APOSTILA DINAMICA SISTEMAS NAVAIS

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Escola Politécnica daEscola Politécnica daEscola Politécnica daEscola Politécnica da
Universidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São Paulo
Departamento de 
Naval e Oceânica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA DE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica daEscola Politécnica daEscola Politécnica daEscola Politécnica da 
Universidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São Paulo
Departamento de Engenharia 
Naval e Oceânica 
INÂMICA DE 
SISTEMAS I 
Material de Apoio 
Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra
São Paulo,
Universidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São PauloUniversidade de São Paulo 
Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra 
 
 
São Paulo, 2010. 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
2 
1 1º sem.
Versão Data
 
Material de Apoio:
Dinâmica de Sistemas I
Dept./Unidade Data
PNV/EPUSP Março
Disciplina oferecida pelo pro
Universidade de São Paulo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
º sem./2010 Texto em elaboração 
Data Observações 
Material de Apoio: 
Dinâmica de Sistemas I 
Data Autor: 
Março de 2010 Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra
pelo programa de graduação da Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo. 
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Prof. Dr. André Luís Condino Fujarra 
Escola Politécnica da 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. PREFÁCIO .................................................................................................. 1 
2. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 2 
3. SUBSÍDIOS A RESPEITO DA DINÂMICA DE SISTEMAS ...................... 11 
4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS ............................................. 25 
5. INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE LINEAR ............................................. 39 
6. LINEARIZAÇÃO E ESTABILIDADE NÃO LINEAR .................................. 46 
7. VIBRAÇÕES AMORTECIDAS .................................................................. 52 
8. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS ......... 59 
9. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOS .................. 64 
10. SISTEMAS NÃO AMORTECIDOS COM 2GL ........................................... 79 
11. VIBRAÇÃO NATURAL DE SISTEMAS COM 2GL ................................... 85 
12. VIBRAÇÃO FORÇADA DE SISTEMAS COM 2GL .................................. 90 
13. ABSORVEDORES NÃO AMORTECIDOS ................................................ 92 
14. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................... 101 
15. ANEXO A – MODELAGEM E SIMULAÇÃO NUMÉRICA ....................... 102 
16. ANEXO B – TÓPICO EM ÁLGEBRA LINEAR ........................................ 113 
 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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1. PREFÁCIO 
Redação ao término do texto. 
 
 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
2.1 Os sistemas navais 
 
 
Figura 1: Principais tipos de embarcação e uma possível classificação quanto 
aos mecanismos de manutenção do equilíbrio e avanço.
 
 
sistemas navais e oceânicos típicos 
: Principais tipos de embarcação e uma possível classificação quanto 
aos mecanismos de manutenção do equilíbrio e avanço.
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: Principais tipos de embarcação e uma possível classificação quanto 
aos mecanismos de manutenção do equilíbrio e avanço. 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 2: Tipos de plataformas mais comuns. Evolução ao longo do tempo e 
em função da profundidade de operação. Fonte: (Clauss, 2007). 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
2.2 Definição dos movimentos
 
 
 
Tabela 1: Denominação e índices dos 6 graus de liberdade de sistemas navais 
e oceânico
 
 
 
 
Definição dos movimentos 
: Denominação e índices dos 6 graus de liberdade de sistemas navais 
e oceânicos. Fonte: (Simos & Fujarra, 2009). 
 
Graus de Liberdade
Índice NomenclaturaPortuguês 
1 Avanço 
2 Deriva 
3 Afundamento
4 Balanço ou Jogo
5 Caturro ou Arfagem
6 Guinada 
 
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: Denominação e índices dos 6 graus de liberdade de sistemas navais 
Graus de Liberdade 
Nomenclatura 
 Inglês 
Surge 
Sway 
Afundamento Heave 
Balanço ou Jogo Roll 
Caturro ou Arfagem Pitch 
Yaw 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Comparação entre ressonâncias de heave 
navais e oceânicos típicos, a
SISTEMA
SES – Surface Effect Ship
TLP – Tension Leg Platform
 
: Comparação entre ressonâncias de heave em alguns siste
navais e oceânicos típicos, adaptada de (Faltinsen, 1998)
SISTEMA 
Características
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alguns sistemas 
(Faltinsen, 1998). 
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Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
Navios de Deslocamento
SS – Semi-Submersible Platform
SWATH – Small Waterplane Area Twin 
Hull Sh
 
 
 
Navios de Deslocamento 
 
 
 
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Submersible Platform 
 
 
 
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Small Waterplane Area Twin 
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Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
2.3 Problemas típicos e
 
Tabela 3: Problemas típicos envolvidos na operação de navios.
Problemas Típicos
Movimentos e acelerações 
Slamming 
Água no convés
Ondas quebrando sobre o casco
Sloshing 
Momentos e esforços cortantes 
induzidos pelas ondas
 
 
 
 
 
envolvidos na operação de navios 
: Problemas típicos envolvidos na operação de navios.
Problemas Típicos Ilustrações 
e acelerações locais 
Pouso de um helicóptero
 
Transferência de equipamentos entre 
embarcações 
 
 
Água no convés 
Ondas quebrando sobre o casco 
 
 
Momentos e esforços cortantes 
induzidos pelas ondas 
 
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: Problemas típicos envolvidos na operação de navios. 
 
Pouso de um helicóptero 
 
Transferência de equipamentos entre 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Tabela 4: Limites operacionais para navios típicos. 
CRITÉRIO Navio Mercante Navios 
Militares 
Pequenas 
Embarcaçõe
s Rápidas 
Aceleração Vertical na PPAv 
(valor RMS) 
0.275g(L≤100m) 
0.05g(L≥330)a 0.275g 0.65g 
Aceleração Vertical na Ponte 
(valor RMS) 0.15g 0.2g 0.275g 
Aceleração Lateral na Ponte 
(valor RMS) 0.12g 0.1g 0.1g 
Movimento de Roll 
(valor RMS) 6.0 deg 4.0 deg 4.0 deg 
Batida de Proa ou Slamming 
(probabilidade) 
0.03(L≤100m) 
0.01(L≥300m)b 0.03 0.03 
Água no Convés (probabilidade) 0.05 0.05 0.05 
 
 
Tabela 5: Criteria with regard to acceleration and roll. 
Root Mean Square Criterion 
Vertical 
Acceleration 
Lateral 
Acceleration 
Roll Description 
0.20g 0.10g 6.0o Light manual work 
0.15g 0.07g 4.0o Heavy manual work 
0.10g 0.05g 3.0o Intellectual work 
0.05g 0.04g 2.5o Transit passengers 
0.02g 0.03g 2.0o Cruise liner 
 
 
 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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2.4 Problemas tradicionais envolvidos na operação de plataformas 
 
 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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2.5 Principais efeitos dos agentes ambientais 
2.5.1 Classificação hidrodinâmica das estruturas 
 
 
Figura 3: Importância relativa entre forças inerciais, viscosas e de difração de 
ondas em estruturas marítimas. Adaptado de (Faltinsen, 1998). 
 
 
≅ 10 
≅ 5 
Forças 
Viscosas 
Difração de 
Ondas 
Forças 
Inerciais 
Limite de 
Linearidade 
das Ondas 
H/D 
λ 
H 
D 
λ/D 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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3. SUBSÍDIOS A RESPEITO DA DINÂMICA DE SISTEMAS 
3.1 Movimento Periódico 
Em fenômenos físicos, vibrações que acontecem mais ou menos regularmente, 
repetindo-se com relação ao tempo, são conhecidas como periódicas e 
descritas como oscilações. 
Exemplos: movimento pendular, trepidação de uma ponte, movimentos de um 
navio, variação da tensão em um gerador elétrico, entre outros. 
O nome vibração geralmente tem sido usado para descrever pequenas 
oscilações dos sistemas dinâmicos. Por “pequenas” entendem-se aquelas 
oscilações associadas a deslocamentos pequenos, quando comparados às 
dimensões do sistema em estudo. 
As vibrações podem ser: 
− Indesejáveis, normalmente resultado de imperfeições associadas ao 
projeto, produção ou operação do sistema dinâmico. Por exemplo: 
massas desbalanceadas em sistemas alternativos ou rotativos. 
− Desejáveis, por exemplo, quando auxiliam no processo mistura ou de 
separação de componentes, ou em instrumentos musicais e 
instrumentos com propósito médico. 
 
Newman; 
Karniadakis (1995): 
Simulações 
Numéricas com Re 
= 100; L/D = 12,6 e 
m* = 2 
Figura 4: 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Há ainda vibrações que resultam de um processo de instabilidade. Neste caso, 
se existe um constante fluxo de energia do meio para o sistema dinâmico, as 
vibrações são ditas auto-excitadas, geralmente indesejáveis e difíceis de serem 
controladas. Exemplo: as vibrações induzidas pela emissão de vórtices. 
Sob qualquer aspecto, desejável ou indesejável, vibrações estão associadas a 
flutuações de carregamentos, portanto, a flutuações de tensões que se 
refletirão em falhas por fadiga dos elementos que compõem o sistema 
dinâmico. Além disso, as vibrações podem ter outros efeitos relacionados com 
o conforto, a performance e a saúde das pessoas sujeitas às mesmas (pessoas 
mareando com os grandes movimentos de embarcações no mar). 
Desta forma, é imperativo que o engenheiro entenda o mecanismo de 
vibrações dos sistemas dinâmicos com os quais trabalha. 
Para estudar as vibrações, o movimento de um ponto é analisado segundo as 
mudanças de sua posição no tempo. Para tanto, são utilizadas funções 
periódicas �(�), cujos valores se repetem em intervalos constantes !: 
 
A menor quantidade ! com a qual se satisfaz a equação acima é conhecida 
como período de oscilação. Refere-se à “menor quantidade” porque, 
obviamente, qualquer múltiplo de ! satisfaz a equação. 
Naturalmente, desta definição decorre a freqüência de oscilação, geralmente 
medida em Hertz (Hz): 
 
Ainda com relação à função periódica, a meia diferença entre os valores 
máximos e mínimos é conhecida como amplitude de oscilação. 
 
