
jC 
 
Ccr1 = 0 – t 2,5%;12 sc 
 
Ccr2 = 0 + t 2,5%;12 sc 
 
t 2,5%;12 = 2,681 ( teste bilateral ) 
 
( ) .125,22
5
57,1681,201 −=

−=crC 
( ) 125,22
5
57,1681,202 =

+=crC 
 
R.C. = { C / C ≤ -2,125 ou C ≥ 2,125 } ˆ ˆ ˆ
 
Cobs = 0,40 ∉ R.C. 
 
Conclusão: 
Ao nível de significância de 5%, afirmo que 
( )µ , isto é, o 
1º turno é o que tem a produção maior. 
µ µ µ µ1 2 3 22〉
+ =e 3
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 15 
ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
A análise de regressão e correlação tem por finalidade a construção de um 
modelo que relacione as variáveis, bem como a análise de correlação entre elas. 
Modelo estatístico de regressão linear simples: 
Y1 = α + βXi + εi 
onde: 
α = termo constante 
β = coeficiente de regressão 
εi = erro aleatório 
 
Suposições de modelo: 
a) Xi não é variável aleatória 
b) E(εi) = 0 , consequentemente E(Yi) = α + βXi 
c) E(εi2) = σ2 = constante, logo VAR (εi) = σ2 
d) Os erros são não correlacionados 
e) Os erros tem distribuição normal 
 
Concluímos que εi ~ N(0, σ2) 
Definimos: covariância de X, Y = σxy = E[ (X-E (X)) (Y-E(Y))] 
 COV (X, Y) = n X Y X Y
i
n
i i i
i
n
i
i
n
= =
∑ ∑ ∑−   1 1 =1
 
Coeficiente de correlação ρ σ ( )σ σ= XY X Y/
 ρ ∧ = = =
== ==
= =
− 






− 

 −




∑ ∑ ∑
∑∑ ∑∑
r
n X Y X Y
n X X n Y Y
i i
i
n
i
i
n
i
i
n
i i
i
n
i
n
i i
i
n
i
n
1 1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
 − ≤ ≤1 1ρ
Observamos que se ρ = 0, não existe uma relação linear entre as variáveis X e Y. 
Estimamos os parâmetros α e β, utilizando o método dos mínimos quadrados. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 16 
Temos: 
β
α
∧ = =
==
∧
= =
− 






− 


= = −
∑ ∑ ∑
∑∑
b
n X Y X Y
n X X
a Y bX
i
n
i i i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
1 1
2
1
1
2
1
=1
 
 
Por exemplo, a tabela abaixo mostra os gastos (em milhões de dólares) com 
pessoal contratado em determinada indústria em 7 anos consecutivos. 
ANO 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
PESSOAL 3023 3108 3213 3280 3382 3492 3661
GASTO 24,4 28,0 31,8 35,5 39,9 45,5 53,5 
 
Podemos estimar a reta dos mínimos quadrados: 
ANO Pessoal (X) Gasto (Y) X Y X2 Y2
1997 3023 24,4 73761,2 9138529 595,4
1998 3108 28,0 87024,0 9659664 784,0
1999 3213 31,8 102173,4 10323369 1011,2
2000 3280 35,5 116440,0 10758400 1260,3
2001 3382 39,9 134941,8 11437924 1592,0
20023492 45,5 158886,0 12194064 2070,3
2003 3661 53,5 195863,5 13402921 2862,3
Total 23159 258,6 869089,9 76914871 10175,4 
b = 0,046 
a = -114,81 
Yi = -114,81 + 0,046 Xi 
Saída do EXCEL: Ferramentas / Análise de dados / Regressão 
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção -114,812823 3,12584229 -36,7302 2,817E-07 -122,8480431 -106,7776025
Variável X 0,045869414 0,000943 48,64209 6,939E-08 0,043445364 0,048293464 
Podemos avaliar os gastos totais na indústria (em milhões de dólares) num ano 
em que o total de pessoal é de 3300 funcionários. 
Y = -114,81 + 0,046 x 3300 = 36,56 milhões de dólares. 
Tal estimativa pode ser feita pelo valor de X estar dentro do intervalo usado para 
construir a reta de regressão e supondo que não houve motivo para a mudança de 
padrão do modelo. 
Podemos demonstrar que: 
a ~ N α
σ
,
( )
2 2
1
2
1
X
n X X
i
i
n
i
i
n
=
=
∑
∑ −







 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 17 
b ~ N β σ,
( )
2
2
1
X Xi
i
n
−







=
∑
 
Estimamos σ2 2
2
111
2
por s
Y a Y b X Y
ne
i i i
i
n
i
n
i
n
=
− −


−
===
∑∑∑
( )
i
 
Podemos calcular: 
( )
( ) 



−
±=








−
±=
−
=
=
− ∑
∑
2
2
2
1
2
1
22
2
..
..
XX
stbCI
XXn
Xs
taCI
i
e
n
n
i
i
n
i
ie
n
β
α
 
Baseado nisto podemos calcular um intervalo com 95% de confiança para α e β, 
no exemplo dos gastos com pessoal. 
se2 = 0,2623 
sa = 3,1258 
sb = 0,0009 
I.C.α = [-122,849 ; -106,776] 
I.C.β = [0,0434 ; 0,0483] 
Podemos testar Ho: α = αo ou Ho: α ≥ αo ou Ho: α ≤ αo, supondo a distribuição 
normal de a. 
Podemos testar Ho: β = βo ou Ho: β ≥ βo ou Ho: β ≤ βo, supondo a distribuição 
normal de b. 
 
No exemplo dos gastos com pessoal, podemos testar ao nível de significância de 
5% as hipóteses: 
a) H0 : α ≤ -125 
 Ha : α > -125 
 sa = 3,1258 
 t5%,5 = 2,015 (teste unilateral) 
 acr = -125 + 2,015 x 3,1258 = - 118,70 
 R.C. = { a / a ≥ - 118,70} 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 18 
 aobs = - 114,81 ∈ R.C., logo ao nível de significância de 5% rejeitamos Ho, isto é, 
ao nível de significância de 5%, afirmamos que α é maior que -125. 
b) H0 : β ≤ 0 
 Ha: β > 0 
 sb = 0,0009 
 t5%,5 = 2,015 (teste unilateral) 
 bcr = 0 + 2, 015 x 0,0009 = 0,0019 
 R.C. = {b / b ≥ 0,0019} 
 bobs = 0,046 ∈ R.C., logo ao nível de significância de 5% rejeitamos Ho, isto é, ao 
nível de significância de 5%, afirmamos que β é maior que zero. 
 
Teste de hipótese para o coeficiente de correlação ρ: 
 
Se supormos que X e Y são variáveis aleatórias normais independentes, prova-se 
que a distribuição de r só depende de n. 
Se quisermos testar H0 : ρ = 0, devemos usar a estatística: 
2;12
2
~
1
)2(
−−
−= nobs Fr
nrF 
No exemplo dos gastos com pessoal, temos: 
r = 0,9989 
Saída do EXCEL: 
Estatística de regressão
R múltiplo 0,99894506
R-Quadrado 0,997891233
R-quadrado ajustado 0,997469479
Erro padrão 0,512156375
Observações 7 
H0 : ρ = 0 
Ha : ρ ≠ 0 
Fobs = 2366,053 
F5%,1,5 = 6,61 
Fobs > Fcr, logo ao nível de significância de 5% rejeitamos Ho, isto é, ao nível de 
significância de 5% afirmo que existe uma relação linear entre as variáveis pessoal 
contratado e gasto com pessoal. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 19 
Variável X 1 Plotagem de ajuste de linha
0,0
20,0
40,0
60,0
0 1000 2000 3000 4000
Variável X 1
Y Y
Y previsto
 
 
 
UTILIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS 
 
Aplicação : o efeito da curva de aprendizagem 
 Quando novas técnicas de produção são utilizadas em uma indústria, isto é, quando 
tratamos de processos não estabilizados, deve-se verificar se está caracterizado um 
processo de aprendizagem. 
 Este processo caracteriza-se pela diminuição do tempo médio de produção à 
medida que se repete a nova técnica, cessando, tal processo, em algum ponto de 
evolução da curva, e como conseqüência pode-se notar uma diminuição no custo médio 
de utilização da mão-de-obra, maquinário e instalações específicas. 
 Deve-se notar que se os efeitos da curva de aprendizagem forem mensurados em 
custos, devem ser descontadas as inflações no período, sendo melhor a utilização de 
unidades físicas tais como o tempo de duração da tarefa. 
 A fórmula mais usual para representar o fenômeno da curva de aprendizagem é 
através de: 
Z = aw-b, onde: 
Z = tempo médio de produção de um lote 
a = tempo de produção do primeiro lote 
w = número acumulado de lotes produzidos até o momento 
b = índice da curva de aprendizagem (0 < b < 1) 
Aplicando-se o logarítmo neperiano na expressão acima, temos: 
lnZ = lna - blnw, ou Y = A + BX, onde: 
Y = lnZ 
A = lna 
B = -b 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 20 
X = lnw 
 
