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27/02/2015 1 Segunda aula Prof: Elvys Mercado Curi Prob. 2: Um bloco de material desconhecido pesa 5 N no ar e 4,55 N quando submerso em água. Determine a densidade do material. �⃗�������� = �⃗� − � →� = �⃗� − �⃗�������� � = 5− 4,55→ � = 0,45� � = � ��→ �� = � � → → �� = 0,45 � 9,8 �/�� �� = 0,046 �� �� = �� ����� → �� = 0,046 �� 1000 ��/�� → �� = 4,59× 10 ���� → �� = ��������� �� = ��������� . � → ��������� = �� � →��������� = 5 � 9,8�/�� ���� = 0,51 ��→���� = ���� ���� → ���� = 0,51 4,59 = 11.111,1 Dados: ρ = 800 kg/m3; ρf = 1200 kg/m 3; H = 6 cm ; h=? Preciso conhecer o volume submergido para relacionar H conhecido, com h desconhecido. � = ��; Do analise de forças por DCL: Diagrama de Corpo Livre do Bloco DCL: W FE Hh Área =A � = ������. �; � = �. ������. �; �� = ��. � �� = ��. �����. � � = �� �. ������. � = ��. �����. � �. �. � = ��. �. ℎ → �. � = ��. ℎ ℎ = � � �� → ℎ = 6 800 1200 → ℎ = 4 �� Prob: 1 Solução 27/02/2015 2 Fluidos Ideais em movimento Analisar o movimento de fluidos reais (escoamento) é complexo, mas algumas situações podem ser explicados com modelos idealizados simples. Um fluido ideal é um fluido incompressível (ρ = cte), que não possui nenhum atrito interno (viscosidade). Uma linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto dá a direção e o sentido da velocidade no respetivo ponto. A trajetória de uma partícula individual durante o escoamento denomina-se linha de escoamento ou linha de fluxo. Se o escoamento não varia com o tempo, chama-se de escoamento estacionário ou permanente. No escoamento estacionário, as partículas seguem a mesma linha de escoamento, e sua velocidade permanece constante, embora que a velocidade da partícula possa varias em modulo, direção e sentido em pontos diferentes. Quando a configuração do escoamento de um fluído varia com o tempo, as linhas de corrente (trajetória real da partícula) não coincidem com as linhas de escoamento (direção do fluxo em escoamento laminar). Escoamento laminar: a velocidade do fluído em um ponto fixo qualquer não varia com o tempo, nem o módulo nem a orientação. Exemplo: o escoamento no estado inicial da fumaça do cigarro. Escoamento incompressível: Para fluídos em repouso o fluxo ideal é incompressível, ou seja o valor da massa específica é constante (ρ=cte). Escoamento não-viscoso: De maneira simples a viscosidade de um fluído é uma medida da resistência que o fluído oferece ao escoamento. A viscosidade do fluído é análogo ao atrito entre sólidos, converte a energia cinética em energia térmica. Escoamento irrotacional: O elemento fluido não gira em torno a um eixo (centro de massa), sua velocidade é sempre tangente a uma linha de fluxo, pelo que dois linhas de fluxo jamais se cruzam. Centro do eixo Escoamento turbulento: Quando a taxa de velocidade do fluído m obstáculo produz variações abrutas de velocidade, o escoamento pode-se tornar irregular o caótico, isto é chamado de escoamento turbulento. A configuração do escoamento varia continuamente com o tempo.. Exemplo: o escoamento no estado final da fumaça do cigarro. 27/02/2015 3 No espaço 1, a massa dm1 flui no tempo dt em um tubo de área A1. �� = �ℎ� �� �ℎ� = ��. �� ��� = ��. �ℎ� ��� = ��. ��. �� ��� = �. ��. ��. �� No espaço 2, para o mesmo tempo, a massa é: → → � = ��� ��� = ��� ��� Para o fluído incompressível temos: ��� = �. ���→ ��� = �. ���→ ��� = �. ��. ��. �� No escoamento estacionário, a massa e seu volume que se desloca no tubo permanece constante: Fluidos Ideais em movimento Equação da continuidade: O fluido ideal analisado é não viscoso, incompressível, sem movimento rotacional e com escoamento laminar. ��� = ���; ��� = ���; ��. �� = ��. �� � = ���; A