�(�) = �(� + �!), � = 1, 2, 3, … (1) 
' = 1! (2) 
( = 12 ()*+, − )*./) (3) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Como exemplo de oscilação, considere-se o mecanismo conhecido como 
Scotch yoke. 
 
Figura 5: 
Neste mecanismo, se o papel se mover com velocidade 0 = 1(, onde 1 é a 
velocidade angular do movimento rotativo, a função �(�) = � = ( 2�
(1�) será 
registrada, caracterizando um movimento periódico de amplitude (, freqüência 
 
Este mecanismo permite visualizar a reciprocidade entre o movimento rotativo 
e o movimento periódico. 
x
x
V
ωωωωt
ωωωω
A
x
x
V
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A
' = 1 23⁄ � 5��í��� ! = 23 1⁄ (4) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 6: 
A velocidade e a aceleração do movimento periódicohorizontal podem ser 
escritas como: 
 
 
O movimento periódico da figura abaixo não é puramente harmônico no plano (�, �), mas pode ser reapresentado no sistema coordenado (�∗, �∗), no qual 
passa a se considerado um movimento é harmônico. Neste sistema, o 
movimento será expresso pela seguinte equação: 
 
 
7(�) = �8(�) = −1 ( 
��(1�) (5) 
(�) = �9(�) = −1: ( 2�
(1�) (6) 
�∗(�) = �∗ = ) 
��(1�∗) , 1 = 23! (7) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 7: 
Enquanto no sistema (�, �), o mesmo movimento é expresso por: 
 
Desta forma, qualquer movimento dado por uma equação do tipo: 
 
pode se representado por um movimento harmônico: 
 
, onde se 
 > <: 
 
�(�) = � = �= + ) 
��>1(� − �=)? (8) 
� = )= + 
 
�� 1� + < 2�
 1� (9) 
� − �= = ) 
��>1(� − �=)? = ) 2�
 @1(� − �=) + 32A (10) 
) = B
: + <: �= = 11 
�2�
� C<
D (11) 
 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Percebe-se que o movimento harmônico pode ser descrito completamente por 
apenas duas quantidades escalares: ) e 1, sendo graficamente representado 
por um diagrama de amplitudes versus freqüências. 
 
Figura 8: 
Neste diagrama, o movimento harmônico é representado por um ponto com 
coordenadas (), 1), enquanto a mesma representação no sistema (�, �) requer 
um infinito número de pontos. Definem-se, portanto, as representações: 
− No Domínio da Freqüência; 
− No Domínio do Tempo. 
Através das relações apresentadas, pode-se facilmente transformar a 
representação harmônica de um domínio para o outro. 
Naturalmente a transformação do domínio do tempo para o domínio da 
freqüência impõe a perda de informação quanto ao instante inicial �=. Isto 
geralmente tem pouca importância para um grande número de aplicações em 
engenharia, a não ser aquelas onde as vibrações são superimpostas. 
Duas oscilações harmônicas são ditas síncronas quando têm a mesma 
freqüência ' (ou velocidade angular 1). Exemplo de acoplamento síncrono: 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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É importante destacar que oscilações síncronas não têm, necessariamente, 
valores máximos ao mesmo tempo. Para o acoplamento anterior: 
 
 
A defasagem 0,5 tem dimensão de ângulo e é conhecida como fase. É 
evidente que este conceito só pode ser aplicado no caso de oscilações 
síncronas. 
Portanto, o movimento harmônico é um caso particular do movimento periódico, 
este último podendo ser algo do tipo: 
 
Figura 9: 
Outra medida de vibração, comum em engenharia, é o valor RMS (root mean 
square), definido como: 
>3 2�
 10�, 4 2�
 10�? � >3 2�
 10�, 2 2�
(10� − 0,5)? (12) 
>3 2�
 10�? ��� 7
F���
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 3 ��: � = 0, 2310 , 4310 … (13) 
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(10� − 0,5)? ��� 7
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Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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No caso de funções harmônicas: 
 
 
3.2 Representação Vetorial e representação através de números 
complexos 
Uma forma conveniente de representar as oscilações harmônicas é através de 
números complexos. 
Considerando-se parte do mecanismo Scotch-yoke (ver Aula1), 
especificamente o disco que roda com velocidade angular ω , e assumindo-se 
que parte real e imaginária de um número complexo sejam respectivamente 
representadas por coordenadas nos eixos das abscissas (�) e das ordenadas (I), o vetor JK que une o centro do disco ao ponto de conexão com a haste 
pode ser representado por: 
 
)*+,: = 1! L ):(�)��.M= (15) 
N� �(�) = � = ( 2�
(1�), �OPã� 
)*Q: = (:! R21� + 
�� 21�41 S=M = (:2 )*Q = √22 ( 
 (16) 
z = � + �I. (17) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 10: 
Sabe-se, no entanto, que da teoria de números complexos: 
 
onde o ângulo V = 1�. 
Desta forma, os deslocamentos da oscilação harmônica no mecanismo Scotch-
yoke são representados pela parte real do número complexo W : 
 
Portanto, qualquer movimento harmônico corresponde à rotação de um vetor 
de comprimento constante ou a um número complexo de magnitude constante 
A e velocidade angular constante 1.
 
 
Percebe-se que o número complexo (�.XY traz informações sobre a amplitude 
e a fase do movimento, sendo conhecido com fasor do movimento harmônico. 
A representação de movimentos harmônicos através de fasores é bastante 
conveniente, facilitando o tratamento dos problemas por métodos gráficos e/ou 
computacionais. Velocidade e aceleração do movimento harmônico também 
podem ser representadas por fasores no mesmo plano W. 
ωωωω
A
O
P
θθθθ
z
y
x
ωωωω
A
O
P
θθθθ
z
y
x
( = |JK| 
 
(18) W = (�.[ = (�.XY = (>2�
(1�) + � 
��(1�)?, (19) 
� = \�(W) = ( 2�
(1�) (20) 
7 = �1(�.XY = �1W (21) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 11: 
Note que as defasagens 3 2⁄ da velocidade 0(�) e 3 da aceleração 
(�), com 
relação ao deslocamento �(�) advêm da derivação do fasor (�.XY. . 
Se dois movimentos harmônicos, com amplitudes )] � ):, têm freqüências 
iguais 1] � 1: , portanto movimentos síncronos, então a amplitude de oscilação 
resultante será dada por: 
 
θ =θ =θ =θ =ωωωωt
z
y(Im)
x(Re)
-i ωωωωz
- ω ω ω ω z2
θ =θ =θ =θ =ωωωωt
z
y(Im)
x(Re)
-i ωωωωz
- ω ω ω ω z2
 
 = −1: (�.XY = −1:W. (22) 
): = )]: + ):: (23) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 12: 
Movimentos do tipo � = �= + ( 2�
(1�) também podem ser representados pela 
componente � de um vetor de rotação com comprimento ( e velocidade 
angular1. Logicamente, este vetor deverá ter seu ponto de aplicação na 
posição � = �=, como mostrado na figura abaixo. 
 
Figura 13: 
A adição de vetores também é aplicável quando estes representam 
movimentos harmônicos assíncronos. No entanto, a magnitude do vetor 
resultante terá diferentes valores com o passar do tempo, fruto da diferença 
entre as velocidades angulares de cada movimento harmônico. 
Um fenômeno que ilustra bastante bem este comportamento diz respeito a 
ocorrência simultânea de dois movimentos harmônicos de mesma amplitude e 
ωωωω
y(Im)
x(Re)
x1(t) + x2(t)
x1(t)
x2(t)
ωωωω
y(Im)
x(Re)
x1(t) + x2(t)
x1(t)
x2(t)
θ =θ =θ =θ =ωωωωt
z
y(Im)
x(Re)
x = xo + Acos(ωωωωt)
xo
θ =θ =θ =θ =ωωωωt
z
y(Im)
x(Re)
x = xo + Acos(ωωωωt)
xo
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freqüências (ou velocidades angulares, lembrando que 1 = 23') ligeiramente 
diferentes. 
Desta forma, sejam considerados os movimentos assíncronos: 
 
A sobreposição desses movimentos leva a: 
 
Da trigonometria, sabe-se que: 
 
Então: 
 
�] = ) 2�
(1�) �: = ) 2�
>(1 + ^1)�?. e (24) 
� = �] + �: = )_2�
(1�) + 2�
>(1 + ^1)�?`. (25) 
2�
 � + 2�
 I = 2 2�
>(� + I) 2⁄ ? 2�
>(� − I) 2⁄ ?. (26) 
� = 2) 2�
>(^1 2⁄ )�? 2�
>(1 + ^1 2⁄ )�?. (27) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 14: 
A amplitude de � varia com o tempo, assumindo valores entre −2) � 2) de 
acordo com o termo 2� cos>(^1 2⁄ )�?. 
Concomitantemente, o movimento geral também será harmônico, porém com 
uma velocidade angular de (1 + ^1 2⁄ ). 
Este fenômeno é conhecido como batimento, com freqüência da por: 
 
O movimento de deriva lenta, causado pelo fenômeno de batimento, ocorre em 
sistemas oceânicos sujeitos à ação de ondas com freqüências muito próximas 1] � 1:. Neste caso, a “freqüência soma” é alta e, portanto, importante na 
excitação de elementos estruturais como tendões, amarras e risers, cujos 
períodos naturais são bastante baixos. Por outro lado, a “freqüência diferença” 
'd = ^1 2⁄23 = ^143. (28) 
Material de Apoio 
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é baixa, portanto de período alto, capaz de excitar a unidade flutuante em seu 
período natural de oscilação no plano horizontal, dando origem ao movimento 
de deriva lenta. 
 
