Funções, Pares Ordenados e Relações

Prévia do material em texto

FUNÇÕES
INTRUÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes conceitos matemáticos, no entanto não se aplica somente em matemática, mas também no desenvolvimento de muitas outras ciências, vejamos outras situações que são exemplos de funções:
O preço da taxa de água a ser paga mensalmente é função da quantidade de água consumida.
O tempo gasto por um carro para percorrer determinada distância é função de sua velocidade.
A área de um círculo é função de seu raio.
PAR ORDENADO
Ao descrevermos os elementos de um conjunto, fazemos sem nos preocuparmos com a ordem dos mesmos, desse modo {a,b,c}={c,b,a}. Se, porém, é dado um conjunto com dois elementos e , o conjunto desses elementos e chamado par ordenado e será representado por . O parêntese em substituição as chaves indica a ordem dos elementos está sendo considerada. Assim e são números reais, então é um par ordenado de números reais onde o primeiro elemento é e o segundo elemento é . 
Propriedade
Dois pares ordenados e são iguais, se e somente se, e 
Exemplos:
GRÁFICO CARTESIANO DO PAR ORDENADO
Todo par ordenado de números reais é representado no plano cartesiano por um ponto. Associando-se ao par ordenado o ponto , cuja representação no plano cartesiano é visto a seguir, dizemos:
é o ponto de coordenadas e .
O número é chamado de abscissa de .
O número é chamado ordenada de .
	 
	 
				 	
		 
		 	
 
		 
Observe a representação dos pontos:
 
PRODUTO CARTESIANO
Um par ordenado é formado pelos valores de e agrupados, os quais determinam pontos no plano cartesiano. A coordenada indica que os valores de estão atribuídos à abscissa (eixo ) e os valores de às ordenadas (eixo ). Produto cartesiano é a multiplicação entre pares ordenados envolvendo conjuntos distintos. Por exemplo, temos o conjunto “A” formado pelos seguintes elementos {1,2,3,4} e o conjunto “B” formado pelos elementos {2,3}, o produto entre eles será o resultado de AxB, considerando que nos pares ordenados, formado pelo produto, a ordem seja a seguinte:
Os elementos de A devem assumir a posição da abscissa e os elementos de B da ordenada, portanto temos que AxB:
{(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(1,3),(2,3),(3,3), (4,3)}
Exemplo 2:
Dados os conjuntos A={2,3,4} e B={3,5}, vamos formar todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo a B:
Temos (2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5), então ao conjunto de todos esses pares ordenados chamamos de produto cartesiano de A por B e indicaremos por AxB, sendo assim:
	 	 A			 B
. 3
. 5
2.
3.
4.
AxB={(2,3), (2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)}
Não esquecer: O produto cartesiano de dois conjuntos são todos os pares ordenados , sendo que pertence ao conjunto A e ao conjunto B.
Observação: O produto cartesiano não é comutativo, isto é, AxBBxA:
 		 A 			 B
. 4
. 5
1.
2.
3.
AxB={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}
BxA={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}
Exemplo 3:
Representação no plano cartesiano do produto AxB, nos seguintes casos:
A={1,2,3} e B={2,3}
O gráfico de AxB é formado por todos os pontos cuja abscissa é elemento de A e cuja ordenada é elemento de B:
AxB={(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
RELAÇÃO
Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B denotada por (lê-se R de A em B) é qualquer subconjunto do produto AxB.
Numa relação poderá haver uma regra ou não.
Exemplo 1: dados os conjuntos A={1,2,5,7} e B={3,9,15,20} a relação de R:AB tal que R={(a,b)/b=3.a}, é dada explicitamente pelos pares ordenados R={(1,3),(3,9),(5,15)}, uma outra maneira de se representar uma relação é através do diagrama de Venn ( Euler Venn).
A			 B. 3
.9
.15
1.
3.
5.
							