trajetória de movimento de um pequeno elemento do fluido, que mantém sua integridade, é chamada de linha de fluxo. Fluxo laminar: Linhas de fluxo não se cruzam Fluxo turbulento: Cruzamento de linhas de fluxo → �� � = �. ��. �� Fluxo de massa 27/02/2015 4 Equação de Bernoulli Cálculo do trabalho: Para um tempo Δt, as pressões do fluido nas dois extremidades são p1 e p2 e sua força na seção reta 1 é p1.A1 e na seção reta 2 e p2.A2. O trabalho realizado pelo deslocamento do fluido no tempo Δt: � = ��. ∆�� − ��. ∆�� � = ��. ��. ∆�� − ��. ��. ∆�� � = ��. ∆�� − ��. ∆�� � = �� − �� . ∆� → → O trabalho W também é igual à soma das variações das energias cinética e potencial do volume: (1) � = ∆�� + ∆�� (2) ∆�� = ��� − ��� → ∆�� = 1 2 ∆�. �� � − 1 2 ∆�. �� � ∆�� = 1 2 ∆�. (�� �−�� �) ∆�� = 1 2 �. ∆�. (�� �−�� �)→ (3) ∆�� = ��� − ��� → ∆�� = ∆�. �. �� − ∆�. �. �� ∆�� = ∆�. � �� − �� → (4)∆�� = �. ∆�. � �� − �� Substituindo (1) = (3)+(4): �� − �� . ∆� = 1 2 �. ∆�. (�� �−�� �) + �. ∆�. � �� − �� �� − �� = 1 2 �. (�� �−�� �) + �. � �� − �� �� + � � �. �� � + �.�.�� = �� + � � �. �� � + �.�.�� Aplicações da Equação de Bernoulli Equação da Hidrostática �� − �� = 1 2 �. (�� �−�� �) + �. � �� − �� �� − �� = �. � �� − �� �� = �� + �. �. ℎ �� = �� = 0; �� = �� + �. �. ℎ �� − �� = ℎ Aplicações da Equação de Bernoulli Velocidade de descarga (Teorema de Torricelli) �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� + �. �. �� − �� = �� + 1 2 �. �� � �� = �� = ��; �� = 0 �� − �� = ℎ �. �. ℎ = 1 2 �. �� � �� = 2. �. ℎ Se o reservatório for fechado �� + �. �. ℎ = �� + 1 2 �. �� � �� = ��; �� = 0; �� − �� = ℎ �� = 2 �� − �� + �. �. ℎ � → �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� �. �. ℎ ≈ 0 �� = 2 �� − �� � → O medidor Venturi: usado para medir a velocidade de escoamento dentro de um tubo �� > ��; �� = �� �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� + 1 2 �. �� � = �� + 1 2 �. �� � ��. �� = ��. �� Equação da continuidade: �� = �� �� . �� �� + 1 2 ��� � = �� + 1 2 � �� �� . �� � → �� − �� = 1 2 � �� �� . �� � − 1 2 �. �� � �� − �� = 1 2 �. �� �. �� �� � − 1 �� = 2 �� − �� �. �� �� � − 1 → A diferença de pressão calcula-se com a altura h da coluna do liquido manométrico de densidade ρ’. �� − �� = �′. �. ℎ ρ’ 27/02/2015 5 Aplicações da Equação de Bernoulli Tubo de Pitot (ou tubo de Prandtl): utilizado para medir a velocidade de escoamento de um gás. O gás escoa através das aberturas existentes em “a”. Essas aberturas são paralelas à direção de escoamento e suficientemente afastadas na parte posterior para que a velocidade e a pressão fora delas não sejam perturbadas pelo tubo. A pressão no ramo esquerdo do manômetro, que está ligado a essas aberturas é, por isso, a pressão estática da corrente de gás, pa. A abertura do ramo direito do manômetro é perpendicular à corrente. A velocidade reduz-se a zero em “b” e o gás aí fica estagnado (em repouso); portanto, nessa região a pressão é a pressão total, pb. Equação de Bernoulli, no ar de densidade ρ, nos pontos a e b do tubo: �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� + 1 2 �. �� � = �� �� + � �. �. ℎ = �� Equação de Bernoulli no liquido, de densidade ρ’, no desnível esquerdo (a) e direito (b): Igualando as duas equações: �� + 1 2 �. �� � = �� + � �. �. ℎ 1 2 �. �� � = ��. �. ℎ �� = 2. ��. �. ℎ � Densidade ou massa específica ρ : É a razãoentre massa e o volume de uma mostra. ��������� = ����� ������ � = � � � = �� �� Pressão de um fluido: Se um corpo está imerso num fluido e em repouso. O fluido exerce, em cada ponto da superfície do corpo, uma força perpendicular à superfície. A força do fluido (F), por unidade de área da superfície (A), é a pressão (p) do fluido: � = � � Pressão hidrostática em um ponto. Força perpendicular a sua superfície. Se a pressão for a mesma nos pontos da superfície plana. 