 
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4. MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS 
A modelagem completa de um sistema dinâmico pode ser uma tarefa bastante 
complexa, se não forem priorizadas as características de maior interesse para 
o estudo dos aspectos indesejáveis de sua resposta. Por exemplo: a 
eliminação das principais componentes de vibração, em geral, é suficiente para 
a maioria das aplicações em engenharia. 
O estudo da dinâmica de sistemas é, assim, um processo sistêmico 
desenvolvido segundo quatro etapas principais: 
1. Abstração física: consiste em selecionar, dentre as inúmeras 
características do sistema dinâmico, aquelas que têm fundamental 
relevância para o estudo em questão. 
É evidente que havendo exigência de uma maior precisão quanto a 
modelagem do sistema dinâmico, mais características podem ser 
incorporadas ao modelo originalmente proposto. Exemplo: 
 
Fase inicial do projeto plataforma ancorada 
Fase subseqüente do projeto plataforma ancorada + linhas de produção 
 
Infelizmente não existem regras para a seleção das características 
pertinentes. A abstração física é uma tarefa baseada na experiência do 
engenheiro. 
2. Formulação matemática: trata-se da aplicação das leis da física, 
buscando a obtenção de uma ou mais equações que descrevam o 
comportamento do sistema. 
3. Solução das equações: consiste na solução analítica ou numérica das 
equações matemáticas, buscando resultados que permitam análises e 
conclusões acerca do comportamento do sistema dinâmico. 
4. Interpretação dos resultados: como o próprio nome diz, refere-se ao 
processo de análise dos resultados obtidos com a solução das 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
equações. São direcionadas para a tomada de decisão quanto ao 
comportamento identificado.
Neste contexto, considerando
elasticidade é capaz de oscilar livremente, os objetivos iniciais na ma
análises de comportamento dinâmico de sistema são:
− a correta modelagem matemática, através da aplicação da II Lei 
de Newton.
− e a determinação de sua freqüência natural.
No curso de Dinâmica de Sistemas I, será dada ênfase aos sistemas com 
apenas um grau de liberdade, ou seja, aqueles cujo movimento pode ser 
descrito por apenas uma coordenada simples. Exemplos: pêndulo simples, 
pistão que se move em um cilindro, eixo de manivela (virabrequim), entre 
outros. 
No entanto, existem sistemas onde são nec
especificação do movimento. Esses sistemas são, portanto, caracterizados por 
n graus de liberdade. Exemplo: um navio que se move livremente na superfície 
do mar tem seis graus de liberdade: três de translação e três de rotação.
Para um sistema com vários graus de liberdade, a boa escolha do sistema 
coordenado pode representar uma simplificação considerável da modelagem.
 
equações. São direcionadas para a tomada de decisão quanto ao 
comportamento identificado. 
Neste contexto, considerando-se que todo sistema dotado de massa e 
elasticidade é capaz de oscilar livremente, os objetivos iniciais na ma
análises de comportamento dinâmico de sistema são: 
a correta modelagem matemática, através da aplicação da II Lei 
de Newton. 
e a determinação de sua freqüência natural. 
No curso de Dinâmica de Sistemas I, será dada ênfase aos sistemas com 
um grau de liberdade, ou seja, aqueles cujo movimento pode ser 
descrito por apenas uma coordenada simples. Exemplos: pêndulo simples, 
pistão que se move em um cilindro, eixo de manivela (virabrequim), entre 
No entanto, existem sistemas onde são necessárias � coordenadas para 
especificação do movimento. Esses sistemas são, portanto, caracterizados por 
. Exemplo: um navio que se move livremente na superfície 
do mar tem seis graus de liberdade: três de translação e três de rotação.
Figura 15: 
Para um sistema com vários graus de liberdade, a boa escolha do sistema 
coordenado pode representar uma simplificação considerável da modelagem.
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equações. São direcionadas para a tomada de decisão quanto ao 
se que todo sistema dotado de massa e 
elasticidade é capaz de oscilar livremente, os objetivos iniciais na maioria das 
a correta modelagem matemática, através da aplicação da II Lei 
No curso de Dinâmica de Sistemas I, será dada ênfase aos sistemas com 
um grau de liberdade, ou seja, aqueles cujo movimento pode ser 
descrito por apenas uma coordenada simples. Exemplos: pêndulo simples, 
pistão que se move em um cilindro, eixo de manivela (virabrequim), entre 
oordenadas para 
especificação do movimento. Esses sistemas são, portanto, caracterizados por 
. Exemplo: um navio que se move livremente na superfície 
do mar tem seis graus de liberdade: três de translação e três de rotação. 
 
Para um sistema com vários graus de liberdade, a boa escolha do sistema 
coordenado pode representar uma simplificação considerável da modelagem. 
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Em contrapartida, até mesmo o sistema com apenas um grau de liberdade e 
uma coordenada mal escolhida pode se tornar bastante complicado. 
Cumpre destacar, ainda, que os sistemas dinâmicos podem estar sujeitos a 
esforços de dissipação ou amortecimento. Para um grupo de problemas, são 
esforços moderados e, desta forma, desprezados no cálculo da freqüência 
natural, já que têm pouca influência sobre a mesma. 
Sistemas desta natureza são ditos conservativos e permitem a aplicação do 
Princípio da Conservação de Energia, que é uma forma alternativa à 
modelagem via II Lei de Newton (assunto da próxima aula). 
 
4.1 Modelagem pelaII Lei de Newton 
Considere-se um sistema massa-mola (�, e) não amortecido cujo movimento 
se restringe apenas à direção vertical. Portanto, um sistema com apenas um 
grau de liberdade. 
 
Figura 16: 
Quando colocado em movimento, esse sistema o fará segundo sua freqüência 
natural '/, a qual pode ser obtida e analisada mediante a aplicação da II Lei de 
Newton. 
Desta forma, para o movimento com apenas a translação vertical, sabe-se que: 
k
m
∆∆∆∆
m
k∆∆∆∆
mg
g
x
m
mg
k(∆+∆+∆+∆+x)
posição de 
equilíbrio estático
v a
k
m
∆∆∆∆
m
k∆∆∆∆
mg
g
x
m
mg
k(∆+∆+∆+∆+x)
posição de 
equilíbrio estático
v a
f gh,Y = �(�7)�� (29) 
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e se para esse sistema a massa é invariante no tempo: 
 
De acordo com a figura, como a deformação da mola na posição de equilíbrio 
estático é ∆, e a respectiva força na mola é igual à força peso agindo na massa �, então: 
onde j é a aceleração da gravidade. 
Assumindo-se a coordenada � positiva no sentido descendente, medida a partir 
da posição de equilíbrio estático, todas as quantidades (forças, velocidades e 
acelerações) são positivas neste mesmo sentido. 
Desta forma: 
 
A partir de uma associação com o movimento de rotação, definindo-se a 
freqüência circular como sendo: 
 
e então: 
 
que é a equação diferencial de segunda ordem característica de um movimento 
harmônico com solução do tipo: 
 
f gh,Y = ��9 = �
. (30) 
k∆= �j (31) 
��9 = f gh,Y = �j − e(∆ + �) = −e�. (32) 
1/: = e� (33) 
�9 + e� = 0, (34) 
� = ( 
��(1/�) + l 2�
(1/�), (35) 
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onde as amplitudes ( e l são constantes dependentes das condições iniciais 
do problema >�(0), �8 (0)? , ou seja: 
 
 
Neste caso, a quantidade '/ = Xm:n = ]:n o p* é a freqüência natural do sistema 
dinâmico em estudo, medida em Hertz. 
 
