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FisicaII_Aula_2

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27/02/2015
1
Segunda aula
Prof: Elvys Mercado Curi 
Prob. 2: Um bloco de material desconhecido 
pesa 5 N no ar e 4,55 N quando submerso em 
água. Determine a densidade do material. 
�⃗�������� = �⃗� − � →� = �⃗� − �⃗�������� � = 5− 4,55→
� = 0,45� � = � ��→ �� =
�
�
→ → �� =
0,45 �
9,8 �/��
�� = 0,046 �� �� =
��
�����
→ �� =
0,046 ��
1000 ��/��
→
�� = 4,59× 10
���� → �� = ���������
�� = ��������� . � → ��������� =
��
�
→��������� =
5 �
9,8�/��
���� = 0,51 ��→���� =
����
����
→ ���� =
0,51
4,59
= 11.111,1
Dados:
ρ = 800 kg/m3;
ρf = 1200 kg/m
3;
H = 6 cm ;
h=?
Preciso conhecer o 
volume submergido 
para relacionar H 
conhecido, com h 
desconhecido.
� = ��;
Do analise de forças por DCL: 
Diagrama de Corpo Livre do Bloco DCL:
W FE
Hh
Área =A
� = ������. �;
� = �. ������. �;
�� = ��. �
�� = ��. �����. �
� = ��
�. ������. � = ��. �����. �
�. �. � = ��. �. ℎ → �. � = ��. ℎ
ℎ = �
�
��
→ ℎ = 6
800
1200
→ ℎ = 4 ��
Prob: 1
Solução
27/02/2015
2
Fluidos Ideais em movimento 
Analisar o movimento de fluidos reais (escoamento) 
é complexo, mas algumas situações podem ser 
explicados com modelos idealizados simples. Um 
fluido ideal é um fluido incompressível (ρ = cte), que 
não possui nenhum atrito interno (viscosidade).
Uma linha de corrente é 
uma curva cuja tangente 
em cada ponto dá a direção 
e o sentido da velocidade 
no respetivo ponto.
A trajetória de uma partícula individual durante o 
escoamento denomina-se linha de escoamento ou 
linha de fluxo. Se o escoamento não varia com o 
tempo, chama-se de escoamento estacionário ou 
permanente. No escoamento estacionário, as 
partículas seguem a mesma linha de escoamento, e 
sua velocidade permanece constante, embora que 
a velocidade da partícula possa varias em modulo, 
direção e sentido em pontos diferentes.
Quando a configuração do escoamento de um fluído 
varia com o tempo, as linhas de corrente (trajetória 
real da partícula) não coincidem com as linhas de 
escoamento (direção do fluxo em escoamento 
laminar). 
Escoamento laminar: a velocidade do fluído em um 
ponto fixo qualquer não varia com o tempo, nem o 
módulo nem a orientação. Exemplo: o escoamento 
no estado inicial da fumaça do cigarro.
Escoamento incompressível: Para fluídos em 
repouso o fluxo ideal é incompressível, ou seja o 
valor da massa específica é constante (ρ=cte). 
Escoamento não-viscoso: De maneira simples a 
viscosidade de um fluído é uma medida da 
resistência que o fluído oferece ao escoamento. A 
viscosidade do fluído é análogo ao atrito entre 
sólidos, converte a energia cinética em energia 
térmica.
Escoamento irrotacional: O elemento fluido não 
gira em torno a um eixo (centro de massa), sua 
velocidade é sempre tangente a uma linha de fluxo, 
pelo que dois linhas de fluxo jamais se cruzam.
Centro do 
eixo
Escoamento turbulento: Quando a taxa de velocidade 
do fluído m obstáculo produz variações abrutas de 
velocidade, o escoamento pode-se tornar irregular o 
caótico, isto é chamado de escoamento turbulento. A 
configuração do escoamento varia continuamente 
com o tempo.. Exemplo: o escoamento no estado final 
da fumaça do cigarro.
27/02/2015
3
No espaço 1, a massa dm1 flui no 
tempo dt em um tubo de área A1. 
�� =
�ℎ�
��
�ℎ� = ��. ��
��� = ��. �ℎ�
��� = ��. ��. �� ��� = �. ��. ��. ��
No espaço 2, para o mesmo tempo, a massa é:
→
→
� =
���
���
=
���
���
Para o fluído incompressível temos: 
��� = �. ���→
��� = �. ���→
��� = �. ��. ��. ��
No escoamento estacionário, a massa e seu volume 
que se desloca no tubo permanece constante:
Fluidos Ideais em movimento 
Equação da continuidade: O fluido ideal analisado é 
não viscoso, incompressível, sem movimento 
rotacional e com escoamento laminar. 
��� = ���; ��� = ���;
��. �� = ��. ��
� = ���;
A trajetória de movimento de um pequeno elemento 
do fluido, que mantém sua integridade, é chamada 
de linha de fluxo.