Por exemplo, uma certa indústria acaba de produzir os primeiros 150 lotes utilizando 
uma nova técnica. Mais 150 lotes devem ser produzidos em breve. Tem sido notado, pela 
administração da indústria, que o tempo de utilização dos maquinários tem declinado a cada 
lote produzido. Dos arquivos da indústria, colheu-se os seguintes dados: 
UNIDADES CUMULATIVAS DURAÇÃO TOTAIS EM MINUTOS
 DE LOTES (MÉDIA/MINUTOS)
45 54 2430
60 50 3000
75 46 3450
120 42 5040
150 39 5850 
Qual o tempo esperado para a produção dos próximos 150 lotes? 
w z X Y XY X2
45 54 3,8066 3,9890 15,1847 14,4907
600 50 4,0943 3,9120 16,0172 16,7637
75 46 4,3175 3,8286 16,5301 18,6407
120 42 4,7875 3,7377 17,8941 22,9201
150 39 5,0106 3,6636 18,3568 25,1065
TOTAL 22,0166 19,1309 83,9828 97,9216 
B = -0,263 
A = 4,98 
b = 0,263 
a = 146,19 
Z = 146,19 w-0,263 
Para w = 300, temos Z = 32,59. 
 Temos que o tempo total de produção dos 300 lotes é de 9.777 minutos, logo o 
tempo de produção dos próximos 150 lotes é de 3.927 minutos. 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 21 
C.E.P. – CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO 
 
Definição: É um método sistemático de análise de dados e uso de informações 
para resolver problemas e controlar operações. 
 
Sistema de controle de qualidade: 
- Sistema de detecção: atua sobre o resultado do processo. 
- Sistema de prevenção: atua no processo. 
Custo da não qualidade: 
- Custo de prevenção. 
- Custo de avaliação. 
- Custo de reparação (custo de falhas internas e externas). 
 
Especificação: 
Definição: São os requisitos pré-estabelecidos do produto, que devem ser obedecidos a 
fim de que o mesmo atenda às necessidades para as quais foi criado. Através das 
especificações é que determinamos a qualidade do lote. 
 
Tolerância: 
Definição: É a faixa de variação admissível para a dimensão. 
 
Processo: 
Definição: É o sistema de trabalho adotado para se produzir determinado produto dentro 
das especificações, sendo constituído de cinco fatores que influenciam no seu 
comportamento: 
- Mão-de-obra. 
- Máquina. 
- Métodos. 
- Material. 
- Meio ambiente. 
 
Ferramentas básicas para a utilização de C.E.P.: 
 
 Gráfico de Pareto 
Definição: É um gráfico de barras onde cada barra representa um dos problemas 
existentes. A altura de cada barra corresponde a incidência do problema que está sendo 
analisado e estes são ordenados de modo decrescente em relação as freqüências de 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 22 
ocorrência.Essa abordagem foi feita por J. M. Juran, que estabeleceu a “regra dos poucos 
vitais e dos muitos triviais”. Através de sua utilização decide-se onde concentrar os 
esforços de modo a termos um melhor retorno 
 
Histograma 
Definição: É um diagrama de barras de uma distribuição de freqüências. Eles 
auxiliam na visualização da distribuição da característica que está sendo estudada. 
 
Folhas de verificação 
Definição: São folhas para coleta de dados que ajudam a garantir a qualidade dos 
mesmos. As mais comuns são as folhas de verificação para distribuições do processo, 
para itens defeituosos, para localização de defeitos e para causa e efeito. 
 
Diagrama de fluxo 
Definição: É um diagrama que mostra em qual ordem ocorrem os passos ou 
atividades de um processo, facilitando a identificação dos pontos do processo onde o 
controle das atividades deve ser iniciado. 
 
Diagrama de causa e efeito ou diagrama de espinha de peixe 
Definição: É um diagrama que tem como objetivo, pesquisar as relações entre 
causas e efeitos que intervém no processo. As causas ou os fatores são representados 
por setas que concorrem para o efeito que está sendo estudado. 
 Geralmente os processos são analisados a partir de cinco grupos de fatores, a 
saber: máquina, método, material, mão-de-obra e ambiente. 
 
Diagrama de dispersão 
Definição: É um gráfico para duas características que ajuda a verificar a existência 
de relação causal e a determinar a força e tendência desta relação. 
 
Série Temporal 
 Antes de se estabelecer os limites de controle e de se calcular os índices é 
importante ter certeza de que o processo está estável. Quando as amostras forem 
retiradas seqüencialmente, é necessário fazer um gráfico dos dados em função do 
tempo, isto é, em função da ordem em que esses dados foram coletados. Tendências e 
ciclos presentes no processo são facilmente detectados através do uso de tais gráficos. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 23 
Carta de controle: 
Definição: É uma ferramenta utilizada para verificar o comportamento do processo 
durante a sua execução, a fim de se saber se o mesmo está ou não está sob controle. 
Esta ferramenta é constituída de uma folha onde na frente aparecem os gráficos de 
controle e no verso o diário de bordo. Para se controlar as variações do processo ao 
longo do tempo é conveniente retirar-se algumas amostras em intervalos regulares de 
tempo de modo que estas sejam representativas do lote produzido naquele intervalo de 
tempo. Os resultados da avaliação destas amostras devem ser registrados num gráfico 
cartesiano denominado carta de controle. 
 Através da utilização das cartas de controle podemos detectar variações na 
centralização, na dispersão ou em ambas. 
 
Diário de bordo: 
Definição: Diário de bordo é um complemento da carta de controle que traz em 
seu verso um espaço próprio para se registrar todas as mudanças ocorridas durante o 
processo. Este instrumento é de importância vital para a análise do comportamento do 
gráfico de controle, devendo ter em cada registro a data, a hora e o comentário 
explicando claramente todas as informações possíveis a respeito das mudanças 
ocorridas. 
 
Estabilidade: 
Definição: Diz-se que um processo está estável quando existe a repetibilidade de 
resultados. Só há sentido de se tentar controlar estatisticamente um processo estável. 
 
Coleta dos dados: 
- Que dados devem ser coletados? 
- Em que ponto do processo os dados devem ser coletados? 
- Como os dados serão coletados? (tempo, custo X acurácia e precisão do processo de 
medida) 
 
Para responder a estas perguntas devemos: 
 1) Selecionar amostras no início do processo e conhecer as limitações do operador. 
 2) Selecionar amostras separadamente para isolar as fontes de variação. 
 3) Minimizar mudanças dentro das amostras. 
 4) Decidir a freqüência de amostragem, levando em conta quão crítica é a característica 
estudada, qual é o controle e a capacidade histórica do processo, o tipo do processo e o 
custo envolvido. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 24 
 
Para coletarmos os dados de forma correta é importantíssimo: 
1) Saber o objetivo de se coletarem os dados. 
2) Identificar os parâmetros específicos. 
3) Saber se a utilização do C.E.P. duplicará algo que já foi ou está sendo feito. 
4) Decidir quem coletará os dados, como será feita tal coleta e onde os dados se 
originarão. 
5) Construir os formulários de coleta dos dados e decidir onde e por quanto tempo os 
dados serão conservados. 
6) Resolver quem coordenará o programa e decidir se há necessidade de algum 
treinamento. 
7) Saber quem preparará o relatório final e para quem este será enviado. 
8) Saber se já foi conseguida a autorização do orçamento para o projeto 
 
CARTAS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS: 
 
CARTAS DE CONTROLE PARA A MÉDIA ( X ) E PARA A AMPLITUDE ( R ) 
 
Limite de controle para média: 
 
n
LSC X
σµ 3+= 
 
n
LICX
σµ 3−= 
 
Estimativa da média = X 
 
Estimativa do desvio padrão (se n < 8) = 
2d
R
, onde: 
 
R= amplitude amostral 
d2 é um fator tabelado que varia com o tamanho da amostra 
 
Temos: 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 25 
nd
RXLSC
X
2
3+= 
nd
RXLICX
2
3−= 
 
Se 
nd
A
2
2
3= , então temos: 
 
RAXLSC X 2+= 
 
RAXLICX 2−= 
 
Se n ≥ 8, estima-se σ por s e utiliza-se a carta de controle para X e s. 
 
