2011_APOST_CALCULO3

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NOME:______________________________Nº_______ 
Turma:_________________ Data _____/_____/2011 
e-mail:______________________________ 
 
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0 
 
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Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho 
humano, deve – é evidente – conter falhas e imperfeições. 
 
 
Não devemos, porém, temer o erro. O escritor suíço Henri-
Frédéric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro só é perigoso 
quando contém grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim 
Lessing, filósofo alemão (1729-1781), um século antes do 
judicioso Amiel, já havia exarado esta sentença notável: Aquele 
que teme o erro é o primeiro a errar. 
 
Tudo que merece estudo não se lê facilmente, tudo que 
adianta alguma coisa exige esforço e meditação. 
 Malba Tahan 
 
“Agrada-me mais a dúvida do que o saber”, dizia Dante. E 
esta é a essência da Matemática. Completa, séculos depois, 
Benjamin Franklin: “Muita gente lamenta ter estudado isso ou 
aquilo. Consideram tempo perdido ou esforço inútil. Em relação a 
matemática, porém, não houve, até hoje, quem lastimasse o 
tempo empregado em seu estudo. O arrependimento só brotou 
no espírito daqueles que não poderiam ter levado, em 
adiantamento, os estudos da Matemática”. 
 
Salientando a importância do ensino da parte histórica da 
Matemática opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes 
didátas na matéria: “O professor que ensina a Matemática 
desligada de sua parte histórica comete verdadeiro atentado 
contra a Ciência e contra a cultura em geral”. 
 
 
 
 
 
 
PLANO DE ENSINO RESUMIDO 2011 
 
DISCIPLINA: C Á L C U L O 3 - SEMESTRAL 
PROFESSOR: MARCOS VINÍCIUS RIBEIRO 
 
CONTEÚDO: 
1°°°° SEMESTRE - 2011 
Módulo 1 Módulo 2 
Introdução, História da Matemática 
Números Complexos. 
Revisão de conceitos básicos 
Função de duas ou mais variáveis 
Conceitos Básicos de Geometria Analítica 
Derivadas Parciais 
Derivadas Direcionais 
Diferencial Total e Gradiente 
 
 
Integrais Múltiplas 
e sistemas 
de Coordenadas 
 Não Retangulares 
e-mail do 
professor 
 
mvinicius@facens.br 
 
18/02/2011 
 
SISTEMA DE AVALIAÇÃO: 
 
A avaliação do rendimento escolar é feita por disciplina, incidindo sobre a frequência e o rendimento. 
O rendimento escolar semestral é composto por dois módulos e pela frequência semestral. 
A nota de cada módulo é composta por exercícios, provas, trabalhos e outras atividades, sendo que, 
pelo menos uma das provas deverá ser escrita. Uma prova substitutiva no final do semestre. A nota obtida na 
prova substitutiva é usada para substituir a menor das notas obtidas nos módulos. As notas serão compostas 
da seguinte forma: MF= 0,5*M1+0,5*M2 � Se MF ≥ 5,0 então o aluno está APROVADO, onde M1: Nota 
do módulo1 e M2 : Nota do módulo2, MF: Nota final do semestre. Caso contrário, MF=0,5*M+0,5*SUB, 
onde SUB: Nota da prova substitutiva referente a menor nota entre os módulos, ou ainda, referente ao 
módulo em que o aluno não compareceu, M é o máximo entre M1 e M2. Se MF ≥ 5,0 então o aluno está 
APROVADO. Se MF < 5,0 então o aluno não está aprovado. 
A prova substitutiva irá substituir a menor nota entre os módulos. A partir dela é obtida a média 
aritmética para composição da média final do semestre. Critério de arredondamento, o aluno será aprovado 
se conseguir nota igual ou superior a 4,75. Frisando, o aluno que obter nota igual ou menor que 4,74 não será 
aprovado. Pede-se que cada aluno tenha o próprio material para utilizar nas avaliações como lápis, caneta, 
borracha, apontador, régua, calculadora convencional (não será permitido calculadoras em I-phones, smart 
phones ou similares). Não serão permitidos empréstimos desses materiais descritos durante as avaliações. 
Todo e qualquer outro material, deverá estar fora do alcance do aluno, principalmente celulares. Caso seja 
detectada cola, mesmo que no início da avaliação, mesmo que ainda não tenha sido entregue a avaliação 
será atribuído zero ao aluno, portanto analise bem antes de fazê-lo. Será obrigatório a entrega da folha de 
questões (tabelas e fórmulas) e da folha de resolução (exemplo, o almaço). Pede-se que o aluno procure ir ao 
banheiro antes da avaliação. Ao término da avaliação, entregar nas mãos do professor. Acréscimos 
concedidos “bônus” ao longo dos módulos não serão computados ou considerados quando da realização da 
avaliação substitutiva. O professor valoriza o cálculo mental ou cálculo sem uso de calculadoras. 
 
Avaliações de Cálculo 3 
 
 EI1 II1 AN1 EN1 Substitutivas 
Módulo 1 24/03 23/03 23/03 25/03 2º Semestre/2011 
Módulo 2 30/05 30/05 30/05 01/06 09 a 22 de junho 
SUB 13/06 13/06 13/06 15/06 
 
O calendário de avaliações está sujeito a alterações pelo professor 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
1) STEWART, James . Cálculo volume 2 . .4ªed. Pioneira, Thomson Learning.., 2001. 
2) THOMAS, George B. Cálculo volume 2 . 10ª.ed. Addison Wesley, Pearson Education., 2002. 
3) RIBEIRO, M.V. – Apostila de Cálculo 3, 2011 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
4) SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo : McGraw-Hill, c1983. 
5) LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica, Volume 2. São Paulo : HARBRA, 1977. 
É Fundamental o aluno seguir um dos livros citados acima. 
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LUTE!!! 
 
 
Diga em voz alta: Insisto! Persisto! Não Desisto! 
 
Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!! 
 
“Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece” 
Filipenses 4.13 
 
“Os VENCEDORES não são os que nunca sofrem derrotas, 
mas sim os que nunca desistem” Edwin Louis Cole 
 
 
 
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ABRAHAM LINCOLN 
12/02/1809 a 15/04/1865 
 
16º Presidente dos Estados Unidos da América 
Republicano(1861-1865) 
 
P E R S E V E R A N Ç A 
 
Ele fracassou nos negócios em 1831. 
Tentou um outro negócio em 33. Fracassou. 
Sua noiva morreu em 35. 
Teve um colapso nervoso em 36. 
Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derrotado. 
Tentou em 48 e foi derrotado novamente. 
Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu. 
No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu. 
Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derrotado. 
Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln foi eleito o 
16° presidente dos Estados Unidos. 
A diferença entre as realizações mais ousadas da história e seus mais assombrosos fracassos 
está simplesmente em sua 
 FORTE VONTADE DE PERSISTIR. 
 
“A probabilidade de fracassarmos na luta não nos deve deter no impulso de combater por uma 
causa justa.” 
 
"é melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que você é um idiota do que falar e 
acabar com a dúvida." (Abraham Lincoln) 
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PARA REFLEXÃO 
 
Para que haja crescimento o sacrifício é necessário 
 
Negar a necessidade de mudanças não elimina o problema! 
 
Ficar remoendo o passado, lamentando o que poderia ter sido feito e não foi, apenas desvia a 
atenção do presente, onde realmente as coisas acontecem. 
 
O único lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário – Albert Einstein 
 
“Não espere benefício sem haver conquistado mérito”. Não espere o mérito sem esforço!!!! 
 
“Eu não me envergonho de corrigir os meus erros e mudar as minhas 
opiniões porque, não me envergonho de raciocinar e aprender” 
Alexandre Herculano 
 
Não Adianta ficar lamentando, (coitadinho de mim, autocomiseração). 
Cresça!!! Não jogue a culpa nos outros!!! 
Diga não a preguiça!!! Seja um guerreiro Diga em voz alta: - Eu sou capaz!!! 
A Bíblia diz Esforça-te e Eu te ajudarei!!! 
Isaías 35.4 e Isaías41.10,13 
 
E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertará. João 8.32 
 
Ele não sabia queera impossível, foi e fez!! 
Não faça da sua vida um rascunho, pois pode não dar tempo de passá-la a limpo!!! 
 
A força não provêm da capacidade física e sim de uma vontade indomável 
– GANDHI 
 
Mudança – Movimento (novos conhecimentos, Novas experiências, novas oportunidades) estas três desencadeiam 
crescimento – Vitórias – Realizações. 
Dê uma cotovelada de leve no seu vizinho e fale: - ei!! Movimente-se!!! 
 
Os quatro “D” 
Determinação – é aquela força interior capaz de levar alguém a afirmar com convicção: “Este é o meu 
sonho. Não morro sem realizá-lo, mesmo que demore vinte, trinta anos”. 
Dedicação é a capacidade de se entregar à realização de um objetivo. 
Disciplina é a capacidade de seguir um método. Quando se fala em disciplina, a primeira coisa que vem á 
mente é o conceito de rigidez. Mas disciplina, na verdade, está associado à palavra discípulo, que é aquele 
que tem capacidade de aprender com um mestre, segundo seu método. 
Desprendimento é a capacidade de abandonar o que não esta funcionando para aprender o novo. É 
desapegar-se de certa maneira de fazer algo para conseguir um resultado melhor. E mesmo após um tombo, 
consegue erguer-se e levantar a cabeça, começando tudo de novo! 
 
A diferença entre o sábio e o ignorante é que o 1º sabe aproveitar suas dificuldades para evoluir, 
enquanto o ignorante se sente vítima de seus problemas. 
 
Cresça! Não lamente seus erros e dificuldades!!! 
Quem reconhece suas fraquezas já deu o primeiro passo para superá-las. 
 
Lembre-se: A sua vida deve ser uma oferta a Deus ao invés 
de um monumento aos homens. 
 
Os problemas para matemática não são problemas, são a razão de 
sua existência. Um problema é um desafio a ser solucionado, uma questão 
a ser resolvida. A matemática tem um caso de amor com os problemas 
 
"QUANDO O TRABALHO É PRAZER, A VIDA É UMA GRANDE ALEGRIA. QUANDO O TRABALHO É 
DEVER, A VIDA É UMA ESCRAVIDÃO." (MÁXIMO GORKI) 
 
 
 
Lembra-te que o silencio, é às vezes, a melhor resposta. Em disputas com teus 
queridos, trata só do caso corrente. NÃO VÁS BUSCAR QUEIXAS DO PASSADO. 
 
Quando perderes, pelo menos não percas a lição! 
 
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Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que podemos cometer a respeito deles, 
mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire 
 
PACIÊNCIA E PERSEVERANÇA!!!!! 
 
Aprenda que a PACIÊNCIA requer muita prática! 
 
Só o tempo e o esforço trazem a competência 
 
Alcançado o sucesso deve-se manter o que foi conseguido, e não exaltá-lo! 
 
Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realização 
implicam grandes riscos 
 
“ ...os físicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta 
certa é freqüentemente mais do que a metade do caminho que conduz a 
solução do problema” Werner Heisenberg(1901-1976) 
 
“DEUS NÃO JOGA DADOS” Albert Einstein 
 
O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador 
 
PARTILHE O TEU SABER, É UMA FORMA DE ALCANÇAR A IMORTALIDADE!!! 
 
Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renunciar para 
alcançar! 
 
“Deus nos fez para atingirmos, como águias, elevadas alturas, mas nos 
contentamos com vôos rasantes dos pardais.” 
 
 
O músculo mais potente do corpo humano é a LÍNGUA. A MORTE e a VIDA 
estão no poder da LÍNGUA, e aquele que a ama comerá do seu fruto. Provérbios.18.21 
A saber: SE COM TUA BOCA CONFESSARES AO SENHOR JESUS, e em teu 
coração creres que Deus o ressuscitou dos mortos, SERÁS SALVO. Visto que 
com o coração se crê para a justiça, e com a boca se faz confissão para a 
salvação. Romanos 10.9-10 significa Terás a vida eterna, sua alma viverá! 
 
 
Tudo tem uma razão. As vezes as coisas acontecem por uma razão. Algo 
ruim força uma coisa boa, ou para um bem maior 
 
TRABALHE como se você não precisasse do dinheiro. AME como se você 
nunca tivesse sido magoado. DANCE como se ninguém estivesse 
observando. 
O maior risco da vida é não fazer nada!!! 
 
Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck 
 
Segue os três Rs: Respeito por ti, Respeito pelos outros e Responsabilidade 
por todos os teus atos 
 
Lembra-te que não ter tudo o que se deseja é por vezes 
um magnífico golpe de sorte. 
 
DEUS NÃO CHAMA AQUELES QUE SÃO EQUIPADOS. ELE EQUIPA AQUELES QUE 
SÃO CHAMADOS, E ELE SEMPRE ESTARÁ LÁ PARA AMAR E GUIAR VOCÊ A 
GRANDES COISAS! 
 
F E L I C I D A D E S ! ! ! 
Marcos Vinícius Ribeiro 
08 de fevereiro de 2011. 
 
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DO MEU TELESCÓPIO, EU VIA DEUS CAMINHAR! A MARAVILHOSA DISPOSIÇÃO E HARMONIA DO 
UNIVERSO SÓ PODE TER TIDO ORIGEM SEGUNDO O PLANO DE UM SER QUE TUDO SABE E TUDO PODE. 
ISTO FICA SENDO A MINHA ÚLTIMA E MAIS ELEVADA DESCOBERTA. ISAAC NEWTON 
 
Quanto mais alto alguém está, mais dificuldade tem em manter o equilíbrio. Provérbio popular 
 
Ninguém é bom por acaso; a virtude deve ser aprendida.(Sêneca, filósofo latino, (4 a.C. até 65 d.C) 
 
"Os verdadeiros sábios se dão a conhecer pelos bons princípios de seus atos, pela 
intocável moral de suas atitudes e, pelo fato de servirem de exemplo dos ensinamentos que transmitem". 
 
"Só quem entende a beleza do perdão pode julgar seus semelhantes" (Sócrates) 
 
"Muitos homens iniciaram uma nova era na sua vida a partir da leitura de um livro" 
(Henry David Thoreau) 
 
"Bom mesmo é ir a luta com determinação, abraçar a vida com paixão e vencer com ousadia, 
pois o triunfo pertence a quem se atreve... A vida é muita pra ser insignificante!" (Andréa Aoki) 
 
"Os obstáculos que surgem em seu caminho, não são para impedir seus passos, 
são desafios para serem superados" 
 
"Se seus sonhos estiverem nas nuvens, não se preocupe, pois eles estão no lugar certo; 
agora construa os alicerces" 
 
"Sorria! Sorrir abre caminhos, desarma os mal-humorados, contamina. 
Mas sorria com a alma, não apenas com os lábios" (Léa Waider) 
 
 "Ideais são como estrelas. Você nunca as alcança, mas como os marinheiros, 
nós definimos nosso curso por elas" (Carl Schurz) 
 
"Um homem que quer reger a orquestra precisa dar as costas à platéia" (James Crook) 
 
"A alegria e o amor são as duas grandes asas para os grandes feitos". (Goethe) 
 
"A experiência é uma coisa maravilhosa. Ajuda-o a reconhecer um erro quando você comete de novo". 
(Stephen R. Covey) 
 
"Só há duas maneiras de viver a vida: 
A primeira é vivê-la como se os milagres não existissem. 
A segunda é vive-la como se tudo fosse um milagre". (Albert Einstein) 
 
"Às vezes, é fácil abrir mão da realidade, mas não é fácil abrir mão de um sonho... 
Acredite no seu sonho! E seja feliz" 
 
"A maior parte de nossa felicidade depende de nossa atitude e não das circunstâncias".(Martha Washington) 
 
"Gestos são mais importantes que palavras". 
 
"Uma coletânea de pensamentos são uma farmácia moral onde se encontram 
remédios para todos os males". (Voltaire) 
 
"Não existe grandeza quando a simplicidade, bondade e a verdade estão ausentes". Leon Tolstoi 
 
"A vida feliz consiste na tranqüilidade da mente". (Cícero) 
 
Aquele que deseja construir torres altas deveria permanecer longos tempos nos fundamentos. (Anton Bruckner) 
 
"Deus nos dá as nozes. Mas não as quebras". (Provérbio Alemão) 
 
"Não desanimes com as quedas: elas nos mostram que o chão está longe de ser o nosso lugar". 
(Horivaldo Gomes) 
 
"Jamais desista daquilo que você realmente quer fazer. A pessoa que tem grandes sonhos é mais forte 
do que possui todos os fatos". ( H.J. Brown) 
 
"Um grande artista pode pintar um quadro maravilhoso em uma pequena tela". (Warner) 
 
Nuncadecidas antes de ouvir ambas as partes.(Aristóteles) 
 
Prefiro uma gota de sabedoria a toneladas de Riquezas – Anaxágoras 
 
O desejo mede os obstáculos; a vontade os vence – Alexandre Herculano, escritor português 1810-1877 
 
Começai por admirar o que Deus nos mostra, e não terás tempo de procurar o que Ele nos oculta 
 (Alexandre Dumas, romancista Frances, 1803-1870) 
 
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Uma noitada em que todos os presentes estão absolutamente de acordo é uma noitada perdida. Albert Einstein 
Grande parte da vitalidade de uma amizade reside no respeito pelas diferenças, e não apenas 
em desfrutar das semelhanças.(James Fredericks) 
 
A derrota é uma força destruidora apenas quando é aceita como um fracasso. Porém, quando a 
vemos e a aceitamos como uma lição necessária, sempre é uma benção! (Napoleon Hill) 
 
Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso 
ir mais longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho no silêncio e a verdade 
me é revelada.(Albert Einstein) 
 
O ACUSADO 
Conta uma antiga lenda que, na Idade Média, um homem muito religioso foi 
injustamente acusado de ter assassinado uma mulher. 
Na verdade, o autor do crime era uma pessoa influente do reino. 
Por isso, desde o primeiro momento, se procurou um bode expiatório para 
acobertar o verdadeiro assassino. 
O homem foi levado a julgamento, já temendo o resultado: a forca. Ele 
sabia que tudo iria ser feito para condená-lo e que teria poucas chances de sair vivo 
desta história. 
O juiz, que também estava combinado de levar o pobre homem à morte, 
simulou um julgamento justo, propondo ao acusado que provasse sua inocência. 
Disse o juiz: - Sou de uma profunda religiosidade e por isso vou deixar sua sorte 
nas mãos do Senhor. Vou escrever em um pedaço de papel a palavra "inocente" e 
no outro pedaço a palavra "culpado". Você vai sortear um dos papéis e aquele que 
sair será o veredicto. O senhor decidirá seu destino - determinou o juiz. Sem que o 
acusado percebesse, o juiz preparou os dois papéis. Mas em ambos escreveu 
"culpado", de maneira que, naquele instante, não existia nenhuma chance do 
acusado se livrar da forca. Não havia saída. Não havia alternativas para o pobre 
homem. 
O juiz colocou os dois papéis em uma mesa e mandou o acusado escolher 
um. O homem pensou alguns segundos e aproximou-se confiante da mesa. Pegou 
um dos papéis, rapidamente colocou-o na boca e o engoliu. 
Os presentes ao julgamento reagiram surpresos e indignados com a atitude 
do homem. - Mas o que você fez? E agora? Como vamos saber qual será o seu 
veredicto? - É muito fácil - respondeu o homem. - Basta olhar o outro pedaço que 
sobrou e saberemos que acabei engolindo o seu contrário. 
Imediatamente o homem foi libertado. 
 
Por mais difícil que seja uma situação, não deixe de acreditar até o último momento. 
Saiba que para qualquer problema há sempre uma saída. 
Não desista, não entregue os pontos, não se deixe derrotar. 
Persista, vá em frente apesar de tudo e de todos. 
Creia que você pode conseguir. 
 
Romanos 8:28 "E sabemos que todas as coisas contribuem para o bem daqueles 
que amam a Deus, daqueles que são chamados segundo o seu propósito." 
Esta confiança que Deus nos deu de que no fim tudo vai dar certo, se ainda não 
deu certo é porque ainda não chegou ao fim. 
 
 
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A H I S T Ó R I A D O B U R R O 
 Um dia, o burro de um camponês caiu num poço. Não chegou a se 
ferir, mas não podia sair dali por conta própria. Por isso o animal chorou 
fortemente durante horas, enquanto o camponês pensava no que fazer. 
Finalmente, o camponês tomou uma decisão cruel: concluiu que o burro já 
estava muito velho e que o poço já estava mesmo seco, precisaria ser tapado 
de alguma forma. Portanto, não valia a pena se esforçar para tirar o burro de 
dentro do poço. Ao contrário, chamou seus vizinhos para ajudá-lo a enterrar 
vivo o burro. Cada um deles pegou uma pá e começou a jogar terra dentro do 
poço. O burro não tardou a se dar conta do que estavam fazendo com ele, e 
chorou desesperadamente. Porém, para surpresa de todos, o burro quietou-
se depois de umas quantas pás de terra que levou. O camponês finalmente 
olhou para o fundo do poço e se surpreendeu com o que viu. A cada pá de 
terra que caía sobre suas costas o burro a sacudia, dando um passo sobre 
esta mesma terra que caía ao chão. Assim, em pouco tempo, todos viram 
como o burro conseguiu chegar até a boca do poço, passar por cima da borda 
e sair dali trotando. A vida vai lhe jogar muita terra, todo o tipo de terra. 
Principalmente se você já estiver dentro de um poço. O segredo para sair do 
poço é sacudir a terra que se leva nas costas e dar um passo sobre ela. Cada 
um de nossos problemas é um degrau que nos conduz para cima. Podemos 
sair dos mais profundos buracos se não nos dermos por vencidos. 
USE A TERRA QUE TE JOGAM PARA SEGUIR ADIANTE! 
RECORDE AS 5 REGRAS PARA SER FELIZ: 
 
1. Liberte o seu coração do ódio. 
2. Liberte a sua mente das preocupações. 
3. Simplifique a sua vida. 
4. Dê mais e espere menos. 
5. Ame mais e... aceite a terra que lhe jogam, pois ela 
pode ser a solução, não o problema. 
 