1 Pa= � �� ; 1 bar= 10���; 1 milibar= 10���; 1 atm= 101,325 ���; Resumo: Unidades: 1 atm= 14,7 �� ��� ; Variação da Pressão em um fluido em Repouso A pressão do fluido aumenta com a profundidade, porém possui o mesmo valor em todos os pontos a um mesmo nível. As seguintes equações relacionam as pressões em dois pontos qualquer no interior de um fluido. � = �� + �. �. ℎ • A pressão p é chamado de pressão total, ou pressão absoluta. • p0 é a pressão devido à pressão da atmosfera, aplicada na superfície do líquido. • ρ.g.h é a pressão devido ao líquido devido acima no nível 2. (Pressão manométrica) 1 atm = 760 mmHg 1 atm = 29,9 inHg �� − �� = −�. � �� − �� Para fluidos incompressíveis e líquidos homogêneos ρ e g são constantes: �� − � = −�. � �� − �� ℎ = �� − �� A pressão total p do fluido é: → �� = �� �� ; 1 � ��� = 1000 �� �� . 1� = 1000��� = 10���� → Unidades: �� = 1 � ��� ; 27/02/2015 6 Uma aplicação é no elevador hidráulico. Uma pequena força F1 sobre o pistão na entrada produz uma força maior F2 na saída. Entrada Princípio de Pascal Uma variação de pressão aplicada a um fluido incompressível contido em um recipiente é transmitida integralmente a todos os pontos, partes e paredes do recipiente. Saída A pressão é a mesma em todos os pontos. �������� = ���í�� �� �� = �� �� → → Principio de Arquimedes: Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido sofre um empuxo que é igual ao peso do fluído deslocado. �⃗� + �⃗�� − �⃗� = 0 �⃗�� = �⃗� − �⃗� �⃗�� = � → → → A1 A2 h ��. �� − ��. �� = � � �� − �� = � �� − �� = �. �. ℎ→ � �. �. ℎ = � � �. �. ℎ = � � = � ��→ → �� = �� �� �� Leitura do peso na agua: �⃗�������� = �⃗� − � Escoamento de fluídos ideais Um fluido ideal é incompressível, não tem viscosidade e seu escoamento é laminar e irrotacional. Uma linha de fluxo é a trajetória seguida por uma partícula do fluído. Um tubo de fluxo é um feixe de linhas de fluxo. O escoamento no interior de um tubo de fluxo obedece à equação da continuidade: ��� = �. ��. ��. �� = ��� ��̇ = ��̇ ; ��� = ���; ��. �� = ��. �� � = ���;→ Equação de Bernoulli A aplicação do principio da conservação de energia mecânica do escoamento de um fluído leva à equação de Bernoulli �� + � � �. �� � + �.�.�� = �� + � � �. �� � + �.�.�� = ��� Resumo: Prob: Calcule o fluxo, em litros/s, de um líquido não viscoso através de uma abertura de 0,5 cm2 de área, 2,5 m abaixo do nível do líquido, em um tanque aberto. A2=0,5cm 2; h =2,5 m �̇�=? �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� + �. �. �� − �� = �� + 1 2 �. �� � �� = �� = ��; �� = 0 �� − �� = ℎ �. �. ℎ = 1 2 �. �� � �� = 2. �. ℎ �� �. � = �̇� = ��. �� �� = 2 × 9,8× 2,5 1m=100cm =102 cm Solução: Dados 1m2=104 cm2 �̇� = 0,5�� �7 � � 10��� � 1 �� 1000��� → → → �� = 7 �/� → 1� = 1000��� = 10���� → �̇� = 0,35 ��/� Prob: A seção do tubo tem área transversal de 40 cm2 na parte mais larga e 10 cm2 na garganta. No tubo escoam 30 litros de água em 5 segundos. Determinar: a) As velocidades nas seções largas e estreitas. b) A diferença de pressão entre as duas seções. c) A diferença de altura h no líquido manométrico (mercúrio) (ρHg= 13,6.10 kg/m 3; ρágua= 1.103 kg/m 3) �� > ��; �� = �� �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� = �� + 1 2 �. �� � + �. �. �� �� + 1 2 �. �� � = �� + 1 2 �. �� � ��. �� = ��. �� �� = �� �� . �� �� + 1 2 ��� � = �� + 1 2 � �� �� . �� � �� − �� = 1 2 � �� �� . �� � − 1 2 �. �� � �� − �� = 1 2 �. �� �. �� �� � − 1 �� = 2 �� − �� �. �� �� � − 1 �� − �� = �′. �. ℎ → Solução:
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