Equações Diferenciais - AOL04 (10 - 10)

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Equações Diferenciais – AOL 04 
 
1) A transformada de Laplace fornece uma metodologia para resolver e analisar problemas 
envolvendo equações diferenciais ordinárias. O método consiste em utilizar a transformada 
de Laplace para converter a equação diferencial em um problema de menor complexidade 
por meio das propriedades da transformada de Laplace. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{3s + 5/ s2 + 7}, a transformada inversa 
corresponde a: 
 
( ) L-1 = 3 cost + (5.sent) / (7) 1/2. 
( x ) L-1 = 3 cos(7) 1/2.t + (5.sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2. 
( ) L-1 = 3 cos(7) 1/2.t + t / (7) 1/2. 
( ) L-1 = (5.sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2. 
( ) L-1 = cos(7).t + (sen(7) 1/2.t) / (7) 1/2. 
 
2) No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação 
instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que 
representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Dessa forma, pode-se aplicar 
o conceito de derivada para a resolução de transformadas de Laplace. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de 
transformadas, dada a função t. sen(kt) sua transformada corresponde a: 
 
( ) L = 2s / (s + k). 
( ) L = ks / (s2 + k2)2. 
( ) L = ks / (s2 + k2). 
( ) L = 2ks / (s + k)2. 
( x ) L = 2ks / (s2 + k2)2. 
 
3) O conceito de convolução está ligado à integral de superposição na Óptica de Fourier; à 
integral de Duhamel na teoria das vibrações; ao Teorema de Borel no estudo de sistemas 
lineares invariantes no tempo; ao conceito de média móvel; às funções de correlação e de 
autocorrelação em estatística e em processamento de sinais, e a diversos conceitos 
usados em análise de imagens, como digitalização, alisamento, embaçamento entre 
outros. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre convolução, dada a 
integral de eu . sen(t – u) com u variando de 0 à ∞, logo sua transformada corresponde a: 
 
( ) L = 1 / (s – 1)(s – 1). 
( x ) L = 1 / (s – 1)(s2 – 1). 
( ) L = 1 / (s² – 3)(s² – 1). 
( ) L = 1 / (s – 1)(s-² – 1). 
( ) L = 1 / (s-² – 3)(s – 1). 
 
4) A derivabilidade ou diferenciabilidade de uma função é a análise feita para saber se uma 
função derivada está definida em todos os pontos do seu domínio. Uma função é derivável 
ou diferenciável no ponto x, se existir o limite da derivada em tal ponto. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de 
transformadas, dada a função t2. sen(kt), sua transformada corresponde a: 
 
( ) L = s2 – k3 / (s + k2)3. 
( ) L = 6k2 – k3 / (s2 + k2)3. 
( ) L = 6s2 – k3 / (s2 + k)3. 
( ) L = s2 – 2k3 / (s2 + k2). 
( x ) L = 6ks2 – 2k3 / (s2 + k2)3. 
 
5) A utilidade da Transformada de Laplace decorre da necessidade de representar funções 
temporais no domínio da frequência complexa ou plano complexo, no qual a variável é 
uma variável complexa. Devido à utilidade da transformada de Laplace na manipulação de 
funções de variável complexa, ela tornou-se um utensílio essencial na análise e na síntese 
de sistemas lineares. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
dada a equação diferencial de segunda ordem y’’ + y’ – 2y = 4t, com valores iniciais iguais 
a y(0) = 0 e y’(0) = 2, a função f(t) aplicando a transformada de Laplace é igual a : 
 
( ) f(t) = - 1 – e-2t + 2et. 
( ) f(t) = - 1 - 2t – et. 
( ) f(t) = 2t + e-2t + 2et. 
( x ) f(t) = - 1 - 2t – e-2t + 2et. 
( ) f(t) = - 1 - 2t – e-2t 
 
6) Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com 
um polinômio de alto grau, não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método 
para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o 
polinômio de maneira que ele tenha apenas um ou dois graus, sendo fácil, então, 
determinar sua transformada inversa. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 = {1 / (s – 1). (s + 2). (s + 4)}, a 
transformada inversa corresponde a: 
 
( ) L-1 = 1/15.e3t – 1/6.e-t + 1/10.e-4t. 
( ) L-1 = 15.et – 1/6.e-2t + 10.e-4t. 
( ) L-1 = 1/7.et – 1/10.e-2t + 1/6.e-4t. 
( ) L-1 = 15.et + 6.e-2t – 10.e-2t. 
( x ) L-1 = 1/15.et – 1/6.e-2t + 1/10.e-4t. 
 
7) Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ou saída de um sistema, 
a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em grande número de 
casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou 
de uma nova sistematização baseada em características específicas. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
pode-se afirmar, considerando a função L{e-3t}, que a transformada corresponde a: 
 
( ) L = 1/(s3). 
( ) L = 1/s. 
( x ) L = 1/(s+3). 
( ) L = 1/(s2+3). 
( ) L = 1/(s – 3). 
 
8) As propriedades de translação do eixo s podem ser descritas como dado um número real 
a, logo: L{eat .f(t)} = F(s – a). Portanto, o gráfico de F(s – a) corresponde ao gráfico de F(s) 
deslocado sobre o eixo s para a direita, se a>0, e para esquerda, se a<0. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 {s / s2 + 6s + 11}, a transformada inversa 
corresponde a: 
 
( ) L-1 = cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ). 
( ) L-1 = e-3t cos(2t) – (e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
( x ) L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
( ) L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
( ) L-1 = et cos(t) 1/2 – (3. e-t sen(t) 1/2 ) / 21/2. 
 
9) Identidade matemática pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira 
quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma 
equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{1/s2 + 64}, a transformada inversa 
corresponde a: 
 
( ) L-1 = sent/8. 
( ) L-1 = sen(8t). 
( ) L-1 = sen(8t)/16. 
( x ) L-1 = sen(8t)/8. 
( ) L-1 = cos(8t)/8. 
 
10) Quando se trata de “transformada de Laplace” sem especificação, geralmente se faz 
referência à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela 
forma bilateral, em que o limite inferior = -∞ e o limite superior = +∞. Assim, a transformada 
unilateral, em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside (função degrau), 
torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
pode-se afirmar que 
 
( x ) L = 1/s. 
( ) L = s2. 
( ) L = 1/(s+1). 
( ) L = 1/(s+2). 
( ) L = 1/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
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