 
 
 
 
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O PEIXE 
Somos o que fazemos mas somos principalmente o que fazemos para mudar o que 
somos. Os japoneses sempre adoraram peixe fresco. Porém as águas perto do Japão não 
produzem muitos peixes há décadas. Assim, para alimentar a sua população, os japoneses 
aumentaram o tamanho dos navios pesqueiros e começaram a pescar mais longe do que 
nunca. Quanto mais longe os pescadores iam, mais tempo levava para o peixe chegar. Se a 
viagem de volta levasse mais do que alguns dias, o peixe já não era mais fresco. E os 
japoneses não gostaram do gosto destes peixes. Para resolver este problema as empresas de 
pesca instalaram congeladores em seus barcos. Eles pescavam e congelavam os peixes em 
alto-mar. Os congeladores permitiram que os pesqueiros fossem mais longe e ficassem em 
alto mar por muito mais tempo. Entretanto, os japoneses conseguiram notar a diferença entre 
peixe fresco e peixe congelado, e é claro, eles não gostaram do peixe congelado. Entretanto, 
o peixe congelado tornou os preços mais baixos. Então as empresas de pesca instalaram 
tanques de peixe nos navios pesqueiros. Eles podiam pescar e enfiar esses peixes nos 
tanques, "como sardinhas". Depois de certo tempo, pela falta de espaço, eles paravam de se 
debater e não se moviam mais. Eles chegavam cansados e abatidos, porém, vivos. 
Infelizmente,os japoneses ainda podiam notar a diferença do gosto. Por não se mexerem por 
dias, os peixes perdiam o gosto de frescor. Os japoneses preferiam o gosto de peixe fresco e 
não o gosto de peixe apático. Então, como os japoneses resolveram este problema? Como 
eles conseguiram trazer ao Japão peixes com gosto de puro frescor ? Se você estivesse dando 
consultoria para a empresa de pesca, o que você recomendaria ? Quando as pessoas atingem 
seus objetivos tais como, quando começam com sucesso numa empresa nova, pagam todas 
suas dívidas ou o que quer que seja, elas podem perder as suas paixões. Elas podem começar 
a pensar que não precisam mais trabalhar tanto, então relaxam. Elas passam pelo mesmo 
problema que os ganhadores de loteria que gastam todo seu dinheiro, o mesmo problema de 
herdeiros que nunca crescem de donas de casa, entediadas, que fcam dependentes de 
remédios de tarja preta. Para esses problemas, inclusive no caso dos peixes dos japoneses, a 
solução é bem simples. L. Ron Hubbard observou no começo dos anos 50. O homem 
progride, estranhamente, somente perante a um ambiente desafiador. Quanto mais 
inteligente, persistente e competitivo você é, mais você gosta de um bom problema. Se seus 
desafios estão de um tamanho corretoe você consegue, passo a passo, conquistar esses 
desafios, você fica muito feliz. Você pensa em seus desafios e se sente com mais energia. 
Você fica excitado em tentar novas soluções. Você se diverte. Você fica vivo! Para conservar 
o gosto de peixe fresco, as empresas de pesca japonesas ainda colocam os peixes dentro de 
tanques. Mas, eles também adicionam um pequeno tubarão em cada tanque. O tubarão come 
alguns peixes, mas a maioria dos peixes chega "muito vivo". Os peixes são desafiados. 
Portanto, ao invés de evitar desafios, pule dentro deles. Massacre-os. Curta o jogo. Se seus 
desafios são muito grandes e numerosos, não desista. Se reorganize! Busque mais 
determinação, mais conhecimento e mais ajuda. Se você alcançou seus objetivos, coloque 
objetivos maiores. Uma vez que suas necessidades pessoais ou familiares forem atingidas, vá 
de encontro aos objetivos do seu grupo, da sociedade e até mesmo da humanidade.Crie seu 
sucesso pessoal e não se acomode nele. Você tem recursos, habilidades e destrezas para fazer 
diferença !!!! Então, ponha um tubarão no seu tanque e veja quão longe você realmente pode 
chegar. 
Ponha você mesmo o tubarão, 
Antes que alguém o faça e você não esteja preparado 
 
 
 
 
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L E I A 
Sua mente é capaz de decodificar a 
mensagem! 
 
M473M471C0 (53N54C1ON4L) 
 
4S V3235 3U 4C0RD0 
M310 M473M471C0. 
D31X0 70D4 4 4857R4Ç40 N47UR4L D3 L4D0 
3 M3 P0NH0 4 P3N54R 3M NUM3R05, 
C0M0 53 F0553 UM4 P35504 R4C10N4L. 
540 5373 D1550, N0V3 D4QU1L0... 
QU1N23 PR45 0NZ3... 
7R323N705 6R4M45 D3 PR35UNT0... 
M45 L060 C410 N4 R34L 
3 C0M3Ç0 4 F423R V3R505 
H1NDU-4R481C05 
 
///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0 15/02/2008 
"De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, nao 
ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etaso, a uncia 
csioa iprotmatne e que a piremria e utmlia lrteas etejasm no 
lgaur crteo. O rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoe pdoe 
anida ler sem pobrlmea. Itso e poqrue nos nao lmeos cdaa lrtea 
isladoa, mas a plravaa cmoo um tdoo. Vdaerde!" 
Colaboração: FABIO EDUARDO CARVALHO DE OLIVEIRA nº 70528 
 Aluno do 2ºI Computação – 2007. 
 
 
3M D14 D3 V3R40, 3574V4 N4 PR414, 
0853RV4ND0 DU45 CR14NC45 
8R1NC4ND0 N4 4R314. 
3L45 7R484LH4V4M MU170 C0N57RU1ND0 
UM C4573L0 D3 4R314, C0M 70RR35, 
P4554R3L45 3 P4554G3NS 1N73RN45. 
QU4ND0 3574V4M QU453 4C484ND0, 
V310 UM4 0ND4 3 D357RU1U 7UD0, 
R3DU21ND0 0 C4573L0 
4 UM M0N73 D3 4R314 3 35PUM4. 
4CH31 QU3, D3P015 D3 74N70 35F0RC0 3 CU1D4D0, 
45 CR14NC45 C41R14M N0 CH0R0, 
 - 11 - 
C0RR3R4M P3L4 PR414, FUG1ND0 D4 4GU4, 
R1ND0 D3 M405 D4D45 3 C0M3C4R4M 
4 C0N57RU1R 0U7R0 C4573L0. 
C0MPR33ND1 QU3 H4V14 4PR3ND1D0 
UM4 GR4ND3 L1C40; 
G4574M05 MU170 73MP0 D4 N0554 V1D4 
C0N57RU1ND0 4LGUM4 C0154 
3 M415 C3D0 0U M415 74RD3, 
UM4 0ND4 P0D3R4 V1R 3 D357RU1R 7UD0 
0 QU3 L3V4M05 74N70 73MP0 P4R4 C0N57RU1R. 
M45 QU4ND0 1550 4C0N73C3R 
50M3N73 4QU3L3 QU3 73M 45 M405 D3 4LGU3M 
P4R4 53GUR4R, 53R4 C4P42 D3 50RR1R! 
S0 0 QU3 P3RM4N3C3, 3 4 4M124D3, 0 4M0R 3 C4R1NH0. 
0 R3570 3 F3170 D3 4R314. 
 
Piadas Matemáticas infames: 
Sabe o que o Zero(0) disse para o Oito(8)? Uau! Que cinto bonito!!! 
O que o MMC estava fazendo embaixo da escada?. .. Esperando o MDC 
 
Conte, quantas letras "F" tem no texto abaixo 
 
FINISHED FILES ARE THE RESULT OF YEARS OF SCIENTIFIC STUDY 
COMBINED WITH THE EXPERIENCE OF YEARS 
 
Contou? Somente leia abaixo após ter contado os "F". OK? 
Quantos??? 3??? Talvez 4??? 
 
Errado, são 6 (seis) - não e piada! Volte para cima e leia mais uma vez! A explicação está mais abaixo ... O cerebro não consegue processar a 
palavra "OF". Loucura, não? Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "gênio". 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, 6 quase ninguém. 
 
A INSPIRAÇÃO QUE FALTAVA - POESIA MATEMÁTICA 
 
Um Quociente apaixonou-se 
Um dia Doidamente 
Por uma Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável .E viu-a, do Ápice à Base.. 
Uma Figura Ímpar; Olhos rombóides, boca trapezóide,] 
Corpo ortogonal, seios esferóides. 
Fez da sua vida Paralela a dela. 
Até que se encontraram No Infinito. 
"Quem és tu?" indagou ele Com ânsia radical. 
"Sou a soma do quadrado dos catetos. 
Mas pode me chamar de Hipotenusa." 
E de falarem descobriram que eram 
- O que, em aritmética, corresponde 
A alma irmãs Primos entre si. 
E assim se amaram Ao quadrado da velocidade da luz. 
Numa sexta potenciação 
Traçando Ao sabor do momento E da paixão 
Retas, curvas, círculos e linhas senoidais. 
Escandalizaram os ortodoxos 
das fórmulas euclideanas 
E os exegetas do Universo Finito. 
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. 
E, enfim, resolveram se casar 
 
Constituir um lar. Mais que um lar. 
Uma Perpendicular. Convidaram para padrinhos 
O Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equações 
diagramas para o futuro Sonhando com uma felicidade 
Integral E diferencial. (olha o CÁLCULO aí !!) 
E se casaram e tiveram uma secante e três cones 
Muito engraçadinhos. E foram felizes Até aquele dia 
Em que tudo, afinal, Vira monotonia. Foi então que surgiu 
O Máximo Divisor Comum...Freqüentador de Círculos 
Concêntricos. Viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, 
Uma Grandeza Absoluta, E reduziu-a a um 
Denominador Comum. 
Ele, Quociente, percebeu Que com ela não formava mais Um 
Todo. Uma Unidade. Era o Triângulo, Tanto chamado amoroso. 
esse problema ela era a fração Mais ordinária. 
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade. 
E tudo que era expúrio passou a ser 
Moralidade 
Como aliás, em qualquer 
Sociedade. 
 
 - 12 - 
 
O Q U E A S E S C O L A S N Ã O E N S I N A M : 
 
Aqui estão alguns conselhos que BILL GATES recentemente ditou em 
uma conferência em uma escola secundária sobre 11 coisas que estudantes não 
aprenderiam na escola. Ele fala sobre como a "política educacional de vida fácil para 
as crianças" tem criado uma geração sem conceito da realidade, e como esta política 
tem levado as pessoas a falharem em suas vidas posteriores à escola.Muito conciso, 
todos esperavam que ele fosse fazer um discurso de uma hora ou mais, ele falou por 
menos de 5 minutos, foi aplaudido por mais de 10 minutos sem parar, agradeceu e foi 
embora em seu helicóptero a jato... 
 
Regra 1: A vida não é fácil - acostume-se com isso. 
 
Regra 2: O mundo não está preocupado com a sua auto-estima. O mundo espera que 
você faça alguma coisa útil por ele ANTES de sentir-se bem com você mesmo. 
 
Regra 3: Você não ganhará R$ 20.000 por mês assim que sair da escola.Você não 
será vice-presidente de uma empresa com carro e telefone à disposição antes que 
você tenha conseguido comprar seu próprio carro e telefone. 
 
Regra 4: Se você acha seu professor rude, espere até ter um Chefe. Ele não terá pena 
de você. 
 
Regra 5: Vender jornal velho ou trabalhar durante as férias não está abaixo da sua 
posição social. Seus avós têm uma palavra diferente para isso: eles chamam de 
oportunidade. 
 
Regra 6: Se você fracassar, não é culpa de seus pais. Então não lamente seus erros, 
aprenda com eles. 
 
Regra 7: Antes de você nascer, seus pais não eram tão críticos como agora. Eles só 
ficaram assim por pagar as suas contas, lavar suas roupas e ouvir você dizer que eles 
são "ridículos". Então antes de salvar o planeta para próxima geração querendo 
consertar os erros da geração dos seus pais, tente limpar seu próprio quarto. 
 
Regra 8: Sua escola pode ter eliminado a distinção entre vencedores e perdedores, 
mas a vida não é assim. Em algumas escolas você não repete mais de ano e tem 
quantas chances precisar até acertar. Isto não se parece com absolutamente NADA na 
vida real. Se pisar na bola, está despedido,RUA!!!!! Faça certo da primeira vez. 
 
Regra 9: A vida não é dividida em semestres. Você não terá sempre os verões livres e 
é pouco provável que outros empregados o ajudem a cumprir suas tarefas no fim de 
cada período. 
 
Regra 10: Televisão NÃO é vida real. Na vida real, as pessoas têm que deixar o 
barzinho ou a boite e ir trabalhar. 
 
Regra 11: Seja legal com os CDFs (aqueles estudantes que os demais julgam que são 
uns babacas, nerds). Existe uma grande probabilidade de você vir a trabalhar PARA 
um deles Bill Gates, dono da maior fortuna pessoal do mundo, e da Microsoft, a única 
empresa que enfrentou e venceu a Big Blues (IBM) desde de sua fundação em meados 
de 1900....A empresa que construiu o primeiro Cérebro Eletrônico (computador) do 
mundo. Copie, repasse, releia, e mostre a todos que você considera... 
 
 - 13 - 
F U N Ç Õ E S D E D U A S V A R I Á V E I S 
 
 A temperatura T num ponto da superfície da Terra em qualquer instante de 
tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto. (Latitude – distância do Equador a 
qualquer ponto da Terra, medida em graus sobre o meridiano que passa por esse lugar. Longitude 
– Distância (em graus, minutos e segundo) entre o meridiano de Greenwich e o meridiano do 
lugar considerado). Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis x e y, ou 
como uma função do par (x, y). Indicamos essa dependência funcional escrevendo 
T = f(x, y). 
 O volume de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. De 
fato, sabemos que V = pir2h. Podemos dizer que V é uma função de r e de h, 
escrevemos 
V(r, h) = pipipipir2h. 
 
Definição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par 
ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real denotado por 
f(x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem é o conjunto de valores possíveis 
de f, ou seja, {f(x, y) / (x, y) ∈∈∈∈ D}. 
 
 Freqüentemente escrevemos z = f(x, y) para tornar explícito os valores tomados 
por f num ponto genérico (x, y). As variáveis x e y são variáveis independentes, e z é a 
variável dependente. 
[Compare com a notação y = f(x) para funções de uma única variável.] 
 
 Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de 
R2 e cuja imagem é um subconjunto de R. 
Uma maneira de visualizar tal função é pelo diagrama de flechas, onde o 
domínio D é representado como um subconjunto do plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a função f é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica 
entendido como domínio de f o conjunto de todos os pares de valores (x, y) para os 
quais a expressão dada fornece um número real bem definido. 
 
Extraído: 
2) STEWART, James . Cálculo volume 2 . .4ªed. Pioneira, Thomson Learning. 2001. Página873 
 
Curiosidade: Sorocaba possui Latitude -23,50167º(ou 23º30’06’’) e 
Longitude -47,45806º(ou 47º27’29’’) 
 
 
 
 
x 
y 
 - 14 - 
C U R V A S D E N Í V E L 
 
Uma técnica para visualizar funções é a utilizada pelos cartógrafos, 
nos mapas de contornos, em que todos os pontos têm a mesma elevação, 
contorno este chamado de curvas de contorno ou curvas de nível. 
 
Definição: - AS CURVAS DE NÍVEL DE UMA FUNÇÃO F DE DUAS VARIÁVEIS 
SÃO AS CURVAS COM EQUAÇÃO F(X,Y) = K, ONDE K É UMA CONSTANTE(NO DOMÍNIO 
DE F) 
 
 Uma curva de nível f(x,y) = k é o conjunto de todos os pontos do 
domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, mostra onde o 
gráfico de f tem altura k. Iremos observar na figura do exercício que se 
segue, a relação entre as curvas de nível e os traços horizontais. As 
curvas de nível f(x,y) = k são apenas traços do gráfico de f no plano 
horizontal z = k projetado sobre o plano xy. Assim, se você traçar as 
curvas de nível da função e visualiza-las elevadas para a superfície, 
poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas informações 
juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível estiverem 
mais próximas umas das outras. Ela é mais ou menos plana onde as 
curvas de nível estão distantes uma das outras. 
 Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas 
topográficos de regiões montanhosas. As curvas de nível são curvas em 
que a elevação em relação ao nível do mar é constante. Se você andar 
sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá. Outro exemplo 
comum é a função temperatura introduzida no início de funções de duas 
variáveis. Aqui as curvas são chamadas de curvas isotérmicas e ligam 
localidades que tem a mesma temperatura. 
Extraído: 
STEWART, James . Cálculo volume 2 . .4ªed. Pioneira, Thomson Learning. 2001. Págs. 878-879. 
 
 
 
 
 
 
 
Ir para página 37 
 
 
x 
y 
z 
 - 15 - 
 
Cálculo III – Módulo 01 – 1ª Lista 
 
Prof. Marcos Vinícius Ribeiro 
 
 
Para Aquecer, determine o Domínio das seguintes funções, com U = R: 
 
1) f(x) = 2x3 2) 
174
92)(
+
−
=
x
x
xf 3) 8 2 16133)( −−= xxxf 
4)
25
73)(
2
−
+
=
x
x
xf 
5)
4
103)(
2
−
++−
=
x
xx
xf 
6)
)7ln()( 2 xxxf −= 7) log
65
5
2
)( +−
−
=
xx
x
xf 
8)
)72sec()( pi−= xxf 
 
Determine o esboço gráfico do domínio das funções e calcule se possível f(2,4) das 
seguintes funções de duas variáveis, sabendo que ℜ→ℜ2:f 
09) f(x,y) = yx +2 16) f(x,y) = 4x2 + 24
3
y−
 
10) f(x,y) = 224 yx −− 17) f(x,y) = 2x + 3y + xy 
11) f(x,y) = 
2225
1
yx −−
 18) f(x,y) = 22
44
xy
xy
−
−
 
12) f(x,y) = ln(xy – 1) 19) f (x,y) = yxyx −++ 2log )(2 
13) f(x,y) = x + y2 + ln(1 + xy) 20) f(x,y) = )(2
2
log xy+
 
14) f(x,y) = 2xy
yx
yx
−+
+
−
 21) f(x,y) = 1−xy 
15) f(x,y) = x
xy
yx
−+
+
+ 2
2
 
22) f(x,y) = 
49
1
22
−+ yx
 
 
23) )4ln(99),( 228 22 −++−−= yxyxyxf 25) )2525ln(3649),( 228 22 yxyxyxf −−+−−= 
24) )100425ln(2),( 228 −++−= yxyxyxf 26) )9ln(3636),( 228 22 yxyxyxf +−+−−= 
 
 
27)Exemplo Seja f a função com domínio D dada por f(x,y) = 9 – x2 – y2 e 
D = {(x,y) : x2 + y2 ≤ 9}. 
Esboce o gráfico de f e exiba os traços nos planos z = 0, z = 2, z = 4, z = 6 e z = 8. 
 
28) Aplicação: A temperatura T em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é 
dada por T(x,y) = 4x2 + 2y2. encontrar as equações das isotermas(curvas de nível) de 
T em 12, 8, 4, 0 e em seguida, com as equações obtidas, traçar um mapa de contorno. 
Encontrar a equação dos traços da função, fazendo seus gráficos e por fim esboçar o 
gráfico da função dada(superfície). Determinar ainda a Imagem da função 
Diversão: Esboce os gráficos das seguintes funções: 
29) 
221),( yxyxf −−= 
30) 
f(x,y) = 4 – x2 – 4y2 
31) 
f(x,y) = x2 + y2 – 1 
32) 
22
6
1 49),( yxyxf +=
 
33) 
f(x,y) = 
6 – 2x – 3y 
 
 - 16 - 
 
 
 
 - 17 - 
 
 
Comparativo das Equações Reduzidas das Cônicas, com centro na origem. 
 
Circunferência Elipse Hipérbole Parábola 
Equações 
reduzidas 
 
222
ryx =+
 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
 
Exemplo 4x² + 4y² = 100 9x² + 4y² = 36 9x² - 4y² = 36 
Coeficientes 
de x² e y² 
 
IGUAIS 
 
DIFERENTES 
 
DIFERENTES 
 
IMPORTANTE: 
1) Quando os valores de a e b forem iguais na Elipse, tem–se circunferência. 
2) Quando os valores de a e b forem iguais na hipérbole diz–se hipérbole eqüilátera. 
 - 18 - 
Aplicações Práticas 
 
A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil (desprezando a 
resistência do ar); é utilizada na construção de espelhos parabólicos utilizados, por 
exemplo,nos faróis de automóveis. 
Você já lavou um carro com a mangueira? A trajetória que a água fez ao sair da 
mangueira é um lançamentoobliquo, ou seja,uma parábola. 
A propriedade reflexiva da parábola possibilita muitas aplicações como, por exemplo na 
forma do espelho de um holofote se obtém fazendo uma parábola girar em torno de seu eixo. 
Se uma fonte de luz é colocada no seu foco então por lei da física um raio de luz será refletido 
ao longo de uma reta paralela ao eixo. Emprega–se o mesmo principio na construção de 
espelhos para telescópios ou fornos solares. Um raio de luz refletindo em direção ao espelho 
parabólico, paralelamente ao eixo se refletira no foco. Esta propriedade é também utilizada em 
antena de sistema de radar, de televisão (parabólica), rádios telescópios e microfones de 
campo usados em jogos de futebol. 
 