Exemplo 2:
Dados os conjuntos A={1,2,3} e B={2,3,4}, temos AxB={(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}.
Considerando agora os conjuntos pares :
Note que 
O produto cartesiano AxB é uma RELAÇÃO, como segue, neste caso são todos os pares ordenados de AxB, não havendo regra:
Dados dois conjuntos A e B, temos:
 A={2,3,4} 	e 	 B={4,6,9}
 A				 B2 .
3 .
4 .
. 4
. 6
. 9
	
AxB={(2,4);(2,6);(2,9);(3,4);(3,6);(3,9);(4,4);(4,6);(4,9)}
			 R
A			 B
. 4
. 6
. 9
2 .
3 .
4 .
R = {(2,4);(2,6);(2,9);(3,4);(3,6);(3,9);(4,4);(4,6);(4,9)}
O subconjunto de quaisquer pares ordenados do AxB também é uma RELAÇÃO:
			 R2 .
3 .
4 .
. 4
. 6
. 9
 A				 B
																																				
R = {(2,4);(3,4);(4,4)}
Quando há uma regra, o subconjunto formado pelos pares ordenados que satisfazem esta regra é uma RELAÇÃO:
y = 2x	ou b = 2.a
b = 2.2 = 4
b = 2.3 = 6		
 R. 4
. 6
. 9
2 .
3 .
4 .
 A			 B
R = {(2,4);(3,6)}
y = 3x ou b = 3.a
b = 3.2 = 6
b = 3.3 = 9
		 R
 A 				 B2 .
3 .
4 .
. 4
. 6
. 9
R = {(2,6);(3,9)}
NOÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO
Se uma relação R de A em B é tal que cada elemento de A corresponde um único elemento de B, dizemos que R é uma função de A em B.
Considerando as relações de A em B, mostrados nos seguintes esquemas temos:
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
	 A				 B
Esta relação é função de A em B, pois para todo x de A está associado um único y de B.
	 A				 BX1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Esta relação não é função de A em B, pois o elemento X2 de A está associado a mais de um elemento de B.
FUNÇÕES
Lembrando: cada elemento de A tem um único elemento associado em B é a definição de função, ou seja, dados os conjuntos A e B, chama-se função , toda relação na qual para todo elemento de A existe um único elemento correspondente em B.
Como em uma RELAÇÃO, nas FUNÇÕES também podem ou não haver regras.
Exemplo de uma função sem ter uma regra, dados os conjuntos:
X={1,2,3,4,5}		e		Y = {7,-1,4,8}. 7
. -1
. 4
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
 X				 F	 Y
				 
 							
 F = {(1,7);(2,-1);(3,-1);(4,7);(5,8)}
Exemplo de função contendo uma regra, dados os conjuntos:
X = {1,2,3,4} 		e Y = {2,3,6,8,9}
			 F
1 .
2 .
3 .
4 .
. 2
.4
.6
. 8
. 9
 X				 Y
Neste exemplo a regra é y = 2x, obedecendo a regra imposta temos: 
y = 2.1 = 2
y = 2.2 = 4
y = 2.3 = 6
y = 2.4 = 8
F = {(1,2);(2,4);3,6);(4,8)}
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
DOMÍNIO (Dom) é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão f(x) é definida,
CONTRADOMÍNIO (CD), são todos os elementos de outro conjunto, exemplo, conjunto B.
IMAGEM (Im), define-se como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contra domínio.
Uma forma de denotar os elementos do domínio é por meio de uma variável, x por exemplo e os elementos do contra domínio por y.
Exemplo: 
 A					 B2 .
3 .
5 .
7 .
. 1
. 4
2. 3
Dom(f)={2,3,4,5,7}
Im(f)={2,3}
CD(f)={1,2,3,4} ou CD=B
DOMÍNIO DE FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL
Ao se analisar o domínio de uma função de variável real devemos ter atenção voltada para duas operações que não se define em R:
Divisão por zero;
Raiz de índice par de número negativo.
Exemplos:
 
