Exercícios de Dinâmica de Rotação

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x
y
CM
conj.
0,3 m0,3 m 0,3 m
0,2 mm
m
A B
0,2 m
ω
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Um rotor de massa 350 kg, com centro de massa
CM(0,6; 0,0; 0,0), posicionado em relação ao sistema de
eixos A(x,y,z) ligado ao eixo AB do sólido e com ele gira.
Os mancais de sustentação são definidos por: A( 0,0;
0,0; 0,0) e B(1,4; 0,0; 0,0). Todas as coordenadas estão
expressas em metros. O rotor gira com velocidade
angular constante ω=168 rad /s , no sentido
indicado na figura. Os seguintes elementos da matriz de
inércia são conhecidos: I xz=0,75kg .m
2
e
I xy=zero .
Desprezando o peso próprio, pedem-se:
a) a reação dinâmica no mancal A;
b) a reação dinâmica no mancal B.
Questão 02:
Um avião, imediatamente antes de decolar, se desloca ao longo da pista com
velocidade v = 180,0 km/h (ou 50 m/s), com as rodas do trem de pouso
girando sem escorregar em relação ao solo (o ponto de contato com o solo é
o CIR). Assim que o avião inicia o voo e perde contato com o solo, o
recolhimento do trem de pouso se inicia, com as rodas girando da mesma
forma que estavam antes de perder contato com o solo. O sistema composto
por ambas as rodas, possui massa total m = 78,0 kg, diâmetro D = 1,1 m e
momento de inércia total, em relação ao eixo de rotação, Ixx = 15,3 kg.m2. As
rodas são montadas em seu eixo de rotação, separadas pela distância a =
0,35 m. O eixo de rotação das rodas é soldado a um segundo eixo, que gira
em torno da articulação A com o recolhimento do conjunto. A distância entre o
eixo das rodas e a articulação A é b = 1,2 m. O trem de pouso é recolhido de
forma que sua posição angular aumenta à taxa de 30º (ou 0,524 rad) por
segundo. Como sugestão, o sistema de eixos considerado CM(x, y, z)
encontra-se ligado ao eixo de rotação das rodas, ou seja, a direção do eixo z,
não se altera. Pedem-se:
a) o vetor velocidade angular das rodas;
b) o vetor momento angular do conjunto de rodas, em relação ao centro de massa das mesmas (CM);
c) as reações de origem dinâmicas (desconsiderar o peso) no eixo nas rodas.
Questão 03:
Um estagiário recebe um pré-projeto de um misturador
constituído por eixo fixo apoiado nos mancais A e B e
duas placas triangulares de massa m = 0,24 kg cada. O
projeto prevê velocidade angular constante igual a
ω=60 rad
s
. O sistema de eixos adotado A(x,y,z), tem
origem no mancal (A) do sistema, é solidário (ligado) ao
mesmo, ou seja, gira da mesma forma. O estagiário
procura na internet e encontra numa tabela, os produtos de inércia de placas triangulares conforme anexo e
descobre que o produto de inércia do sistema composto pelos dois triângulos é: I x y
sistema=0,0040kg .m2 .
Pedem-se os esforços dinâmicos nos mancais: R⃗A=RA
y . ĵ+RA
z k̂ ; R⃗B=RB
y . ĵ+RB
z k̂
Formulário: I x1 y1=−
m
36
⋅h⋅(2⋅c−b) ; I x1 z1= I y1 z1=0 
x
y
z
q
a/2
a/2
CM
b
A
W
w
F
P
A
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
h/3
h/3
CM
x
1
y
1
c
b
h
b/3
x
y
CM
x
2
y
2
c
b
h
b/3
∑ ⃗forças=m . ⃗aCM ∑ ⃗momentos=Ḣ A M⃗ AF=(P−A)∧ F⃗
H⃗ A=[ I xx − I xy − I xz−I xy I yy −I yz− I xz − I yz I zz ].[ω xω yω z] ω⃗=ω . ê
Questão 04:
Um rotor de massa m = 25,0 kg, gira em torno do eixo
apoiado nos mancais A e B, separados pela distância d =
0,90 m, com velocidade angular w = 50 rad/s. O Sistema de
eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. As reações (forças) nos
mancais de origem dinâmica (desconsiderar o peso), são
conhecidas:
 R⃗A=−82,00⋅ ĵ+108,70⋅k̂ (N ) e
R⃗B=38,25⋅ ĵ−58,70⋅k̂ (N ) . Pedem-se:
a) o vetor aceleração do Centro de Massa, expresso em
função de suas coordenadas ( yCM) e (zCM ) ;
b) a coordenada ( yCM) do Centro de Massa;
c) a coordenada (zCM ) do Centro de Massa.