A Elipse é a curva que descreve a órbita dos planetas. Outras aplicações: 
Construção de refletores odontológicos: o objetivo é concentrar o Maximo de luz onde 
está trabalhando e também evitar que os raios luminosos incomodem o paciente. De maneira 
diferente dos holofotes comuns, como os faróis de carro, os holofotes dentários se valem de 
espelho elíptico para concentrar os raios luminosos emitido pela lâmpada colocada em um dos 
focos. 
Construção de aparelho de emissão de raios usados em medicina: Por exemplo, o 
aparelho de radioterapia cujos raios devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos 
sadios que se encontram ao redor. 
Nas salas de sussurro existentes. São construções de forma oval onde estão marcados 
dois pontos no chão, duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos podem se 
comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala. A forma da sala é de fundamental 
importância. Ao projeta – la fixam – se dois pontos P e Q que fica na altura da cabeça das 
pessoas. A seguir toma – se uma elipse que admita P e Q como focos e a sala é construída de 
tal maneira que qualquer plano que passe por estes pontos intercepte a sala segundo uma 
elipse congruente com a escolhida. 
A Circunferência é um caso particular da Elipse. Suas aplicações são múltiplas e 
conhecidas! 
 
A Hipérbole é utilizada no estudo 
descritivo da expansão dos gases em motores 
a explosão. 
Outras aplicações 
A propriedade da reflexão da hipérbole 
possibilita muitas aplicações úteis, como por 
exemplo, considere a superfície obtida girando 
– se uma hipérbole em torno da reta que 
contem seu eixo real ( a superfície de um 
hiperbolóide de duas folhas) e admitindo – se 
espelhada a parte externa da superfície, todo o 
raio de luz incidente a superfície na direção de 
outro foco. Isso possibilita a criação do sistema 
de navegação hiperbólico desenvolvido na 2º 
guerra mundial como ajuda na navegação de 
navios e é baseado na definição de uma 
hipérbole. Com este sistema, o navio recebe 
sinais sincronizados de radio a partir de dois 
transmissores a grande distância com uma 
posição conhecida. O receptor eletrônico do 
navio mede a diferença nos tempos de 
recepção entre os sinais e usa essa diferença 
para calcular a distancia 2a. 
 
LOGO CEF 
Caixa Econômica Federal 
 
 
 
 - 19 - 
 
BÁSICAS – Memorizar!!! 
DERIVADAS INTEGRAIS 
 
01 y = k y' = 0 
02 y = x y’ = 1 
03 y = k.x y’ = k 
04 y = xn y’ = n.xn-1 
05 y = k.xn y’ = k. n.xn-1 
06 y = k.u y' = k.u’ 
07 y = un y' = n.un-1.u’ 
08 y = u ± v y' = u’ ± v’ 
01 ∫
+
= +
+
C
n
n
n
xdxx
1
1
 
09 y = u.v y' = u’.v + u.v’ 
10 y = 
v
u
 
2
'.'.
'
v
vuvuy −=
 
02 ∫ ∫−= vduvuudv . 
11 y = ln x y' = 
x
1
 
03 ∫ += Cxndxx
l
1
 
11a y = ln (ax) 
xax
ay 1' ==
 
04 ∫ +−= Cxaxnxdxaxn )()( ll 
11b y = ln u y' = 
u
u'
 
05 ∫ += Cunduu
l
1
 
12 y = au y' = u’.au.ln a 
13 y = ex y' = ex 
13a y = eax y' = a.eax 
13b y = eu y' = u’.eu 
06 ∫ = + C
ax
ax
a
edxe 
14 y = sen(x) y' = cos(x) 
14a y = sen(ax) y' = a.cos(ax) 
14b y = sen u y' = u’.cos u 
07 C
a
axdxaxsen +−=∫
)cos()(
 
15 y = cos(x) y' = – sen(x) 
15a y = cos(ax) y' = – a.sen(ax) 
15b y = cos u y' = – u’.sen u 
08 C
a
axsendxax +=∫
)()cos( 
16 y = tg (ax) y' = a.sec 2(ax) 
17 y = logau 
au
uy
ln.
'
' = 
 
Cudxutg +=∫ )sec(ln)( 
 
Onde: K, C →→→→ constantes reais 
a →→→→ número real 
u e v são funções de x 
n é um número natural 
 
 - 20 - 
 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
 
DEFINIÇÃO: 
Se f e uma função de duas 
variáveis, suas derivadas parciais são 
as funções xf e yf definidas por: 
 
h
yxfyhxfyx
hx
f ),(),(),( lim
0
−+
=
→
 
 
h
yxfhyxfyx
hy
f ),(),(),( lim
0
−+
=
→
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação para Derivadas Parciais 
 
Se z = f(x,y), escrevemos: 
xxxx zfDfDf
x
zyxf
xx
ffyxf ====
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
== 11),(),( 
yyyy zfDfDfy
zyxf
yy
ffyxf ====
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
== 22),(),(
 
 
Regra para determinar a derivada parcial de z = f(x,y): 
 
01) Para determinar fx, olhe y como uma constante e diferencie f(x,y) com relação a x. 
02) Para determinar fy, olhe x como uma constante e diferencie f(x,y) com relação a y. 
 
Derivadas Parciais de 2ª ordem. 
 
Se z = f(x,y), temos: 
 
xxxxxx z
x
z
x
f
x
f
x
fff =
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=== 2
2
2
2
11)( 
xyxyyx z
xy
z
xy
f
x
f
y
fff =
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
===
22
12)( 
yxyxxy zyx
z
yx
f
y
f
x
fff =
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
===
22
21)( 
yyyyyy zy
z
y
f
y
f
y
fff =
∂
∂
=
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=== 2
2
2
2
22)( 
 
x 
y 
z 
 - 21 - 
DERIVADAS PARCIAIS MISTAS 
 
 
As derivadas parciais mistas (ou derivadas cruzadas) fxy= fyx são iguais para a 
maioria das funções que encontramos na prática. O teorema seguinte do matemático 
francês Alexis Clairaut (1713-1765), fornece condições as quais podemos afirmar que 
fxy= fyx 
Interessante: Alexis Clairaut foi uma criança prodígio na matemática: aos 10 
anos leu o texto de cálculo de L’Hôpital, e aos 13 apresentou um artigo sobre 
geometria na Academia Francesa de Ciências. Aos 18 anos Clairaut publicou 
Recherches sur les courbes à doube coubure, o primeiro tratado sistemático em 
geometria analítica tridimensional, em que incluiu o cálculo de curvas espaciais. 
 
Teorema de Clairaut Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se f, fx, fy, fxy,e 
fyx são contínuas em uma região aberta R, então fxy= fyx em toda 
região aberta R. 
 
2ª Lista - Derivadas Parciais 
 
Determinar para cada um dos exercícios, as derivadas parciais: fx, fy, fxx, fyy, fxy, fyx. 
 
01) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1 02) f(x,y) = xey + y sen x 03) f(x,y) = ex
.
ln(xy) 
04) f(x,y) = x.cos y + y.ex 05)f(x,y) = x.cos(x / y) 
 
Obter apenas fx, fy, de : 
06) f(x,y) = (x3 – y2)5 07) 22),( yxyxf += 08) 
y
x
x
y
yxf −=),( 
Determinar fxx, fyy, fzz, fxy, fxz, fyx, fyz, fzx, fzy. De cada um dos exercícios: 
 
09) f(x,y,z) = 3x2z + xy2 10) f(x,y,z) = x2y3z4 + 2x – 5yx 11) f(x,y,z) = x2e2ycos z 
14)f(x,y,z) = ln(x + 2y + 3z) 15) yxz zeeyexzyxf −+−= ..),,( 16) f(x,y,z) = xyz.exyz 
 
Extras: 01) f(x,y,z) = e3xsen2y + 2x4ln3z + y2cos3z 02) f(x,y,z) = exyz, 03) f(x,y,z) = 
cos(xyz), 
04) f(x,y,z) = sen(xyz), 05) f(x,y,z) = e3xcos5y.lnz +5x– 2y + 7z 06)f(x,y,z) = e2xz + 
cos(xy) – ln(yz) 
 
 
APLICAÇÕES: 
SWO. Pág. 379,380. 
 
49) Uma chapa de metal plana jaz em um plano xy de modo que a temperatura T em (x,y) seja 
dada por T¨(x,y) = 10(x2 + y2)2 em que T é expresso em graus e x e y em cm . Determine a taxa 
instantânea de variação de T em relação à distância em (1,2) nadireção do: 
 a) eixo x b) eixo y 
 
50) A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de modo que a 
profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dado por f(x,y) = 300 – 2x2 – 3y2, em que x, 
y e f(x,y) são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9), 
determine a taxa instantânea à qual profundidade varia na direção do: 
 a) eixo x b) eixo y 
 
51) Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto(x,y,z) seja dado por V = 100/(x2 + y2 + z2), 
onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Determine a taxa instantânea de variação de 
V em relação à distância em (2,-1, 1) na direção do: 
 a) eixo x b) eixo y c) eixo z 
52) Um objeto está situado em um sistema coordenado retangular tal que a temperatura T no 
ponto P(x,y,z) seja dada por T = 4x2 – y2 + 16z2, em que T é expressa em graus e x, y, z em 
centímetros. Determine a taxa instantânea de variação de T em relação à distância do ponto 
P(4,-2,1) na direção do 
 a) eixo x b) eixo y c) eixo z 
MVR 14/02/11 
 - 22 - 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
 
 Derivadas parciais ocorrem em equações diferencias parciais que exprimem 
algumas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial. 02
2
2
2
=+
∂
∂
∂
∂
yx
uu
 
 é chamada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-
1827). Soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito 
importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluídos e potencial 
elétrico. Exemplo: Mostrar que a função u(x,y) = exsen y é solução da equação 
de Laplace <demonstração> 
A equação da onda 
02
2
2
2
2
==
∂
∂
∂
∂
xt
u
a
u
 
 descreve o movimento de uma onda, que pode ser uma onda do mar, uma 
onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se movendo numa corda vibrante. 
Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de violino no instante t e 
a distância x de um dos términos da corda vibrante(como na figura), então u(x,t) 
satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da 
tensão aplicada na corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A L B E R T E I N S T E I N 
“A Música parece uma equação: 
bem formulada e cheia de harmonia 
e sonoridade” 
 
“DEUS NÃO JOGA DADOS” 
 
O único lugar aonde o sucesso vem 
antes do trabalho é no dicionário 
 
"A imaginação é mais importante que o 
conhecimento, pois através da 
imaginação chega-se ao conhecimento 
mas através do conhecimento não se 
chega à imaginação" 
 
“Penso noventa e nove vezes e nada 
descubro; deixo de pensar, mergulho em 
profundo silêncio - e eis que a verdade se 
me revela.” 
 
Do meu telescópio, eu via Deus caminhar! A maravilhosa 
disposição e harmonia do universo só pode ter tido origem 
segundo o plano de um Ser que tudo sabe e tudo pode. Isto 
fica sendo a minha última e mais elevada descoberta. 
 
u(x,t) 
corda 
x 
 - 23 - 
 
“SOLIDARIEDADE E HUMILDADE” 
 
Há alguns anos, nas Olimpíadas Especiais de Seattle, nove participantes 
todos com deficiência mental, alinharam-se para a largada da corrida dos 100 
metros rasos. 
Ao sinal, todos partiram, não exatamente em disparada, mas com vontade de 
dar o melhor de si, terminar a corrida e ganhar. Um dos garotos tropeçou no 
asfalto, caiu e começou a chorar, os outros oito ouviram o choro. Diminuíram o 
passo e olharam para trás. Então viraram e voltaram, todos eles. 
Uma das meninas, com síndrome de Down, ajoelhou-se, deu um beijo no 
garoto e disse: - Pronto, agora vai sarar! E todos os noves competidores deram os 
braços e andaram juntos até a linha de chegada. 
O estádio inteiro levantou e os aplausos duraram muitos minutos... Talvez os 
atletas fosse deficientes mentais... Mas com certeza, não eram deficientes 
espirituais... “ 
Isso porque, lá no fundo, todos nós sabemos que o que importa nesta vida, 
mas do que ganhar sozinho é ajudar os outros a vencer, mesmo que isso signifique 
diminuir os nossos passos. 
“Procure ser um homem de valor, 
em vez de procurar ser um homem de sucesso” 
Albert Einstein” 
 
USE A IMAGINAÇÃO 
 
 Um cachorrinho, perdido na selva, vê um tigre correndo em sua direção. 
Pensa rápido, vê uns ossos no chão e se põe a mordê-los. Então, quando o tigre está 
a ponto de atacá-lo, o cachorrinho diz: - Ah, que delícia este tigre que acabo de 
comer! 
 O tigre pára bruscamente e sai apavorado correndo do cachorrinho, e no 
caminho vai pensando: "Que cachorro bravo! Por pouco não come a mim. 
 Um macaco, que havia visto a cena, sai correndo atrás do 
>tigre e conta como ele havia sido enganado. O tigre, furioso, diz: - Este Cachorro 
Vai me pagar! O cachorrinho vê que o tigre vem atrás dele de novo e desta vez traz 
o macaco montado em suas costas. "Ah, macaco traidor! O que faço agora?", 
pensou o cachorrinho. 
 Em vez de sair correndo, ele ficou de costas, como se não estivesse vendo 
nada. Quando o tigre está a ponto de atacá-lo de novo, o cachorrinho diz: - Macaco 
preguiçoso! Faz meia hora que eu o mandei me trazer um outro tigre e ele ainda 
não voltou! 
 
 "EM MOMENTOS DE CRISE, SÓ A IMAGINAÇÃO É MAIS 
IMPORTANTE QUE O CONHECIMENTO." 
Albert Einstein 
 
“A mente que se abre a novas idéias jamais retornar ao seu tamanho original” 
Albert Einstein 
 - 24 - 
 
D I F E R E N C I A L T O T A L 
 
(Incremento e Diferenciais / Aproximação Linear) 
 
Definição: Seja w = f(x,y) e sejam ∆∆∆∆x e ∆∆∆∆y incrementos de x e y, respectivamente. 
O incremento ∆∆∆∆w de w = f(x,y) é ∆∆∆∆w = f(x + ∆∆∆∆x, y + ∆∆∆∆y) - f(x,y). 
Definição: Seja w = f(x,y) e sejam ∆∆∆∆x e ∆∆∆∆y incrementos de x e y respectivamente: 
i) As diferenciais dx e dy das variáveis x e y são: ∆∆∆∆x = dx e ∆∆∆∆y = dy 
ii) A diferencial total dw da variável w é: 
dw = fx(x,y).dx + fy(x,y).dy ou dy
y
wdx
x
wdw ..
∂
∂
+
∂
∂
= 
Resumo: Sendo ),(),(),( yxfyyxxfwcom
dyy
dxx
yxfw −∆+∆+=∆



=∆
=∆
= 
 Se ∆∆∆∆x→→→→0 e ∆∆∆∆y→→→→0 temos dww ≅∆ Isto aplica-se para n variáveis. 
n
n
dx
x
wdx
x
wdx
x
wdx
x
wdw ....... 3
3
2
2
1
1 ∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 
Exemplo: Seja w = f(x,y) = 3x2 – xy 
a) Se ∆∆∆∆x e ∆∆∆∆y são incrementos de x e y, determine ∆∆∆∆w (algébrico) 
b) Utilize ∆∆∆∆w para calcular a variação exata de f(x,y) quando (x,y) variar de (1,2) para (1,01;1,98) 
c) Por diferencial total (Compare) 
Lista Básica - 3ª Lista 
SWO Página 395 
Por meio de diferenciais, aproxime a variação de f para as variações indicadas nas variáveis 
independentes. 
 
19) f(x,y) = x² - 3x³y²+4x-2y³+6; (-2,3) para (-2,02; 3,01) 
20) f(x,y) = x²-2xy +3y; (1,2) para (1,03; 1,99) 
21) f(x,y,z) = x²z³-3yz²+x-3+2y1/2z; (1,4,2) para (1,02; 3,97; 1,96) 
22) f(x,y,z) = xy+xz+yz; (-1,2,3)para(-0,98; 1,99; 3,03) 
 
R E V I S Ã O G E O M E T R I A 
 
PARALELEPÍPEDO CUBO(Hexaedro) CILINDRO CONE ESFERA 
 
AB = 
AL = 
AT = 
V = 
 
AB = 
AL = 
AT = 
V = 
 
AB = 
AL = 
AT = 
V = 
 
AB = 
AL = 
AT = 
 
V = 
 
 
A = 
 
V = 
 
23) As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1m, 2m e 3m, com erro possível de 0,16 cm em 
cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro máximo no valor calculado. 
a) área total b) volume 
 
M1) Uma lata de cerveja SKOL tem 6 cm de diâmetro e 11,8 cm de altura. Com erro de um décimo de 
mm no raio e dois décimos de mm de altura, utilize diferenciais para aproximar o erro máximo da(o): 
a)área lateral b) volume 
 
M2) Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 8 cm e 15 cm, 
respectivamente, com possível erro nessas medidas de dois décimos de milímetros para o raio e trêsdécimos de milímetros para a altura. Utilize diferencial para estimar o erro máximo (em cm³ ou ml ) 
cometido no calculo do volume 
 
M3) A SKF produz mensalmente 10.000 rolamentos, que são utilizados na construção de motores 
elétricos, um determinado rolamento é constituído de 12 esferas, onde o raio de uma esfera é igual a 1 cm. 
Admitindo um erro máximo de três décimos de milímetro para o raio da esfera, utilize diferenciais para 
estimar o máximo erro (em cm³ ou ml) no cálculo do volume da produção mensal de rolamentos. 
19)dw = 7,38 20) dw = 0,07 21) dw = 1,87 22) dw = 0,11 Gabarito 
 
23) ds = 0,0384m² 
 dv = 0,0176 m³ 
M1) dAL = 0,356pi cm2 
dV = 0,888pi cm3 
M2) 
dV = 2,24pi cm3 
M3) dV = 
14400pi cm3 
 
 - 25 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 26 - 
 
FUNÇÕES DEFINIDAS EM SUPERFÍCIES 
 
Se tivermos interessados na temperatura w = f(x, y z) no ponto (x, y, z) em 
um globo no espaço, podemos preferir pensar em x, y e z como funções das 
variáveis r e s que fornecem as longitudes e latitudes dos pontos. Se x = f(r, s), y = 
h(r, s) e z = k(r, s) , podemos então expressar a temperatura como uma função de r 
e s com a função composta 
( ).),(),,(),,( srksrhsrgfw =
 
Sob condições ideais, w teria derivadas parciais em relação a r e s que 
poderiam ser calculadas da maneira seguir. 
 
Regra da Cadeia 
PARA DUAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES E TRÊS VARIÁVEIS INTERMEDIÁRIAS 
 
 Suponha que w = f(x, y z), x = f(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s). Se todas as 
quatro funções forem diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a r 
e s, dadas pelas fórmulas: 
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
e
r
z
z
w
r
y
y
w
r
x
x
w
r
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mesmo pode ser feito para variável independente s. 
 
Função Composta e diagrama para o Teorema 
 
Isto aplica-se para “n”variáveis intermediárias e “m” variáveis independentes. 
 
Extraído do Thomas, George B., Cálculo volume 2, páginas 286,287 
 
 
w = f(x,y,z) 
x
w
∂
∂
 
y
w
∂
∂
 
r
x
∂
∂
 
r
y
∂
∂
 
r
z
∂
∂
 
z
w
∂
∂
 
y x z 
r 
Variável 
dependente 
Variáveis 
intermediárias 
Variável 
independente 
 - 27 - 
 
D E R I V A D A S D I R E C I O N A I S 
 
Definição: Sejam w = f(x,y) e u = u1i + u2j um vetor unitário. A derivada direcional de f em P(x,y) na 
direção de u, denotada por Duf(x,y), é 
 
Duf(x,y) = lim
0→s s
yxfusyusxf ),(),( 21 −++
 
Se a é um vetor arbitrário de mesma direção que u, chamaremos também Duf(x,y) a derivada direcional 
de f na direção de a. 
 Lembrando que a direção de um vetor a é dado por seu o vetor unitário ou versor 
a
a
u a =
 
 
Teorema: Se f é uma função diferenciável de duas variáveis e u = u1i + u2j é um vetor 
unitário, então 
Duf(x,y) = fx(x,y)u1 + fy(x,y)u2 
 
Definição: Seja f uma função de duas variáveis. O gradiente de f(ou de f(x,y)) é uma função 
vetorial dada por 
 
∇f(x,y) = fx(x,y)i + fy(x,y)j denota-se em geral por grad f(x,y) 
 
DERIVADA DIRECCIONAL (forma de gradiente) 
 
Duf(x,y) = ∇∇∇∇f(x,y) . u 
 
Assim, para encontrar a derivada direcional de f na direção do vetor unitário(ou versor) 
u , formamos o produto escalar do gradiente de f e u. 
 