Exercício (resolvido): 
Considere um cilindro sólido, de raio � e altura ℎ, parcialmente submerso em 
água e com seu eixo axial perpendicular à superfície livre. Determine a 
freqüência natural de oscilação na direção vertical, assumindo que o cilindro 
mantém a direção de seu eixo axial. As densidades do cilindro e da água são, 
respectivamente, rs e r+. 
Solução: 
Assumindo que � seja o deslocamento vertical a partir da posição de equilíbrio 
estático, o peso de água deslocada é 3�: r+j� , o que é equivalente à força de 
restauração hidrostática (princípio de Archimedes). 
Como a massa do cilindro é 3�:ℎrs, então de acordo com a II Lei de Newton: 
, ou seja: 
 
Portanto, da analogia direta desta equação com aquela deduzida para o 
sistema massa-mola (�, e), é possível deduzir que: 
� = �8(0)1/ 
��(1/�) + �(0) 2�
(1/�). (36) 
3�: ℎrs)9 + 3�: r+ j� = 0 (37) 
�9 + r+jrsℎ � = 0. (38) 
1/ = tr+jrsℎ ⟹ '/ = 123 tr+ jrsℎ . (39) 
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Observação: 
Na prática, sabe-se que parte do fluido próxima ao cilindro se acelera a partir 
da oscilação do mesmo, fazendo com que a freqüência natural seja menor que 
a calculada. 
Esta parcela fluida é conhecida como massa adicional e depende da geometria 
e do próprio movimento (direção, amplitude e freqüência). Também pode se 
apresentada na forma de um adimensional conhecido como coeficiente de 
massa adicional (v
 ou v�). 
Considerando-se este aspecto: 
 
A título de exemplo, a figura mostrada a seguir traz o valor da massa adicional 
para algumas geometrias de corpos bidimensionais em três situações usuais 
de movimento: duas translações (�] � �:)] e uma rotação (�w). 
Assim, a massa adicional �]] corresponde à aceleração na direção �]; �:: à 
aceleração na direção �: e �ww representa o momento de inércia adicional 
advindo de uma rotação �w contida no plano formado por �] e �:.
 
 
 
Figura 17: 
(�s + �+)�9 + 3�: r+j� = 0. (40) 
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Exercício (resolvido): 
Movimento de rotação 
 
Figura 18 
A figura mostra uma barra uniforme de massa �, que gira em torno de J, com 
molas de compressão de rigidez e presas em cada uma de suas extremidades. 
A barra é mantida na posição horizontal graças às pré-tensões K1 e K2. 
Determine a equação do movimento e a freqüência natural de oscilação. 
Solução: 
De acordo com a II Lei de Newton, o equacionamento para o movimento 
rotacional é dado por: 
Sob rotação V, a pré-tensão esquerda é diminuída e a direita aumentada, 
resultando em: 
 
No entanto, do equilíbrio estático sabe-se que: 
 
Desta forma: 
 
E, portanto: 
θθθθ
ba
c
CG
O
k
P1
k
P2 θθθθ
ba
c
CG
O
k
P1
k
P1
k
P2
k
P2
f x=h,Y = yzV9 (41) 
f xzh,Y = (K] − e
V)
 + �j2 − (K: + e<V)< = yzV.9 (42) 
K]
 + �j2 − K:< = 0. (43) 
f xzh,Y = (−e
: − e<:)V = yzV9 ⟹ V9 + e(
: + <:)yz V = 0. (44) 
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Observação: 
O momento de inércia yz é igual ao momento de inércia da barra em relação ao 
seu centro de gravidade, mais a parcela de transferência até o ponto J. 
 
4.2 Modelagem pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais ou Princípio de 
D’Alembert 
Outro método escalar utilizado para a modelagem de sistemas dinâmicos é 
baseado no princípio do trabalho virtual, inicialmente formulado por Johann J. 
Bernoulli, em 1792. 
Trata-se de um método muito indicado para a modelagem de sistemas de 
corpos interconectados, o que será discutido com maior profundidade em 
ocasião oportuna. Por hora esta aula se preocupará em introduzir seus 
conceitos básicos, permitindo que o aluno se familiarize com sua aplicação. 
O princípio do trabalho virtual está associado ao equilíbrio do(s) corpo(s), 
podendo ser enunciado da seguinte forma: “Se a um sistema em equilíbrio 
sujeito a ação de um conjunto de forças é dado um deslocamento virtual, a 
soma dos trabalhos virtuais realizados pelas mesmas será nulo”. 
Neste enunciado os termos destacados são definidos da seguinte forma: 
− Deslocamento virtual ^�é uma variação imaginária e infinitesimal da 
coordenada, aplicada de maneira instantânea. É importante que esse 
deslocamento seja compatível com as restrições aos graus de liberdade 
do sistema. 
− Trabalhos Virtuais ^{ são aqueles realizados pelas forças ativas 
mediante a aplicação do deslocamento virtual imposto. Já que o 
deslocamento virtual não implica em mudança significativa na geometria 
1/ = |e(
: + <:)yz ⟹ '/ = 123 te(
: + <:)yz . (45) 
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do problema, as forças agindo sobre o sistema também são 
consideradas inalteradas para o cálculo dos trabalhos. 
Tal como proposto por Bernoulli, o princípio do trabalho virtual é um método 
baseado na estática do problema. Sua extensão para a condição dinâmica foi 
viabilizada por D’Alembert, em 1743, com a inclusão do conceito de força de 
inércia. Desta forma, as forças de inércia são consideradas como forçasativas 
em problemas dinâmicos. 
 
Exercício (resolvido): 
Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, determinar a equação que rege o 
movimento da barra rígida, de massa x e comprimento }, carregada como 
mostrado na figura abaixo. 
 
Figura 19: 
Solução: 
A barra rígida é desenhada na posição deslocada de um ângulo V e sobre ela 
indicadas as forças ativas, incluindo a de inércia. 
 
Figura 20: 
p0 f(t)
L/2
O
k
L/2
p0 f(t)
L/2
O
k
L/2
θθθθ
δθδθδθδθkLθθθθ/2
(ML /3)θθθθ2 ..
x
p0 f(t)dx
θθθθ
δθδθδθδθkLθθθθ/2
(ML /3)θθθθ2 ..(ML /3)θθθθ2 ..
x
p0 f(t)dx
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É aplicado um ângulo virtual ^V, a partir do qual são calculados os trabalhos 
virtuais abaixo: 
Força de inércia:, 
 
Força de restauração: 
 
Carregamento distribuído:. 
 
Fazendo o somatório desses trabalhos virtuais, e sabendo que ele deve ser 
nulo, ∑ ^{ = 0, então: 
 
4.3 Modelagem pela Conservação de Energia 
Considere a dinâmica de um sistema massa-mola, regida pela seguinte 
equação diferencial: 
 
Efetuando uma multiplicação de todas as componentes pela velocidade �8 , 
necessariamente não nula, a seguinte igualdade é mantida: 
 
Esta equação pode ser reescrita na forma de derivadas: 
^{./é€s.+ = − x}:3 V9‚ ^V, (46) 
^{€hQY+ƒ€+çㆠ= − Ce }2 VD }2 ^V, (47) 
^{s+€€h‡+*h/Y† = L >(5='(�)��)�^V? = 5='(�) }:2 ^V.ˆ= (48) 
x}:3 ‚ V9 + e }:4 V = 5= }:2 '(�). (49) 
��9 + e� = 0 (50) 
��9�8 + e��8 = 0 (51) 
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Integrando esta equação entre dois instantes conhecidos, �]
 
e �:tem-se que: 
 
onde a energia total ‰M†Y+Š pode ser dividida em uma parcela de energia 
cinética !(�) e uma parcela de energia potencial ‹(�). 
Portanto, em sistemas deste tipo, ditos conservativos, onde se percebe a 
ausência de componentes de dissipação, a energia total é conservada 
permitindo que a equação do movimento seja obtida pela direta aplicação do 
princípio da conservação de energia. 
 
Exercício (resolvido): 
Determine a freqüência natural do sistema mostrado na figura abaixo: 
 
Figura 21: 
k
m
r 1 r 2
θθθθ
J
k
m
r 1 r 2
θθθθ
J
��� ��8 :2 ‚ + ��� e�:2 ‚ = 0 (52) 
L ��� ��8 :2 ‚ ��Y:Y]+ L ��� e�:2 ‚ �� = ��8(�:):2 − ��8 (�]):2 + e�(�:):2 − e�(�]):2Y:Y]= 0 
(53) 
⟹ !(�:) + ‹(�:) = !(�]) + ‹(�]) = ‰M†Y+Š, 
��� (! + ‹) = 0 (54) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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m
 
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D
in
âm
ic
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Solução: 
Assumindo que o sistema vibra harmonicamente segundo o ângulo V no 
entorno de sua posição de equilíbrio estático, a energia cinética máxima será: 
 
Por outro lado, a energia potencial máxima será: 
 
Sabendo que: 
 
 
 
Então : 
 
 
Exercício (resolvido): 
Um cilindro circular de massa � e raio � é ligado a uma mola de rigidez e, 
como mostra a figura. Determinar a freqüência natural do sistema, quando o 
cilindro rola livremente sobre a superfície horizontal, sem escorregar. 
! = 12 yV8 : + 12 �Œ�]V8:. (55) 
‹ = 12 e(�:V):. (56) 
��� (! + ‹) = 0 ⟹ ��� R12 (y + ��]:)V8 :S + ��� R12 e�::V:S = 0 (57) 
1/ = t e�::y + ��]: , Žá ��� V8 5��� �ã� 
�� ��F
 (58) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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de
 
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Figura 22: 
Solução pela Conservação de Energia: 
A energia total do sistema consiste em energia cinética (de rotação e de 
translação) e em energia potencial, devendo se conservar com o passar do 
tempo. Desta forma: 
 
 
onde y† = ]: ��: é o momento de inércia do cilindro e � = �V ⟹ �8 = �V8 , ‹ = ]: e�:. 
 
