Transformada de Laplace

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HISTÓRICO 
• Em 1812, Pierre Simon de Laplace (1749-
1827) publicou uma obra intitulada Teoria 
Analítica, e nesta apresentou a Transformada 
de Laplace de uma função f(t), que passara a 
ser denotada por ￡{f(t)}. 
HISTÓRICO 
• Oliver Heaviside (1850 – 1925), matemático e eng. 
Eletricista, ao estudar processos simples para obter 
soluções de equações diferenciais com condições 
iniciais (PVI: Problema com Valores Iniciais) em uma 
equação algébrica, de modo a obter uma solução 
deste PVI de uma forma indireta sem calcular a 
solução geral da Equação Diferencial através de 
integrais e derivadas. 
 
DEFINIÇÃO 
• Dada uma função integrável 𝑓(𝑡), tal que 𝑓: [0,∞) →
ℝ, a transformada de Laplace, ℒ{𝑓 (𝑡 )} , e dada por: 
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
+∞
0
 
 Para todo s ≥ 0 de maneira que a integral tenha 
convergência e com 𝑠 = 𝜎 + 𝑖𝜔 uma variável do plano 
complexo. 
EXEMPLOS 
1. Encontre a transformada de Laplace para função 
𝑓 𝑡 = 1. 
2. Encontre a transformada de Laplace para função 
𝑓 𝑡 = 𝑘. 
3. Encontre a transformada de Laplace para função 
𝑓 𝑡 = 𝑡. 
4. Encontre a transformada de Laplace para função 
𝑓 𝑡 = 𝑒𝑎𝑡. 
 
 
PROPRIEDADES 
• Linearidade. 
ℒ 𝛼𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔(𝑡) = 𝛼ℒ 𝑓 𝑡 + 𝛽𝑔 𝑡
= 𝛼𝐹 𝑠 + 𝛽𝐺(𝑠) 
• Deslocamento. Se a transformada de Laplace de f(t) é 
F(s), para s > a e considerando uma constante a, 
então a transformada da função 𝑔 𝑡 = 𝑒𝛼𝑡𝑓(𝑡) será 
igual a 
𝐺 𝑠 = 𝐹 𝑠 − 𝛼 
 para 𝑠 > 𝑎 + 𝛼. 
PROPRIEDADES 
• Convolução. 
ℒ 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = ℒ 𝑓 𝑡 . ℒ 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑠 . 𝐺(𝑠) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > max {𝑎1, 𝑎2}. 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA 
Para que exista a transformada de Laplace F(s) de f(t) é 
necessário que: 
I) a função f(t) seja contínua em cada intervalo entre 
dois pontos quaisquer de descontinuidade, caso 
existam; 
II) a função f(t) seja de ordem exponencial, ou seja, deve 
existir uma constante a, com a pertencente aos reais 
de modo que exista lim𝑡→∞ 𝑓(𝑡) 𝑒
−𝑎𝑡; 
III) o domínio de F(s) de f(t) será s > a. 
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
• A partir de uma função 𝑓 = 𝑓(𝑡) (do tipo citado na 
observação acima), podemos construir a sua 
transformada de Laplace 𝐹 = 𝐹(𝑠), assim, dada uma 
função F=F(s) podemos questionar se existe uma 
função 𝑓 = 𝑓(𝑡) tal que 𝐹(𝑠) = ℒ[𝑓(𝑡)]? Esta função 
é a transformada inversa de Laplace de F=F(s). Para 
esta inversa, utilizaremos a notação: 
ℒ−1[𝐹(𝑠)] = 𝑓(𝑡) 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
DERIVADAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
Seja a Transformada de Laplace 
𝐹 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡
+∞
0
 
Derivando ambos os lados desta igualdade em relação à variável s, 
obtemos: 
𝐹′(𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡 −𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = ℒ −𝑡 𝑓 𝑡
+∞
0
 
De maneira geral, tem-se: 
 
𝐹 𝑛 (𝑠) = 𝑒−𝑠𝑡(−𝑡)𝑛𝑓 𝑡 𝑑𝑡
+∞
0
 
 
 
SOLUÇÃO DE UMA EDO LINEAR 
 L[f(n)] = sn F(s) -sn-1 f(0)-sn-2 f '(0) -sn-3 f "(0) -...-f(n-1)(0) 
Em particular, tomando n=2 e n=1 e usando f(t) = y(t) e 
F(s) = Y(s), temos que: 
 L[y"]=s²Y(s)-s.y(0)-y'(0) 
 L[y']=s.Y(s)-y(0) 
 
 
EXEMPLOS 
1. Obter a solução do Problema com Valor Inicial com 
uma EDO linear 
𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−𝑡 , 𝑦 0 = 5. 
Resposta. 𝑦 𝑡 = 𝑡. 𝑒−𝑡 + 5. 𝑒−𝑡 = 𝑡 + 5 . 𝑒−𝑡 
2. Obter a solução do Problema com Valor Inicial com 
uma EDO linear de 2a. ordem: 
𝑦" − 2 𝑦′ − 3 𝑦 = 6𝑒𝑡 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 3. 
Resposta. 𝑦 𝑡 = −
3
2
𝑒𝑡 +
3
4
𝑒−𝑡 +
7
4
𝑒3𝑡 
 
 
EXEMPLOS 
3. Obter a solução do Problema com Valor Inicial com 
uma EDO linear 
 
𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0 
𝑦 0 = 2, 𝑦′ 0 = −1
. 
Resposta. 𝑌 𝑠 =
7
5
𝑒−2𝑡 +
3
5
𝑒3𝑡 . 
4. Calcule 
ℒ−1
2𝑠 − 3
𝑠² − 𝑠 − 6
. 
EXERCÍCIOS 
1. Determine as transformadas de Laplace das funções definidas 
pelas seguintes expressões analíticas: 
 
2. Calcule: 
3. Use o operador Transformada de Laplace para determinar as 
soluções das seguintes equações diferenciais que verifiquem as 
condições iniciais dadas.