∑ ⃗forças=m⋅a⃗CM ; acentripeta= v
2
R
=ω2⋅R ; r̂=
(O−CM )
|O−CM |
Questão 05:
Um rotor de massa m = 25,0 kg, gira em torno do eixo apoiado nos mancais A e B, separados pela 
distância d = 0,90 m, com velocidade angular w = 50 rad/s. O Sistema de eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. 
As reações (forças) nos mancais de origem dinâmica
(desconsiderar o peso), são conhecidas:
 R⃗A=−38,25⋅ ĵ+58,70⋅k̂ (N ) e
R⃗B=38,25⋅ ĵ−58,70⋅k̂ (N ) . Pedem-se:
a) O vetor velocidade angular (ω⃗) ;
b) A derivada temporal do Momento Angular em relação ao
polo A ˙⃗H A , em função dos produtos de inércia;
c) Os produtos de Inércia de interesse ao balanceamento.
ω⃗=ω⋅ê ; H⃗ A=[ I xx −I xy −I xz−I xy I yy −I yz−I xz −I yz I zz ]⋅[ωxωyωz ]
TMA :∑ M⃗ A= ˙⃗H A ; M⃗ AF=(P−A)∧F⃗
y
z
CM
RaCM
O
y
CM
z
CM
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
Questão 06:
O sólido ilustrado não apresenta contornos
precisamente definidos pois não são de interesse. O
sólido de massa m = 30 kg, gira em torno de eixo fixo
AB, mantido pelos mancais em A e B, com velocidade
angular constante ω=50 rad
s
. Como o centro de
massa do sólido não pertence ao eixo de rotação,
descreve trajetória circular de raio R com aceleração
centrípeta (acent .=ω
2⋅R) , conforme indicado.
Uma empresa desenvolve dispositivo de
balanceamento, onde os esforços em cada mancal
podem ser medidos nas direções x e z do sistema de
eixos do sistema ligado ao sólido girante, a cada vez que o sistema de eixos se posiciona conforme a 
ilustração. Você fica encarregado de fornecer a relação entre as forças radiais medidas e as massas de 
correção necessárias ao balanceamento. As reações nos mancais, quando o sólido gira com velocidade 
angular constante ω⃗=50⋅ĵ rad
s
, incluído o efeito do peso próprio são:
R⃗A=−299⋅î+150⋅k̂ (N ) e R⃗B=−1000⋅î−600⋅k̂ (N )
O peso próprio é expresso por: P=−300⋅k̂ (N ) . As coordenadas do Centro de Massa (CM) são:
xCM=0,017m zCM=0,010m . Pedem-se:
a) a soma dos momentos polares das forças envolvidas, a saber, P⃗; R⃗A ; R⃗B , em relação ao polo A; 
Nota: a definição de momento polar é M⃗ A
F=(pto de aplicação−A)∧F⃗
b) os valores numéricos dos produtos de inércia de interesse para o balanceamento;
Nota: H⃗ A=[ I xx −I xy −I xz−I xy I yy −I yz−I xz −I yz I zz ]⋅[ωxωyωz ] ; ˙⃗H A=∑ momentosA ; ˙̂i=ω⃗∧ î ; ˙̂k=ω⃗∧ k̂ ; inclua na
somatória dos momentos, o momento axial C⃗=C⋅ ĵ
c) para o instante ilustrado, o momento axial C⃗=C⋅ ĵ , necessário para manter a velocidade angular
constante;
d) as seis (6) equações que permitem determinar as massas m1 e m2, que corrigem o desbalanceamento
do sólido, quando alocadas nos planos de correção y1 = 0,1 m e y2 = 1,1 m, à distância D = 0,3 m do eixo
de rotação;
Questão 07:
Um rotor de massa m = 25,0 kg, gira em torno do eixo
apoiado nos mancais A e B, separados pela distância d =
0,90 m, com velocidade angular w = 50 rad/s. O Sistema de
eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. As reações (forças) nos
mancais de origem dinâmica (desconsiderar o peso), são
conhecidas:
 R⃗A=−38,25⋅ ĵ+58,70⋅k̂ (N ) e
R⃗B=38,25⋅ ĵ−58,70⋅k̂ (N ) . Pedem-se:
a) O vetor velocidade angular (ω⃗) ;
x
z
y
x
CM
z
CM
A
CM
B
 q
a
cent.
 d =
 1,2
0 mw
 0,40
 m
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
b) A derivada temporal do Momento Angular em relação ao polo A ˙⃗H A , em função dos produtos de 
inércia;
c) Os produtos de Inércia de interesse ao balanceamento.
