ESA Mecânica Aplicada Aula 04 (1)

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Universidade Federal de Mato Grosso
Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia
Disciplina: Mecânica Aplicada
Prof. Christian Luiz Perlin
Aula 04 – Forças no espaço
Forças no espaço
 O raciocínio utilizado para a análise de forças em um plano 
(direções x e y) pode ser estendido facilmente para o espaço 
(direções x, y e z).
Vetor unitário na direção z
 De modo análogo ao que foi feito para os eixos x e y, define-
se um vetor unitário na direção z, denominado .
 Uma força no espaço pode ser decomposta em suas 
componentes segundo os três eixos:
sendo Fz a componente da força no eixo z. A intensidade de F 
vale
k

F

kFjFiFF zyx

 2
z
2
y
2
x
2 FFFF 
Componentes cartesianas de uma 
força no espaço
 Uma força no espaço pode ser decomposta em suas 
componentes , e . Sendo x, y e z, respectivamente, os 
ângulos (no espaço) que a força forma com os eixos x, y e z, 
temos:
Fx = F.cos x Fy = F.cos y Fz = F.cos z
Cossenos diretores
 Os ângulos x, y e z definem a direção de F e seus cossenos 
são chamados de cossenos diretores da força.
 Lembrando que 
temos
kFjFiFF zyx


kθcosFjθcosFiθcosFF zyx

 )kθcosjθcosiθ(cosFF zyx


Vetor unitário
 Como F é a intensidade da força, tem-se que
é um vetor unitário na direção da força considerada.
 As componentes do vetor unitário são:
x = cos x y = cos y z = cos z
λkθcosjθcosiθcos zyx


λFF


Vetor unitário
 Os valores dos ângulos x, y e z não são independentes. Ao 
calcular o módulo de , temos
² = x² + y² + z² = 1
(cos x)² + (cos y)² + (cos z)² = 1
λ

Vetor unitário
 Os ângulos x, y e z devem ser medidos a partir do lado 
positivo do eixo em questão e devem estar compreendidos 
entre 0° e 180°.
Exemplo 1
 Uma força de intensidade 500 N forma ângulos de 60º, 45º 
e 120º, respectivamente com os eixos x, y e z. Determine o 
vetor , a partir de seus componentes escalares unitários.
F

F

Exemplo 2
 Uma força possui componentes Fx = 80N, Fy = 60N e Fz = 
20N. Determine o módulo de e os ângulos x, y e z que a 
força faz com os eixos coordenados.
F

F

Exercícios 1 e 2
Adição de forças no espaço
 Analogamente ao que foi visto para o plano, a resultante de duas 
forças no espaço pode ser obtida somando-se suas componentes:  xx FR  yy FR  zz FR
Força definida por seu módulo e dois 
pontos de sua linha de ação
Nas situações em que são conhecidos o módulo de uma força 
no espaço e dois pontos A e B de sua linha de ação, pode-se 
encontrar suas componentes da seguinte maneira:
 Escreve-se o vetor 
sendo dx, dy e dz as distâncias entre os pontos A e B segundo os 
eixos coordenados.
F

kdjdidAB zyx



Força definida por seu módulo e dois 
pontos de sua linha de ação
 Determinamos o vetor unitário na direção AB :
sendo d a distância (no espaço) entre A e B.
 Lembrando que , temos
ABλ
 )kdjdid(
d
1
AB
AB
λ zyxAB 


λFF


)kdjdid(
d
F
F zyx 

Exemplo 3
Exercício 3
Exercício 4