	
	
 ou ainda 
 ou ainda , +
 e 
 e 
 } ou ainda 
CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÃO SOBREJETORA, BIJETORA E INJETORA 
FUNÇÃO SOBREJETORA
Vamos analisar o diagrama de flechas acima:
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
Sendo o conjunto imagem o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementosde B estão associados a pelo menos um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual ao conjunto imagem.
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão flechados por algum elemento do domínio.
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: Dom(f) = { -2, -1, 1, 3 }
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
Esta função é definida por:
Substituindo a variável independente x, de 3x2, por qualquer elemento de A, iremos obter o elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x).
Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.
Mais exemplos:
A		 A 		 B		 	 A			 B		
 			 f							f
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
1 .
 2 .
3 .
4 .
. 7
. 5
. -3
. 8
. 9
 1 .
 2 .
3 .
4 .
5 .
 
 A			 B			 A 		 B. 3
. 9
. 2
. 1
. 4
. 5
			 f							 f	 . 3
. 9
. 2
. 1
7 .
8 .
9 .
10 .
2.
3 .
7 .
8 .
9 .
10 .
2.
3 .
										
Uma função somente será sobrejetora em um plano cartesiano se a projeção do gráfico sobre o eixo y for contra domínio.
FUNÇÃO INJETORA
Vejamos agora este outro diagrama de flechas ou diagrama de Venn:
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Além disso, podemos notar que esta função tem outra característica distinta da função anterior. Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja, não há em B qualquer elemento com mais de uma flecha. Em outras palavras não há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Nesta função temos:
Domínio: Dom(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
Definimos esta função por:
Veja que não há no Dom(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f).
Parte superior do formulário
FUNÇÃO BIJETORA
Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outro diagrama de flechas ou diagrama de Venn.
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram flechados.
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única flechada.
Esta função tem:
Domínio: Dom(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Esta função é definida por:
Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de um elemento do D(f) com a mesma Im(f).
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções bijetoras.
FUNÇÃO INVERSA
Dados A={-2,-1,0,1,2} E B={-3,-1,1,3,5}, consideremos a função , definida por 
 A					 B. -3
. -1
. 1
. 3
. 5
-2 .
-1 .
0 .
1 .
2 .
				 
Como é uma função bijetora, podemos associar a todo elemento de um único elemento de , tal que .
 B					A
					. -2
. -1
. 0
.1
. 2
-3 .
-1 .
1 .
3 .
5 .
A essa nova função de em chamaremos de da função e indicaremos por Portanto:
Exemplo 1: 
Observe que:
O domínio de é o contradomínio da .
O contradomínio de é o domínio de.
Se então .
Determinemos a lei que define 
Sendo , calculando:
Troca-se e 
Isolando y:
 
De modo geral:
, chama-se função inversa dindicada por , a função que associa cada de B ao elemento de A, tal que 
Exemplo 2:
Dada a função, definida por , vamos determinar a função inversa de .
Solução:
Troca-se x por y e y por x: 
Isolando o y:
 ou 
Logo a função inversa de é:
, definida por .
Exemplo 3:
Lembrando da regra prática:
1 . “Troque” o x pelo y ().
2 .Isole o y.
Seja uma função bijetora, sua inversa é .
Pode-se obter a função considerando da seguinte maneira:
- Escreve-se na forma .
- Na função , troca-se por e por obtendo .
- Na função determine em função de , obtendo .
- Escreve-se na forma 
Exemplo 4:
Seja definida por determinar a 
	
	 (trocando x por y)
	
	
	 ou 
Exemplo 5:
Dados A = {1,2,3} e B={3,6,9} e a função definida por , pede-se e :
Primeiro Achamos a inversa.
FUNÇÃO COMPOSTA
Consideremos os conjuntos:
 e e as funções:
- definida por .
- definida por 
			 f				 g	
	 A				 B				 C		.4
.9
.16
.25
.2.
.3.
.4.
.5.
1.
2.
3.
		