Então, para qualquer instante de tempo: 
 
Como �8 não é sempre nula, então: 
 
portanto: 
k r
θθθθ
m
x
Jo
k r
θθθθ
m
x
Jo
!M€+/QŠ+çㆠ= 12 ��8 :, (59) 
!†Y+çㆠ= 12 y†V8 :, (60) 
��� ‘12 ��8 + 12 C12 ��:D C�8�D: + 12 ��:’ = 0 ⟹ C32 ��9 = e�D �8 = 0 (61) 
32 ��9 + e� = 0, (62) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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m
 
de
 
Si
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D
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âm
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38 
 
 
Solução pela II Lei de Newton: 
Para a translação na direção horizontal: 
 
Figura 23: 
 
Onde g+Y(i) é a força de atrito. 
Em termos de rotação: 
 
Substituindo (ii) em (i): 
 
E, portanto: 
 
 
kx
x
Fat
kx
x
Fat
1/ = t 2e3� �� �
�
 . (63) 
(�) f g, = ��9 = −e� + g+Y , (64) 
(��) f x = y†V9 ⟹ g+Y� = 12 ��: �9� ⟹ g+Y = − 12 ��9 . (65) 
��9 = −e� − 12 ��9 ⟹ 32 ��9 = e� = 0. (66) 
1/ = t 2e3�. (67) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
5. INTRODUÇÃO À ESTABIL
5.1 Classificação dos pontos de equilíbrio
Um oscilador harmônico sub
de fases. 
Segundo esse diagrama, partindov], v:, v“ � v”, o sistema é conduzido para um único ponto de equilíbrio 
possível, no caso a origem 
Desta forma, o oscilador harmônico sub
o ponto de convergência no diagrama de fases é dito um 
Atratores só são possíveis em sistemas dissipativos.
Uma das formas de se referenciar a estabilidade de um sistema dinâmi
respeito à determinação de possíveis 
Portanto, o ponto P* é estacionário ou fixo se:
 
Diz-se que P* é: 
− Assintoticamente estável� • ∞
 
INTRODUÇÃO À ESTABILIDADE LINEAR 
Classificação dos pontos de equilíbrio 
m oscilador harmônico sub-amortecido exibe o seguinte diagrama (espaço) 
Figura 24: 
Segundo esse diagrama, partindo-se de diferentes condições iniciais 
, o sistema é conduzido para um único ponto de equilíbrio 
possível, no caso a origem (� = 0, �8 = 0 = 0) 
forma, o oscilador harmônico sub-amortecido é um sistema dissipativo
o ponto de convergência no diagrama de fases é dito um atrator. 
só são possíveis em sistemas dissipativos. 
Uma das formas de se referenciar a estabilidade de um sistema dinâmi
respeito à determinação de possíveis soluções estacionárias ou pontos fixos
é estacionário ou fixo se: 
Assintoticamente estável se para: 
K∗ = >�, �8 = 0? = >0,0? 
∞, >�(�), �8 (�) = 7(�)? • >0,0? Capítu
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amortecido exibe o seguinte diagrama (espaço) 
 
se de diferentes condições iniciais 
, o sistema é conduzido para um único ponto de equilíbrio 
sistema dissipativo e 
 
Uma das formas de se referenciar a estabilidade de um sistema dinâmico diz 
pontos fixos. 
(68) 
(69) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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− Estável (estabilidade neutra) se a resposta do sistema a uma pequena 
perturbação permanece pequena quando � • ∞. 
− Instável se para � • ∞, a solução cresce, se afastando de K∗. 
Por exemplo, o sistema dinâmico definido por: 
 
tem solução �(�) = �—Y e o ponto K∗ = >�, �8 = 0? = >0,0? é um ponto de 
equilíbrio. K∗ será assintoticamente estável se, estável se ˜ = 0 e instável se ˜ > 0. 
 
5.1.1 Sistema geral com um grau de liberdade 
Agora, seja dado um sistema dinâmico, linear, definido pelas seguintes 
equações de primeira ordem: 
 
Este sistema terá ponto de equilíbrio >�∗, 0∗? em >0,0?.Assumindo a solução geral do tipo: 
 
O sistema inicial de equações fica sendo dado por: 
 
Para que este sistema tenha solução não trivial, >), 0? ≠ >0,0?, o determinante 
da matriz dos coeficientes deverá ser nulo, ou seja: 
�8 = ˜�. (70) 
š�8 = 
� + <7 = '(�, 7),78 = 2� + �7 = j(�, 7).› (71) 
š� = )�—Y ,7 + 0�—Y . › (72) 
š(
 − ˜)) + <0 = 0,2) + (� − ˜)0 = 0.› (73) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Para facilidade de notação, definem-se: 
 
 
e a matriz Jacobiana: 
 
Então: 
 
Novamente, admitindo-se I(�) = œ�—Y, onde œ = @žŸA =  ¡¢£, chega-se a: 
 
Onde ¤ é a matriz identidade, sendo ˜ e I(�), respectivamente, os autovalores 
e autovetores da matriz Jacobiana. 
Desta forma, para se encontrar os autovalores deve-se garantir que: 
 
Voltando aos coeficientes do sistema original, tem-se: 
 
��� R(
 − ˜) <2 (� − ˜)S = 0. (74) 
I(�) = R I](Y)I:(�)S = R�(�)7(�)S (75) 
I8 (�) = ‘I8](�)œ8:(�)’ = ‘�8 (�)78(�)’ (76) 
y = ¥¦¦¦
§ ¨'¨I] ¨'¨I:¨j¨I] ¨j¨I:©ªªª
« = ¬¨'¨� ¨'¨7¨j¨� ¨j¨7­ (77) 
I8 (�) = y I(�). (78) 
(y − ˜¤)I(�) = 0 (79) 
��� (y − ˜¤) = 0 (80) 
(
 − ˜)(� − ˜) − <2 = 0 (81) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Portanto, esta é a equação característica do sistema dinâmico em estudo, que 
apresenta duas raízes ˜] e ˜:, cujos valores determinarão a estabilidade do 
ponto de equilíbrio K∗ =  �∗, )8 ∗ = 0∗£ = >0,0?. 
Supondo: ˜ = \h(˜) + �F�(˜), então a solução geral do sistema será do tipo: 
 
Como �. ®¯(°)± é uma função limitada, a estabilidade de �(�) será ditada 
essencialmente por Re(λ). 
Desta forma: 
− Se \�(˜) > 0, �(�) • ∞, quando � • ∞, ou seja, a solução cresce como 
o passar do tempo, caracterizando K∗ como instável. 
− Por outro lado, se \�(˜) < 0, �(�) • K∗quando � • ∞, o que configura 
um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. 
− Ainda, se \�(˜) = 0, as soluções não se afastam, nem se aproximam, 
de K∗quando � • ∞, permanecendo na sua vizinhança. Neste caso, K∗ é 
estável (mas não assintoticamente estável) e chamado de centro. 
 
Classificação dos pontos de equilíbrio de um sistema com dois autovalores 
De uma maneira mais geral, para um sistema com dois autovalores, ˜] e ˜:, a 
classificação dos pontos de equilíbrio é a seguinte: 
 
(1) ˜] e ˜: são reais, distintos, ¶· ∗ ¶� ≠ � e ¶· ∗ ¶� > 0 
Neste caso, ˜] e ˜: têm mesmo sinal e o ponto K∗ é denominado um nó ou 
ponto nodal. 
− Se λ] > 0 e ˜: > 0,
 
 K∗é instável. 
− Se ˜] < 0
 
e ˜: < 0 K∗ é estável. 
(2) ˜] � ˜:
 
 são reais, ¶· � ¶� ≠ � 
�(�) = )�h(—)Y�. Š*(—)Y (82) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Aqui o ponto K∗ também é classificado como um nó, porém chamado de nó 
impróprio. 
 
(3) ˜] � ˜:são reais, distintos, ¶· ∗ ¶� ≠ � e ¸· ∗ ¸� < 0 
Quando ˜] � ˜: têm sinais distintos, o ponto é denominado de ponto de sela 
hiperbólico. Esse ponto é sempre instável. 
 
(4) ˜] � ˜:
 
 são complexos conjugados, ¹�(¶) ≠ � 
Neste caso: ˜],: = º ± �¼, ¼ ≠ 0, portanto: 
− Se º ≠ 0, as trajetórias são espirais convergentes ao ponto de equilíbrio 
P*, chamado de foco (estável se º < 0 e instável se º > 0 . 
− Se º = 0, as trajetórias são elípticas e o ponto fixo P* é chamado de 
centro. Este ponto de equilíbrio é estável, porém não assintoticamente 
estável. 
 