Limites de controle para a amplitude: 
 
Estimativa da amplitude = R 
 
Estimativa do desvio padrão da amplitude = d3σ, onde d3 é um fator de correção tabelado 
(para 2 ≤ n ≤ 10). 
 
Os limites serão: 
 
LSCR = .
3
13 4
2
3
2
3 RDR
d
dR
d
dR =


 +=


+ 
 
LICR = RDRd
dR
d
dR 3
2
3
2
3 313 =


 −=


− se D3 > 0. Caso contrário não existirá LICR. 
 
ETAPAS PARA A CONSTRUÇÃO E INTERPRETAÇÂO DAS CARTAS DE X E R 
s. 
rior. 
1) Preencher o cabeçalho e escolher o tamanho e a freqüência das amostra
2) Coletar as amostras, efetuar as medições e registrar os dados no quadro infe
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 26 
3) Calcular X e R 
R4) Calcular X e 
5)Só para 
 
gráficos feitos a mão: Determinar a escala para o gráfico das médias e 
áfico das médias: 
E) = (maior média + menor média)/2 
ráfico das amplitudes: 
la igual a zero 
amente o dobro da maior amplitude encontrada 
da divisão = 2Rmax/5 
) Plotar as médias e amplitudes de cada uma das amostras nos respectivos gráficos. 
) Calcular os limites de controle: 
ráfico das médias: 
amplitudes: 
 
Gr
 Centro da escala (C
 Valor de cada divisão = (maior média – menor média) /5 
 
 G
 Valor mínimo da esca
 Valor máximo da escala é aproximad
nas amostras 
 Valor de ca
 
6
 
7
 
 G
 
 LS RAXC X 2+= 
 
 RAXLICX 2−= 
 
fico das amplitudes: 
CR = D4
Grá
 
 LS R 
 
CR = D LI 3 R se LICR > 0. Caso contrário não existirá LICR. 
açar no gráfico das médias: 
 
8) Tr
A média das médias ( X ) com li
Os LSC e LIC com linhas tracejadas. 
nha contínua 
X X
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 27 
9) Traçar no gráfico das amplitudes: 
A média das amplitudes ( R ) com lin
Os LSCR e LICR com linhas tracejadas. 
ha contínua. 
0) Verificar se o processo é estável. Critérios mais utilizados: verificar em cada gráfico 
 há ponto acima do limite superior de controle nem abaixo do limite inferior de 
ma seqüência de sete pontos acima ou abaixo da média.1) Interpretar as cartas de controle do processo, se necessário identificando e corrigindo 
2) Se necessário calcular os novos limites de controle, desconsiderando as amostras 
Capacidade do processo 
 
Definição: É a característica que nos indica se o processo é capaz de manter a 
reprodu
 
1
se: 
-Não
controle. 
-Não há u
-Não há uma seqüência de sete pontos subindo ou descendo. 
 
1
as causas especiais, utilizando o diário de bordo. 
 
1
que deram origem a causas especiais. 
 
tibilidade, isto é, se ele consegue manter o limite superior e o limite inferior de 
controle entre o limite superior e o limite inferior de especificação. Só há sentido em 
calcular capacidade para processos estáveis. 
 
σˆ6
)( LIELSE
dispersão
tolerância
p
−==C 
 
nde LSE = limite superior de especificação. 
 
 LIE = limite inferior de especificação. 
Se Cp > 1 então o processo tem condições de produzir itens dentro da 
especif
 
O
 
 
icação, se o mesmo estiver centralizado. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 28 
 Cpk = 3
minZ 
 
Onde Zmin = min(Zi ;Zs) com: 
 
σˆ
)( LIEaestatísticZi
−= e σˆ
)( aestatísticLSEZ s
−= 
 
Por exemplo, no caso de estarmos analisando uma carta para X , 
σˆ
)( LIEXZi
−= e σˆ
)( XLSEZ s
−= 
 
Se Cpk 1 , o processo é dito capaz. ≥
Se Cpk < 1, o processo é dito incapaz. 
Se Cpk ≅ Cp, o processo está centralizado. 
 
Se o processo for incapaz devemos determinar a porcentagem de itens fora da 
especificação, utilizando a tabela da distribuição normal. 
 
 
DADOS PARA A CARTA DE CONTROLE PARA A MÉDIA ( X ) E PARA A 
AMPLITUDE ( R ) 
 
Especificação: 225 a 275 g 
Atividade: produção de bolo industrial 
Característica: peso do bolo (em g) 
Tamanho da amostra: 5 peças 
Freqüência média das retiradas de amostras: de ½ em ½ hora 
Total de amostras: 25 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 29 
RXhorário 54321 
07:00 266 267 266 268 282
07:30 260 272 258 262 283
08:00 288 270 280 270 282
08:30 255 266 264 266 272
09:00 276 274 284 272 276
09:30 257 280 280 270 272
10:00 272 280 264 264 284
10:30 282 268 272 261 275
11:00 264 270 269 258 260
11:30 266 257 262 263 265
12:00 260 263 266 265 258
12:30 268 270 274 269 260
13:00 278 278 278 278 280
13:30 254 272 274 268 265
14:00 270 261 255 263 271
14:30 258 272 272 280 265
15:00 280 272 268 270 265
15:30 264 270 278 264 270
16:00 260 266 258 270 269
16:30 269 274 269 286 268
17:00 281 275 283 274 279
17:30 281 278 277 274 282
18:00 285 275 276 280 275
18:30 267 272 276 275 270
19:00 262 268 276 274 260 
 
GABARITO: 
RXhorário 54321 
07:00 266 267 266 268 282 269,8 16
07:30 260 272 258 262 283 267,0 25
08:00 288 270 280 270 282 278,0 18
08:30 255 266 264 266 272 264,6 17
09:00 276 274 284 272 276 276,4 12
09:30 257 280 280 270 272 271,8 23
10:00 272 280 264 264 284 272,8 20
10:30 282 268 272 261 275 271,6 21
11:00 264 270 269 258 260 264,2 12
11:30 266 257 262 263 265 262,6 9
12:00 260 263 266 265 258 262,4 8
12:30 268 270 274 269 260 268,2 14
13:00 278 278 278 278 280 278,4 2
13:30 254 272 274 268 265 266,6 20
14:00 270 261 255 263 271 264,0 16
14:30 258 272 272 280 265 269,4 22
15:00 280 272 268 270 265 271,0 15
15:30 264 270 278 264 270 269,2 14
16:00 260 266 258 270 269 264,6 12
16:30 269 274 269 286 268 273,2 18
17:00 281 275 283 274 279 278,4 9
17:30 281 278 277 274 282 278,4 8
18:00 285 275 276 280 275 278,2 10
18:30 267 272 276 275 270 272,0 9
19:00 262 268 276 274 260 268,0 16 
X =270,43 ; R = 14,64 ; n = 5 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 30 
A2 = 0,577 ; D3 não existe ; D4 = 2,114 ; d2 = 2,326 
 
29,6
326,2
64,14ˆ
2
===
d
Rσ 
 
43,270ˆ == Xµ 
 
88,27864,14577,043,2702 =+=+= xRAXLSC X 
 
98,26164,14577,043,2702 =−=−= xRAXLICX 
 
Só para gráficos feitos a mão: 
2704,270
2
4,2624,278
2
)( ≅=+=+= médiamenormédiamaiorCEescaladaCentro 
0,32,3
5
4,2624,278
5
≅=−=−= médiamenormédiamaiordivisãocadadeValor 
 
LSCR = D4 R = 2,114 x 14,64 = 30,95 
 
LICR não existe 
 
Só para gráficos feitos a mão: 
Valor mínimo = 0 
Valor de cada divisão = 10
5
252
5
2 max == xR 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 31 
0Subgroup 5 10 15 20 25
260
270
280
Sa
m
pl
e 
M
ea
n
Mean=270,4
UCL=278,9
LCL=262,0
0
10
20
30
Sa
m
pl
e 
Ra
ng
e
R=14,64
UCL=30,96
LCL=0
Carta de controle para média e R para o peso do bolo industrial
 
O processo está estável. 
 