Fluxo laminar:
Linhas de fluxo 
não se cruzam
Fluxo turbulento:
Cruzamento de linhas 
de fluxo
→
��
�
= �. ��. �� Fluxo de massa
27/02/2015
4
Equação de Bernoulli 
Cálculo do trabalho: 
Para um tempo Δt, as 
pressões do fluido nas 
dois extremidades são 
p1 e p2 e sua força na 
seção reta 1 é p1.A1 e 
na seção reta 2 e p2.A2. 
O trabalho realizado 
pelo deslocamento do 
fluido no tempo Δt:
� = ��. ∆�� − ��. ∆�� � = ��. ��. ∆�� − ��. ��. ∆��
� = ��. ∆�� − ��. ∆�� � = �� − �� . ∆�
→
→
O trabalho W também é igual à soma das variações 
das energias cinética e potencial do volume:
(1)
� = ∆�� + ∆�� (2)
∆�� = ��� − ��� → ∆�� =
1
2
∆�. ��
� −
1
2
∆�. ��
�
∆�� =
1
2
∆�. (��
�−��
�) ∆�� =
1
2
�. ∆�. (��
�−��
�)→ (3)
∆�� = ��� − ��� → ∆�� = ∆�. �. �� − ∆�. �. ��
∆�� = ∆�. � �� − �� → (4)∆�� = �. ∆�. � �� − ��
Substituindo (1) = (3)+(4):
�� − �� . ∆� =
1
2
�. ∆�. (��
�−��
�) + �. ∆�. � �� − ��
�� − �� =
1
2
�. (��
�−��
�) + �. � �� − ��
�� +
�
�
�. ��
� + �.�.�� = �� +
�
�
�. ��
� + �.�.��
Aplicações da Equação de Bernoulli
Equação da Hidrostática 
�� − �� =
1
2
�. (��
�−��
�) + �. � �� − ��
�� − �� = �. � �� − ��
�� = �� + �. �. ℎ
�� = �� = 0;
�� = �� + �. �. ℎ
�� − �� = ℎ
Aplicações da Equação de Bernoulli
Velocidade de descarga (Teorema de Torricelli)
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
�� + �. �. �� − �� = �� +
1
2
�. ��
�
�� = �� = ��; �� = 0
�� − �� = ℎ �. �. ℎ =
1
2
�. ��
�
�� = 2. �. ℎ
Se o reservatório for fechado
�� + �. �. ℎ = �� +
1
2
�. ��
�
�� = ��; �� = 0; �� − �� = ℎ
�� =
2 �� − �� + �. �. ℎ
�
→
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
 �� �. �. ℎ ≈ 0 �� =
2 �� − ��
�
→
O medidor Venturi: usado para medir a velocidade 
de escoamento dentro de um tubo 
�� > ��; �� = ��
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
�� +
1
2
�. ��
� = �� +
1
2
�. ��
�
��. �� = ��. ��
Equação da continuidade:
�� =
��
��
. ��
�� +
1
2
���
� = �� +
1
2
�
��
��
. ��
�
→
�� − �� =
1
2
�
��
��
. ��
�
−
1
2
�. ��
�
�� − �� =
1
2
�. ��
�.
��
��
�
− 1
�� =
2 �� − ��
�.
��
��
�
− 1
→
A diferença de pressão calcula-se com a altura h da 
coluna do liquido manométrico de densidade ρ’.
�� − �� = �′. �. ℎ
ρ’
27/02/2015
5
Aplicações da Equação de Bernoulli
Tubo de Pitot (ou tubo de Prandtl): utilizado para 
medir a velocidade de escoamento de um gás. 
O gás escoa através das aberturas 
existentes em “a”. Essas aberturas são 
paralelas à direção de escoamento e 
suficientemente afastadas na parte 
posterior para que a velocidade e a 
pressão fora delas não sejam perturbadas 
pelo tubo. A pressão no ramo esquerdo do 
manômetro, que está ligado a essas 
aberturas é, por isso, a pressão estática 
da corrente de gás, pa. 
A abertura do ramo direito do manômetro 
é perpendicular à corrente. A velocidade 
reduz-se a zero em “b” e o gás aí fica 
estagnado (em repouso); portanto, nessa 
região a pressão é a pressão total, pb. 
Equação de Bernoulli, no ar de densidade ρ, nos 
pontos a e b do tubo:
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
�� +
1
2
�. ��
� = ��
�� + �
�. �. ℎ = ��
Equação de Bernoulli no liquido, de densidade ρ’, 
no desnível esquerdo (a) e direito (b):
Igualando as duas equações:
�� +
1
2
�. ��
� = �� + �
�. �. ℎ
1
2
�. ��
� = ��. �. ℎ
�� =
2. ��. �. ℎ 
�
Densidade ou massa específica ρ : É a razãoentre 
massa e o volume de uma mostra. 
��������� =
�����
������
� =
�
�
� =
��
��
Pressão de um fluido: Se um corpo está imerso num 
fluido e em repouso. O fluido exerce, em cada ponto 
da superfície do corpo, uma força perpendicular à 
superfície. A força do fluido (F), por unidade de área 
da superfície (A), é a pressão (p) do fluido:
� =
�
�
Pressão hidrostática 
em um ponto. Força 
perpendicular a sua 
superfície.
Se a pressão for a mesma nos 
pontos da superfície plana.