5.1.2 Exemplo de análise: o pêndulo simples 
Considere-se o pêndulo formado por um corpo de massa � e uma haste rígida 
de comprimento } com massa desprezível, livre para oscilar no plano vertical. A 
equação desse movimento é dada por: 
 
A partir desta equação, não é possível a obtenção de soluções com base em 
funções elementares. No entanto, pode-se compreender qualitativamente as 
principais características da solução utilizando um diagrama de fases. 
Para tanto, reescrevendo a equação da seguinte forma: 
V9 + j} 
�� V = 0 (83) 
½V8 = ¾ = '(V, ¾) ¾8 = − j} 
�� V = ℎ(V, ¾)› (84) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
Para este sistema: 
 
que integrada, leva à equação:
 
Onde v = 2��. 
Esta equação descreve as diferentes trajetórias para cada valor de 
para cada condição inicial do sistema.
A figura acima ilustra todas as trajetórias segundo as possíveis condições 
iniciais. As flechas indicam o sentido de evolução no tempo (quando
positiva, o ângulo V é crescente).
�V�¾ = '(V, ¾)ℎ(V, ¾)
 
que integrada, leva à equação: 
Esta equação descreve as diferentes trajetórias para cada valor de 
para cada condição inicial do sistema. 
Figura 25: 
A figura acima ilustra todas as trajetórias segundo as possíveis condições 
has indicam o sentido de evolução no tempo (quando
é crescente). 
)) = ¾− j} 
�� V ⟹ − j} 
�� V �V = ¾ �¾, 
¾: − 2j} 2�
 V = v, 
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Esta equação descreve as diferentes trajetórias para cada valor de v, ou seja, 
 
A figura acima ilustra todas as trajetórias segundo as possíveis condições 
has indicam o sentido de evolução no tempo (quando ¾ é 
(85) 
(86) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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O ponto A é a solução trivial  V, V8 = ¾£ = >0,0?, ou seja, o 
pêndulo parado como na figura 
abaixo. Este ponto é dito um 
ponto de equilíbrio estável. 
 
Os pontos B correspondem a 
situações onde V = 3 ou−3 e ¾ = 0 e, como mostrado na 
figura abaixo. Obviamente estes 
pontos são ditos de equilíbrio 
instável. 
Figura 26: 
A família de trajetórias fechadas ao redor do ponto A representa os possíveis 
movimentos periódicos e os pontos onde estas trajetórias cortam o eixo V 
representam as amplitudes de oscilação. 
As trajetórias onduladas, acima e abaixo, representam movimentos nos quais o 
pêndulo gira ao redor do centro J. 
Portanto, identificam-se dois tipos de movimentos: 
− Periódico e limitado; 
− Ilimitado. 
θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0
L
m
O
A
θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0
L
m
O
A
θ = piθ = piθ = piθ = pi
m
O
B
L
θ = piθ = piθ = piθ = pi
m
O
B
L
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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6. LINEARIZAÇÃO E ESTABILIDADE NÃO LINEAR 
Seja o sistema de equações não lineares de primeira ordem: 
 
Para este sistema, K∗ = >)∗, 0∗?é um ponto de equilíbrio (ou ponto fixo). 
Sua expansão em série de Taylor em torno de K∗ é dada por: 
 
Definindo-se: 
 
E, portanto:, '(�∗, 7∗) = j(�∗, 7∗) = 0 , obtendo-se o seguinte sistema linear 
(termos de ordem superior – t.o.s. são desprezados): 
 
Neste caso, a matriz Jacobiana y, calculada no ponto fixo K∗, tem o seguinte 
aspecto: 
 
Desta forma, as funções �¿(�) � 7¿(�) são aproximações de primeira ordem para 
a dinâmica em torno do ponto fixo K∗, descrevendo o comportamento local da 
solução. O caráter local deve ser enfatizado, já que as soluções encontradas 
são aproximações válidas para pequenas variações em torno do(s) ponto(s) de 
equilíbrio. 
š�8 = '(�, 7)78 = j(�, 7)› (87) 
À�8 = '(�, 7) = '(�∗, 7∗) + ¨'¨� (�∗, 7∗)(� − �∗) + ¨'¨7 (�∗, 7∗)(7 − 7∗) + �. �..78 = j(�, 7) = j(�∗, 7∗) + ¨j¨� (�∗, 7∗)(� − �∗) + ¨j¨7 (�∗, 7∗)(7 − 7∗) + �. �. 
.› (88) 
š�¿ = � − �∗7¿ = 7 − 7∗ ⟹ š�¿8 = �87¿8 = 78 ›› (89) 
ÁÂÃ
ÂÄ�¿8 = ¨'¨� ÅK∗ �¿ + ¨'¨7 ÅK∗ 7¿ = 
�¿ + <7¿››7¿8 = ¨j¨� ÅK∗ �¿ + ¨j¨7 ÅK∗ 7¿ = 2�¿ + �7¿››› (90) 
y = @
 <2 �A (91) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Exemplo de aplicação: 
Suponha o sistema: 
 
Localize o(s) ponto(s) de equilíbrio e determine a estabilidade linear, fazendo 
o(s) diagrama(s) de fases em torno do(s) mesmo(s). 
Solução: 
(I) Pontos de equilíbrio: 
 
 
Portanto, o sistema tem dois pontos de equilíbrio (pontos fixos): K] =>2,1? � K: = >−2,1? 
 
(II) Linearização em torno de Æ· = >�, ·?
 
 
Usando )Ç e 0Ç , e desprezando t.o.s.: 
 
Ou seja: 
 
Para esse sistema linearizado: 
š�8 = 47: − �: = '(�, 7)78 = 27 − 2 + j(�, 7) › (92) 
È�8 = 078 = 0› ⟹ È47: − �: = 027 − 2 = 0 › (93) 
È�¿ = � − 27¿ = 7 − 1 ⟹ È� = �¿ + 27 = 7¿ + 1›› (94) 
À�¿ = ¨'¨� (2,1)�¿ + ¨'¨7 (2,1)7¿7¿8 = ¨j¨� (2,1)�¿ + ¨j¨7 (2,1)7¿› (95) 
É�¿8 = −2�|(:,])�¿ + 87|(:,])7¿7¿8 = 0 + 2|(:,])7¿ › ⟹ š�¿8 = −4�¿ + 87¿7¿8 = +27¿ › (96) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Portanto, sua equação característica será dada por: 
 
Com os seguintes autovalores: š˜] = −4˜: = 2 ⟹ K∗ › é um ponto de sela1, logo 
instável. Pode-se, ainda, encontrar suas direções estável e instável, 
determinando os autovetores de y: 
 
Sabendo que: 
 
E, assumindo �, = 1: 
para ˜] = −4: 
 
para ˜: = 2: 
Portanto: 
 
1
 Lembrar que todo ponto de sela é instável, caracterizado por duas direções de estabilidade: 
uma estável (associada ao autovalor negativo) e outra instável (associada ao autovalor 
positivo). 
y = @−4 80 2A (97) 
�� È@−4 80 2A − @˜ 00 ˜AË = 0 ⟹ (˜ + 4)(˜ − 2) = 0 (98) 
R�,�ÌS (99) 
(y − ˜ F) R�,�ÌS = R00S ⟹ @−4 − ˜ 80 2 − ˜A R�,�ÌS = R00S ⟹ š(−4 − ˜)�, + 8�Ì = 0,(2 − ˜)�Ì = 0 › (100) 
š8�Ì = 06�Ì = 0 ⟹ �Ì = 0 ⟹ �(˜]) = R10S› (101) 
É−6�, + 8�Ì = 00�Ì = 0 ⟹ �Ì = 3 4Í ⟹ �(˜:) = ‘ 13 4Í ’› (102) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Em termos gráficos: 
 
 
Figura 27: 
 
qx
qv
x
v
Autovetor 
estável
Autovetor 
instável
φφφφ2222
tg φ φ φ φ 2222 = 3/4= 3/4= 3/4= 3/4
3/43/43/43/4
1111qx
qv
x
v
Autovetor 
estável
Autovetor 
instável
φφφφ2222
tg φ φ φ φ 2222 = 3/4= 3/4= 3/4= 3/4
3/43/43/43/4
1111
1111
2222
P*
x
v
1111
2222
P*
x
v
˜] ⟹ @0 80 6A R10S = R00S � (103) 
˜: ⟹ @−6 80 0A ‘ 13 4Í ’ = R00S (104) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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50 
 
(III) Linearização em torno de Æ· = >−�, ·? 
Analogamente: 
 
Desta forma: 
 
Portanto, K∗é um nó instável (dois autovalores reais positivos). 
Os respectivos autovetores são dados por: 
 
Novamente assumindo �, = 1: 
para ˜] = 4: 
para ˜: = 2: 
 
Neste caso, ambas as direções são instáveis, ou seja, as trajetórias deixam K∗, 
tangenciando as direções de instabilidade. Em termos gráficos: 
š�¿8 = 4�¿ + 87¿7¿8 = 27¿ › ⟹ y = @4 80 2A (105) 
��� È@4 − ˜ 80 2 − ˜AË = 0 ⟹ š˜] = 4˜: = 2› (106) 
š(4 − ˜)�, + 8�Ì = 0(2 − ˜)�Ì = 0 › (107) 
�Ì = 0 ⟹ �(˜]) = R10S (108) 
�Ì = − 1 4Í ⟹ �(˜:) = ‘ 1− 1 4Í ’ (109) 
Material de Apoio 
Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Figura 28: 
 
qx
qv
x
v
Autovetores
instáveis
φφφφ2222
tg φ φ φ φ 2222 = = = = −−−−1/41/41/41/4
−−−−1/41/41/41/4
1111qx
qv
x
v
Autovetores
instáveis
φφφφ2222
tg φ φ φ φ 2222 = = = = −−−−1/41/41/41/4
−−−−1/41/41/41/4
1111
1111
−−−−2222
P*
x
v
1111
−−−−2222
P*
x
v
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7. VIBRAÇÕES AMORTECIDAS 
7.1 Amortecedor linear 
O amortecedor linear é um aparato que em sistemas dinâmicos responde com 
uma força proporcional à velocidade relativa associada à interação entre dois 
corpos, definida segundo a seguinte relação: 
 
Onde: 2 é conhecido como constante de amortecimento linear. 
Em geral, na grande parte dos sistemas dinâmicos, uma perturbação inicial não 
se perpetua, sendo atenuada por elementos dissipativos como o amortecedor 
viscoso. 
Um sistema dinâmico típico, com apenas um grau de liberdade, é mostrado na 
figura abaixo. 
 