 			
	 				 g
O esquema nos mostra que existe uma função , onde:
A essa função damos o nome de de g com f e a indicamos por (lê-se g composta com f), este símbolo também é conhecido como g bola f.
De modo geral, as funções compostas e são diferentes, pois:
LEI QUE DEFINE UMA FUNÇÃO COMPOSTA
Para poder calcular diretamente a imagem de qualquer numa função composta, é preciso obter a fórmula ou a lei, que define essa função.
Exemplo 1:
Sendo e , obter , para calcular a devemos substituir por nessa fórmula:
Exemplo 2:
Se , determine :
Logo:
FUNÇÃO PAR
Uma função , de , denomina-se par se, e somente se:
Considerando a função , temos:
Isto quer dizer que a função possui o mesmo valor para valores simétricos da variável. Dizemos então que a função é par. Observe que a função tem um gráfico simétrico em relação a 
Exemplo 2:
A é par, pois .
Fazendo o gráfico:
FUNÇÃO IMPAR
Uma função , de , denomina-se função impar se, e somente se:
Exemplo 1:
Considerando a função , temos:
Isto quer dizer que a função possui valores simétricos para valores da variável. Dizemos então que a função é impar.
Exemplo 2:
 é impar, pois 
Construindo o gráfico:
Como verificar se uma função é par.
Exemplo:
Então:
Como verificar se uma função é impar.
Exemplo:
Então:
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
É uma função definida pela lei
, em que e são números reais.
Exemplos:
O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta e para construí-l0 precisamos de dois de seus pontos.
Há alguns elementos na equação que são importantes para fazermos o gráfico e sabermos algumas características da função. 
Função Linear
A função linear é um caso particular da função e primeiro grau, , em que b=0. Por isto, o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano, isto é:
Assim, para fazer o gráfico de uma função linear basta determinar mais um de seus pontos, ou seja, a origem, pois um já é conhecido.
Exemplo 1:
 pode ser obtido atribuindo-se o valor 3 para .
Construção do gráfico da função de primeiro grau
O gráfico é uma reta não paralela nem ao eixo nem ao eixo . Seu e sua 
Vamos construir o gráfico da função .
Exemplo 1:
.
Como o traçado de uma reta é feito conhecidos dois de seus pontos, vamos atribuir a dois valores arbitrários e, consequentemente, encontraremos os valores respectivos de .
 
	
	
	
	0
	3
	(0,3)
	-2
	-1
	(-2,-1)
Exemplo 2:
	
	
	
	1
	1
	(1,1)
	0
	3
	(0,3)
Observando os exemplos 1 e 2 dados, temos:
 é uma função crescente. Isto ocorre sempre que o coeficiente do , ou seja, for positivo.
 é funçãodecrescente. Isto ocorre sempre que o coeficiente do , ou seja, for negativo
	
	
Escrever a função correspondente ao gráfico da função de primeiro grau
O gráfico de é uma reta, obviamente só precisamos conhecer dois de seus pontos para traçá-la. Esses pontos são obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários para e determinando suas imagens. Porém, dois pontos convenientes são aqueles que a reta corta os eixos. 
Tomando o gráfico abaixo vamos escrever a função correspondente ao gráfico.
O gráfico é uma reta não paralela aos eixos. Então trata-se do gráfico de uma função de 1º grau, isto é, uma função do tipo .
Como os pares ordenados pertencem ao gráfico:
		
				
Resolvendo o sistema 				encontraremos e 
				
Logo, a função é 
Encontrando a raiz da função, ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo :
 
Coeficiente angular e coeficiente linear
Na equação ,"a" é o coeficiente angular. É a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x, ou seja a inclinação da reta."b" é chamado o coeficiente linear. É a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Vejamos exemplo no gráfico:
	
	
	
	1
	3
	(1,3)
	2
	5
	(2,5)
		 				 
		 				 	 		
		 
									 
		 							 
											 
	
 		 	 
O coeficiente angular é a inclinação da reta em relação ao eixo , visto no
sentido anti-horário.
Como calcular a , 
 
		 
 90º	 	
	 
CO: cateto oposto
CA: Cateto adjacente
Exemplo 1:
	