1 Pa=
�
��
;
1 bar= 10���;
1 milibar= 10���;
1 atm= 101,325 ���;
Resumo:
Unidades:
1 atm= 14,7
��
���
;
Variação da Pressão em um fluido em Repouso 
A pressão do fluido aumenta com a profundidade, 
porém possui o mesmo valor em todos os pontos 
a um mesmo nível. As seguintes equações 
relacionam as pressões em dois pontos qualquer 
no interior de um fluido.
� = �� + �. �. ℎ
• A pressão p é chamado de pressão total, ou 
pressão absoluta.
• p0 é a pressão devido à pressão da atmosfera, 
aplicada na superfície do líquido.
• ρ.g.h é a pressão devido ao líquido devido 
acima no nível 2. (Pressão manométrica)
1 atm = 760 mmHg
1 atm = 29,9 inHg
�� − �� = −�. � �� − ��
Para fluidos incompressíveis e 
líquidos homogêneos ρ e g são 
constantes:
�� − � = −�. � �� − ��
ℎ = �� − ��
A pressão total p do fluido é:
→
�� =
 ��
��
; 1
 �
���
= 1000
 ��
��
.
1� = 1000��� = 10����
→
Unidades: �� = 1
 �
���
;
27/02/2015
6
Uma aplicação é no elevador 
hidráulico. Uma pequena força F1
sobre o pistão na entrada produz 
uma força maior F2 na saída.
Entrada
Princípio de Pascal 
Uma variação de pressão aplicada a um fluido 
incompressível contido em um recipiente é 
transmitida integralmente a todos os pontos, 
partes e paredes do recipiente.
Saída
A pressão é a mesma em todos os pontos.
�������� = ����
��
��
=
��
��
→ →
Principio de Arquimedes:
Um corpo total ou parcialmente imerso 
num fluido sofre um empuxo que é 
igual ao peso do fluído deslocado.
�⃗� + �⃗�� − �⃗� = 0 �⃗�� = �⃗� − �⃗� �⃗�� = �
→
→ →
A1
A2
h
��. �� − ��. �� = � � �� − �� = � �� − �� = �. �. ℎ→
� �. �. ℎ = � � �. �. ℎ = � � = � ��→ →
�� = ��
��
��
Leitura do peso na agua: �⃗�������� = �⃗� − �
Escoamento de fluídos ideais
Um fluido ideal é incompressível, não 
tem viscosidade e seu escoamento é 
laminar e irrotacional. Uma linha de 
fluxo é a trajetória seguida por uma 
partícula do fluído. Um tubo de fluxo é 
um feixe de linhas de fluxo. O 
escoamento no interior de um tubo de 
fluxo obedece à equação da 
continuidade:
��� = �. ��. ��. �� = ��� ��̇ = ��̇ ;
��� = ���;
��. �� = ��. ��
� = ���;→
Equação de Bernoulli 
A aplicação do principio da 
conservação de energia 
mecânica do escoamento de 
um fluído leva à equação de 
Bernoulli
�� +
�
�
�. ��
� + �.�.�� = �� +
�
�
�. ��
� + �.�.�� = ���
Resumo:
Prob: Calcule o fluxo, em litros/s, de 
um líquido não viscoso através de 
uma abertura de 0,5 cm2 de área, 2,5 
m abaixo do nível do líquido, em um 
tanque aberto.
A2=0,5cm
2;
h =2,5 m
�̇�=?
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
�� + �. �. �� − �� = �� +
1
2
�. ��
�
�� = �� = ��; �� = 0 �� − �� = ℎ
�. �. ℎ =
1
2
�. ��
�
�� = 2. �. ℎ
��
�. �
= �̇� = ��. ��
�� = 2 × 9,8× 2,5
1m=100cm =102 cm
Solução:
Dados
1m2=104 cm2
�̇� = 0,5��
�7
�
�
10���
�
1 ��
1000���
→ →
→
�� = 7 �/�
→
1� = 1000��� = 10����
→
�̇� = 0,35 ��/�
Prob: A seção do tubo tem área transversal de 40 cm2 na 
parte mais larga e 10 cm2 na garganta. No tubo 
escoam 30 litros de água em 5 segundos. Determinar: 
a) As velocidades nas seções largas e estreitas. 
b) A diferença de pressão entre as duas seções. 
c) A diferença de altura h no líquido manométrico (mercúrio) 
(ρHg= 13,6.10 kg/m
3; ρágua= 1.103 kg/m
3) 
�� > ��; �� = ��
�� +
1
2
�. ��
� + �. �. �� = �� +
1
2
�. ��
� + �. �. ��
�� +
1
2
�. ��
� = �� +
1
2
�. ��
�
��. �� = ��. �� �� =
��
��
. ��
�� +
1
2
���
� = �� +
1
2
�
��
��
. ��
�
�� − �� =
1
2
�
��
��
. ��
�
−
1
2
�. ��
�
�� − �� =
1
2
�. ��
�.
��
��
�
− 1
�� =
2 �� − ��
�.
��
��
�
− 1
�� − �� = �′. �. ℎ
→
Solução:

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