Especificação: 225 a 275 g 
132,1
29,66
50
ˆ6
)( >==−==
x
LIELSE
dispersão
tolerânciaC p σ 
 
22,7
29,6
22543,270
ˆ
)( =−=−= σ
LIEXZi 
 
73,0
29,6
43,270275
ˆ
)( =−=−= σ
XLSEZ s 
 
124,0
3
73,0
3
),min(
3
min <==== sipk ZZZC → o processo não é capaz. 
 
pkp CC ≠ → O processo não está centralizado 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 32 
225 235 245 255 265 275 285 295
Análise de capacidade para a variável peso do bolo industrial
USL
Target
LSL
Mean
Sample N
StDev (Within)
Cp
CPU
CPL
Cpk
Cpm
PPM < LSL
PPM > USL
PPM Total
PPM < LSL
PPM > USL
PPM Total
275,000
 *
225,000
270,432
125
6,40944
1,30
0,24
2,36
0,24
 *
 0,00
272000,00
272000,00
 0,00
238016,00
238016,00
Process Data
Potential (Within) Capability
Observed Performance Expected Performance
 
LSL USL
 
CARTAS DE CONTROLE PARA A MÉDIA ( X ) E PARA O DESVIO PADRÃO ( s ) 
Utilização quando n ≥ 8. 
Estimativa do desvio padrão = 
4C
s
 
 
Onde C4 é um fator de correção tabelado que varia com o tamanho da amostra. 
 
Limites de controle para o gráfico das médias: 
 
sAXLSC X 3+= 
sAXLIC
X 3−= 
 
Limites de controle para o gráfico do desvio padrão: 
 
LSCs = B4 s 
LICs = B3 s se LICs > 0. Caso contrário não existirá LICs. 
A3, B3, B4 são fatores tabelados que variam com o tamanho da amostra. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 33 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE PARA A MÉDIA ( X ) E PARA O DESVIO 
PADRÃO ( s) 
 
Especificação: 7,5 1 ±
Atividade: produção de comprimidos 
Característica: diâmetro do comprimido (em mm) 
Tamanho da amostra: 9 comprimidos 
Freqüência média das retiradas de amostras: de ½ em ½ hora (das 7:00 h às 16:30 h) 
Total de amostras: 20 
Xshdata 987654321/ 
07:00 7,51 7,62 7,89 7,71 7,68 7,35 7,48 7,71 7,80
07:30 7,11 7,59 7,62 7,68 7,72 7,45 7,72 7,64 7,31
08:00 7,57 7,35 7,31 7,90 7,19 7,28 7,80 7,32 7,40
08:30 7,37 6,99 6,98 7,35 7,53 7,07 7,15 7,39 7,20
09:00 7,50 7,05 6,91 7,56 7,37 7,57 7,30 7,03 7,45
09:30 7,12 7,14 7,35 7,42 7,73 7,22 7,18 7,27 7,34
10:00 7,20 7,81 7,72 7,91 7,38 7,58 7,60 7,44 7,70
10:30 7,01 7,56 7,31 7,36 7,14 7,41 7,28 7,19 7,46
11:00 7,75 7,43 7,15 7,74 7,35 7,60 7,68 7,48 7,31
11:30 6,92 7,44 7,08 7,64 7,05 7,57 7,41 7,25 7,18
12:00 7,74 7,68 7,15 7,26 7,69 7,40 7,42 7,58 7,71
12:30 7,18 6,91 7,24 6,94 7,15 7,08 7,03 6,97 7,25
13:00 7,88 7,21 7,81 7,16 7,33 7,65 7,50 7,83 7,37
13:30 7,83 7,46 7,43 7,49 7,44 7,65 7,62 7,54 7,76
14:00 7,33 7,78 7,35 7,48 7,67 7,38 7,49 7,40 7,57
14:30 6,97 7,64 7,06 7,57 7,14 7,22 7,45 7,10 7,37
15:00 7,27 7,32 6,97 7,41 7,38 7,23 7,54 7,30 7,28
15:30 7,03 7,09 7,58 6,99 7,04 7,32 7,20 7,14 7,15
16:00 7,73 7,84 7,34 7,22 7,60 7,48 7,80 7,66 7,49
16:30 6,90 7,32 7,11 7,25 7,31 7,28 7,08 7,25 7,30 
 
GABARITO: 
Xshdata 987654321/ 
07:00 7,51 7,62 7,89 7,71 7,68 7,35 7,48 7,71 7,80 0,17 7,639
07:30 7,11 7,597,62 7,68 7,72 7,45 7,72 7,64 7,31 0,21 7,538
08:00 7,57 7,35 7,31 7,90 7,19 7,28 7,80 7,32 7,40 0,25 7,458
08:30 7,37 6,99 6,98 7,35 7,53 7,07 7,15 7,39 7,20 0,19 7,226
09:00 7,50 7,05 6,91 7,56 7,37 7,57 7,30 7,03 7,45 0,25 7,304
09:30 7,12 7,14 7,35 7,42 7,73 7,22 7,18 7,27 7,34 0,19 7,308
10:00 7,20 7,81 7,72 7,91 7,38 7,58 7,60 7,44 7,70 0,22 7,593
10:30 7,01 7,56 7,31 7,36 7,14 7,41 7,28 7,19 7,46 0,17 7,302
11:00 7,75 7,43 7,15 7,74 7,35 7,60 7,68 7,48 7,31 0,21 7,499
11:30 6,92 7,44 7,08 7,64 7,05 7,57 7,41 7,25 7,18 0,25 7,282
12:00 7,74 7,68 7,15 7,26 7,69 7,40 7,42 7,58 7,71 0,22 7,514
12:30 7,18 6,91 7,24 6,94 7,15 7,08 7,03 6,97 7,25 0,13 7,083
13:00 7,88 7,21 7,81 7,16 7,33 7,65 7,50 7,83 7,37 0,28 7,527
13:30 7,83 7,46 7,43 7,49 7,44 7,65 7,62 7,54 7,76 0,14 7,580
14:00 7,33 7,78 7,35 7,48 7,67 7,38 7,49 7,40 7,57 0,15 7,494
14:30 6,97 7,64 7,06 7,57 7,14 7,22 7,45 7,10 7,37 0,24 7,280
15:00 7,27 7,32 6,97 7,41 7,38 7,23 7,54 7,30 7,28 0,15 7,300
15:30 7,03 7,09 7,58 6,99 7,04 7,32 7,20 7,14 7,15 0,18 7,171
16:00 7,73 7,84 7,34 7,22 7,60 7,48 7,80 7,66 7,49 0,21 7,573
16:30 6,90 7,32 7,11 7,25 7,31 7,28 7,08 7,25 7,30 0,14 7,200 
 
X =7,3936 ; s = 0,1974 ; n = 9 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 34 
A3 = 1,032 ; B3 = 0,239 ; B4 = 1,761 ; C4 = 0,9693 
 
20365,0
9693,0
1974,0ˆ
4
===
C
sσ 
 
3936,7ˆ == Xµ 
 
5973,71974,0032,13936,73 =+=+= xsAXLSC X 
 
1899,71974,0032,13936,73 =−=−= xsAXLICX 
 
3476,01974,0761,14 === xsBLSCs 
 
0472,01974,0239,03 === xsBLICs 
 
0Subgroup 10 20
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
Sa
m
pl
e 
M
ea
n
Mean=7,394
UCL=7,597
LCL=7,190
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
Sa
m
pl
e 
St
D
ev
S=0,1974
UCL=0,3476
LCL=0,04721
gráfico de controle p/ média e s p/ o diâmetro do comprimido
 
1
1
1
Há três pontos fora do limite de controle. 
Teríamos que descobrir as causas, eliminá-las, recalcular os limites de controle para só 
depois analisar a capacidade do processo. Não há sentido em analisar a capacidade de 
processos não estáveis. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 35 
CARTAS DE CONTROLE PARA A MEDIANA ( ) E PARA A AMPLITUDE ( R ) X~
 
Limites de controle para o gráfico das medianas: 
 
RAXLSC X 2~
~~ += 
 
.~~ 2~ RAXLICX −= 
 
2
~A é um fator tabelado que varia com o tamanho da amostra. 
 
Limites de controle para o gráfico da amplitude: 
 
LSCR = D4 R 
 
LICR = D3 R se LICR > 0. Caso contrário não existirá LICR. 
 
D3 e D4 são fatores tabelados que variam com o tamanho da amostra. 
 
 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE PARA A MEDIANA ( ) E PARA A AMPLITUDE 
( R ) 
X~
 
Especificação: 0,05 a 0,18 
Atividade: produção da peça 
Característica: diâmetro da peça (em mm) 
Tamanho da amostra: 5 peças 
Freqüência média das retiradas de amostras: de ½ em ½ hora (das 7:00 h às 16:30 h) 
Total de amostras: 20 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 36 
XRhdata ~54321/ 
07:00 0,18 0,15 0,17 0,15 0,13
07:30 0,16 0,16 0,16 0,14 0,17
08:00 0,17 0,18 0,16 0,14 0,18
08:30 0,15 0,19 0,16 0,14 0,15
09:00 0,16 0,17 0,17 0,12 0,14
09:30 0,16 0,15 0,15 0,13 0,14
10:00 0,17 0,18 0,17 0,13 0,15
10:30 0,15 0,18 0,15 0,14 0,18
11:00 0,16 0,15 0,17 0,18 0,15
11:30 0,16 0,17 0,17 0,17 0,13
12:00 0,17 0,16 0,18 0,21 0,15
12:30 0,17 0,17 0,20 0,16 0,13
13:00 0,18 0,14 0,20 0,16 0,16
13:30 0,17 0,15 0,19 0,17 0,14
14:00 0,16 0,16 0,18 0,15 0,12
14:30 0,17 0,15 0,19 0,16 0,15
15:00 0,18 0,14 0,15 0,15 0,17
15:30 0,16 0,16 0,19 0,18 0,16
16:00 0,15 0,17 0,18 0,16 0,16
16:30 0,14 0,16 0,16 0,17 0,15 
 
GABARITO: 
XRhdata ~54321/ 
07:00 0,18 0,15 0,17 0,15 0,13 0,05 0,15
07:30 0,16 0,16 0,16 0,14 0,17 0,03 0,16
08:00 0,17 0,18 0,16 0,14 0,18 0,04 0,17
08:30 0,15 0,19 0,16 0,14 0,15 0,05 0,15
09:00 0,16 0,17 0,17 0,12 0,14 0,05 0,16
09:30 0,16 0,15 0,15 0,13 0,14 0,03 0,15
10:00 0,17 0,18 0,17 0,13 0,15 0,05 0,17
10:30 0,15 0,18 0,15 0,14 0,18 0,04 0,15
11:00 0,16 0,15 0,17 0,18 0,15 0,03 0,16
11:30 0,16 0,17 0,17 0,17 0,13 0,04 0,17
12:00 0,17 0,16 0,18 0,21 0,15 0,06 0,17
12:30 0,17 0,17 0,20 0,16 0,13 0,07 0,17
13:00 0,18 0,14 0,20 0,16 0,16 0,06 0,16
13:30 0,17 0,15 0,19 0,17 0,14 0,05 0,17
14:00 0,16 0,16 0,18 0,15 0,12 0,06 0,16
14:30 0,17 0,15 0,19 0,16 0,15 0,04 0,16
15:00 0,18 0,14 0,15 0,15 0,17 0,04 0,15
15:30 0,16 0,16 0,19 0,18 0,16 0,03 0,16
16:00 0,15 0,17 0,18 0,16 0,16 0,03 0,16
16:30 0,14 0,16 0,16 0,17 0,15 0,03 0,16 
 
X~ = 0,161 ; R = 0,044 ; n = 5 
 
2
~A = 0,691 ; D3 não existe ; D4 = 2,114 ; d2 = 2,326 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 37 
019,0
326,2
044,0ˆ
2
===
d
Rσ 
 
191,0044,0691,0161,0~~ 2~ =+=+= xRAXLSC X 
 
131,0044,0691,0161,0~~ 2~ =−=−= xRAXLICX 
 
LSCR = D4 R = 2,114 x 0,044 = 0,093 
 
LICR não existe 
 
O processo está estável. 
 
Especificação: (0,05 a 0,18) 
 
114,1
019,06
13,0
ˆ6
)( >==−==
x
LIELSE
dispersão
tolerânciaC p σ 
 
842,5
019,0
05,0161,0
ˆ
)~( =−=−= σ
LIEXZi 
 
00,1
019,0
161,018,0
ˆ
)~( =−=−= σ
XLSEZ s 
 
1333,0
3
00,1
3
),min(
3
min <==== sipk ZZZC 
 
O processo é incapaz e não está centralizado. 
 
 
CARTAS DE CONTROLE PARA DADOS INDIVIDUAIS (X) e AMPLITUDE (R) 
 
É utilizada quando as medições são demoradas ou dispendiosas, quando o resultado é 
homogêneo ou quando se deseja controlar certos processos administrativos. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 38 
 
Limites de controle para o gráfico de dados individuais: 
 
LSCX = X + E2 R 
 
LICX = X - E2 R 
 
A amplitude é calculada pelo módulo da diferença de cada dado em relação ao dado 
posterior. Teremos, portanto, uma medida a menos que no total de dados coletados. 
Pode-se também achar a amplitude de cada 3 dados ou 4 dados , etc. Os grupos de 
dados selecionados constituirão os grupos móveis no cálculo da amplitude. 
 
E2 é um fator que varia com o tamanho da amostra e R é a média das amplitudes 
móveis. 
 
Limites de controle para o gráfico das amplitudes móveis: 
 
LSCR = D4 R 
 
LICR = D3 R se LICR > 0. Caso contrário não existirá LICR. 
 
D3 e D4 são fatores tabelados que variam com o tamanho da amostra. 
 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE DE DADOS INDIVIDUAIS (X) E PARA A 
AMPLITUDE (R) 
 
Especificação: 10 1,5 ±
Atividade: preparação da substância 
Característica: acidez 
Tamanho da amostra: 1 galão 
Freqüência média das retiradas de amostras: de hora em hora (das 6:00 h às 23:00 h) 
Total de amostras: 18 
RXhdata / 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 39 
06:00 9,2
07:00 9,5
08:00 10,0
09:00 10,3
10:00 9,8
11:00 9,7
12:00 10,5
13:00 10,9
14:00 11,2
15:00 10,8
16:00 11,1
17:00 10,7
18:00 9,9
19:00 9,8
20:00 9,9
21:00 10,4
22:00 10,8
23:00 10,3 
 
GABARITO: 
 
RXhdata / 
06:00 9,2
07:00 9,5 0,3
08:00 10,0 0,5
09:00 10,3 0,3
10:00 9,8 0,5
11:00 9,7 0,1
12:00 10,5 0,8
13:00 10,9 0,4
14:00 11,2 0,3
15:00 10,8 0,4
16:00 11,1 0,3
17:00 10,7 0,4
18:00 9,9 0,8
19:00 9,8 0,1
20:00 9,9 0,1
21:00 10,4 0,5
22:00 10,8 0,4
23:00 10,3 0,5 
X = 10,27 ; R = 0,39 ; n = 2 
 
E2= 2,660 ; D3 não existe ; D4 = 3,267 ; d2 = 1,128 
 
35,0
128,1
39,0ˆ
2
===
d
Rσ 
 
27,10ˆ == Xµ 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 40 
 
LSCX = X + E2 R = 10,27 + 2,660 x 0,39 = 11,31 
 
LICX = X - E2 R = 10,27 – 2,660 x 0,39 = 9,23 
 
LSCR = D4 R = 3,267 x 0,39 = 1,27 
 
LICR não existe 
 
0Subgroup10 20
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
In
di
vid
ua
l V
al
ue
Mean=10,27
UCL=11,31
LCL=9,218
0,0
0,5
1,0
1,5
M
ov
in
g 
Ra
ng
e
R=0,3941
UCL=1,288
LCL=0
Gráfico de controle p/ dados individuais e R para a acidez
 
1
Há um ponto fora do limite de controle. 
Teríamos que descobrir as causas, eliminar as causas, recalcular os limites de controle 
para só depois analisar a capacidade do processo. Não há sentido em analisar 
capacidade de processos não estáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 41 
CARTA DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS: 
 
- Carta de controle de porcentagem de unidades defeituosas p 
- Carta de controle de quantidade de unidades defeituosas np 
- Carta de controle de quantidade de defeitos numa amostra c 
- Carta de controle de defeitos por unidade u 
 
CARTA DE CONTROLE DA PROPORÇÃO DE UNIDADES DEFEITUOSAS (p) 
 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DA CARTA DE p: 
 
1) Preencher o cabeçalho e escolher o tamanho e a freqüência das amostras. 
 
2) Coletar as k amostras (de tamanho ni),inspecioná-las e anotar na linha np o nº de 
unidades defeituosas da amostra (npi). 
 
3)Calcular 
i
i
i n
npp = 
4)Calcular 
∑
∑
=
=== k
i
i
k
i
i
n
np
dasinspecionaunidadesdetotaln
sdefeituosaunidadesdetotalnp
1
1
º
º
 
5) Determinar a escala (para gráficos feitos a mão): 
 Valor mínimo da escala igual a zero 
 Valor máximo da escala é aproximadamente igual a 2 x pmax ou 1,5 x pmax dependendo 
da facilidade de colocação dos pontos na carta. Temos que pmax é igual ao maior valor p 
encontrado nas amostras. 
 Valor de cada divisão = 2pmax/10 ou 1,5pmax/10 , dependendo da escolha feita 
anteriormente no cálculo do valor máximo da escala. 
 
6) Plotar os pontos na carta. 
 
7) Calcular os limites de controle: 
n
pppLSC p
)1(3 −+= 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 42 
n
pppLIC p
)1(3 −−= se LICp > 0. Caso contrário LICp não existirá. 
 
Temos que: 
n é o tamanho médio das amostras, uma vez que o tamanho das amostras não precisa 
ser constante. 
 
8) Traçar no gráfico de p: 
A média das porcentagens ( p ) com linha contínua 
Os LSCp e LICp com linhas tracejadas 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE DA PROPORÇÃO DE UNIDADES 
DEFEITUOSAS p 
Atividade: vulcanização 
 
Característica: proporção de peças defeituosas por amostra 
 
Tamanho da amostra: variável 
 
Freqüência: a cada turno (manhã, tarde e noite), durante 7 dias 
 
Total de amostras: 21 
 
n np p
150 3
150 2
148 1
150 3
150 4
150 2
150 3
149 2
150 2
150 1
150 2
150 2
150 3
150 2
150 1
149 2
150 2
150 3
150 0
150 2
150 2 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 43 
GABARITO: 
 
n np p
150 3 0,020
150 2 0,013
148 1 0,007
150 3 0,020
150 4 0,027
150 2 0,013
150 3 0,020
149 2 0,013
150 2 0,013
150 1 0,007
150 2 0,013
150 2 0,013
150 3 0,020
150 2 0,013
150 1 0,007
149 2 0,013
150 2 0,013
150 3 0,020
150 0 0,000
150 2 0,013
150 2 0,013 
 
3146
1
=∑
=
k
i
in 
 
8,149
21
3146 ==n 
 
44
1
=∑
=
k
i
inp 
 
014,0
3146
44
1
1 ===
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i
n
np
p 
 
LSCp 043,08,149
986,0014,03014,0)1(3 =+=−+= x
n
ppp 
 
LICp não existe 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 44 
0 10 20
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Sample Number
Pr
op
or
tio
n
Carta de controle p/ p para proporção de peças defeituosas
P=0,01399
UCL=0,04275
LCL=0
 
Observação: O gráfico do programa Minitab não utiliza n . 
 
CARTA DE CONTROLE DA QUANTIDADE DE UNIDADES DEFEITUOSAS (np) 
 
ETAPAS PARA A CONSTRUÇÃO DA CARTA DE np: 
 
1) Preencher o cabeçalho e escolher a freqüência das amostras e o tamanho n constante 
para todas as amostras. 
 
2) Coletar os dados e registrar o nº de unidades defeituosas. 
 
3)Calcular 
k
np
coletadasamostrasden
sdefeituosaunidadesdetotalnnp
k
i
i∑
=== 1
º
º
 
 
4)Calcular os limites de controle: 
 



 −+=
n
npnpnpLSCnp 13 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 45 



 −−=
n
npnpnpLICnp 13 se LICnp>0. Caso contrário não existirá LICnp. 
 
5)Construir o gráfico, plotando no mesmo a quantidade de unidades defeituosas de cada 
amostra (np). 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE DA QUANTIDADE DE UNIDADES 
DEFEITUOSAS np 
 
Atividade: vulcanização 
 
Característica: quantidade de peças defeituosas por amostra 
 
Tamanho da amostra: 150 peças 
 
Freqüência: a cada turno (manhã, tarde e noite), durante 7 dias 
 
Total de amostras: 21 
 
Dados: 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 2 , 4 , 3 , 4 , 2 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 1 , 0 , 2 , 2 , 2 , 3 
 
GABARITO: 
 
Dados: 2 , 3 , 0 , 1 , 2 , 2 , 4 , 3 , 4 , 2 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 1 , 0 , 2 , 2 , 2 , 3 
 
K = 21 ; n =150 
 
44
1
=∑
=
k
i
inp 
 
10,2
21
441 ===
∑
=
k
np
np
k
i
i
 
 
LSCnp = 42,6150
10,2110,2310,213 =
 
−+=


−+
n
npnpnp 
 
LICnp não existe 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 46 
0 10 20
0
1
2
3
4
5
6
7
Sample Number
Sa
m
pl
e 
C
ou
nt
Gráfico de controle p/ np para quantidade de defeitos por amostra
NP=2,095
UCL=6,407
LCL=0
 
 
 
 
 
CARTA DE CONTROLE DA QUANTIDADE DE DEFEITOS NUMA AMOSTRA (c) 
 
ETAPAS PARA A CONSTRUÇÃO DA CARTA DE c: 
 
1) Preencher o cabeçalho e escolher a freqüência das amostras e o tamanho constante 
para todas as amostras. 
 
2) Coletar os dados e registrar o nº de defeitos em cada amostra ( c ). 
 
3)Calcular 
k
c
coletadasamostrasden
defeitosdetotalnc
k
i
i∑
=== 1
º
º
 
 
4)Calcular os limites de controle: 
 
 ccLSCc 3+= 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 47 
ccLICc 3−= se LICC>0. Caso contrário não existirá LICC. 
 
5) Construir o gráfico, plotando no mesmo a quantidade de defeitos encontrado em cada 
amostra (c). 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE DA QUANTIDADE DE DEFEITOS NUMA 
AMOSTRA c 
 
Atividade: confecção de um rolo de adesivo vinil 
 
Característica: quantidade de defeitos por amostra 
 
Tamanho da amostra: um rolo 
 
Freqüência: a cada 15 minutos durante 6 horas 
 
Total de amostras: 24 
 
Dados: 
 
hora: 8:15 8:30 8:45 9:00 9:15 9:30 9:45 10:00 10:15 10:30 10:45 11:00 
c: 3 4 3 2 1 4 5 3 2 4 3 2 
hora: 11:15 11:30 11:45 13:00 13:15 13:30 13:45 14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 
c: 5 3 2 0 3 2 3 2 2 1 3 0 
 
GABARITO: 
 
K = 24 
 
62
1
=∑
=
k
i
ic 
 
6,2
24
621 ===
∑
=
k
c
c
k
i
i
 
 
LSCC = 4,76,236,23 =+=+ cc 
 
LICC não existe. 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 48 
0 5 10 15 20 25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Sample Number
Sa
m
pl
e 
C
ou
nt
Gráfico de controle p/ c para quantidade de defeitos num rolo de
adesivi vinil
C=2,583
UCL=7,405
LCL=0
 
CARTA DE CONTROLE DE DEFEITOS POR UNIDADE u 
 
ETAPAS PARA A CONSTRUÇÃO DA CARTA DE u: 
 
1) Preencher o cabeçalho e escolher o tamanho e a freqüência das amostras. 
 
2) Coletar os dados e registrar o nº de defeitos. 
 
3)Calcular u =
amostranadasinspecionaunidadesden
amostranadefeitosden
º
º
 
 
4)Calcular
∑
∑
=
=== k
i
i
k
i
i
n
c
dasinspecionaunidadesdetotaln
defeitosdetotalnu
1
1
º
º
 
 
5) Calcular os limites de controle:LSCU = 
n
u3+u 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 49 
n
uuLICu 3−= se LICU > 0. Caso contrário não existirá LICU. 
 onde n é o tamanho médio da amostra. 
 
5)Construir o gráfico, plotando no mesmo a quantidade de defeitos por unidade em cada 
amostra (u). 
 
DADOS PARA CARTA DE CONTROLE DA QUANTIDADE DE DEFEITOS POR 
UNIDADE u 
 
Atividade: confecção de uma placa de PVC expandido 
 
Característica: quantidade de defeitos por placa 
 
Tamanho da amostra: variável 
 
Freqüência: a cada 15 minutos durante 6 horas 
 
Total de amostras: 24 
 
hora n c u=c/n
08:15 15 18
08:30 13 15
08:45 12 16
09:00 10 10
09:15 12 11
09:30 12 11
09:45 15 18
10:00 13 13
10:15 12 15
10:30 10 12
10:45 11 10
11:00 11 13
11:15 12 13
11:30 10 8
11:45 12 11
12:00 12 10
13:15 12 15
13:30 11 13
13:45 12 12
14:00 12 13
14:15 10 11
14:30 12 13
14:45 11 10
15:00 12 11 
 
GABARITO: 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 50 
hora n c u=c/n
08:15 15 18 1,2
08:30 13 15 1,2
08:45 12 16 1,3
09:00 10 10 1,0
09:15 12 11 0,9
09:30 12 11 0,9
09:45 15 18 1,2
10:00 13 13 1,0
10:15 12 15 1,3
10:30 10 12 1,2
10:45 11 10 0,9
11:00 11 13 1,2
11:15 12 13 1,1
11:30 10 8 0,8
11:45 12 11 0,9
12:00 12 10 0,8
13:15 12 15 1,3
13:30 11 13 1,2
13:45 12 12 1,0
14:00 12 13 1,1
14:15 10 11 1,1
14:30 12 13 1,1
14:45 11 10 0,9
15:00 12 11 0,9 
 
K = 24 
 
284302
11
== ∑∑
==
k
i
i
k
i
i nc 
 
06,1
284
302
1
1 ===
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
i
n
c
u 
 
83,11
24
2841 ===
∑
=
k
n
n
k
i
i
 
 
LSCU = 96,1
83,11
06,1
306,13 =+=+
n
uu 
 
LICU = 16,0
83,11
06,1
306,13 =−=−
n
uu 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 51 
0 5 10 15 20 25
0
1
2
Sample Number
Sa
m
pl
e 
C
ou
nt
Gráfico de controle p/ u para quantidade de defeitos por placa
U=1,063
UCL=1,956
LCL=0,1703
 
Observação: O gráfico do programa Minitab não utiliza n 
 
 
Interpretação da carta de controle para atributos 
A existência de pontos abaixo do limite inferior de controle ou de sete pontos 
consecutivos descendentes ou de sete pontos consecutivos abaixo da linha média indica 
uma mudança favorável no processo, pois tais cartas registram unidades defeituosas ou 
nº de defeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 52 
A CARTA DE CONTROLE PARA A SOMA CUMULATIVA ( CUSUM ) 
 
A maior desvantagem das cartas de Shewhart é que elas utilizam apenas as 
informações do processo contidas no último ponto plotado e ignora qualquer informação 
dada pela seqüência de pontos. Este fato faz as cartas de Shewhart pouco sensíveis a 
pequenas mudanças no processo, digamos de menos de 1,5σ. Outros critérios que não a 
saída dos limites de controle, podem ser adotados nas cartas de Shewhart, mas fora 
complicar sua utilização podem levar a um “super controle ”. 
 
Exemplo: 
Amostra xi xi -10 Ci=(xi -10)+Ci-1
1 9,45 -0,55 -0,55
2 7,99 -2,01 -2,56
3 9,29 -0,71 -3,27
4 11,66 1,66 -1,61
5 12,16 2,16 0,55
6 10,18 0,18 0,73
7 8,04 -1,96 -1,23
8 11,46 1,46 0,23
9 9,20 -0,80 -0,57
10 10,34 0,34 -0,23
11 9,03 -0,97 -1,20
12 11,47 1,47 0,27
13 10,51 0,51 0,78
14 9,40 -0,60 0,18
15 10,08 0,08 0,26
16 9,37 -0,63 -0,37
17 10,62 0,62 0,25
18 10,31 0,31 0,56
19 8,52 -1,48 -0,92
20 10,84 0,84 -0,08
21 10,90 0,90 0,82
22 9,33 -0,67 0,15
23 12,29 2,29 2,44
24 11,50 1,50 3,94
25 10,60 0,60 4,54
26 11,08 1,08 5,62
27 10,38 0,38 6,00
28 11,62 1,62 7,62
29 11,31 1,31 8,93
30 10,52 0,52 9,45 
 As 20 primeiras observações foram obtidas aleatoriamente de uma população 
com normal com µ=10 e σ=1. Temos: 
LSCX = 13 
LICX = 7 
10=X 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 53 
 Note que todas as 20 observações estão sob controle. 
 As últimas 10 observações foram obtidas aleatoriamente de uma população com 
distribuição normal com µ=11 e σ=1. Nenhum dos pontos saiu dos limites de controle. 
 
Carta de Controle para X 
 
 
Como o CUSUM trabalha com somas cumulativas, ele detecta mais rapidamente 
pequenas mudanças e sua utilização é particularmente aconselhável quando n = 1. Isto 
faz a carta de controle para cartas de controle para somas cumulativas, muito indicada na 
indústria química e em processos industriais onde os subgrupos tem em geral tamanho 
um. 
Seja 0)( 0
1
0 =−= ∑
=
CexC
i
j
ji µ
No exemplo:C 1
1
)10()10( −
=
+−=−= ∑ iii
j
ji Cxx
 
Gráfico CUSUM 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 54 
 O gráfico de CUSUM não é uma carta de controle, pois não existem limites 
estatísticos de controle. 
 Vamos estudar a maneira tabular do CUSUM. 
 Supomos que as amostras tenham todas tamanho igual a um. 
 Seja xi a i-ésima observação do processo. 
 Se o processo está sob controle X ~ N( µo ; σ2 ) 
 Vamos assumir que σ é conhecido ou que podemos estimá-lo. 
 Podemos encarar µo como o valor alvo para a característica X. Suponha que 
desejamos controlar a viscosidade num alvo de 2000 centistokes a 100 ºC. O CUSUM 
permite perceber pequenas alterações de modo que possamos agir, manipulando outra 
variável, por exemplo, a taxa de alimentação do catalisador, trazer o processo de volta 
para seu alvo. Outras vezes o CUSUM detecta a presença de causas especiais. 
 Sejam: 
Ci+ = max [ 0 , xi - (µ0 + k) + Ci-1+ ] 
Ci- = max [ 0 , (µ0 - k) - xi + Ci-1- ] 
Onde C0+ = C0- = 0 
 k é um valor de referência, geralmente metade da distância entre o objetivo µ0 e o 
valor da média fora de controle µ1 = µ0 + δσ , isto é: 
22
01 µµσδ −==k 
 Tanto Ci+ como Ci- ao tornarem-se negativos passam a assumir o valor igual a 
zero. 
 Se Ci+ ou Ci- excederem o intervalo de decisão H, o processo é considerado fora 
de controle. Um valor aconselhável para H é 5σ. 
 No exemplo, seja: 
 µ0 = 10 
 n = 1 
 σ = 1 
Queremos detectar uma alteração no valor da média de 1σ, isto é, µ1 = µ0 + σ. 
Vamos assumir H = 5. Como σ = 1,temos: 
2
11
2
1
2
=== xk σδ 
Ci+ = max [ 0 , xi – 10,5 + Ci-1+] 
Ci- = max [ 0 , 9,5 - xi + Ci-1-] 
N+ e N- são respectivamente contadores do número consecutivo de períodos em 
que as somas acumuladas Ci+ e Ci- não são zero. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 55 
 
Período a b
i xi xi-10,5 Ci+ N+ 9,5-xi Ci- N-
1 9,45 -1,05 0 0 0,05 0,05 1
2 7,99 -2,51 0 0 1,51 1,56 2
3 9,29 -1,21 0 0 0,21 1,77 3
4 11,66 1,16 1,16 1 -2,16 0 0
5 12,16 1,66 2,82 2 -2,66 0 0
6 10,18 -0,32 2,5 3 -0,68 0 0
7 8,04 -2,46 0,04 4 1,46 1,46 1
8 11,46 0,96 1 5 -1,96 0 0
9 9,2 -1,3 0 0 0,3 0,3 1
10 10,34 -0,16 0 0 -0,84 0 0
11 9,03 -1,47 0 0 0,47 0,47 1
12 11,47 0,97 0,97 1 -1,97 0 0
13 10,51 0,01 0,98 2 -1,01 0 0
14 9,4 -1,1 0 0 0,1 0,1 1
15 10,08 -0,42 0 0 -0,58 0 0
16 9,37 -1,13 0 0 0,13 0,13 1
17 10,62 0,12 0,12 1 -1,12 0 0
18 10,31 -0,19 0 0 -0,81 0 0
19 8,52 -1,98 0 0 0,98 0,98 1
20 10,84 0,34 0,34 1 -1,34 0 0
21 10,9 0,4 0,74 2 -1,4 0 0
22 9,33 -1,17 0 0 0,17 0,17 1
23 12,29 1,79 1,79 1 -2,79 0 0
24 11,5 1 2,79 2 -2 0 0
25 10,6 0,1 2,89 3 -1,1 0 0
26 11,08 0,58 3,47 4 -1,58 0 0
27 10,38 -0,12 3,35 5 -0,88 0 0
28 11,62 1,12 4,47 6 -2,12 0 0
29 11,31 0,81 5,28 7 -1,81 0 0
30 10,52 0,02 5,3 8 -1,02 0 0
 
 Para n=29, Ci+ = 5,28 > 5 logo o processo saiu de controle. Como N+=7 temos 
que o processo estava pela última vez sob controle no período 22 = 29 - 7. 
 
 Um gráfico de barras pode ser feito para visualizar melhor a performance real do 
processo que levou a um valor particular do CUSUM. 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: RaquelCymrot 56 
 
 
 As quantidades k , Ci+ , Ci- , N+ e N- podem ser usadas para estimar a média atual 
do processo, a fim de se poder dimensionar a ação a ser feita no processo de modo a 
traze-lo de volta para o alvo µ0. 
+
+
++=
N
Ck i0ˆ µµ se HCi >+
ou 
−
−
−−=
N
Ck i0ˆ µµ se HCi >−
 
No exemplo temos: 
 
25,11
7
28,55,00,10ˆ 290 =++=++= +
+
N
Ckµµ
 
 Se, no exemplo, a característica controlada for a viscosidade, concluiríamos que 
teríamos que ajustar a taxa de alimentação do catalisador de modo a resultar no ajuste 
da viscosidade em 1,25 unidades. 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 57 
TABELA NORMAL PADRÃO: P(Z ≤ z ) = p = φ(z) 
inteiro e 1ª
decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 00 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 01 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 01 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 01 0,0001 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 02 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 03 0,0003 0,0003 0,0002
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 04 0,0004 0,0004 0,0003
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 06 0,0005 0,0005 0,0005
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 08 0,0008 0,0007 0,0007
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 11 0,0011 0,0010 0,0010
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 15 0,0015 0,0014 0,0014
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 21 0,0021 0,0020 0,0019
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 29 0,0028 0,0027 0,0026
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 39 0,0038 0,0037 0,0036
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 52 0,0051 0,0049 0,0048
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 69 0,0068 0,0066 0,0064
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 91 0,0089 0,0087 0,0084
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 19 0,0116 0,0113 0,0110
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 54 0,0150 0,0146 0,0143
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 97 0,0192 0,0188 0,0183
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 50 0,0244 0,0239 0,0233
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 14 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 92 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 85 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 94 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 21 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 69 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 38 0,1020 0,1003 0,0985
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 30 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 46 0,1423 0,1401 0,1379
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 85 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 49 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 36 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 46 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 77 0,2843 0,2810 0,2776
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 28 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 94 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 74 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 64 0,4325 0,4286 0,4247
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 61 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 36 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 26 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 06 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 72 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 23 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 54 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 64 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 51 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 15 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 54 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 70 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 62 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 31 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 79 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 06 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 15 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 08 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 86 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 50 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 03 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 46 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 81 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 09 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 31 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 48 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 61 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 71 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 79 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 85 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 89 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 92 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 94 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 96 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 97 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 98 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 99 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 99 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 99 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 00 1,0000 1,0000 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,00
0,0001 0,0001 0,0001 0,00
0,0001 0,0001 0,0001 0,00
0,0001 0,0001 0,0001 0,00
0,0002 0,0002 0,0002 0,00
0,0003 0,0003 0,0003 0,00
0,0004 0,0004 0,0004 0,00
0,0006 0,0006 0,0006 0,00
0,0009 0,0008 0,0008 0,00
0,0012 0,0012 0,0011 0,00
0,0017 0,0016 0,0016 0,00
0,0023 0,0023 0,0022 0,00
0,0032 0,0031 0,0030 0,00
0,0043 0,0041 0,0040 0,00
0,0057 0,0055 0,0054 0,00
0,0075 0,0073 0,0071 0,00
0,0099 0,0096 0,0094 0,00
0,0129 0,0125 0,0122 0,01
0,0166 0,0162 0,0158 0,01
0,0212 0,0207 0,0202 0,01
0,0268 0,0262 0,0256 0,02
0,0336 0,0329 0,0322 0,03
0,0418 0,0409 0,0401 0,03
0,0516 0,0505 0,0495 0,04
0,0630 0,0618 0,0606 0,05
0,0764 0,0749 0,0735 0,07
0,0918 0,0901 0,0885 0,08
0,1093 0,1075 0,1056 0,10
0,1292 0,1271 0,1251 0,12
0,1515 0,1492 0,1469 0,14
0,1762 0,1736 0,1711 0,16
0,2033 0,2005 0,1977 0,19
0,2327 0,2296 0,2266 0,22
0,2643 0,2611 0,2578 0,25
0,2981 0,2946 0,2912 0,28
0,3336 0,3300 0,3264 0,32
0,3707 0,3669 0,3632 0,35
0,4090 0,4052 0,4013 0,39
0,4483 0,4443 0,4404 0,43
0,4880 0,4840 0,4801 0,47
0,5517 0,5557 0,5596 0,56
0,5910 0,5948 0,5987 0,60
0,6293 0,6331 0,6368 0,64
0,6664 0,6700 0,6736 0,67
0,7019 0,7054 0,7088 0,71
0,7357 0,7389 0,7422 0,74
0,7673 0,7704 0,7734 0,77
0,7967 0,7995 0,8023 0,80
0,8238 0,8264 0,8289 0,83
0,8485 0,8508 0,8531 0,85
0,8708 0,8729 0,8749 0,87
0,8907 0,8925 0,8944 0,89
0,9082 0,9099 0,9115 0,91
0,9236 0,9251 0,9265 0,92
0,9370 0,9382 0,9394 0,94
0,9484 0,9495 0,9505 0,95
0,9582 0,9591 0,9599 0,96
0,9664 0,9671 0,9678 0,96
0,9732 0,9738 0,9744 0,97
0,9788 0,9793 0,9798 0,98
0,9834 0,9838 0,9842 0,98
0,9871 0,9875 0,9878 0,98
0,9901 0,9904 0,9906 0,99
0,9925 0,9927 0,9929 0,99
0,9943 0,9945 0,9946 0,99
0,9957 0,9959 0,9960 0,99
0,9968 0,9969 0,9970 0,99
0,9977 0,9977 0,9978 0,99
0,9983 0,9984 0,9984 0,99
0,9988 0,9988 0,9989 0,99
0,9991 0,9992 0,9992 0,99
0,9994 0,9994 0,9994 0,99
0,9996 0,9996 0,9996 0,99
0,9997 0,9997 0,9997 0,99
0,9998 0,9998 0,9998 0,99
0,9999 0,9999 0,9999 0,99
0,9999 0,9999 0,9999 0,99
0,9999 0,9999 0,9999 0,99
1,0000 1,0000 1,0000 1,00
2ª decimal de z
 
 
Apostila de Estatística – 2004 – Autoria: Raquel Cymrot 58 
TABELA INVERSA DA NORMAL PADRÃO p = φ(z) = P(Z≤z) 
inteiro, 1ª e 2ª
decimais de p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,00 ∝ -3,0902 -2,8782 -2,7478 -2,6521 -2,5758 -2,5121 -2,4573 -2,4089 -2,3656
0,01 -2,3263 -2,2904 -2,2571 -2,2262 -2,1973 -2,1701 -2,1444 -2,1201 -2,0969 -2,0748
0,02 -2,0537 -2,0335 -2,0141 -1,9954 -1,9774 -1,9600 -1,9431 -1,9268 -1,9110 -1,8957
0,03 -1,8808 -1,8663 -1,8522 -1,8384 -1,8250 -1,8119 -1,7991 -1,7866 -1,7744 -1,7624
0,04 -1,7507 -1,7392 -1,7279 -1,7169 -1,7060 -1,6954 -1,6849 -1,6747 -1,6646 -1,6546
0,05 -1,6449 -1,6352 -1,6258 -1,6164 -1,6072 -1,5982 -1,5893 -1,5805 -1,5718 -1,5632
0,06 -1,5548 -1,5464 -1,5382 -1,5301 -1,5220 -1,5141 -1,5063 -1,4985 -1,4909 -1,4833
0,07 -1,4758 -1,4684 -1,4611 -1,4538 -1,4466 -1,4395 -1,4325 -1,4255 -1,4187 -1,4118
0,08 -1,4051 -1,3984 -1,3917 -1,3852 -1,3787 -1,3722 -1,3658 -1,3595 -1,3532 -1,3469
0,09 -1,3408 -1,3346 -1,3285 -1,3225 -1,3165 -1,3106 -1,3047 -1,2988 -1,2930