	
	
	1
	1
	(1,1)
	2
	3
	(2,3)
Calculando a inclinação:
 são os pares ordenados dos dois encontrados para traçarmos a reta. 
Calculando a raiz da função:
FUNÇÃO CONSTANTE
Toda função na forma , com é denominada função constante.
Em uma função constante qualquer que seja o elemento do domínio eles sempre terão a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k.
Gráfico da função constante
Para exemplificar vamos observar a função constante representada graficamente no plano cartesiano:
Neste exemplo a constante k possui o valor -3.
Observe os pontos (-2, -3), (0, -3) e (4, -3) que destacamos no gráfico da função.
Em cada um destes pontos distintos temos uma abscissa diferente, no entanto todos os três possuem a mesma ordenada.
FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma equação na forma (em que e são números reais e ) é chamada equação de segundo grau é resolvida pela fórmula de Baskara.
Se , a equação tem duas raízes reais e distintas.
Se , a equação tem duas raízes reais e iguais.
Se , a equação não tem raízes reais.
Exemplo:
A função dada por , (em que e são números reais e ) é chamada função de segundo grau ou função quadrática e seu gráfico é uma curva chamada parábola.
Gráfico da função de segundo grau
Exemplo 1:
Calculando as raízes:
Vértice
V=
Concavidade
, ou seja, for positivo a concavidade da parábola é voltada para cima.
, ou seja, for negativo a concavidade da parábola é voltada para baixo.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
Exemplo 4:
Exemplo 5:
Exemplo 6:
Módulo
Considere a reta:
		|	|	|	|	|	|	|	|	|		
		-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4 e a distância de -4 à origem também é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos:
|4| = 4
O módulo ou valor absoluto de um número real x, indicado por |x|, definido por:
Pela definição, conclui-se que o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero:
Exemplos:
|
FUNÇÃO MODULAR
Função modular é a função de , definida por:
Define-se, portanto, por duas sentenças.
Assim, obtém-se o gráfico pela reunião das semiretas que tem a origem no ponto e são bissetrizes no 1º e 2º quadrante, conforme as figuras a seguir:.
		y							 y
						
				x							 x 
												
					 y	
			 
							 x	
 
Exemplo 1:
Resolvendo:
Então:
Montando o gráfico:
	X
	y
	
	
	
	x
	Y
	-2
	0
	
	
	
	-2
	0
	-1
	1
	
	
	
	-3
	1
Exemplo 2:
Então:
Montando o gráfico:
	X
	y
	
	
	
	x
	Y
	0
	3
	
	
	
	-1
	4
	1
	4
	
	
	
	-2
	5
	2
	5
	
	
	
	-3
	6
Método de translação
Duas variações dessa função são mais conhecidas:
Este tipo de translação quando k é real e k > 0, a função sofrerá um deslocamento horizontal, mantendo seu aspecto gráfico. O deslocamento será de k unidades para a direita se a substituição for por (x – k) e será para a esquerda se a substituição for por (x + k). 
Este tipo de translação ocorrerá quando substituirmos a função f(x) por f(x) ± k. Considerando que k seja um número real positivo, teremos uma translação vertical “para cima” no sentido do eixo das ordenadas no caso de f(x) + k e a translação ocorrerá “para baixo” nos casos de f(x) – k.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Resumo das propriedades de potência
Sempre que as operações e as potências envolvidas estejam definidas, temos as seguintes propriedades de potenciação, considerando :
Produto da potência da mesma base: .
Quociente de potências de mesma Base: .
Potências de potências: . 
Potência de um produto: .
Potência de um quociente: .
Radiciação
Dados um número real não negativo e um número natural , , chama-se raiz aritmética de o número real e não negativo , tal que .
é o símbolo que indica a operação radiciação e é chamado radical;
é um número real chamado radicando;
 é um número natural chamado índice;
é um número real, resultado dessa operação chamado raiz.
Exemplos:
;
Conforme exemplo 3, não é necessário o índice quando se trata de raiz 
quadrada.
Propriedade da radiciação
Função Exponencial
Dado um número real uma função de definida por é denominada função exponencial de base .
Exemplo:
Para e negativo não existiria (não teríamos uma função em ).
Para e , por exemplo, não haverá (não teríamos em .
Para e qualquer númro real, (função constante).
Gráfico da função exponencial
Analisando o gráfico das funções exponenciais, a primeira com e a segunda com 
	