Figura 29: 
Se o movimento � = �(�) é medido a partir da posição de equilíbrio, a aplicação 
da II Lei de Newton leva a seguinte equação: 
 
Utilizando as definições de: 
− Freqüência natural 
k
m
kx
mx
..
m
c
cx
.
k
m
kx
mx
..
mx
..
m
c
cx
.
cx
.
gs = 2 ���� (110) 
��9 + 2�8 + e� = 0 (111) 
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Dinâmica de Sistemas I 
 
 
 
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Bem como: 
− Fração do amortecimento crítico ou coeficiente de amortecimento 
 
Onde: 2�1/ = 2s€ é o amortecimento crítico, pode-se reescrever a equação do 
movimento da seguinte forma: 
 
Esta equação é completamente definida com a definição das condições iniciais 
do movimento, ou seja: 
 
Para se resolver esta equação, assume-se uma solução do tipo �(�) = �—Y, 
onde ˜ é o parâmetro a ser determinado. 
Substituindo esta solução na equação diferencial do movimento, a seguinte 
equação característica é obtida: 
 
Cujas raízes são dadas por valores ˜] e ˜:, conhecidos como valores 
característicos ou autovalores da equação característica: 
 
É facilmente verificado que esses autovalores podem ser reais ou complexos, 
dependendo do termo 2: − 4�e, lembrando-se que: 
1/ = t e� (112) 
Î = 22�1/, (113) 
x9 + 2ζωÒx8 + ωÒ:� = 0 (114) 
�(0) = �= � �8 (0) = 0= (115) 
˜: + 2Î1/˜ + 1/:� = 0 (116) 
˜],: = Ó−Î ± BÎ: − 1Ô 1/ (117) 
Î: − 1 = 2: − 4�e4�e . (118) 
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Desta forma, segundo esses autovalores, as soluções da equação do 
movimento serão do tipo: 
 
Onde: 
 
Onde: )] e ):são constantes arbitrárias, definidas pelas condições iniciais do 
problema, ou seja: 
 
 
E, portanto, a solução da equação do movimento fica definida de forma única. 
Desta forma, podem ser identificados 4 tipos possíveis de movimento: 
(1) Movimento não amortecido 
Quando 2 = 0 e, então: 
 
Cuja solução é: 
 
(2) Movimento sub-amortecido 
Quando 0 < 2: < 4�e ou Î < 1 e, então: 
 
Onde se define 1Õ como a frequência natural amortecida: 
�(�) = )]�—žY + ):�—ŸY, (119) 
˜] = Ó−Î + BÎ: − 1Ô 1/ � ˜: = Ó−Î − BÎ: − 1Ô 1/ (120) 
�(0) = )] + ): = �= (121) 
�8(0) = ˜])] + ˜:): = 0= (122) 
�9 + 1/:� = 0 (123) 
�(�) = )] 2�
(1/�) + ): 
��(1/�) (124) 
�(�) = �Ö×XmY>)] 2�
(1Õ�) + ): 
��(1�)?(125) 
1Õ = 1/B1 − Î: (126) 
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(3) Movimento criticamente amortecido 
Quando 2: = 4�e ou Î = 1, e, então: 
 
Neste caso, ��—Y também é uma solução do problema e, portanto, a solução 
geral fica sendo dada por: 
 
Este movimento não é periódico (não há oscilação). 
 
(4) Movimento super-amortecido 
Quando 2: > 4�e ou Î > 1, de tal forma que ˜] e ˜: são raízes reais e a 
solução geral do problema fica sendo dada por: 
 
De acordo com a qual, também não há oscilação. 
Graficamente, o comportamento do deslocamento � = �(�) é apresentado na 
figura a seguir, parametrizado segundo os valores do coeficiente de 
amortecimento Î. 
˜] = ˜: = −1/ (127) 
�(�) = �ÖXmY>)] + ):�?. (128) 
�(�) = )]�—žY + ):�—ŸY (129) 
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Figura 30: 
 
7.2 Lugar geométrico das raízes 
Analisando a solução da equação característica do sistema massa-mola-
amortecedor linear: 
 
Percebe-se que (: + l: = 1, onde ( e l são, respectivamente, a parte real e 
parte imaginária dos autovalores. 
Desta forma, mantida a frequência natural não amortecida constante, 1/, as 
raízes complexas dessa equação característica encontram-se sobre uma 
semicircunferência de raio 1/. 
Quando Î = 0 as raízes são complexas conjugadas ±�1/. À medida que Î 
cresce, as raízes se afastam do eixo imaginário, caminhando sobre a 
˜],: = Ó−Î ± �B1 − Î:Ô 1/ (130) 
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semicircunferência de, até que para Î = 1 se tenha apenas uma única raiz real −1/. 
Quando Î ultrapassa o valor unitário, as duas raízes passam a ser reais, se 
separando cada vez mais. 
 
Figura 31: 
 
7.3 Diagrama de fase 
Outra forma de analisar a influência do coeficiente de amortecimento sobre o 
comportamento do sistema dinâmico é desenvolvida com base nos respectivos 
diagramas de fase. 
Basicamente, o diagrama de fase consiste na apresentação da velocidade �8 = �8(�) como função do deslocamento � = �(�). 
Este tipo de análise é particularmente importante para os estudos de 
estabilidade, pois permite o mapeamento e possível classificação dos pontos 
de equilíbrio do sistema. 
A figura anterior apresenta os diagramas de fase para os quatro tipos de 
movimento possíveis para o sistema massa-mola-amortecedor linear. 
 
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Figura 32: 
Segundo a figura: 
− Î = 0 implica em órbitas elípticas (o ponto de equilíbrio >0,0? é um 
centro); 
− Î < 1 implica em uma rota espiralada se aproximando da origem (o 
ponto de equilíbrio >0,0?é um foco assintoticamente estável); 
− Î = 1 implica em rotas diretas para a origem, características de 
movimentos não oscilatórios (o ponto de equilíbrio >0,0? é um “inflected 
node”, assintoticamente estável) e 
− Î >1 também implica em rotas diretas para a origem, características de 
movimentos não oscilatórios (neste caso, o ponto de equilíbrio >0,0? é 
um nó, assintoticamente estável). 
 
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8. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS NÃO 
AMORTECIDOS 
Considere-se o sistema não amortecido mostrado abaixo, submetido à ação de 
uma excitação harmônica do tipo: 
 
 
Figura 33: 
Desta forma, aplicando-se a II Lei de Newton, a dinâmica deste sistema é 
descrita pela seguinte equação: 
 
Esta equação pode ser reescrita dividindo-se todos os termos pela massa � e, 
então: 
 
Onde: 1/ = oe �Í é a freqüência natural não amortecido e '= = g= �Í . 
Sabe-se que esta equação diferencial linear não homogênea tem solução geral 
do tipo: 
Onde: 
k
m
x
F(t)
k
m
x
F(t)
g(�) = g= 2�
(1�) (131) 
��9 + e� = g= 2�
(1�). (132) 
�9 + 1/:) = '= 2�
(1�), (133) 
�(�) = �Ø(�) + �Ù(�), (134) 
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• XÛ(t) = X] sin(ωÒt) + X:cos(ωÒt) é a solução da equação 
homogênea, ou seja, a solução de ��9 + e� = 0; 
• �Ù(�) = )= cos(ωt) é uma solução particular, que assume o 
mesma característica da força de excitação g(�), quando 1 ≠ 1/. 
 
Substituindo a solução particular �à(�) na equação diferencial linear não 
homogênea, tem-se: 
 
De acordo com esta equação: 
 
E, desta forma: 
 
Portanto, a solução geral do problema fica sendo dada por: 
 
Se o sistema apresentar condições iniciais >�(0), �8 (0)? = >�=, 7=?, então as 
amplitudes )] � ): podem ser determinadas, resultando em: 
 
Neste ponto, dois casos particulares merecem uma análise mais profunda. 
 
−1:)= 2�
(1�) + 1/: )= 2�
(1�) = '= 2�
(1�) (135) 
)= = '=1=: − 1: (136) 
)à(�) = '=1/: − 1: 2�
(1�) (137) 
�(�) = )] 
��(1/�) + ): 2�
(1/ �) + '=1/: − 1: 2�
(1�). (138) 
�(�) = 7=1 
��(1/�) + C�= − '=1/: − 1:D 2�
(1/�) + '=1/: − 1: 2�
(1�). (139) 
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8.1 O Batimento 
Se as condições iniciais do problema são nulas >�(0), �8 (0)? = >0,0?, a solução 
geral se torna bastante simples: 
 
Ou seja: 
 
Desta forma, quando 1 se aproxima do valor de 1/, verifica-se o fenômeno de 
batimento. Percebe um movimento ditado pela alta freqüência ÓXmáX: Ôe uma 
modulação da amplitude, dada pelo termo ÓXmÖX: Ô. 
Exemplo: 
Para '= = 1,5 â ej⁄ , 1/ = 2 �
� 
⁄ e 1 = 1,9 �
� 
⁄ , a figura abaixo mostra a 
resposta do sistema dinâmico. 
 
Figura 34: 
�(�) = '=1/: − 1: >2�
(1�) − 2�
(1/�)? (140) 
�(�) = 2'=1/: − 1: 
�� Ó1/ − 12 �Ô 
�� C1/ + 12 �D (141) 
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8.2 A Ressonância 
Suponha, agora, que a freqüência da excitação harmônica seja exatamente 
igual à frequência natural do sistema, ou seja, 1 = 1/. 
Neste caso, a solução particular �à(�) = )= cos(1�) não representa mais a 
dinâmica do sistema, necessitando-se a proposição de uma nova solução 
particular do tipo: 
 
A qual, segundo aplicação de um procedimento análogo ao anteriormente 
apresentado, e sob as mesmas condições iniciais >�(0), �8 (0)? = >�=, 7=?, leva à 
seguinte solução �(�) para o caso de 1 = 1/: 
 
Exemplo: 
A figura abaixo mostra o comportamento dinâmico do sistema, partindo de >�(0), �8 (0)? = >0,0?, com '= = 1,5 â ej⁄ e 1 = 1/ = 2 �
� 
⁄ . 
 
Figura 35: 
�Ù(�) = �)= 
��(1�) (142) 
�(�) = 7=1 
��(1�) + �= 2�
(1�) + '=21 � 
��(1�) (143) 
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Note o caráter ilimitado da resposta na condição de ressonância, situação 
profundamente indesejável na maioria dos sistemas dinâmicos.Graficamente pode-se apresentar a amplificação das oscilaçõesÓ) '=Í Ô como 
função da relação entre as freqüências Œ1 1/Í . 
 
Figura 36: 
De acordo com a figura percebe-se que na situação em que Œ1 1/Í  = 0 a força 
excitante é estática e a resposta do sistema é o deslocamento estático dado 
por ) = '=. Então, para 1 muito menor que 1/ a restauração do sistema é o 
fator dominante e o comportamento é praticamente estático. 
ParaŒ1 1/Í  • ∞, a resposta aproxima-se de zero. Então, para altas 
freqüências de excitação, 1 muito maior que 1/, a inércia é o fator dominante, 
e o sistema passa a não perceber as oscilações forçadas. 
 
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9. EXCITAÇÃO HARMÔNICA DE SISTEMAS AMORTECIDOS 
Excitações harmônicas são frequentemente encontradas em sistemas 
mecânicos. Embora sua ocorrência seja menos comum que as não periódicas 
ou aproximadamente periódicas, o entendimento do comportamento de 
sistemas excitados harmonicamente é de importância vital para a compreensão 
de sistemas excitados de maneira mais complexa. 
Neste contexto, considere-se inicialmente o sistema massa-mola-amortecedor, 
excitado harmonicamente e com apenas um grau de liberdade, conforme 
ilustrado na figura abaixo: 
 
Figura 37: 
Para esse sistema, a equação diferencial que rege a dinâmica é dada por: 
 
Sabe-se que a solução geral desta equação é dada pela composição de sua 
solução homogênea (responsável pela resposta transiente) com uma solução 
particular (responsável pela resposta permanente) semelhante à excitação 
harmônica para todas as situações de 1 ≠ 1/, ou seja: 
 
Onde: ) é a amplitude da oscilação e ä é a fase do deslocamento com relação 
à força de excitação. 
Quanto à esta solução as seguintes observações se fazem necessárias: 
k
m
c
F(t)
k
m
c
F(t)
��9 + 2�8 + e� = g(�) = g= 
��(1�) (144) 
�Ù(�) = ) 
��(1� − ä) (145) 
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− Após algum tempo, praticamente só a resposta permanente se mantém; 
− O efeito das condições iniciais (grande parte garantido pela solução 
homogênea) vai diminuindo com o passar do tempo; 
− Quando 2 = 0, portanto um sistema não amortecido, ambas as soluções 
(homogênea e particular) coexistem todo o tempo. 
 
Voltando ao sistema proposto, amplitude e fase são encontradas substituindo a 
solução particular �à(�) na equação diferencial que rege a dinâmica do 
movimento. 
É importante destacar de aulas passadas que, em movimentos harmônicos, as 
fases da velocidade e aceleração encontram-se adiantas com relação ao 
deslocamento, respectivamente de 90o e 180o. 
Em termos vetoriais é possível apresentar a equação diferencial do movimento 
da seguinte forma: 
 
Figura 38: 
E, portanto, chegar-se às seguintes relações para ) e ä: 
 
 
Que podem ser reescritas utilizando as seguintes informações já conhecidas: 
kXX
c ωωωωX
m ω ω ω ω X2
F0
φφφφ
kXX
c ωωωωX
m ω ω ω ω X2
F0
φφφφ
) = g=B(e − �1:): + (21): (146) 
ä = �
�Ö] 21e − �1: (147) 
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• 1/ = oe �Í é a freqüência natural do sistema não amortecido; 
• 2s€ = 2�1/ é o amortecimento crítico; 
• Î = ssåæ é o coeficiente de amortecimento. 
De tal forma que: sXp = ssåæ såæXp = 2Î XXm e as equações da amplitude e fase 
podem ser colocadas nas formas adimensionais que se seguem: 
 
Onde ¡pçè é conhecido como fator de amplificação ou fator de magnificação. 
 
Figura 39: 
E ä é a fase entre a força de excitação e o deslocamento, dada por: 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
ω /ω
n
Xk
 
/ F
0
ζ = 0.00
ζ = 0.05
ζ = 0.10
ζ = 0.15
ζ = 0.20
ζ = 0.25
ζ = 0.30
ζ = 0.35
ζ = 0.40
ζ = 0.45
ζ = 0.50
ζ = 1.00
)eg= = 1tR1 − Ó 11/Ô:S: + @2Î Ó 11/ÔA:
 
(148) 
ä = �
�Ö] 2Î Ó 11/Ô1 − Ó 11/Ô:, (149) 
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Estas equações indicam que a amplitude e a fase são funções somente da 
relação entre frequências Ó XXmÔe do coeficiente de amortecimento Î. As curvas 
mostram que o coeficiente de amortecimento tem grande influência sobre a 
amplitude e a fase do movimento próximo à ressonância. De acordo com a 
relação entre freqüências podem ser identificadas três condições principais: 
• Quando, Ó XXmÔ ≪ 1 as forças de inércia e de amortecimento são 
pequenas, o que resulta em um ângulo de fase pequeno. A magnitude 
da força excitante é praticamente igual à força de restauração e, 
portanto, o deslocamento tende ao deslocamento quase-estático; 
• Quando, Ó XXmÔ = 1, o ângulo de fase será igual a 90o. A força de inércia, 
agora grande, é balanceada pela força de restauração, considerando-se 
que a força excitante supere a força de amortecimento. Em particular, a 
amplitude na ressonância será dada por: ) = çè:×p; 
• Quando Ó XXmÔ ≫ 1, o ângulo de fase se aproxima de 180o e a força de 
excitação é quase totalmente despendida na superação da grande força 
de inércia. 
 
Figura 40: 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
20
40
60
80
100
120
140
160
180
ω /ω
n
φ
ζ = 0.00
ζ = 0.05
ζ = 0.10
ζ = 0.15
ζ = 0.20
ζ = 0.25
ζ = 0.30
ζ = 0.35
ζ = 0.40
ζ = 0.45
ζ = 0.50
ζ = 1.00
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Finalizando, a resposta dinâmica geral do sistema massa-mola-amortecedor 
pode ser expressa da seguinte forma: 
 
Onde: )] � ä] são determinados pelas condições iniciais do problema e 
 
9.1 Resposta no Domínio dos Números Complexos 
Considerando-se a representação vetorial no domínio dos números complexos, 
se g(�) = g= 
��(1�), a magnitude das forças que compõe a equação diferencial 
da dinâmica do sistema referem-se à parte imaginária dessas forças. Por outro 
lado, se g(�) = g= 2�
(1�), então a magnitude as forças estariam relacionadas 
com a parte real. 
Levando-se isso em consideração, pode-se representar a força de excitação 
harmônica de uma forma mais geral, qual seja: 
 
Desta forma, a solução particular pode ser escrita como: 
 
Onde: )ë = )�Ö.ì. 
Substituindo esta solução na equação diferencial do movimento: 
Ou seja: 
�(�) = çèp Q./(XYáì)tR]ÖÓ íímԟSŸá@:×Ó íímÔAŸ + )]�Ö×XmY 
��ŒB1 − Î:1/� + ä], (150) 
ä] = �
�Ö] 2Î Ó 11/Ô1 − Ó 11/Ô: . (151) 
g(�) = g=>2�
(1�) + � 
��(1�)? = g=�.XY (152) 
�Ù(�) = )�.(XYÖì) = )ë�.XY (153) 
(−1:� + �21 + e))ë = g= (154) 
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Introduzindo-se, então, a definição de resposta no domínio dos números 
complexos: 
 
Novamente, percebe-se uma dependência apenas da relação entre 
freqüênciasÓ XXmÔ e do coeficiente de amortecimento Î. 
Parte real e parte imaginária de î(1) podem ser identificadas multiplicando-se 
e dividindo-se sua equação pelo complexo conjugado,