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o PRODUTO ESCALAR ou produto 
interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por: v.w = a.c + b.d 
Exemplo: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) ou v = 2i +5j e w = -7i +12j, 
e o produto escalar será dado por: v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 46. Outra forma de 
escrever o PRODUTO ESCALAR entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q 
é o ângulo formado entre v e w. 
 
 
 
 O símbolo ∇∇∇∇(chamado nabla), é um operador diferencial vetorial que se define como 
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
=∇
 
Teorema do gradiente Seja f uma função de duas variáveis, diferenciável no ponto P(x,y) 
(i) O máximo de Duf(x,y) em P(x,y) é ),( yxf∇ . 
(ii) O máximo da taxa de crescimento de f(x,y) em P(x,y) 
ocorre na direção de ∇∇∇∇f(x,y) ( ou melhor u∇∇∇∇f ) 
 
Corolário Seja f uma função de duas variáveis, diferenciável no ponto P(x,y) 
(iii) O mínimo de Duf(x,y) em P(x,y) é ),( yxf∇− . 
(iv) O mínimo da taxa de acréscimo (ou o máximo de 
decréscimo) de f(x,y) em P(x,y) ocorre na direção 
de -∇∇∇∇f(x,y) ( ou melhor -u∇∇∇∇f ) 
 
10/02/07 
MVR 
 - 28 - 
 
M Ó D U L O 2 
 
Para Responder em grupos. 
 
01) O que significa a palavra integrar? 
02) O que significa a palavra integração 
03) O que significa a palavra integral? 
04) Quais os tipos de integrais que você 
conhece? 
05) O que uma integral pode calcular? 
06) O que é a antiderivada de uma função? 
07) O que é uma integral indefinida? Por que 
é chamada assim? 
08) O que é uma integral definida? Qual a 
definição? 
09) O que é uma integral imprópria? 
10) Cite algumas técnicas de integração? 
11) Existe uma técnica de integração que 
corresponde à Regra da Cadeia na 
diferenciação? 
12) Existe uma técnica de integração que 
corresponde à Regra do Produto na 
diferenciação? 
13) Você lembra de Decomposição em 
Frações Parciais? 
14) Quais as condições para que uma função 
seja diferenciável? 
15) Quais as condições para que uma função 
seja integrável? 
16) Existem funções não deriváveis ou não 
diferenciáveis? Cite exemplos. Você pode 
dizer o por quê? 
17) Existem funções não integráveis? Cite 
exemplos. Você pode dizer o por quê? 
18) O que é uma função transcendental? Cite 
exemplos? 
Cálculo 3 em 12 de abril de 2010 
01) Determine a área da região do plano cartesiano, limitada pelo eixo x, com x 
variando de 3 a 7 inclusive e pela função constante f(x) = 4. A área dessa região 
assemelha–se a quê? Isto é, que representação geométrica você tem para ela? 
 
02) Determine a área da região do plano cartesiano, limitada pelo eixo x, com x 
variando de 0 a 6 inclusive e pela função linear 
3
2)( xxf = . A área dessa região 
assemelha–se a quê? Isto é, que representação geométrica você tem para ela? 
 
03) Determine a área da região do plano cartesiano, limitada pelo eixo x, com x 
variando de 1 a 5 inclusive e pela função afim f(x) = 3x + 2 . A área dessa região 
assemelha–se a quê? Isto é, que representação geométrica você tem para ela? 
 
04) Determine a área da região do plano cartesiano, limitada pelo eixo x, com x 
variando de 1 a 3 inclusive e pela função quadrática f(x) = x². A área dessa região 
assemelha–se a quê? Isto é, que representação geométrica você tem para ela? 
 
Você é capaz de resolver e responder as seguintes questões? 
 
05) No exercício seguinte esboce a região de integração e calcule a integral. 
 
 a) ∫ ∫ −
3
0
2
0
2 )4( dydxy b) ∫ ∫ −
2
0
3
0
2 )4( dxdyy 
 c) ∫ ∫
−
−
3
0
0
2
2 )2( dydxxyyx d) ∫ ∫
−
−
0
2
3
0
2 )2( dxdyxyyx 
 - 29 - 
 
06) Nos exercícios seguintes esboce a região de integração e calcule a integral. 
 a) ∫ ∫
1
0 0
3
2
3
y
xy dxdyey
 b) ∫ ∫
pi
0 0
x
xsenydydx
 
 
INVERTENDO A ORDEM DE INTEGRAÇÃO 
 
 Nos exercícios abaixo esboce a região de integração e escreva uma integral 
dupla equivalente a ela com a ordem de integração invertida 
07) ∫ ∫
−
2
0
0
2y
dxdy
 08) ∫ ∫
−1
0
24
2
x
dydx
 09) ∫ ∫
1
0
y
y
dxdy
 
(22 do 12.1 THOMAS (2002)) (21 do 12.1 THOMAS(2002)) (23 do 12.1 THOMAS (2002)) 
 
Nos exercícios 10 e 11 esboce a região de integração, inverta a ordem de 
integração e calcule a integral. 
10) ∫ ∫
2
0
2
2 )(2
x
dydxxyseny
 
(32 do 12.1 THOMAS (2002) 
1º OBA!!! Adicionais: 33) 34) 36) e 38 do 
12.1 THOMAS (2002) 
 
 
11) Se R é uma Região triangular 
limitada pelas retas 





=+
=
=
2
2
yx
xy
xy
 
Calcule a integral ∫∫
R
xydA 
 [40 do 12.1 THOMAS (2002)] 
 
 
S U B S T I T U I Ç Õ E S T R I G O N O M É T R I C A S 
 
Na figura acima no lugar de x podemos colocar uma função genérica de x. Chamaremos 
u= f(x) e a uma constante. Sendo assim temos: 
a2 – u2 →→→→ u = asenθθθθ u2 – a2 →→→→ u= asecθθθθ a2 + u2 →→→→ u = atgθθθθ 
 
 
1. u = atgθθθθ substitui a2 + u2 por a2sec2θθθθ 
2. u = asenθθθθ substitui a2 – u2 por a2cos2θθθθ 
3. u = asecθθθθ substitui u2 – a2 por a2tg2θθθθ 
I N T E G R A Ç Ã O P O R P A R T E S 
 ∫∫ −= vduuvudv 
 
Integração Tabular – páginas 529,530 e 580 
do THOMAS volume 1 
Integrais Impróprias – páginas 562 e 563 do 
THOMAS volume 1 
 
 
 
L I A T E 
Integra 
Deriva Logarítmicas 
Inversas Trigonométricas 
Algébricas 
Trigonométricas 
Exponenciais 
 - 30 - 
 
 
 
I N T E G R A I S M Ú L T I P L A S – MÓDULO 2 
 
Um teorema publicado em 1907 por Guido Fubini diz que a integral dupla de qualquer 
função contínua sobre um retângulo pode ser calculada como uma integral iterada (ou repetida) em 
qualquer ordem de integração. Fubini provou seu teorema de modo mais geral, mas é assim que ele 
se traduz no que estamos fazendo agora. 
 
Teorema 1 – Teorema de Fubini (Primeira Forma) 
 
 Se f(x, y) for contínua na região retangular R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, então. 
∫∫ ∫∫∫∫ ==R
d
c
b
a
b
a
d
c
dydxyxfdxdyyxfdayxf ),(),(),(
 
 
 O Teorema de Fubini diz que integrais duplas sobre retângulos podem ser calculadas como 
integrais iteradas. Assim, podemos calcular uma integral dupla integrando uma variável de cada vez. 
 O Teorema de Fubini também diz que podemos calcular a integral dupla integrando em 
qualquer ordem. 
 
Teorema 2 – Teorema de Fubini (Forma Mais Forte) 
 
 Seja f(x, y) contínua em uma região R 
 
1. Se R for definida por a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), com g1 e g2 contínuas. 
em [a,b], então: 
∫∫ ∫∫=R
xg
xg
b
a
dydxyxfdayxf )(
)(
2
1
),(),(
 
2. Se R for definida por c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), com h1 e h2 contínuas 
em [c,d], então: 
∫∫ ∫∫=R
yh
yh
d
c
dxdyyxfdayxf )(
)(
2
1
),(),(
 
 
G U I D O F U B I N I (1879-1943) 
Fubini freqüentou a escola secundária em Veneza, Itália, onde se mostrou um aluno 
brilhante de matemática. Mais tarde concluiu seu doutorado em geometria pela Scuola 
Superiore di Pisa. Em seguida trabalhou nas funções harmônicas em espaços curvos. 
Ele lecionou na Universidade de Catânia, na Sicília, e mais tarde nas universidades de 
Gênova e de Turim. Os interesses de Fubini eram amplos, da geometria diferencial à 
análise e aplicação das equações diferenciais. Durante a Primeira Guerra Mundial 
utilizou seu trabalho em benefício do exército italiano nas áreas de precisão de 
artilharia, propagação acústica e circuitos elétricos. Durante a Segunda Guerra, quando 
o fascismo tomou conta da Itália, ele foi forçado a renunciar a sua posição em Turim e 
a deixar a Itália. Acabou emigrando para os Estados Unidos com a família, onde 
lecionou por alguns anos, até sua morte. O trabalho de Fubini em cálculo envolveu a 
integral de Weierstrass, as integrais de superfície e as séries de Taylor. Diz-se que ele 
foi uma das mentes mais originais no campo da matemática durante a primeira metade 
do século vinte. 
 
 
Bibliografia: Thomas, George B. Cálculo volume 2 – Décima edição, páginas 358 a 360. 
 - 31 - 
 
CÁLCULO II - Exercícios Extras – Coordenadas esféricas 
 
01) Calcule o volume de 
uma esfera, usando 
integrais triplas em 
coordenadas esféricas onde 
o raio é igual a “a”. 
 
02) Encontre o volume do sólido, 
interior ao cone z = r e também 
interior à esfera 
r2 + z2 = a2, utilizando integrais 
triplas em coordenadas esféricas. 
 
03) Determine o volume do 
sólido que está acima do 
cone φ = pi/3 e abaixo da 
esfera ρ= 4cosφ. 
 
 
SWOKOWSKI – Volume 2 - Página 540 
35) Determine o volume do 
sólido situado acima do cone 
z
2
 = x
2
 + y2 e interior à 
esfera x2 + y2 + z2 = 4z. 
 
32) Determine o volume do sólido 
delimitado pelo cone 
z = 
22 yx + , e pelo cilindro 
x
2
 + y2 = 4 e pelo plano-xy. 
 
36) Determine o volume do 
sólido exterior ao cone 
z
2
=x
2
 + y2 e interior a esfera 
x
2
 + y2 + z2 =1 
 
Opcionais: 
Op1] Utilizando coordenadas esféricas, calcular 
 
( )∫ ∫ ∫
−
−−
++
3
0
9
0
9
0
3222
2 22
 
x yx
dxdydzzyx
 
Op2] Utilizando coordenadas esféricas, 
calcular o volume do sólido no 
primeiro octante, limitado pela esfera r 
= 4, pelos planos coordenados, 
o cone 
6
piφ = e o cone 
3
piφ = 
 
Resumo: - Mudança de variáveis 
 
Coordenadas Polares Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas 
 
r2= x2 + y2 
x = rcosθ 
y = rsenθ 
θ= arc tg 





x
y
 
Elemento de área 
 
dA =dxdy= →rdrdθ 
 
 
r2= x2 + y2 
x = rcosθ 
y = rsenθ 
z = z 
 
Elemento de volume 
 
dV =dxdydz =→rdzdrdθ 
 
 
z = ρcosφ 
r = ρsenφ 
x = ρsenφcosθ 
y = ρsenφsenθ 
ρ2 = x2 + y2 + z2 
ou ρ2 = r2 + z2 
 
Elemento de volume 
 
dV = dxdydz =→ρ2senφdρdφdθ 
 
Marcos Vinícius Ribeiro 10/02/2007 
 
 
 
Em Cálculo 
temos 
 
 
 
 
 
 
 
Em Eletromagnetismo 
temos 
 
 
 
 
 
 
 - 32 - 
 
 
C O O R D E N A D A S C I L Í N D R I C A S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 33 - 
 
 
 
C O O R D E N A D A S E S F É R I C A S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 34 - 
 
Dicas na construção de gráficos em Coordenadas Polares 
AO ESBOÇAR CURVAS POLARES LEMBRE-SE DE QUE É ÚTIL ALGUMAS VEZES LEVAR EM 
CONTA A SIMETRIA. 
 As três regras seguintes vem da redução de um arco ao primeiro quadrante. 
Lembremos que: 
 a)Se uma equação polar não mudar quando θθθθ for trocado por - θθθθ , a curva será 
simétrica ao redor do eixo polar(simetria entre 1º e 4º quadrantes”). 
 b) Se a equação não mudar quando r for trocado por – r, ou ainda θθθθ por pipipipi+ θθθθ a 
curva será simétrica ao redor do pólo. Isso significa que a curva permanecerá 
inalterada se a girarmos 180º ao redor da origem(simetria entre 1º e 3º quadrantes). 
 
 c)Se a equação não mudar quando θθθθ for trocado por pipipipi- θθθθ, a curva será simétrica 
ao redor da reta vertical θ = pi/2 (simetria entre 1º e 2º quadrantes). 
 
 Nas equações polares da forma r = asen(nθ) ou r = acos(nθ), para qualquer 
inteiro positivo n maior do que 1 e qualquer real não nulo a, teremos as rosáceas, que 
consistem em um certo número de laços(ou folhas) unidas pela origem. Se n é par há 
2n laços, e se n é impar, há n laços. 
Marcos Vinícius Ribeiro 10/02/2007 
Simetrias: Seja θθθθ um 
ângulo no 1º quadrante, 
temos:→→→→ 
2º Quadrante 
Suplemento de θθθθ 
(180º – θθθθ) 
Quanto falta para 180º 
3º Quadrante 
Explemento de θθθθ 
(180º + θθθθ) 
Quanto passou de 180º 
4º Quadrante 
Replemento de θθθθ 
(360º - θθθθ) 
Quanto falta para 360º 
1º Quadrante 
Complemento de θθθθ 
(90º – θθθθ) 
Quanto falta para 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21/06/2008 - 23h39 
André Lima crialaços geométricos e "vestidos alados" para o verão 2009 CAROLINA 
VASONE Editora de UOL Estilo Alexandre Schneider/UOL 
 
Uma das mulheres exuberantes de André Lima 
FOTOS: ANDRÉ LIMA VERÃO 2009 
 ESPECIAL SÃO PAULO FASHION WEEK VERÃO 2009 
 A mulher de André Lima é um mulherão. E um mulherão que faz questão de ser 
aquela que chega e pára a festa. Além da exuberância, da cor, das pernas à mostra, o 
estilista quer dar mais à cliente de sua marca de roupas sempre festivas: formas diferentes, 
geometria pontuda, o exagero proposital para o verão 2009, desfilado na noite deste sábado 
(21), no encerramento do quinto dia de São Paulo Fashion Week. 
 Sem medo do "over", André Lima então abusa do efeito do laço gigante, que se 
amarra fazendo parte do vestido, como no tomara-que-caia preto, laço branco que parece ser 
puxado da barra da saia curta. Em outros momentos, as pontas dos laços ultrapassam as 
fronteiras dos vestidos, num efeito geométrico forte, que também acontece com as mangas 
duras, curtas, quadradas como ombreiras, dos vestidos também curtos. 
 Com brilho do cetim e do shantung, os vestidos bem acabados aparecem em tons 
fortes de pink, vermelho, na combinação do preto e do branco, e nos tons clarinhos de rosa e 
de azul. Os longos também têm vez, mais fluidos que os durinhos curtos, muitas vezes 
curtíssimos. 
 
180º- θθθθ θθθθ 
360º - θθθθ 180º + θθθθ 
pi - θθθθ θθθθ 
2pi - θθθθ pi + θθθθ 
 - 35 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
0 
pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 pi/2 7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 
pi 
13pi/12 
7pi/6 
5pi/4 
4pi/3 
17pi/12 3pi/2 19pi/12 
5pi/3 
7pi/4 
11pi/6 
23pi/12 
 - 36 - 
 
Para Auxiliar na Visão Espacial 
C O O R D E N A D A S P O L A R E S 
 
01) DADAS AS EQUAÇÕES: 
a) r = 2 b) r = 2sen(θ) c) r = -2sen(θ) d) r = 2cos(θ) e) r = -2cos(θ) 
 
O que você pode dizer das circunferências? Descreva com suas palavras. 
 
a) 
 
 
 
b) c) d) e) 
 
O gráfico está contido em quais quadrantes? 
 
a) 
 
 
b) c) d) e) 
 
Qual é a variação de θθθθ para cada gráfico? 
 
a) 




, b) 




, c) 




, d) 




, e) 




, 
 
Lembrando - Você pode escrever o intervalo 232 pipi θ ≤≤ desta forma [ ]232 , pipi 
 
02) Com suas palavras, o que você pode concluir sobre as equações 
r = a , r = asen(θ) e r = acos(θ) ? 
 
 r = a r = asen(θ) r = acos(θ) 
Quando 
a ≥ 0 
 
Quando 
a ≤ 0 
 
 
C O O R D E N A D A S E S F É R I C A S 
 
03) O que você possui quando temos a equação: 
 
a) 2=ρ 
 
 
b) )cos(2 φρ = c) )cos(2 φρ −= d) 2=ρ e z ≥ 0 
 
e) 2=ρ e z ≤ 0 
PARA PENSAR. Podemos dizer que o “sinônimo” de z ≥ 0 é o mesmo que _____≤ ≤ ____ 
 
E que o “sinônimo” de z ≤ 0 é o mesmo que _____≤ ≤ ____ 
 
 
Quais são as variações de θθθθ (TETA) e de φφφφ (PHI) em cada item acima? 
 
a) 
 
_____≤ θ ≤ _____ 
 
_____≤ φ ≤ ____ 
 
b) 
 
_____≤ θ ≤ _____ 
 
_____≤ φ ≤ ____ 
 
c) 
 
_____≤ θ ≤ _____ 
 
_____≤ φ ≤ ____ 
 
d) 
 
_____≤ θ ≤ _____ 
 
_____≤ φ ≤ ____ 
 
e) 
 
_____≤ θ ≤ _____ 
 
_____≤ φ ≤ ____ 
 
 
PARA PENSAR. O que representa no espaço a equação 
)(3 φρ sen= ? E a equação )(3 φρ sen−= ? Muda alguma coisa? 
 
04) Você lembra qual é o “sinônimo” do: 
a) plano xy? _______ b) plano xz? _______ c) plano yz?________ 
 
 
O sentido de rotação (giro) positivo(+) é o sentido _______________. 
O sentido de rotação (giro) negativo(-) é o sentido _______________. 
Adotamos o mesmo para a orientação do ciclo trigonométrico e para coordenadas polares. 
 
 - 37 - 
05) Dê os sinais das coordenadas cartesianas (ou retangulares) bidimensionais em cada quadrante: 
1º→( , ) 2º→( , ) 3º→( , ) 4º→( , ) 
 
P A R E S O R D E N A D O S 
 
06) Dê os sinais das coordenadas cartesianas (ou retangulares) tridimensionais em cada octante: 
1º) ( , , ) 2º) ( , , ) 3º) ( , , ) 4º) ( , , ) 
5º) ( , , ) 6º) ( , , ) 7º) ( , , ) 8º) ( , , ) 
 
T E R N A S O R D E N A D A S 
Considerando um olhar de cima para baixo no sentido anti-horário (positivo) de giro ou rotação 
 
07) QUAL A VARIAÇÃO DE θθθθ (TETA) E DE φφφφ (PHI) NO: 
a) 1º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
b) 2º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
c) 3º octante: _____≤θ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
d) 4º octante: _____≤θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
e) 7º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
f) 8º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
g) 5º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
h) 6º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______ 
 
i) 1º e 2º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
j) 2º e 3º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
k) 3º e 4º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
l) 4º e 1º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
m) 5º e 6º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ____ 
n) 6º e 7º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
o) 7º e 8º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
p) 8º e 5º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
 
q) 2º, 3º e 4º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
r) 4º, 1º e 2º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
s) 3º, 4º e 1º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
t) 7º, 8º e 5º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
 
u) 2º e 6º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
v) 4º e 8º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
x) 3º e 7º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
w) 1º e 5º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ____ 
 
y) 2º, 3º, 6º e 7º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
z) 1º, 2º, 5º e 6º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
aa) 1º, 4º, 5º e 8º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
ab) 3º, 4º, 7º e 8º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
 
ac) Todos com exceção do 1º e 5º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
ad) Todos com exceção do 3º e 7º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
ae) Todos com exceção do 2º e 6º octantes: ___≤ θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
af) Todos com exceção do 4º e 8º octantes: ___≤θ ≤ ___ e ___≤ φ ≤ ______ 
 
MVR 10h55 de 14/06/08 
 
Em um Castelo na cidade de Caxias do Sul-RS, no dia 27 de abril de 2006 
 
x 
y 
z 
 - 38 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 pipipipi/2 
5pi/12 
pi/3 
pi/4 
pi/6 
pi/12 0 pi/12 
pi/6 
pi/4 
pi/3 
5pi/12 
 pipipipi/2 
7pi/12 
2pi/3 
3pi/4 
5pi/6 
11pi/12 pipipipi 11pi/12 
5pi/6 
3pi/4 
2pi/3 
7pi/12 
Variação do ângulo φφφφ (“ângulo vertical”) 
 - 39 - 
 
 
 
 
 
ENTENDA O DÍGITO DA CARTEIRA DE IDENTIDADE- “R.G.” 
Teste seu nº completando da direita para a esquerda, realize os produtos, some-os e TÁ-LÁ! 
– ×1+ – ×2+ – ×3+ – ×4+ – ×5+ – ×6+ – ×7+ – ×8+ – ×9+ –
––
– ×100 = _______ ÷11=_____(exato) 
Até mais – Prof. Marcos Vinícius Ribeiro 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 - 40 - 
 
Letras do Alfabeto Grego 
 
Note que utilizamos algumas letras gregas. Para melhor auxiliá-lo, eis a 
seguir o alfabeto grego completo. 
 
Letras minúsculas e maiúsculas do alfabeto grego, com seus respectivos 
nomes. 
 
A αααα Alpha A ΑΑΑΑ Alpha 
B ββββ Beta B ΒΒΒΒ Beta 
C χχχχ Chi C ΧΧΧΧ Chi 
D δδδδ Delta D ∆∆∆∆ Delta 
E εεεε Epsilon E ΕΕΕΕ Epsilon 
F φφφφ Phi F ΦΦΦΦ Phi 
G γγγγ Gamma G ΓΓΓΓ Gamma 
H ηηηη Eta H ΗΗΗΗ Eta 
I ιιιι Iota I ΙΙΙΙ Iota 
J ϕϕϕϕ Phi 1 J ϑϑϑϑ Phi 1 
K κκκκ Kappa K ΚΚΚΚ Kappa 
L λλλλ Lambda L ΛΛΛΛ Lambda 
M µµµµ Mu M ΜΜΜΜ Mu 
N νννν Nu N ΝΝΝΝ Nu 
O οοοο Ómicron O ΟΟΟΟ Ómicron 
P pipipipi Pi P ΠΠΠΠ Pi 
Q θθθθ Theta Q ΘΘΘΘ Theta 
R ρρρρ Rho R ΡΡΡΡ Rho 
S σσσσ Sigma S ΣΣΣΣ Sigma 
T ττττ Tau T ΤΤΤΤ Tau 
U υυυυ Úpsilon U ΥΥΥΥ Úpsilon 
V ϖϖϖϖ Omega 1 V ςςςς Omega 1 
W ωωωω Omega W ΩΩΩΩ Omega 
X ξξξξ Xi X ΞΞΞΞ Xi 
Y ψψψψ Psi Y ΨΨΨΨ Psi 
Z ζζζζ Zeta Z ΖΖΖΖ Zeta 
 
ALFABETO FONÉTICO INTERNACIONAL 
Este código é utilizado em comunicações por fonia quando há algum ruído dificultando 
a compreensão da mensagem. 
A = Alfa 
B = Bravo 
C = Charlie 
D = Delta 
E = Eco 
F = Foxtrot 
G = Golf 
H = Hotel 
I = India 
J = Juliet 
K = Kilo 
L = Lima 
M = Mike 
N = 
November 
O = Oscar 
P = Papa 
Q = Quebec 
R = Romeo 
S = Sierra 
T = Tango 
U = Uniform 
V = Victor 
W = Whisky 
X = X-ray 
Y = Yankee 
Z = Zulu 
 - 41 - 
 
D I V I S I B I L I D A D E 
Marcos Vinícius Ribeiro 02/06/04 
Divisibilidade por 2 
Um número será divisível por 2 quando for par. 
 
Divisibilidade por 3 
Um número será divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3 
564 é divisível por 3 porque 5+6+4=15, que é divisível por 3. 
413 não é divisível por 3 porque 4+1+3=8, que não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4 
Um número será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 
4 
700 é divisível por 4 porque termina em 00 
6532 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4. 
326 não é divisível por 4 porque 26 não é divisível por 4 
 
Divisibilidade por 5 
Um número será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 6 
Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. 
 
Divisibilidade por 7 
Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível 
por 7. Assim, em 406 temos 40 dezenas e 6 unidades.Como 40 – (6x2) = 40 – 12 = 28 que é divisível por 7, concluímos que 406 é 
divisível por 7. 
Divisibilidade por 8 
Um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos for 
divisível por 8 (semelhante ao do 4) 
 
Divisibilidade por 9 
Um número será divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9 (semelhante ao do 3) 
 
Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc. 
Um número será divisível por 10, 100, 1000, etc. quando terminam, respectivamente, com 1, 2, 3, etc. zeros à direita. 
 
Divisibilidade por 11 
Um número será divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e de 
ordem par for um número divisível por 11. 
Exemplo 1: 2574 -soma dos algarismos de ordem impar: 4+5=9 soma dos algarismos de ordem par 7+2 = 9 e 9 – 9 = 0 que é 
divisível por 11, pois 0 é múltiplo de 11. 
Exemplo 2: 3619 – soma dos algarismos de ordem impar 9+6=15 soma dos algarismos de ordem par 1+3=4 e 11 – 4 = 11 
que é divisível por 11. 
Exemplo 3: 612 – soma dos algarismos de ordem impar 2 + 6 = 8 soma dos algarismos de ordem par = 1 
e 8-1=7 que não divisível por 11, logo 612 é divisível por 11. 
Divisibilidade por 12 
Um número será divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 
Divisibilidade por 13 
Um número é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do valor do seu algarismo das unidades 
é divisível por 13. O número 351 é divisível por 13, pois 35 + (1x4) = 35 + 4 = 39 que é divisível por 13. 
Divisibilidade por 25 
Um número é divisível por 25 quando os seus dois últimos algarismos formam 25, 50, 75 ou 00. 
 
Número primo é todo número (diferente de 1) que tem somente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo. 
Número composto é todo aquele que tem mais de dois divisores distintos. 
 
O número 1 possui apenas um divisor. O número 1 não é primo nem composto. 
 
Total de divisores naturais de um número composto 
Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é , n = pa ×××× qb ×××× rc
 
×××× ... ×××× t n onde a, b, c, ..., n são os expoentes 
dos fatores primos p, q, r, ... t, então, o total de divisores naturais do número N é nº de divisores de N = 
(a+1)××××(b+1)××××(c+1)××××.....××××(n+1). 
Exemplo: Decompondo o número 360 em fatores primos obtemos: 360=23×32×51, onde os expoentes são 3,2,1.Logo o total de 
divisores naturais de 360 é (3+1)×(2+1)×(1+1)= 4×3×2=24 divisores . E realmente é verdade pois 
D(360) = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360} num total de vinte e quatro. 
 
Extraído do Livro Matemática 5ª série, páginas 71 a 74– Edwaldo Bianchini – Editora Moderna – 3ª edição – 1994 
e da Apostila Oficial de Justiça – Matemática – Curso Prof. Júnior, páginas 5, 6 e 7. 
 - 42 - 
 
 
 
Curiosidade: Q
Qx
x
2
+
≅
 
Onde: x é um número qualquer(não quadrado perfeito). 
 Q é um quadrado perfeito mais próximo de x. 
 
Exemplos 
01) 708203932,645...714285714,6
492
494545 ==+≅ acalculadorpelae 
02) ...327379053,987...3333,9
812
818787 ==+≅ acalculadorpelae 
03) 
...49489743,246005,24
25*2
1225
6252
625600600
...49489743,246005,24
24*2
1176
5762
576600600
===
+
≅
===
+
≅
acalculadorpelae
acalculadorpelae
 
 - 43 - 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS THOMAS – CÁLCULO VOLUME 2 
 
REGRA DA CADEIA – FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS: 
Páginas 289. 290 do 1 ao 12 
 
DERIVADAS DIRECIONAIS 
Páginas 303, 304 do 1 ao 22 
 
INTEGRAIS 
Páginas: 364, 365, 376, 384, 393, 394, 395, 410, 411, 412, 413 
 
COORDENADAS POLARES: EQUAÇÕES E GRÁFICOS 
Páginas 154-155 do 1 ao 74 
 
INTEGRAÇÃO TABULAR 
Página 529,530,580. Volume 1 
 
SEQUÊNCIAS 
Página 11 do 1 ao 56 
Página 30 a 31 do 1 ao 51 
Página 42 do 1 ao 65 
Página 50-51 do 1 ao 44 
Página 60 do 1 ao 38 
Página 72 do 1 ao 35 
 
 
Exponencial Complexa 
 
01 =+piie
 
 
A equação de Euler que reúne os 
5 mais famosos números da Matemática! 
 
 
 
 - 44 - 
 
Engenheiros, esses papa-vagas 
 
publicado em 30/10/2006 às 0:00 por Roberto Macedo | 
Fonte: O Estado de S. Paulo Categorias: ÚLTIMAS NOTÍCIAS 
 
 
 
Em artigo anterior, referi-me ao especialista generalizante (EG) para 
designar as pessoas com maior probabilidade de sucesso na disputa das 
oportunidades oferecidas pelo mercado de trabalho. 
Um EG combina formação profissional especializada com a capacidade 
de dominar e integrar conhecimentos de outras áreas, o que lhe abre a 
perspectiva de disputar tanto ocupações típicas como atípicas de sua 
profissão. 
Qual o caminho para essa condição de especialista generalizante? Em 
princípio, qualquer profissional pode buscá-la. O indispensável é que a 
formação educacional enfatize o aprender a aprender, a essência da 
educação. Na escola, aprendemos muitas coisas, mas para avançarmos é 
indispensável dominar a capacidade de aprender por iniciativa e esforço 
próprios, independentemente da ajuda de pais e professores. Nessa linha, 
um EG se distingue por ser capaz de aprender coisas novas, na sua área de 
especialização ou fora dela, por interesse e/ou por necessidade. 
 
Destaque aos engenheiros 
 
No cenário profissional e ocupacional brasileiro, os engenheiros se 
destacam como especialistas generalizantes pela sua capacidade de disputar 
e ocupar vagas cujos requisitos educacionais, em princípio, indicariam que 
seu preenchimento se daria por profissionais de outras áreas. 
Esse é o caso, por exemplo, de ocupações como analistas financeiros, 
auditores fiscais (também conhecidos como fiscais de impostos) e funções 
administrativas de vários tipos, como supervisores, gerentes e diretores. Em 
princípio, são ocupações típicas de economistas, administradores, 
contadores e advogados, mas os engenheiros também as disputam e, não 
raramente, até com maior sucesso. 
Por exemplo, nos concursos públicos para auditores fiscais é exigida 
formação educacional de nível superior, mas não em área específica. Assim, 
a inscrição é aberta a quem tenha diploma de graduação nesse nível, desde 
que em instituições credenciadas pelo Ministério da Educação. As provas são 
de contabilidade e legislação fiscal, entre outras disciplinas. 
Entretanto, quando os aprovados são classificados pela área de 
especialização ou curso superior que fizeram, usualmente os engenheiros se 
 - 45 - 
destacam como o grupo que teve o maior número de aprovados. Às vezes, 
levam também a maioria das vagas. 
Ora, isso significa: esses papa-vagas, os engenheiros, se saíram 
melhor, entre outras provas, nas de contabilidade e legislação fiscal, do que 
profissionais dessas áreas ? contadores e advogados, respectivamente ?, 
que também disputaram o concurso. 
 
Aprender a aprender 
 
Isso se explica porque os engenheiros se destacam pela sua formação 
educacional, que enfatiza o aprender a aprender, é voltada para a solução de 
problemas e bem assentada em competências básicas, como, por exemplo, a 
familiaridade com a matemática. 
Além disso, em geral, os estudantes que buscam os cursos de 
engenharia têm melhor história educacional pré-vestibular, originários que 
são de famílias que dão grande valor à educação, do que resulta a passagem 
por boas escolas. E mais: os cursos de engenharia usualmente exigem 
dedicação em tempo integral, nos quais o sucesso depende muito da 
disciplina com que cada estudante enfrenta e domina a necessidade de 
dedicar longo tempo aos estudos, a resolver problemas e exercícios, e ao 
preparo de projetos. 
Assim formados, passar num concurso como o citado torna-se um 
projeto a mais, um outro problema a resolver com nova rodada de 
aprendizado, viabilizada pela competência forjada e exercitada dessa forma. 
Com livros e apostilas, passando às vezes por um curso preparatório, o 
engenheiro dominará novos conhecimentos em disciplinas como as citadas, 
com a quais irá tomar contato pela primeira vez. 
Quando exponho essas idéias a jovens em fase de escolher um curso 
superior, é comum vir a pergunta: ?quer dizer, então, que o negócio é estudar 
engenharia?? Respondo que a escolha do curso e da profissão deve ser 
pautada pela vocação e pelas habilidades de cada um. O que fica mesmo de 
lição dos engenheiros é a engenharia da sua educação, fundada no aprender 
a aprender, um projeto recomendável a todos e em qualquer carreira. 
 
*Roberto Macedo, economista (USP), com doutorado pela Universidade 
Harvard (EUA), é professor, consultor econômico e na área educacional, e 
autor do livro Seu Diploma, Sua Prancha - Como Escolher a Profissão e 
Surfar no Mercado de Trabalho (São Paulo: Saraiva, 1998). Esta coluna é 
publicada quinzenalmente neste caderno. 
 
 
OS ENGENHEIROS E SUAS MENTES BRILHANTES 
20 de fevereiro de 2003 
 
"Poli vai receber mentes brilhantes da USP" foi o título de matéria deste 
jornal no dia 8 deste mês, revelando que a Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo vai receber não só os três primeiros, mas, 
também, mais seis dos 20 primeiros colocados no recente vestibular da 
Fuvest. 
 - 46 - 
Esses números são expressivos, mas a notícia não é uma grande 
novidade, pois tanto a Poli-USP como outras escolas de Engenharia 
usualmente atraem bons estudantes do ensino médio. Isso está na base da 
boa formação que tem levado os engenheiros não apenas ao sucesso nas 
ocupações típicas da profissão, nas suas várias especializações - Civil, 
Mecânica, Elétrica e outras -, como também a uma grande presença em 
áreas que muitos, mas não eu, consideram atípicas dos calouros de 
Engenharia e da formação que recebem nas faculdades. Não são atípicas 
porque são condizentes com seu preparo no que tem de genérico, conforme 
argumentarei em seguida. 
Segundo pesquisas, considerável porcentagem dos engenheiros 
declara não trabalhar especificamente como tal ou em atividades docentes 
ligadas à área. 
Já vi números que colocam esse índice em torno de 50%. Não conheço 
levantamentos que listem e quantifiquem as ocupações que exercem em 
outras áreas, mas é sabido que se tornam administradores em geral,analistas e executivos financeiros, auditores fiscais do Tesouro Nacional, 
empresários, e por aí afora. Na minha área, são vários os casos de 
engenheiros que se destacam como economistas, legitimados por um curso 
de pós-graduação nessa outra área. 
Aliás, nos cursos de especialização conhecidos como MBA (Master in 
Business Administration), de que participo como palestrante, tenho percebido 
entre os alunos que, levando em conta o curso de graduação de origem, o 
grupo predominante é o dos engenheiros. Nesses cursos, quase todos os 
alunos, dessa e de outras áreas, já trabalham há algum tempo, 
freqüentemente em áreas "atípicas". Ao lado de novos conhecimentos, estão 
também interessados em legitimar-se ainda mais nessas outras áreas e em 
credenciar-se a novos desafios ocupacionais. 
Sabe-se também que em alguns concursos públicos abertos aos 
concluintes de qualquer curso superior, como o dos já referidos auditores 
fiscais, é comum a predominância de engenheiros entre os aprovados, 
saindo-se melhor do que os graduados em Economia, Administração, 
Contabilidade e Direito, em provas mais voltadas para os currículos dessas 
quatro áreas. 
Por que isso acontece? Além de terem, em média, uma melhor história 
educacional pré-vestibular, a Engenharia é usualmente um curso de tempo 
integral. Assim, grosso modo, seus estudantes dedicam ao curso cerca do 
dobro do tempo de seus concorrentes de outras áreas, muitos deles 
freqüentadores de cursos noturnos, combinados com o trabalho em tempo 
integral. Além disso, um estudante típico de Engenharia é bem capacitado no 
raciocínio lógico-matemático, recebe treinamento para resolver problemas e 
tem a disciplina de concentrar-se por várias horas diárias na solução deles e 
nos estudos do curso. Nem todos são tão brilhantes como os mencionados 
na reportagem, mas se superam com seu esforço e nas melhores condições 
que lhes são oferecidas por suas famílias e suas escolas de Engenharia. 
Com isso desenvolvem mais aquilo que é o objetivo supremo da 
educação, o aprender a aprender. Num concurso como o citado, o problema 
passa a ser o de conhecer o programa das provas, buscar livros, apostilas e 
 - 47 - 
testes correspondentes, estudar, treinar e deixar para trás os concorrentes 
mal preparados, ainda que estes ostentem diplomas das matérias exigidas, 
belissimamente emoldurados, mas freqüentemente inúteis, porque, se tanto, 
apenas aprenderam, mas não aprenderam a aprender. E mais: dentro de 
uma empresa, os engenheiros podem entrar pela porta da fábrica ou das 
obras, mas têm condições chegar muito acima, como vários o fazem, até 
mesmo à presidência, depois de passarem por diretorias "atípicas" como as 
de finanças ou de marketing. 
Nessas condições, o engenheiro é o profissional que mais se aproxima 
do perfil do chamado especialista eclético ou generalizante, que tem mais e 
melhores oportunidades no mercado de trabalho, ao ter mais bem 
desenvolvida a capacidade de aprender coisas novas na sua área ou fora 
dela, por interesse ou por necessidade. 
Infelizmente, nossas escolas superiores, de um modo geral, 
enveredaram pelo caminho da especialização excessiva já no curso de 
graduação, um caminho precoce e equivocadamente imposto aos novos 
ingressantes, sem a preocupação de dotá-los, de modo geral, desse 
ecletismo que tipifica os engenheiros. Um caminho seria instituir o ciclo 
básico, ou "basicão", na forma de dois anos comuns para todos os 
ingressantes, e diluída também a restrição da escolha prévia da 
especialização a ser seguida. Nesses dois anos seriam enfatizadas as 
competências básicas, como essa do raciocínio lógico-matemático, o domínio 
da linguagem nas suas várias formas e uma visão geral de outras áreas, à 
qual não poderiam escapar passeios pela ética e pelas artes. E não estou 
aqui a divagar pela filosofia e pela estética. Pragmaticamente, nesse passeio 
buscariam lições indispensáveis, como as da ética para a boa convivência 
humana e as da arte para a criatividade. Voltando ao "basicão", só depois 
dele o estudante se comprometeria com uma especialização nos anos finais 
do curso, deixando a mais intensa para a pós-graduação. 
Isso seria ótimo para todos os estudantes na sua experiência 
educacional e para seu futuro intelectual e ocupacional. Entretanto, a idéia 
ainda não atraiu os docentes e administradores do ensino superior brasileiro, 
hoje acomodados ao sistema atual, simplesmente repetindo práticas 
educacionais do passado, sem maior reflexão sobre elas. De um modo geral, 
o ensino superior brasileiro freqüentemente falha nos seus objetivos 
educacionais, mal utiliza os recursos de que dispõe e não dedica a devida 
atenção ao futuro dos jovens que passam pelas suas portas. 
 A alternativa do "basicão" seria ótima, inclusive, para os estudantes de 
Engenharia, ao iluminar-lhes desde já outros caminhos a que chegam às 
vezes depois de longos desvios, ao lado de tornar ainda mais brilhantes suas 
bem dotadas mentes. 
 
Roberto Macedo, economista (USP), com doutorado pela Universidade de 
Harvard (EUA), é pesquisador da Fipe-USP e professor da Universidade 
Presbiteriana Mackenzie 
 
 
 
 
 
 
 - 48 - 
 
 
O Barbeiro 
 
Um senhor estava no barbeiro cortando os cabelos e fazendo a barba e 
enquanto isso conversava com o barbeiro e falava da vida e de Deus. 
Dai a pouco, o barbeiro incrédulo não agüentou e falou: 
- Deixa disso, meu caro, Deus não existe! 
- Por quê? 
- Ora, se Deus existisse não haveria tantos 
miseráveis, passando fome! Olhe em volta e veja quanta tristeza. É 
só andar pelas ruas e enxergar! 
- Bem, esta é a sua maneira de pensar, não é? 
- Sim, claro! 
O freguês pagou o corte e foi saindo, quando avistou um maltrapilho 
imundo, com longos e feios cabelos, barba desgrenhada, suja, abaixo do 
pescoço. 
Não agüentou, deu meia volta e interpelou o barbeiro: 
 
- Sabe de uma coisa, não acredito em barbeiros! 
- Como?!? 
- Sim, se existissem barbeiros, não haveria pessoas de cabelos e 
barbas compridas! 
- Ora, eles estão assim porque querem. Se desejassem mudar, 
viriam até mim! 
- Entendeu agora? 
 
A M I G O S 
Um dia, uma pequena abertura apareceu num casulo. 
Um homem sentou e observou a borboleta por várias horas, conforme ela 
se esforçava para fazer com que seu corpo passasse através daquele pequeno 
buraco. 
Então, pareceu que ela havia parado de fazer qualquer progresso. 
Parecia que ela tinha ido o mais longe que podia, e não conseguia ir mais 
longe. 
Então o homem decidiu ajudar a borboleta: ele pegou uma tesoura e 
cortou o restante do casulo. A borboleta, então, saiu facilmente. 
Mas seu corpo estava murcho e era pequeno e tinha as asas amassadas. 
O homem continuou a observá-la porque ele esperava que, a qualquer 
momento, as asas dela se abrissem e esticassem para serem capazes de 
suportar o corpo que iria se firmar com o tempo. 
Nada aconteceu! Na verdade, a borboleta passou resto de sua vida 
rastejando com um corpo murcho e asas encolhidas. Ela nunca foi capaz de 
voar. 
O que o homem, em sua gentileza e vontade de ajudar, não compreendia 
era que o casulo apertado e o esforço necessário à borboleta para passar a 
através da pequena abertura era o modo pelo qual DEUS fazia com que o fluido 
do corpo da borboleta fosse para as suas asas, de forma que ela estaria pronta 
para voar uma vez que estivesse livre do casulo. 
 
 - 49 - 
 
Algumas vezes, o esforço é, justamente, o que precisamos em 
nossas vidas. A ausência de obstáculos nos deixaria aleijados. Não 
iríamos ser tão fortes como poderíamos ter sido. 
Nós nunca poderíamos voar. 
 
Eu pedi forças... E Deus me deu dificuldades para fazer-me forte. 
Eu pedi sabedoria... E Deus me deu problemas para resolver. 
Eu pedi prosperidade... E Deus me deu cérebro e músculos para 
trabalhar. 
Eu pedi coragem...E Deus me deu pessoas com problemas para ajudar. 
Eu pedi favores... E Deus me deu oportunidades. 
 
Eu não recebi nada do que pedi... 
“M A S E U R E C E B I T U D O D E Q U E P R E C I S A V A”. 
 
 
> A IMPORTÂNCIA DO PERDÃO. 
 
O pequeno Zeca entra em casa, após a aula, batendo forte os seus pés no 
assoalho da casa. Seu pai, que estava indo para o quintal para fazer alguns serviços 
na horta, ao ver aquilo chama o menino para uma conversa. Zeca, de oito anos de 
idade, o acompanha desconfiado. Antes que seu pai dissesse alguma coisa, fala 
irritado: - Pai, estou com muita raiva. O Juca não deveria ter feito aquilo comigo.Desejo 
tudo de ruim para ele. Seu pai, um homem simples mas cheio de sabedoria, escuta 
calmamente o filho que continua a reclamar: - O Juca me humilhou na frente dos meus 
amigos. Não aceito. Gostaria que ele ficasse doente sem poder ir à escola. O pai 
escuta tudo calado enquanto caminha até um abrigo onde guardava um saco cheio de 
carvão Levou o saco até o fundo do quintal e o menino o acompanhou, calado. Zeca vê 
o saco de carvão ser aberto e antes mesmo que ele pudesse fazer uma pergunta, o pai 
lhe propõe algo: - Filho, faz de conta que aquela camisa branquinha que está secando 
no varal é o seu amiguinho Juca e cada pedaço de carvão é um mau pensamento seu, 
endereçado a ele. Quero que você jogue todo o carvão do saco na camisa, até o último 
pedaço. Depois eu volto para ver como ficou. O menino achou que seria uma 
brincadeira divertida e passou mãos à obra. O varal com a camisa estava longe do 
menino e poucos pedaços acertavam o alvo. Uma hora se passou e o menino terminou 
a tarefa. O pai que espiava tudo de longe, se aproxima do menino e lhe pergunta: - 
Filho como está se sentindo agora? - Estou cansado mas estou alegre porque acertei 
muitos pedaços de carvão na camisa. O pai olha para o menino, que fica sem entender 
a razão daquela brincadeira e carinhoso lhe fala: - Venha comigo até o meu quarto, 
quero lhe mostrar uma coisa. O filho acompanha o pai até o quarto e é colocado na 
frente de um grande espelho onde pode ver seu corpo todo. Que susto ! Zeca só 
conseguia enxergar seus dentes e os olhinhos. O pai, então lhe diz ternamente: - Filho, 
você viu que a camisa quase não se sujou, mas olhe só para você. O mau que 
desejamos aos outros é como o que lhe aconteceu. Por mais que possamos atrapalhar 
a vida de alguém com nossos pensamentos, a borra, os resíduos, a fuligem ficam 
sempre em nós mesmos. 
> >Portanto... 
> >Cuidado com seus pensamentos, eles se transformam em palavras 
> >Cuidado com suas palavras, elas se transformam em ações 
> >Cuidado com suas ações, elas se transformam em hábitos 
> >Cuidado com seus hábitos, eles moldam o seu caráter 
> >Cuidado com seu caráter, ele controla o seu destino. 
 
 - 50 - 
F R A S E SF R A S E SF R A S E SF R A S E S 
 
 
Mais do que máquinas, precisamos de humanidade. Mais 
do que inteligência, precisamos de afeição de doçura. 
Sem essas virtudes a vida será de violência e tudo estará 
perdido. Charles Chaplin 
 
Ser homem é ser responsável. É sentir que colocando sua 
pedra se colabora na construção do mundo. Exupèry 
 
A perseverança é o grande agente do êxito. Dargan 
 
Se não há diálogo, de quem é a culpa? Da boca ou do 
ouvido? Anônimo 
 
Feliz aquele que consegue conhecer as causas das coisas. 
Vergílio 
 
O homem não é anjo, e nem besta. Mas quem quer ser 
anjo, acaba sendo besta. Pascal 
 
Deus dotou o homem de uma boca e dois ouvidos para 
que ouça o dobro do que fala. Sêneca 
 
Acredito que somente uma pessoa que nada aprendeu, 
não modifica suas opiniões. Emil Zatopek 
 
A verdadeira coragem está em fazermos sem 
testemunhas o que seríamos capazes de fazer diante de 
todo mundo. La Rochefoucauld 
 
O sucesso reside em três coisas: decisão , justiça e 
tolerância. Goethe 
 
Ninguém tem dor de estômago por engolir palavras cruéis 
que deixou de dizer. Winston Churchill 
 
Ninguém é , sem ter se feito assim. Kierkegaard 
 
Eu, hoje, acordei mais cedo/ e , azul, tive uma idéia clara. 
/ Só existe um segredo: / tudo está na cara. Paulo 
Leminski 
 
Julgar os outros é perigoso. Não tanto pelos erros que 
podemos cometer a respeito deles, mas pelo que 
podemos revelar a nosso respeito. Voltaire 
 
Aquele que tudo adia, não deixará nada concluído, nem 
perfeito. Demócrito 
 
Elevai a tal ponto a vossa alma, que as ofensas não a 
possam alcançar. Descartes 
 
Quem sabe dominar seus pensamentos, sabe governar 
sua vida. 
R. W. Train 
 
Existem pessoas que se declaram perfeitas, mas apenas 
porque exigem pouco de si mesmas. Herman Hesse 
 
O que sabemos é uma gota , o que ignoramos é um 
oceano. Isaac Newton 
 
O ignorante não é aquele sem instrução, é aquele que 
não conhece a sí próprio. Krisnamurti 
 
Não somos o que devíamos ser, não somos o que 
desejamos ser, não somos o que iremos ser. Mas, Graças 
a Deus, não somos o que éramos. Luther King 
 
“Elimine o que é velho para trazer o novo à vida” – Mao 
Tse-tung 
 
“Esteja preparado para ventos favoráveis” Provérbio 
Chinês 
 
“Deixem dormir o futuro como merece. Se o acordarem 
antes do tempo, teremos um presente sonolento” Frans 
Kafka 
 
“A coisa mais bela que o homem pode experimentar é o 
misterioso” – Albert Einstein 
 
“Quando há confiança, nenhuma prova é necessária. 
Quando não há, nenhuma é possível” – Provérbio Chinês 
 
“O destino de muitos homens dependerá de haver ou não 
biblioteca na casa paterna” – D’Amicis 
 
“Tenho fases, como a lua. Fases de andar escondida, fases 
de vir para a rua...” – Cecília Meireles 
 
“A liberdade é sempre a liberdade para aquele que pensa 
diferente” – Rosa Luxemburgo 
 
“Há mais fome de amor e de admiração neste mundo do 
que de pão” – Madre Teresa 
 
“Quando os homens se calam submissos a um tirano é 
porque está próximo o dia em que se tornarão escravos” 
– Provérbio Sérvio 
 
“Se o vento soprar de uma única direção, a árvore 
crescerá inclinada” – Provérbio Chinês 
 
“Em toda a ciência o difícil é o começo” – Karl Marx 
 
“Nenhum tecido é feito de um único fio” – Provérbio 
Chinês 
 
“Em certa idade, quer por astúcia quer por amor próprio, 
as coisas que mais desejamos são as que fingimos não 
desejar” – Proust 
 
“ Não acreditamos em reumatismo e em amor verdadeiro 
até que sofremos o primeiro ataque” – Marie von Ebner-
Eschenback 
 
“Em amor, possuir é nada; desejar é que é tudo” Stendhal 
 
“Quando esperamos, os segundos são anos; quando 
recordamos, os anos são segundos” – Paulo Bourget 
 
“A preocupação nunca venceu o destino” – Provérbio 
Chinês 
 
“Aconteça o que acontecer o tempo e a hora percorrem 
também o mais árduo dos dias” – Shakespeare 
 
“A sanidade é a loucura bem aproveitada” – George 
Santayana 
 
“A maré deve atingir seu nível mais baixo antes de 
mudar” – Provérbio Chinês 
 
“As leis de nada servem quando os homens são puros, e 
tornam-se implacáveis quando eles são corruptos” – 
Provérbio Chinês 
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Onde existe uma vontade, existe um caminho. Bernard 
Shaw 
 
A felicidade não é coisa fácil: É difícil encontrá-la em nós 
mesmos e impossível achá-la em outra parte. Rilke 
 
O medo e a subserviência pervertem a natureza humana. 
Rabelais 
 
O rio atinge os seus objetivos, porque aprendeu a 
contornar obstáculos. Quo Vadis 
 
A sobrevivência de um organismos depende da 
sobrevivência de um outro. Darwin 
 
As idéias nada podem realizar. Para realizar as idéias são 
necessários homens que ponham a funcionar uma força 
prática. Marx 
 
“Os homens sempre desaprovam o que não são capazes 
de fazer” – Cristina, rainha da Suécia 
 
 
 
“Talvez eu deva às flores o fato de Ter me tornado pintor”– Monet 
 
“Tudo que foi prazer torna-se um fardo quando não mais 
o desejamos” – Proust 
 
“Cuidado com o homem que maltrata animais” – Bottach 
 
“É necessário que o educador invente ao lado da coragem 
de lutar, a coragem de amar” – Paulo Freire 
 
“Não se pode ensinar coisa alguma a alguém: pode-se 
apenas auxiliar a descobrir por si mesmo” – Galileu 
 
“Não sejas doce demais: os outros te comerão. Não sejas 
amargo demais: os outros te vomitarão” – Provérbio 
Indiano 
 
“Eu ainda não sabia caminhar e já amava as mulheres” – 
Renoir 
 
 
E não vos conformeis com este século, mas transformai-vos pela 
renovação da vossa mente, para que experimenteis qual seja a boa, agradável e 
perfeita vontade de Deus. Romanos 12.2 
 
O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme O Gladiador 
 
De sorte que a fé é pelo ouvir, e o ouvir pela palavra de Deus. 
Romanos 10.17 
 
Assim que, se alguém está em Cristo, nova criatura é: as coisas 
velhas(antigas) já passaram; eis que tudo se fez novo. II Coríntios 5.17 
 
Eu ouço e esqueço; 
Eu escrevo e lembro; 
Eu faço e aprendo. 
 Confúcio 
You tell me and I forget 
You teach me and I may remember 
You involve me and I WILL NEVER FORGET 
Benjamin Franklin 
 
Em italiano, contribuição Patrizia Palmieri 
Io ascolto e dimentico 
Io scrivo e ricordo 
Io faccio e imparo 
 
Em alemão, Contribuição do aluno Sergio Eduardo Goroy Filho 80603 da 
mecânica em 9/9/9 
Ich höre und vergesse, Ich schreibe und erinnere mich, Ich tun um lerne 
 
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Em japonês, Contribuição do aluno Michel Prieto Oliveira 91188 da mecânica em 
10/10/9 
 
わたし わ きく と わすれます。 
わたし わ かく と おぼえます。 
わたし わ やる と まなびます。 
 コンフシオ 
 
Watashi wa kiku to wasuremasu. 
Watashi wa kaku to oboemasu. 
Watashi wa yaru to manabimasu. 
 Konfusio 
 
あなた が わたし に いう けど わすれます。 
あなたが わたし に おしえる また たぶん わたし わ おぼえます。 
あなた が わたし を いんぼるぶ そして わたし わ けっして わすれません。 
 ベンジャミン フランクリン 
 
Anata ga watashi ni iu kedo wasuremasu. 
Anata ga watashi ni oshieru mata tabun watashi wa oboemasu. 
Anata ga watashi o inborubu soshite watashi wa kesshite wasuremasen. 
 Benjamin Furankurin 
 
A vingança nunca é plena, mata a alma e a envenena 
É uma frase muito famosa executada pelo já falecido, mas imortal Ramón Valdez (1923-
1988), vulgo Seu Madruga do seriado mexicano Chaves a frase foi ouvida pela primeira vez na 
historia em um capítulo da série em que contracenava Chiquinha, chaves e o Seu Madruga 
criador da frase, depois da primeira execução dessa frase o mundo o universo e até mesmo o 
inferno e o Céu pararam, Ou não. Resultados da execução da Frase 
• Com essa frase seu madruga foi eleito no prêmio Nobel da paz no ano de 1970. 
• Na hora da execução da frase o canal que exibia o seriado teve pontos recordes de 
audiência. 
A frase em outras línguas 
Em português: A vingança nunca é plena, mata a alma e a envenena 
• Em Inglês: Revenge is never full. Kills the soul and poisons. 
• Em romeno: De răzbunare nu este niciodată pe deplin ucide sufletul şi otrăveşte. 
• Em italiano: La vendetta non è mai pienamente uccide l'anima e avvelena. 
• Em Alemão: Die Rache ist nie vollständig tötet die Seele und Gifte. 
• Em espanhol: La venganza nunca es plenamente mata el alma y envenena. 
• Em esperanto: La venĝo neniam estas plene, mortigas la animon kaj venenas. 
• Em grego: Η εκδίκηση δεν είναι ποτέ πλήρης, σκοτώνει την ψυχή και δηλητήρια 
• Em francês: Revenge n'est jamais complète, il tue l'âme et les poisons 
Retirado do site : 
http://www.desciclopedia.org/wiki/A_vingan%C3%A7a_nunca_%C3%A9_plena,_mata_a_alma_
e_a_envenena no dia 18 de Fevereiro de 2011. 
 
A diferença entre o sábio e o ignorante é que o 1º sabe aproveitar suas dificuldades para 
evoluir, enquanto o ignorante se sente vítima de seus problemas. 
 
Qualquer estúpido pode ser infeliz. Não é necessário alguém especial para ver 
problemas em qualquer coisa, a qualquer hora. Aliás, há pessoas que não desperdiçam uma 
oportunidade de sofrer. Mas saber transformar pequenos acontecimentos em fonte de alegria 
é habilidade de poucos. 
 
“O sucesso nasce do querer. Sempre que o homem aplicar a determinação e a 
persistência para um objetivo, ele vencerá os obstáculos, e, se não atingir o alvo, pelo menos 
fará coisas admiráveis.” José de Alencar 
 
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“Gosto de aprender porque me capacita a ensinar”. Sêneca 
 
Mestre não é quem sempre ensina, mas quem de repente aprende . 
Guimarães Rosa 
 
“Fiz um acordo de coexistência pacífica com o tempo: nem ele me persegue, 
nem eu fujo dele, um dia a gente se encontra” Mario Lago 
 
Nunca ande pelo caminho traçado, pois ele conduz somente até onde os outros 
foram Grahan Bell 
 
Sempre há um pouco de loucura no amor, porém sempre há um pouco de 
razão na loucura F. Nietzshe 
 
O tempo é muito lento para os que esperam, muito rápido para os que tem medo, 
muito longo para os que lamentam, muito curto para os que festejam. Mas, para os que 
amam, o tempo é eternidade” William Shakespeare 
 
Muitas pessoas perdem as pequenas alegrias enquanto aguardam a grande 
felicidade Pearl S. Buck 
 
A vida só pode ser compreendida olhando-se para trás; mas só pode ser vivida 
olhando-se para frente” Soren Kierkegaard 
 
Para que repetir os erros antigos quando há muitos tantos erros novos a cometer? 
 Bertrand Russel 
 
Se eu pudesse voltar à juventude cometeria todos aqueles erros de novo. Só que mais 
cedo. Tallulah Bankhead 
 
Você não pode ensinar a um homem; você pode apenas ajuda-lo a encontrar a 
resposta dentro dele mesmo. Galileu Galilei 
 
Há pessoas que nos falam e nem as escutamos; há pessoas que nos ferem e nem 
cicatrizes deixam, mas há pessoas que simplesmente aparecem em nossa vida e nos marcam 
para sempre. Cecília Meireles 
 
A verdadeira filosofia é reaprender a ver o mundo. Merleau-Ponty 
 
O amor é a melhor música na partitura da vida. Sem ele você será um eterno 
desafinado no imenso coral da humanidade. Roque Schneider 
 
Ame-me quando eu menos merecer, pois é quando eu mais preciso. 
Provérbio Chines 
Ter problemas na vida é inevitável. 
Ser derrotado por eles é opcional! 
 
"NÃO SE MEDE UM HOMEM PELO QUE VESTE, PELA BELEZA NEM PELOS BENS QUE 
POSSUI. SE MEDE UM HOMEM PELO QUE PENSA, PELO SEU CARÁTER E PELA NOBREZA 
DOS SEUS IDEAIS." CHARLES CHAPLIN 
 
PARAR EU NÃO POSSO 
LUTAR É O MEU DEVER 
VENCER É O MEU ALVO 
 
LUTAR SEMPRE 
VENCER TALVEZ 
DESISTIR JAMAIS! 
 
"Meta, a gente busca. 
Caminho, a gente acha. 
Desafio, a gente enfrenta. 
Desejo, a gente mata. 
Vida, a gente enfrenta. 
E sonho, a gente realiza!" 
 
 
Be the change you want to see in the world. 
Mahatma Gandhi 
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16 a 20 de julho de 1969 – Chegada do homem a Lua 
 
Em 20 de julho de 1969, presenciávamos uma das cenas mais emocionantes 
proporcionadas pela ciência em todos os tempos. Em todo o mundo cerca de um bilhão de 
pessoas assistiram pela televisão ao pouso do módulo lunar da Apollo 11, batizado de "eagle", 
no solo de nosso satélite. Duas horas após o pouso, Neil Armstrong saiu da nave e entrou 
para a história como o primeiro homem a pisar na Lua, sendo logo seguido por seu 
companheiro Edwin Aldrin. Os dois passaram 22 horas na Lua, sendo que dessas, 2 horas e 
40 minutos fora da nave. 
 
Salmo 8 
1 Ó Senhor, Senhor nosso quão magnífico em toda a terra é o teu nome! Pois 
expuseste nos céus a tua majestade. 
2 Da bocade pequeninos e crianças de peito suscitaste força, por causa dos teus 
adversários, para fazeres emudecer o inimigo e o vingador. 
3 Quando contemplo os teus céus, obra dos teus dedos, e a lua e as estrelas que 
estabelecestes, 
4 que é o homem, que dele te lembres? E o filho do homem, que o visites? 
5 Fizeste-o, no entanto, por um pouco, menor do que Deus, e de glória e de honra o 
coroaste. 
6 Deste-lhe domínio sobre as obras da tua mão, e sob seus pés tudo puseste: 
7 ovelhas, e bois, todos, e também os animais do campo; 
8 as aves do céu e os peixes do mar e tudo o que percorre as sendas dos mares. 
9 Ó Senhor, Senhor nosso, quão magnífico em toda a terra é o teu nome! 
 
As cousas encobertas pertencem ao Senhor nosso Deus; porém as reveladas nos 
pertencem a nós e a nossos filhos para sempre, para que cumpramos todas as 
palavras desta lei. 
Deuteronômio 29.29 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P O D E M O S F A Z E R A D I F E R E N Ç A... 
 Relata a Sra. Teresa, que no seu primeiro dia de aula parou em frente aos seus 
alunos da 5ª série primária e, como todos os demais professores, lhes disse que gostava 
de todos por igual. No entanto, ela sabia que isto era quase impossível, já que na primeira 
fila estava sentado um pequeno garoto chamado Ricardo. A professora havia observado 
que ele não se dava bem com os colegas de classe e muitas vezes suas roupas estavam 
sujas e cheiravam mal. Houve até momentos em que ela sentia prazer em lhe dar notas 
vermelhas ao corrigir suas provas e trabalhos. Ao iniciar o ano letivo, era solicitado a cada 
professor que lesse com atenção a ficha escolar dos alunos, para tomar conhecimento das 
anotações. Ela deixou a ficha de Ricardo por último. Mas quando a leu foi grande a sua 
surpresa. 
 
Ficha do 1º ano: "Ricardo é um menino brilhante e simpático. Seus trabalhos sempre estão 
em ordem e muito nítidos. Tem bons modos e é muito agradável estar perto dele." 
 
Ficha do 2º ano: "Ricardo é um aluno excelente e muito querido por seus colegas, mas tem 
estado preocupado com sua mãe que está com uma doença grave e desenganada pelos 
médicos. A vida em seu lar deve estar sendo muito difícil." 
 
Ficha do 3º ano: "A morte de sua mãe foi um golpe muito duro para Ricardo. Ele procura 
fazer o melhor, mas seu pai não tem nenhum interesse e logo sua vida será prejudicada se 
ninguém tomar providências para ajuda-lo." 
 
Ficha do 4º ano: "Ricardo anda muito distraído e não mostra interesse algum pelos 
estudos. Tem poucos amigos e muitas vezes dorme na sala de aula." 
 
 Deu-se conta do problema e ficou terrivelmente envergonhada. Piorou quando 
lembrou dos lindos presentes de Natal que os alunos lhe haviam dado, com papéis 
coloridos, exceto o de Ricardo, que estava enrolado num papel de supermercado. 
 Lembrou que abriu o pacote com tristeza, enquanto os outros garotos riam ao ver 
uma pulseira faltando algumas pedras e um vidro de perfume pela metade. Apesar das 
piadas ela disse que o presente era precioso e pôs a pulseira no braço e um pouco de 
perfume sobre a mão. Naquela ocasião Ricardo ficou um pouco mais de tempo na escola 
do que o de costume. Relembra, ainda, que ele lhe disse que ela estava cheirosa como 
sua mãe. Naquele dia, depois que todos se foram, a professora chorou por longo tempo... 
Em seguida, decidiu mudar sua maneira de ensinar e passou a dar mais atenção aos seus 
alunos, especialmente a Ricardo. Com o passar do tempo ela notou que o garoto só 
melhorava. E quanto mais ela lhe dava carinho e atenção, mais ele se animava. Ao 
finalizar o ano letivo, Ricardo saiu como o melhor da classe. Quatro anos depois, recebeu 
uma carta de Ricardo contando que havia concluído o segundo grau e que ela continuava 
sendo a melhor professora que tivera. As notícias se repetiram até que um dia ela recebeu 
uma carta assinada pelo Dr. Ricardo Stoddard, seu antigo aluno, mais conhecido como 
Ricardo. 
 Mas a história não terminou aqui. Tempos depois recebeu o convite de 
casamento e a notificação do falecimento do pai de Ricardo. Ela aceitou o convite e no dia 
do casamento estava usando a pulseira que ganhou de Ricardo anos antes, e também o 
perfume. Quando os dois se encontraram, abraçaram-se por longo tempo e Ricardo lhe 
disse ao ouvido: "Obrigado por acreditar em mim e me fazer sentir importante, 
demonstrando-me que posso fazer a diferença." E com os olhos banhados em lágrimas 
sussurrou: "Engano seu! Depois que o conheci aprendi a lecionar e a ouvir os apelos 
silenciosos que ecoam na alma do educando”. 
 
Mais do que avaliar seu comportamento, suas provas e suas notas, O importante é 
ensinar com amor mostrando que sempre é possível FAZER A DIFERENÇA..." Autor 
Desconhecido 
E VOCÊ... Tem feito algo pelo próximo e respeitado seus limites? Tem auxiliado em suas 
angústias e dificuldades? Tem partilhado o peso de sua cruz? Ou será que tem se limitado a 
julgar e criticar? 
 
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Você faz a diferença! 
 
Uma professora de determinado colégio decidiu homenagear cada um dos seus formandos 
dizendo-lhes da diferença que tinham feito em sua vida de mestra. Chamou um de cada vez 
para frente da classe. Começou dizendo a cada um a diferença que tinham feito para ela e 
para os outros da turma. Então deu a cada um uma fita azul, gravada com letras douradas que 
diziam: "Quem Eu Sou Faz a Diferença".. Mais adiante, resolveu propor um Projeto para a 
turma, para que pudessem ver o impacto que o reconhecimento positivo pode ter sobre uma 
comunidade. Deu aos alunos mais três fitas azuis para cada um, com os mesmos dizeres, e os 
orientou a entregarem as fitas para as pessoas de seu conhecimento que achavam que 
desempenhavam um papel diferente. Mas que deveriam poder acompanhar os resultados para 
ver quem homenagearia quem, e informar esses resultados à classe ao fim de uma semana. 
Um dos rapazes procurou um executivo iniciante em uma empresa próxima, e o homenageou 
por tê-lo ajudado a planejar sua carreira. Deu-lhe uma fita azul, pregando-a em sua camisa. 
Feito isso, deu-lhe as outras duas fitas dizendo: "Estamos desenvolvendo um projeto de classe 
sobre reconhecimento, e gostaríamos que você escolhesse alguém para homenagear, 
entregando-lhe uma fita azul, e mais outra, para que ela, por sua vez, também possa 
homenagear a uma outra pessoa, e manter este processo vivo. Mas depois, por favor, me 
conte o que perceber ter acontecido." Mais tarde, naquele dia, o executivo iniciante procurou 
seu chefe, que era conhecido, por sinal, como uma pessoa de difícil trato. Fez seu chefe 
sentar, disse-lhe que o admirava muito por ser um gênio criativo. O chefe pareceu ficar muito 
surpreso. O executivo subalterno perguntou a ele se aceitaria uma fita azul e se lhe permitiria 
colocá-la nele. O chefe surpreso disse: "É claro ." Afixando a fita no bolso da lapela, bem acima 
do coração, o executivo deu-lhe mais uma fita azul igual e pediu: "Leve esta outra fita e passe-
a a alguém que você também admira muito." E explicou sobre o projeto de classe do menino 
que havia dado a fita a ele próprio.No final do dia, quando o chefe chegou a sua casa, chamou 
seu filho de 14 anos e o fez sentar-se diante dele. E disse: "A coisa mais incrível me aconteceu 
hoje. Eu estava na minha sala e um dos executivos subalternos veio e me deu uma fita azul 
pelo meu gênio criativo. Imagine só! Ele acha que sou um gênio! Então me colocou esta fita 
que diz que "Quem Eu Sou Faz a Diferença". Deu-me uma fita a mais pedindo que eu 
escolhesse alguma outra pessoa que eu achasse merecedora de igual reconhecimento." 
Quando vinha para casa, enquanto dirigia, fiquei pensando em quem eu escolheria e pensei 
em você.. Gostaria de homenageá-lo. "Meus dias são muito caóticos e quando chego em casa, 
não dou muita atenção a você. Às vezes grito com você por não conseguir notas melhores na 
escola,e por seu quarto estar sempre uma bagunça. Mas por alguma razão, hoje, agora, me 
deu vontade de tê-lo à minha frente. Simplesmente, sabe, para dizer a você, que você faz uma 
grande diferença para mim. Além de sua mãe, você é a pessoa mais importante da minha vida. 
Você é um grande garoto filho, e eu te amo!" O menino, pego de surpresa, desandou a chorar 
convulsivamente sem parar. Ele olhou seu pai e falou entre lágrimas: "Pai, poucas horas atrás 
eu estava no meu quarto e escrevi uma carta de despedida endereçada a você e à mamãe, 
explicando porque havia decidido suicidar e lhes pedindo perdão". Pretendia me matar 
enquanto vocês dormiam... Achei que vocês não se importavam comigo. "A carta está lá em 
cima, mas acho que afinal, não vou precisar dela mesmo ." Seu pai foi lá em cima e encontrou 
uma carta cheia de angústia e de dor. O homem foi para o trabalho no dia seguinte 
completamente mudado. Ele não era mais ranzinza e fez questão de que cada um dos seus 
subordinados soubesse a diferença que cada um fazia. O executivo que deu origem a isso 
ajudou muitos outros a planejarem suas carreiras e nunca esqueceu de lhes dizer que cada um 
havia feito uma diferença em sua vida... Sendo um deles o filho do próprio chefe. A 
conseqüência desse projeto é que cada um dos alunos que participou dele aprendeu uma 
grande lição: de que "Quem Você É Faz sim, uma Grande Diferença". 
 
 Você não precisa passar isso adiante para ninguém... Nem para duas nem para duzentas pessoas. 
Continue a sua vida como você acha que está bom para você. Por outro lado, se quiser, pode enviar 
para aquelas pessoas que significaram ou significam algo para você, sejam quantas forem. Ou por outro 
lado, simplesmente sorria quando lhe escrevo que estou lhe mandando isso porque você é importante 
para mim, cada um de vocês é importante para mim, senão não os teria incluído na minha lista de envio. 
Quem você é na minha vida, faz muita diferença para mim, e eu queria que vocês soubessem disso. Eis 
aqui a sua fita azul! Tenha um excelente dia. Com Deus, sempre! 
 
 
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SE NÃO NOS ESFORÇARMOS EM FAZER O MELHOR 
 
Se não nos esforçarmos em fazer o melhor, mesmo em tarefas que possam 
parecer simples, jamais nos serão confiadas tarefas de maior importância. Todas 
as vezes que fazemos o uso correto e amplo da informação, criamos a 
oportunidade de imprimir a nossa marca pessoal. Você pode e deve se destacar, 
até nas coisas mais simples. 
 
Paulo trabalhava em uma empresa há dois anos. Sempre foi um funcionário 
sério, dedicado e cumpridor de suas obrigações. Nunca chegava atrasado. Por isso 
mesmo já estava com 02 anos na empresa, sem ter recebido uma única reclamação. 
Certo dia, ele foi até o diretor para fazer uma reclamação: 
- Sr. Gustavo, tenho trabalhado durante estes dois anos em sua empresa com toda a 
dedicação, só que me sinto um tanto injustiçado. Fiquei sabendo que o Fernando, que 
tem o mesmo cargo que eu e está na empresa há somente 06 meses já vai ser 
promovido ?!?... 
Gustavo, fingindo não ouvi-lo disse: 
- Foi bom você vir aqui. Tenho um problema para resolver e você poderá me ajudar. 
Estou querendo dar frutas como sobremesa ao nosso pessoal após o almoço de hoje. 
Aqui na esquina tem uma barraca de frutas. Por favor, vá até lá e verifique se eles tem 
abacaxi. Paulo, sem entender direito, saiu da sala e foi cumprir a missão. Em cinco 
minutos estava de volta. 
- E aí Paulo? - Perguntou Gustavo: - 
Verifiquei como o senhor pediu e eles tem abacaxi sim... 
- E quanto custa ??? - Ah, Isso eu não perguntei não... 
- Eles tem abacaxi suficiente para atender a todo nosso pessoal ??? 
- Quis saber Gustavo. 
- Também não perguntei isso não... 
- Há alguma fruta que possa substituir o abacaxi ??? 
- Não sei não... 
- Muito bem Paulo. Sente-se ali naquela cadeira e aguarde um pouco. 
O diretor pegou o telefone e mandou chamar o novato Fernando. Deu a ele a mesma 
orientação que dera ao Paulo. Em dez minutos, Fernando voltou. 
- E então ??? - Indagou Gustavo – 
- Eles têm abacaxi, sim Seu Gustavo. E é o suficiente para todo nosso pessoal e, se o 
senhor preferir, têm também laranja, banana, melão e mamão. O abacaxi estão 
vendendo a R$1,50 cada; a banana e o mamão a R$1,00 o quilo; o melão R$1,20 a 
unidade e a laranja a R$20,00 o cento, já descascada. Mas como eu disse que a 
compra seria em grande quantidade, eles nos concederão um desconto de 15%. Deixei 
reservado. Conforme o Senhor decidir, volto lá e confirmo o pedido. Explicou Fernando. 
- Agradecendo pelas informações, o patrão dispensou-o. Voltou-se para Paulo, que 
permanecia sentado e perguntou-lhe: 
- Paulo, o que foi que você estava me dizendo??? 
- Nada não, patrão. Esqueça. Com licença... 
E Paulo deixou a sala... 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E U P O S S O F A Z E R M A I S Q U E I S S O ! 
 
A mãe parou ao lado do leito de seu filhinho de 6 anos, que estava doente de 
leucemia. Embora o coração dela estivesse pesado de tristeza e angústia, ela era 
muito determinada. Como qualquer outra mãe, ela gostaria que ele crescesse e 
realizasse seus sonhos. Agora, isso não seria mais possível, por causa de uma 
leucemia terminal. Junto dele tomou-lhe a mão e perguntou: - Filho, você alguma vez já 
pensou o que gostaria de ser quando crescesse? - Mamãe, eu sempre quis ser um 
bombeiro! A mãe sorriu e disse: - Vamos ver o que podemos fazer. 
 
Mais tarde, naquele mesmo dia, ela foi ao Corpo de Bombeiros local e contou ao 
Chefe dos bombeiros a situação de seu filho e perguntou se seria possível o garoto dar 
uma volta no carro dos bombeiros, em torno do quarteirão. O Chefe dos bombeiros, 
comovido, disse: - NÓS PODEMOS FAZER MAIS QUE ISSO! Se você estiver com o 
seu filho pronto às sete horas da manhã, daqui a uma semana, nós o faremos um 
bombeiro honorário, por todo o dia. Ele poderá ir para o quartel, comer conosco e sair 
para atender às chamadas incêndio. E se você nos der as medidas dele, nós 
conseguiremos um uniforme completo: chapéu com o emblema de nosso batalhão, 
casaco amarelo igual ao que vestimos e botas também. 
 
Uma semana depois, o bombeiro-chefe pegou o garoto, vestiu-o no uniforme de 
bombeiro e o escoltou do leito do hospital até o caminhão de bombeiros. O menino 
ficou sentado na parte de trás do caminhão, e foi até o quartel central. Parecia-lhe estar 
no céu... Ocorreram três chamados naquele dia na cidade e o garoto acompanhou 
todos os três. Em cada chamada, ele foi em veículos diferentes: no tanque, na van dos 
paramédicos e até no carro especial do chefe do bombeiros. Todo o amor e atenção 
que foram dispensados ao menino acabaram comovendo-o tão profundamente, que ele 
viveu três meses a mais que o previsto. 
 
Uma noite, todas as suas funções vitais começaram a cair dramaticamente e a 
mãe decidiu chamar ao hospital, toda a família. Então, ela lembrou a emoção que o 
garoto tinha passado como um bombeiro, e pediu à enfermeira que ligasse para chefe 
da corporação, e perguntou se seria possível enviar um bombeiro para o hospital, 
naquele momento trágico, para ficar com o menino. O chefe dos bombeiros respondeu: 
- NÓS PODEMOS FAZER MAIS QUE ISSO! Nós estaremos aí em cinco minutos. Mas 
faça-me um favor. Quando você ouvir as sirenes e vir as luzes de nossos carros, avise 
no sistema de som que não se trata de um incêndio. É apenas o corpo de bombeiros 
vindo visitar mais uma vez, um de seus mais distintos integrantes. E também poderia 
abrir a já nela do quarto dele? Obrigado! Cinco minutos depois, uma van e um 
caminhão com escada chegaram no hospital. Estenderam a escada até o andar onde 
garoto estava, e 16 bombeiros subiram. Com a permissão da mãe, eles o abraçaram, 
seguraram, e disseram que o amavam. Com voz fraquinha, o menino olhou para o 
chefe e perguntou: - Chefe, eu sou mesmo um bombeiro? - Sim, você é um dos 
melhores- disse ele. Com estas palavras, o menino sorriu e fechou seus olhos para 
sempre... 
 
E você, diante do pedido de seus pais, irmãos, filhos, parentes e amigos, o que 
faria? Diga: EU POSSO FAZER MAIS QUE ISSO! 
Esta mensagem não deve ficar guardada! Absorva a e depois divulgue para os 
seus amigos! Se é para ser guardada, que seja no coração de Cada um de NÓS! 
 
"A maior perda da vida é o que morre dentro de nós enquanto vivemos" 
Deus te abençoe!!! 
 
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VISLUMBRES DE UM CRIADOR 
Abraão de Almeida 
O elefante é o único animal cujas pernas dianteiras se dobram para a frente. Por que? 
Porque, de outra forma, seria difícil para esse animal levantar-se, por causa do seu peso. 
 
Por que os cavalos, para se erguerem, usam as patas dianteiras, e as vacas, as 
traseiras? Quem orienta esses animais para que ajam dessa maneira? 
 
Quem teria o poder de colocar um punhado de argila no coração da terra e, através da 
ação do fogo transformá-la em formosa ametista de alto valor? 
 
Quem colocaria certa quantidade de carvão nas entranhas do solo e, mediante a 
combinação do fogo e a pressão dos montes e das rochas, transformar esse carvão em 
resplandecente diamante, que vai fulgurar na coroa dos reis ou no diadema dos poderosos? 
 
Por que o canário nasce aos 14 dias, a galinha aos 21, os patos e gansos aos 28, o 
ganso silvestre aos 35 e os papagaios e avestruzes aos 42 dias? Por que a diferença entre 
um período e outro é sempre de sete dias? 
 
Quem regula a natureza, sem jamais cometer engano, determinando que as ondas do 
mar se quebrem na praia à razão de 26 por minuto, tanto na calma como na tormenta? 
 
Muitas coisas acontecem na natureza sem que tenhamos um mínimo de sensibilidade 
para perceber. Exemplos: 
A melancia tem número par de franjas. 
A laranja possui número par de gomos. 
A espiga de milho tem número par de fileiras de grãos. 
O cacho de bananas tem, na última fila, número par de bananas, e cada fila de 
bananas tem uma a menos que a anterior. Desse modo, se uma fileira tem número par, a 
seguinte terá número ímpar. 
A ciência moderna descobriu que todos os grãos das espigas são em número par, e é 
admirável que Jesus, ao se referir aos grãos, tenha mencionado exatamente números pares: 
30, 60 e 100. (Marcos 4:8). 
 
Outro mistério que a ciência ainda não descobriu: enormes árvores, pesando milhares 
de quilos, apoiadas em apenas poucos centímetros de raízes. Ninguém até agora conseguiu 
descobrir esse princípio de sustentação a fim de aplicá-lo na construção de edifícios e pontes. 
 
Mas há maravilha ainda maior! O oxigênio e o hidrogênio, ambos sem cheiro, sem 
sabor e sem cor, combinados com o carvão, que é insolúvel, negro e sem gosto, resulta no alvo 
e doce açúcar. 
Esses são apenas alguns vislumbres de um Deus sábio e amoroso. 
 
Esse mesmo Deus que realiza tais maravilhas no mundo que Ele criou, pode também 
efetuar em nós um milagre ainda muito maior. Ele pode dar-nos um novo nascimento, fazendo 
novas todas as coisas. (João 3:3 - Corintios 5:17). 
 
Ele pode tomar nossa vida triste, inútil e insípida e torná-la alegre, útil e plena de 
significado para a glória Dele. 
 
Portanto, não se desespere. Não importa quão grave seja a sua condição física, moral 
ou espiritual. O Senhor Jesus, que "ontem e hoje é o mesmo, e o será para sempre" (Hebreus 
13:8), só Ele tem a última palavra. Você pode experimentar um milagre! Tão somente creia 
Nele, receba-O como seu único Senhor e Salvador, e coloque a sua vida nas mãos Dele. 
 
"Se com tua boca confessares a Jesus como Senhor, e em teu coração creres que 
Deus o ressuscitou dentre os mortos, serás salvo." (Romanos 10:9) 
 
"Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu o seu único filho, para que 
todo aquele que nele crer não morra, mas tenha a vida eterna." (João 3:16). 
 
 
 
 
 
 
 
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Alegria é um sentimento que não depende de circunstâncias, 
só depende de voce! (CHAPLIN) 
 
 
 
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S E O A M A N H Ã N Ã O V I E R... 
 
Se eu soubesse que essa seria a última vez que eu veria você dormir 
Eu aconchegaria você mais apertado, E rogaria ao senhor que protegesse você. 
 
Se eu soubesse que essa seria a última vez que veria você sair pela porta, Eu 
abraçaria, beijaria você, e chamaria de volta, Para abraçar e beijar uma vez mais. 
 
Se eu soubesse que essa seria a última vez que ouviria sua voz em oração, 
Eu filmaria cada gesto, cada palavra sua, Para que eu pudesse ver e ouvir de novo, dia 
após dia. 
 
Se eu soubesse que essa seria a última vez, Eu gastaria um minuto extra ou dois, para 
parar e dizer: EU TE AMO 
Ao invés de assumir que você já sabe disso. 
 
Se eu soubesse que essa seria a última vez, 
Eu estaria ao seu lado, partilhando do seu dia, ao invés de pensar: 
"Bem, tenho certeza que outras oportunidades virão, então eu posso deixar passar 
esse dia." 
 
É claro que haverá um amanhã para se fazer uma revisão, e nós teríamos uma 
segunda chance para fazer as coisas de maneira correta. 
É claro que haverá outro dia para dizermos um para o outro: 
"EU TE AMO", 
 
E certamente haverá uma nova chance de dizermos um para o outro: 
"Posso te ajudar em alguma coisa?" 
Mas no caso de eu estar errado, e hoje ser o último dia que temos, 
Eu gostaria de dizer O QUANTO EU AMO VOCÊ, 
 
E espero que nunca esqueçamos disso. 
 
O dia de amanhã não esta prometido para ninguém, jovem ou velho, 
E hoje pode ser sua última chance de segurar bem apertado, a mão da Pessoa que 
você ama. 
 
Se você está esperando pelo amanhã, porque não fazer hoje? 
 
Porque se o amanhã não vier, você com certeza se arrependerá pelo resto de sua vida, 
De não ter gasto aquele tempo extra num sorriso, num abraço, num beijo, Porque você 
estava "muito ocupado" para dar para aquela pessoa, aquilo que acabou sendo o 
último desejo que ela queria. 
 
Então, abrace seu amado, a sua amada HOJE. Bem apertado. Sussurre nos seus 
ouvidos, dizendo o quanto o ama e o quanto o quer junto de você. 
Gaste um tempo para dizer: 
 
"Me desculpe" "Por favor" "Me perdoe" "Obrigado" ,ou ainda: 
 
"Não foi nada" "Está tudo bem". 
 
Porque, se o amanhã jamais chegar, você não terá que se arrepender pelo dia de 
hoje. 
Pois o passado não volta, e o futuro talvez não chegue. 
 
 
 
 
 
 
 
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T OT OT OT O R C I D A R C I D A R C I D A R C I D A - Torcida da sua vida 
 
(Carlos Drummond de Andrade)(Carlos Drummond de Andrade)(Carlos Drummond de Andrade)(Carlos Drummond de Andrade) 
Mesmo antes de nascer, já tinha alguém torcendo por você. 
Tinha gente que torcia para você ser menino. 
Outros torciam para você ser menina. 
Torciam para você puxar a beleza da mãe, o bom humor do pai. 
Estavam torcendo para você nascer perfeito. 
Daí continuaram torcendo... 
Torceram pelo seu primeiro sorriso, pela primeira palavra , pelo primeiro passo. 
O seu primeiro dia de escola foi a maior torcida. 
E o primeiro gol, então? 
E, de tanto torcerem por você, você aprendeu a torcer. 
Começou a torcer para ganhar muitos presentes e flagrar Papai Noel. 
Torcia o nariz para o quiabo e a escarola. 
Mas torcia por hambúrguer e refrigerante. 
Começou a torcer até para um time. 
Provavelmente, nesse dia, você descobriu que tem gente que torce diferente de você. 
Seus pais torciam para você comer de boca fechada, tomar banho, escovar os dentes, 
estudar inglês e piano. 
Eles só estavam torcendo para você ser uma pessoa bacana. 
Seus amigos torciam para você usar brinco, cabular aula, falar palavrão. 
Eles também estavam torcendo para você ser bacana. 
Nessas horas, você só torcia para não ter nascido. 
E por não saber pelo quevocê torcia, torcia torcido. 
Torceu para seus irmãos se ferrarem, torceu para o mundo explodir. 
E quando os hormônios começaram a torcer, torceu pelo primeiro beijo, pelo primeiro amasso. 
Depois começou a torcer pela sua liberdade. 
Torcia para viajar com a turma, ficar até tarde na rua. Sua mãe só torcia para você chegar vivo 
em casa. 
Passou a torcer o nariz para as roupas da sua irmã, para as idéias dos professores e para 
qualquer opinião dos seus pais. 
Todo mundo queria era torcer o seu pescoço. 
Foi quando até você começou a torcer pelo seu futuro. 
Torceu para ser médico, músico, advogado... 
Na dúvida, torceu para ser físico nuclear ou jogador de futebol. Seus pais torciam para passar 
logo essa fase. 
No dia do vestibular, uma grande torcida se formou. 
Pais, avós, vizinhos, namoradas e todos os santos torceram por você. 
Na faculdade, então, era torcida pra todo lado. 
Para a direita, esquerda, contra a corrupção, a fome na Albânia e o preço da coxinha na 
cantina. 
 
E, de torcida em torcida, um dia teve um torcicolo de tanto olhar para 'ela'... 
 
Primeiro, torceu para ela não ter outro. Torceu para ela não te achar muito baixo, muito alto, 
muito gordo, muito magro. 
 
Descobriu que ela torcia igual a você. E de repente vocês estavam torcendo para não acordar 
desse sonho. 
 
Torceram para ganhar a geladeira, o microondas e a grana para a viagem de lua-de-mel. 
 
E, daí pra frente, você entendeu que a vida é uma grande torcida. 
Porque, mesmo antes do seu filho nascer, já tinha muita gente torcendo por ele. 
 
Mesmo com toda essa torcida, pode ser que você ainda não tenha conquistado algumas 
coisas. 
 
MAS MUITA GENTE AINDA TORCE POR VOCÊ!!! 
 
 
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Frases 
 
"O que importa na vida não é o ponto de partida, mas a 
caminhada. Caminhando e semeando, no fim terás o 
que colher!" (Cora Coralina) 
 
"De todos os caminhos que conduzem à riqueza, os 
mais seguros são a perseverança e o trabalho." 
(Luís Reyband) 
 
"A melhor maneira de ser feliz é contribuir para a 
felicidade dos outros." (Confúcio) 
 
"O segredo é não correr atrás das borboletas... É 
cuidar do jardim para que elas venham até você." 
(Mário Quintana) 
 
Um professor sempre afeta a eternidade. Ele nunca 
saberá onde sua influência termina. Henry Adams 
 
"É preciso valorizar a grandeza das pequenas coisas 
para não nos tornarmos pequenos diante delas." 
 (Carla Monic) 
 
“Construa os alicerces, e SUBA! 
Nunca desista de ser feliz! 
Não importa onde você parou... 
Em que momento da vida você cansou... 
O que importa é que sempre é possível 
e necessário recomeçar. 
Recomeçar é dar uma nova chance a si mesmo... 
É renovar as esperanças na vida, e o mais importante... 
Acreditar em você de novo!” 
Carlos Drummond de Andrade 
 
"A amizade é uma predisposição recíproca que torna 
dois seres igualmente ciosos da felicidade um do 
outro." (Platão) 
 
"A alegria compartilhada é uma alegria dobrada." 
(John Ray) 
" 
"A melhor maneira para se ter uma boa reputação é 
empenhar-se em ser aquilo que se deseja aparentar." 
(Sócrates) 
 
"Não basta conquistar a sabedoria, é preciso usá-la." 
 
Se as coisas são inatingíveis... ora! Não é motivo para 
não querê-las...Que tristes os caminhos, se não for a 
presença distante das estrelas! Mário Quintana 
 
"...Respeite mesmo o que é ruim em você - 
respeite sobretudo o que imagina que é ruim 
em você - não copie uma pessoa ideal, copie 
você mesma - é esse seu único meio de 
viver." Clarice Lispector 
 
" Aqueles que passam por nós, não vão sós, 
não nos deixam sós. Deixam um pouco de si, 
levam um pouco de nós." 
Antoine de Saint-Exupéry 
 
"Nossas dúvidas são traídoras e nos fazem 
perder o bem que poderiamos conquistar se 
não fosse o medo de tentar." 
 (William Shakespeare) 
 
"Se um dia de tristeza você tiver de escolher 
entre o mundo e o amor, escolha o amor, e 
com ele conquiste o mundo." 
(Albert Einstein) 
 
Poucos são aqueles que vêem com seus 
próprios olhos e sentem com seus próprios 
corações." (Albert Einstein) 
 
"O bravo não é quem não sente medo, mas 
quem vence esse medo." (Nelson Mandela) 
 
 "Eterno é tudo aquilo que dura uma fração de 
segundos, mas com tamanha intensidade que 
se petrifica e nenhuma força consegue 
destruir." (Carlos Drummond de Andrade) 
 
“Metas são necessárias não apenas para nos 
motivar. Elas são essenciais para nos manter 
vivos.” Robert H. Schüller 
 
"Não se preocupe com a perfeição. 
Substitua a palavra "perfeição" por 
"totalidade". Não pense que você tem de ser 
perfeito, pense que tem de ser total. A 
totalidade dá a você uma dimensão 
diferente." Osho 
 
Há pessoas que nos falam e nem as 
escutamos; Há pessoas que nos ferem e nem 
cicatrizes deixam. Mas há pessoas que, 
simplesmente, aparecem em nossa vida... E 
que marcam para sempre 
 (CECILIA MEIRELES) 
 
 
Esta é mais do que uma história, é a real obediência do que devemos ter àquilo que 
Jesus disse em Mt 25, 31 - 46: 
CASA DO CAMINHO 
 
 Passava do meio dia, o cheiro de pão quente invadia aquela rua, um sol escaldante 
convidava a todos para um refresco... Ricardinho não agüentou o cheiro bom do pão e falou: - 
Pai, tô com fome!!! O pai, Agenor, sem ter um tostão no bolso, caminhando desde muito cedo 
em busca de um trabalho, olha com os olhos marejados para o filho e pede mais um pouco 
de paciência... - Mas pai, desde ontem não comemos nada, eu tô com muita fome, pai!!! 
Envergonhado, triste e humilhado em seu coração de pai, Agenor pede para o filho aguardar 
na calçada enquanto entra na padaria a sua frente... entrar dirige-se a um homem no balcão: - 
 - 64 - 
Meu senhor, estou com meu filho de apenas 6 anos na porta, com muita fome, não tenho 
nenhum tostão, pois sai cedo para buscar um emprego e nada encontrei, eu lhe peço que em 
Nome de Jesus me forneça um pão para que eu possa matar a fome desse menino, em troca 
posso varrer o chão de seu estabelecimento, lavar os pratos e copos, ou outro serviço que o 
senhor precisar!!! Amaro, o dono da padaria estranha aquele homem de semblante calmo e 
sofrido, pedir comida em troca de trabalho e pede para que ele chame o filho... Agenor pega o 
filho pela mão e apresenta-o a Amaro, que imediatamente pede que os dois sentem-se junto ao 
balcão, onde manda servir dois pratos de comida do famoso PF (Prato Feito) - arroz, feijão, bife 
e ovo... Para Ricardinho era um sonho, comer após tantas horas na rua... Para Agenor, uma 
dor a mais, já que comer aquela comida maravilhosa fazia-o lembrar-se da esposa e mais dois 
filhos que ficaram em casa apenas com um punhado de fubá... Grossas lágrimas desciam dos 
seus olhos já na primeira garfada... A satisfação de ver seu filho devorando aquele prato 
simples como se fosse um manjar dos deuses, e a lembrança de sua pequena família em casa, 
foi demais para seu coração tão cansado de mais de 2 anos de desemprego, humilhações e 
necessidades.... Amaro se aproxima de Agenor e percebendo a sua emoção, brinca para 
relaxar: - Maria!!! Sua comida deve estar muito ruim... Olha o meu amigo está até chorando de 
tristeza desse bife, será que é sola de sapato?!?! Imediatamente, Agenor sorri e diz que nunca 
comeu comida tão apetitosa, e que agradecia a Deus por ter esse prazer... Amaro pede então 
que ele sossegue seu coração, que almoçasse em paz e depois conversariam sobre trabalho... 
Mais confiante, Agenor enxuga as lágrimas e começa a almoçar, já que sua fome já estava nas 
costas... Após o almoço, Amaro convida Agenor para uma conversa nos fundos da padaria,onde havia um pequeno escritório... Agenor conta então que há mais de 2 anos havia perdido o 
emprego e desde então, sem uma especialidade profissional, sem estudos, ele estava vivendo 
de pequenos "biscates aqui e acolá", mas que há 2 meses não recebia nada... Amaro resolve 
então contratar Agenor para serviços gerais na padaria, e penalizado, faz para o homem uma 
cesta básica com alimentos para pelo menos 15 dias... Agenor com lágrimas nos olhos 
agradece a confiança daquele homem e marca para o dia seguinte seu início no trabalho... Ao 
chegar em casa com toda aquela "fartura", Agenor é um novo homem - sentia esperanças, 
sentia que sua vida iria tomar novo impulso... Deus estava lhe abrindo mais do que uma porta, 
era toda uma esperança de dias melhores... No dia seguinte, às 5 da manhã, Agenor estava na 
porta da padaria ansioso para iniciar seu novo trabalho... Amaro chega logo em seguida e sorri 
para aquele homem que nem ele sabia porque estava ajudando... Tinham a mesma idade, 32 
anos, e histórias diferentes, mas algo dentro dele chamava-o para ajudar aquela pessoa... E, 
ele não se enganou - Agenor foi o mais dedicado trabalhador daquele estabelecimento, sempre 
honesto e extremamente zeloso com seus deveres... Um dia, Amaro chama Agenor para uma 
conversa e fala da escola que abriu vagas para a alfabetizado de adultos um quarteirão acima 
da padaria, e que ele fazia questão que Agenor fosse estudar... Agenor nunca esqueceu seu 
primeiro dia de aula: a mão trêmula nas primeiras letras e a emoção da primeira carta... Doze 
anos se passam desde aquele primeiro dia de aula.Vamos encontrar o Dr. Agenor Baptista de 
Medeiros, advogado, abrindo seu escritório para seu cliente, e depois outro, e depois mais 
outro... Ao meio dia ele desce para um café na padaria do amigo Amaro, que fica 
impressionado em ver o "antigo funcionário" tão elegante em seu primeiro terno... Mais dez 
anos se passam, e agora o Dr. Agenor Baptista, já com uma clientela que mistura os mais 
necessitados que não podem pagar, e os mais abastados que o pagam muito bem, resolve 
criar uma Instituição que oferece aos desvalidos da sorte, que andam pelas ruas, pessoas 
desempregadas e carentes de todos os tipos, um prato de comida diariamente na hora do 
almoço...Mais de 200 refeições são servidas diariamente naquele lugar que é administrado 
pelo seu filho, o agora nutricionista Ricardo Baptista.... Tudo mudou, tudo passou, mas a 
amizade daqueles dois homens, Amaro e Agenor impressionava a todos que conheciam um 
pouco da história de cada um... Contam que aos 82 anos os dois faleceram no mesmo dia, 
quase que a mesma hora, morrendo placidamente com um sorriso de dever cumprido... 
Ricardinho, o filho mandou gravar na frente da "Casa do Caminho", que seu pai fundou com 
tanto carinho:"Um dia eu tive fome, e você me alimentou.Um dia eu estava sem esperanças e 
você me deu um caminho. Um dia acordei sozinho, e você me deu Deus, e isso não tem preço. 
Que Deus habite em seu coração e alimente sua alma. E, que te sobre o pão da misericórdia 
para estender a quem precisar!!!" 
 (História verídica) 
 
 
 
 
 - 65 - 
 
VOCÊ TEM EXPERIÊNCIA? 
 
 Você tem experiência?Num processo de seleção da Volkswagen, os 
candidatos deveriam responder a seguinte pergunta: "Você tem experiência?" A 
redação abaixo foi desenvolvida por um dos candidatos. Ele foi aprovado e seu 
texto está fazendo sucesso, e ele com certeza será sempre lembrado por sua 
criatividade, sua poesia, e acima de tudo por sua alma.REDAÇÃO 
VENCEDORA:"Já fiz cosquinha na minha irmã só pra ela parar de chorar. Já me 
queimei brincando com vela. Eu já fiz bola de chiclete e melequei todo o rosto. 
Já conversei com o espelho, e até já brinquei de ser bruxo.Já quis ser 
astronauta, violonista, mágico, caçador e trapezista. Já me escondi atrás da 
cortina e esqueci os pés pra fora. Já passei trote por telefone. Já tomei banho de 
chuva e acabei me viciando. Já roubei beijo. Já confundi sentimentos. Peguei 
atalho·errado e continuo andando pelo desconhecido. Já raspei o·fundo da 
panela de arroz carreteiro. Já me cortei fazendo a·barba apressado. Já chorei 
ouvindo música no ônibus. Já tentei esquecer algumas pessoas, mas descobri 
que essas são as mais difíceis de se esquecer. Já subi escondido no·telhado pra 
tentar pegar estrela. Já subi em árvore pra roubar fruta. Já caí da escada de 
bunda. Já fiz juras eternas. Já escrevi no muro da escola. Já chorei sentado no 
chão do banheiro. Já fugi de casa pra sempre, e voltei no outro instante. Já corri 
pra não deixar alguém chorando. Já fiquei sozinho no meio de mil pessoas 
sentindo falta de uma só. Já vi pôr-do-sol cor-de-rosa e alaranjado. Já me joguei 
na piscina sem vontade de voltar. Já bebi uísque até sentir dormentes os meus 
lábios. Já olhei a cidade de cima e mesmo assim não encontrei meu lugar. Já 
senti medo do escuro.Já tremi de nervoso. Já quase morri de amor, mas renasci 
novamente pra ver o sorriso de alguém especial. Já acordei no meio da noite e 
fiquei com medo de levantar. Já apostei em correr descalço na rua. Já gritei de 
felicidade. Já roubei rosas num enorme jardim. Já me apaixonei e achei que era 
para sempre, mas sempre era um "para sempre" pela metade. Já deitei na 
grama de madrugada via Lua virar Sol. Já chorei por ver amigos partindo, mas 
descobri que logo chegam novos, e a vida é mesmo um ir e vir sem razão. 
Foram tantas coisas feitas, momentos fotografados pelas lentes da 
emoção,guardados num baú, chamado coração.E agora um formulário me 
interroga? Me encosta à parede e grita: "Qual sua experiência?". Essa pergunta 
ecoa no meu cérebro: experiência. Experiência... Será que ser "plantador de 
sorrisos" é uma boa experiência? Não!Talvez eles não saibam ainda colher 
sonhos! Agora gostaria de indagar uma pequena coisa para quem formulou esta 
pergunta:Experiência? Quem a tem, se a todo o momento tudo se renova?" 
 
 
A Ratoeira 
 
Um rato olhando pelo buraco na parede vê o fazendeiro e sua esposa abrindo um 
pacote. Pensou logo em que tipo de comida poderia ter ali. Ficou aterrorizado 
quando descobriu que era uma ratoeira. Foi para o pátio da fazenda advertindo a 
todos: "Tem uma ratoeira na casa, uma ratoeira na casa." 
A galinha, que estava cacarejando e ciscando, levantou a cabeça e disse: 
"Desculpe-me Sr. Rato, eu entendo que é um grande problema para o senhor, mas 
não me prejudica em nada, não me incomoda." 
O rato foi até o porco e disse a ele: "Tem uma ratoeira na casa, uma ratoeira." 
 - 66 - 
"Desculpe-me Sr. Rato, mas não há nada que eu possa fazer, a não ser rezar. 
Fique tranqüilo que o senhor será lembrado nas minhas preces." 
O rato dirigiu-se então à vaca. Ela disse: "O que Sr. Rato? Uma ratoeira? Por 
acaso estou em perigo? Acho que não!" 
Então o rato voltou para a casa, cabisbaixo e abatido, para encarar a ratoeira do 
fazendeiro. 
Naquela noite ouviu-se um barulho, como o de uma ratoeira pegando sua vítima. A 
mulher do fazendeiro correu para ver o que havia pego. No escuro, ela não viu que 
a ratoeira pegou a cauda de uma cobra venenosa. 
 
A cobra picou a mulher. 
O fazendeiro a levou imediatamente ao hospital. Ela voltou com febre. Todo mundo 
sabe que para alimentar alguém com febre, nada melhor que uma canja. 
O fazendeiro pegou seu cutelo e foi providenciar o ingrediente principal. 
Como a doença da mulher continuava, os amigos e vizinhos vieram visitá-la. 
Para alimentá-los o fazendeiro matou o porco. A mulher não melhorou e muitas 
Pessoas vieram visitá-la. 
Muita gente veio vê-la o fazendeiro então sacrificou a vaca para alimentar todo 
aquele povo. 
Na próxima vez que você ouvir dizer que alguém está diante de um problema e 
acreditar que o problema não lhe diz respeito lembre-se que, quando há uma 
ratoeira na casa, toda a fazenda corre risco. 
 “O problema de um é problema de todos quando convivemosem equipe.” 
 
B Í B L I A F A M Í L I A 
Basic 
Informations 
Be 
Live 
Earth 
 
Father 
And 
Mother 
I 
Love 
You 
 
 
 
 
 - 67 - 
 
HISTÓRIA DE MAX DEUX E JONATHAN EDWARDS 
 
 Conta-se uma história ocorrida a aproximadamente 200 anos de 
duas famílias norte americanas: uma delas teve como patriarca um ateu, 
que ao final teve 560 descendentes, sendo que 310 morreram como 
mendigos, 150 se tornaram criminosos, 7 assassinos, 100 foram 
considerados alcoólatras e mais da metade das mulheres foram 
prostitutas. Final da história: esses descendentes custaram ao governo 
norte americano mais de um milhão de dólares naquele século, o que 
equivaleria nos dias de hoje 125 milhões de dólares. 
 Outro homem, contemporâneo deste primeiro foi um famoso pastor 
nos Estados Unidos. Ele teve 1394 descendentes e dentre eles, 295 se 
formaram em Universidades, 13 deles foram diretores de faculdade, 65 
professores e 3 foram eleitos senadores. E não fica por aí: 3 foram 
governadores de estado e outros foram enviados a outros países como 
ministros de Evangelho, além de 30 terem sido juízes, 100 advogados, 1 
deão da melhor escola de direito de seu país, 56 foram físicos, 1 foi deão 
da escola de medicina, 75 se tornaram oficiais do exército, 100 foram 
missionários, pregadores e escritores famosos. Além desses, 80 tiveram 
cargos públicos, dos quais 3 foram prefeitos de grandes cidades, 1 foi 
superintendente da Casa do Tesouro e outro foi vice-presidente dos 
Estados Unidos. “Nenhum dos descendentes deveu dinheiro ao Estado.” 
 
Jonathan Edwards (5 de outubro de 1703 - 22 de março de 1758) foi um ministro 
congregacional, teólogo calvinista e é considerado um dos maiores filósofos norte-
americanos. 
 
O que fazemos em vida ecoa na eternidade!!! Do filme 
Gladiador 
 
 Qual é o legado que você irá deixar para sua posteridade, 
sua descendência? 
 
Quão longe você irá até entregar o bastão? 
 
 Não é tolo aquele que renuncia àquilo que pode ganhar por 
aquilo que não pode perder. 
 
"Tu te tornas eternamente responsável por aquilo que 
cativas" frase de Saint Exupéry 
imortalizada no romance O Pequeno Príncipe 
 
“Os vencedores não são os que nunca sofrem derrotas, mas 
sim os que nunca desistem” Edwin 
Louis Cole 
 
Na vida, o que é infinito? O que dura para sempre? 
Rendei graças ao Senhor, porque ele é bom, porque a 
sua misericórdia dura para sempre. Salmo 136.1 
Legado – aquilo que alguém, um grupo ou uma geração 
transmite à posteridade. Posteridade série de indivíduos 
que descendem de um ancestral comum. 
 
 
 
 
 
MVR 12 2 9