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	2
	4
	8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	8
	4
	2
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Para uma função exponencial:
.
O gráfico é uma figura chamada curva exponencial que passa por .
O gráfico não toca o eixo e não tem pontos nos quadrantes III e IV.
Para a função é crescente.
Para a função é decrescente.
A função exponencial é sobrejetora: .
A função exponencial é injetora.
A Função exponencial é bijetora, logo admite inversa.
A função exponencial é ilimitada superiormente.
Observações:
, há uma translação de unidades para cima.
há uma translação de unidades para baixo.
Exemplos:
	
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	3
	5
	9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-1
	0
	2
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
LOGARITMO
Definição de logaritmo de um número
Considere as seguintes questões;
A que número se deve elevar:
o número 2 para se obter 8?
O valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e é representado por 
o número 3 para se obter ?
O valor -4 chama-se logaritmo do número na base 3 e é representado por 
Dados os números reais positivos e , com se , então o expoente chama-se logaritmo de na base , ou seja:
	, com 
Nessa equivalência temos:Forma logarítmica
	
	Forma exponencial
	
Exemplos:
Condições de existência de logaritmos
A existência de um logaritmo, como, por exemplo, , depende das seguintes condições:
N deve ser um número positivo (N>0).
A base deve ser um número positivo e diferente de 1 .
	
Conseqüências da definição de logaritmo
1ª) , pois , qualquer que seja 
2ª), pois para todo .
3ª) , pois para todo 
4ª) ,
5ª) .
Propriedades operatórias dos logaritmos
1ª) Logaritmo de um produto:
	
Exemplo: 
2ª) Logaritmo de um quociente:
	
Exemplo:
3ª) Logaritmo de uma potência:
	
	
Exemplos: 
4ª) Mudança de base:
	Para escrever o usando logaritmo da base , realizamos a mudança de base: 
	 
Exemplos:
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para todo número real positivo , a função exponencial é uma correspondência biunívoca (injetora) entre . Ela é crescente se a, decrescente se e tem a seguinte propriedade:
Essas considerações garantem que possui uma função inversa.
Definição da função logarítmica
A inversa da função exponencial de base é a função , que associa a cada número real positivo o número real 
.
			
 
					 
					 
Exemplos de função logarítmica as funções de , definidas por:
Gráfico da função logarítmica
	
	
	
	
	1
	2
	4
	
	-2
	-1
	0
	1
	2
	
	
	
	
	1
	2
	4
	
	2
	1
	0
	-1
	-2
Consequências da definição da função logarítmica
O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja, f(1)=0, 
O gráfico nunca toca o eixo y nem nunca toca pontos dos quadrantes II e III;
Quando a>1, a função é crescente;
Quando 0<a<1, a função é decrescente;
Somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função assume somente valores positivos;
Se a>1, os números maiores do que 1 tem logaritmo positivo e os números compreendidos ente 0 e 1 tem logaritmos negativos;
Se 0<a<1, os números maiores do que 1 tem logaritmo negativo e os números compreendidos entre0 e 1 tem logaritmo positivo;
A função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. No caso a>1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos suficientemente grande;
Ao contrário da função exponencial f(x)=com a>1, que cresce rapidamente, a função logarítmica cresce muito lentamente;
A função logarítmica é injetora, pois números positivos diferentes te, logaritmos diferentes, ela é também sobrejetora, portanto ela é bijetora e, contudo, admite inversa, que é a função exponencial.
Exemplos de função inversa da função logarítmica:
Translação da função logarítmica
Exemplos: