Vibrações Livres Amortecidas

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Curso de Dinâmica das Estruturas 7 
II.1.3 – Vibrações Livres Amortecidas
• Equação de equilíbrio:
( ) ( ) ( ) 0txktxctxm =⋅+⋅+⋅ &&&
( ) ( ) ( ) 0tx
m
ktx
m
ctx =⋅+⋅+ &&& ( ) ( ) ( ) 0txtx2tx 2 =ω+⋅ξω+⇒ &&&
onde 
m
k2 =ω , e ω⋅=ξ m2
c
( ) steAtx ⋅=⇒
Substituindo na equação anterior:
0s2s 22 =ω+⋅ξω+
21is ξ−ω±ω⋅ξ−=⇒ (II.1)
 ( ) t
21i
2
t21i
1 eAeAtx
⋅

 ξ−ω−ω⋅ξ−⋅

 ξ−ω+ω⋅ξ−
⋅+⋅=⇒
 ( ) tt
21i
2
t21i
1 eeAeAtx
⋅ω⋅ξ−⋅

 ξ−ω−⋅

 ξ−ω
⋅








⋅+⋅=⇒ (II.2)
1=ξ ⇒ radical da equação (II.1) se anula⇒ duas raízes iguais
⇒ função real, sem oscilação, tendendo assintoticamente a zero,
conforme comanda o fator exponencial te ⋅ω⋅ξ− ;
⇒ 1
m2
c =ω⋅=ξ ⇒ ω⋅== m2cc c (coeficiente de amortecimento)
⇒ ≡cc amortecimento crítico
⇒ ≡=ξ
cc
c taxa de amortecimento
⇒



>ξ
<ξ
=ξ
1
1
1 amortecimento crítico
sistema sub-amortecido (estruturas usuais)
sistema super-amortecido (automóveis)
8 Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
O amortecimento crítico representa a menor magnitude de amortecimento para a qual
nenhuma oscilação (ciclo) ocorre, em sistemas estruturais submetidos a vibrações livres.
• Sistemas sub-amortecidos ( 10 <ξ< ) :
Definindo 2D 1 ξωω −⋅≡ como frequência circular amortecida, e substituindo na
equação (II.2) , obtém-se:
( ) [ ] tti2ti1 eeAeAtx DD ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅ ⋅⋅+⋅=⇒ ωξωω
Curso de Dinâmica das Estruturas 9 
A equação do movimento pode ainda ser colocada na seguinte forma:
( ) ( ) tD etcostx ⋅⋅−⋅+⋅⋅=⇒ ωξθωρ
 Esta equação corresponde à representação do vetor que rotaciona, de forma
similar ao caso da vibração livre não amortecida, entretanto numa frequência circular Dω
e com o comprimento do vetor diminuindo exponencialmente enquanto a estrutura
amortece.
Os sistemas de amortecimento das estruturas são muito complexos de serem
definidos. Desta forma, é comum expressar o valor do amortecimento de estruturas reais
em termos de um amortecimento viscoso equivalente, o qual deve apresentar as mesmas
taxas de decaimento quando submetido a vibrações livres.
Para os valores usuais de amortecimentos estruturais, %20<ξ , ωω ≅⇒ D .
10 Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
• Estimação experimental do amortecimento:
DOIS PICOS SUCESSIVOS: ocorrerão em 



ω
π=⋅=
D
D
2nTnt e ( ) 


+=
D
21nt ω
π
NA EQ. DO MOVIMENTO: DD
2
T
1n
n ee
x
x ω
πξω
ξω
+
==
≡δ decremento logarítmico do amortecimento 
2D1n
n
1
22
x
x
ln
ξ−
πξ=ω
πξω==
+
( ) π
δ≈
δ+π
δ=ξ⇒
22 22
PARA BAIXOS VALORES DE AMORTECIMENTO (ξ ): πξ≈δ 2
CONSIDERANDO DOIS PICOS SEPARADOS POR m CICLOS:
( ) DD T mmT 
mn
1mn
2n
1n
1n
n
mn
n ee
x
x
x
x
x
x
x
x ωξωξ
+
−+
+
+
++
==⋅⋅⋅⋅=⇒
 ⇒ 
mn
n
x
xln
m
1
+
⋅=δ