ω⃗=ω⋅ê ; H⃗ A=[ I xx −I xy −I xz−I xy I yy −I yz−I xz −I yz I zz ]⋅[ωxωyωz ] TMA :∑ M⃗ A= ˙⃗H A ; M⃗ AF=(P−A)∧F⃗
Questão 08:
Um rotor de massa m = 25,0 kg, gira em torno do eixo
apoiado nos mancais A e B, separados pela distância d =
0,90 m, com velocidade angular w = 50 rad/s. O Sistema de
eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. O Centro de Massa
pertence ao eixo de rotação e num ensaio anterior,
mediram-se os produtos de inércia, que expressos em
(kg.m2), são: I xy=−0,015 e I xz=0,025 . As massas
corretoras podem ser alojadas nos planos de correção
definidos por x1=0,10m e x2=0,80m à distâncias de
0,10 m do eixo geométrico de rotação.
Pedem-se:
a) Enuncie as condições de balanceamento;
b) A massa corretora do plano x1=0,10m e suas coordenadas
m1(x1 ; y1 z1) ;
c) A massa corretora do plano x2=0,80m esuas coordenadas m2(x2 ; y2 z2) ;
Sistema composto por três massas (m1,m2,m3) têm a coordenada do centro de massa yCM , dada 
por:
yCM=
m1⋅y1+m2⋅y2+m3⋅y3
m1+m2+m3
.
O produto de inércia I xy de uma massa m(x , y , z ) é dado por: I xy=m⋅x⋅y .
Questão 09:
Um motor mono cilíndrico, conforme ilustração em anexo, gira com frequência de rotação constante, no 
sentido anti-horário f = 5100 rpm, desenvolvendo potência P = 1,7 kW, que aciona um outro dispositivo.
A manivela é balanceada, ou seja, seu centro de massa coincide com o centro geométrico do eixo de 
rotação, possui massa mM = 1,53 kg e raio de giro AB = 0,11 m. A biela possui massa mB = 0,235 kg, 
comprimento L = 0,682 m, centro de massa posicionado de forma que d = 0,227 m, momento de inércia em
relação ao seu centro de massa IB = 4,5.10-4 kg.m2. O pistão apresenta centro de massa coincidente com o 
ponto C, massa mP = 0,155 kg e o coeficiente de atrito com o cilindro é desprezível. Adotar aceleração da 
gravidade como: g=10m /s2 . Sabendo-se que para a posição definida por θ = 60º, são conhecidas as 
seguintes grandezas cinemáticas:
Aceleração angular da biela, em rad/s2: α⃗B=39.969,14⋅k̂
;
Aceleração do centro de massa da biela, em m/s2:
a⃗B=−14.844,43⋅î−18.144,64⋅ ĵ
Aceleração do centro de massa do pistão, em m/s2:
a⃗P=−13.157,83⋅î
Desconsiderando o peso próprio das partes, pedem-se:
a) O momento (torque) gerado pelo motor;
b) As equações que permitem a determinação dos esforços
nas articulações A, B e C, e a força de acionamento sobre o
pistão. 
A
B
C
CM
biela
L
R
θ φ x
d
y
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
0,90
0,25
0,10
0,10
x
y
z
A
Bw
Alojamento de massas
Sugestão: Pot .=torque⋅ω ,
torque=conjugadoaxial=C⋅k̂ ; identifique os
esforços, não se esqueça que há a reação do conjugado
axial aplicada na manivela: C⃗reação=−C⋅k̂ ; para cada
elo, imponha os dois teoremas:
TCM: ∑ ⃗forças=m⋅⃗aCM ;
TMA: ∑ ⃗momentos=I⋅α⃗
Questão 10:
Um rotor de massa m = 25,0 kg, gira em torno do eixo
apoiado nos mancais A e B, separados pela distância d =
0,90 m, com velocidade angular w = 50 rad/s. O Sistema de
eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. O Centro de Massa
pertence ao eixo de rotação e num ensaio anterior, mediram-
se os produtos de inércia, que expressos em (kg.m2), são:
I xy=−0,015 e I xz=0,025 . As massas corretoras
podem ser alojadas nos planos de correção definidos por
x1=0,10m e x2=0,80m à distâncias de 0,10 m do
eixo geométrico de rotação.
Pedem-se:
a) Enuncie as condições de balanceamento;
b) A massa corretora do plano x1=0,10m e suas coordenadas
m1(x1 ; y1 z1) ;
c) A massa corretora do plano x2=0,80m e suas coordenadas m2(x2 ; y2 z2) ;
Sistema composto por três massas (m1,m2,m3) têm a coordenada do centro de massa yCM , dada 
por:
yCM=
m1⋅y1+m2⋅y2+m3⋅y3
m1+m2+m3
.
O produto de inércia I xy de uma massa m(x , y , z ) é dado por: I xy=m⋅x⋅y .
 Questão 11:
Um rotor de massa m = 35,0 kg, gira em torno do eixo
apoiado nos mancais A e B, separados pela distância d =
0,90 m, com velocidade angular w = 60 rad/s. O Sistema de
eixos A(x,y,z) é solidário ao rotor. As reações (forças) nos
mancais de origem dinâmica (desconsiderar o peso), são
conhecidas:
 R⃗A=−192,00⋅ ĵ+408,70⋅k̂ (N ) e
R⃗B=38,25⋅ ĵ−158,70⋅k̂ (N ) . Pedem-se:
a) a coordenada ( yCM) do Centro de Massa;(1,0)
b) a coordenada (zCM) do Centro de Massa.(1,0)
C
B
B
A
L
C
d
CM
biela
R
θ
RB
x
RB
y
RA
x
RA
y
RB
x
RB
y
RC
x
RC
y
RC
x
RC
y
N
F
C
Suporte:
∑ ⃗forças=m⋅⃗aCM ; a⃗centripeta=ω2⋅(− yCM⋅ĵ−zCM⋅k̂)
Questão 12:
Um motor mono cilíndrico, conforme ilustração em anexo, gira com frequência de rotação constante, no 
sentido anti-horário f = 4600 rpm, desenvolvendo potência P = 1,2 kW, que aciona um outro dispositivo.
A manivela é balanceada, ou seja, seu centro de massa coincide com o centro geométrico do eixo de 
rotação, possui massa mM = 1,53 kg e raio de giro R = 0,11 m. A biela possui massa mB = 0,205 kg, 
comprimento L = 0,682 m, centro de massa posicionado de forma que d = 0,227 m, momento de inércia em
relação ao seu centro de massa IB = 3,6.10-4 kg.m2. O pistão apresenta centro de massa coincidente com o 
ponto C, massa mP = 0,135 kg e o coeficiente de atrito com o cilindro é desprezível. Adotar aceleração da 
gravidade como: g=10 m
s2
. Sabendo-se que para a posição definida por θ = 50º, são conhecidas as 
seguintes grandezas cinemáticas:
Aceleração angular da biela, em rad/s2: α⃗B=28.577⋅k̂ ;
Aceleração do centro de massa da biela, em m/s2:
a⃗B=231⋅̂i−13.035⋅ĵ
Aceleração do centro de massa do pistão, em m/s2:
a⃗P=−15.713⋅î
Desconsiderando o peso próprio das partes, pedem-se:
O momento (torque) gerado pelo motor;
As equações que permitem a determinação dos esforços nas
articulações A, B e C, além da força de acionamento sobre o
pistão. 
Questão 13:
O sistema composto pelas barras AB, BC e CD, são ligadas entre si pelas articulações em B, em C, e 
vinculadas através das articulações em A e D. A barra AB tem eixo de rotação fixo em A, através do qual é 
aplicado momento motor anti-horário (torque) constante, de intensidade M. 
Um outro dispositivo é acionado através de articulação que passa pelo centro de massa da barra BC. 
Esse dispositivo reage sobre o centro de massa de BC com força F⃗=25⋅̂i−54⋅ ĵ [N ] . 
A barra AB possui massa mAB=2,1kg , comprimento
AB=0,20 m momento de inércia ICM
AB=0,04 kg .m2 ,
centro de massa coincidente com seu centro geométrico. A barra
BC possui massa mBC=5,2kg , comprimento
BC=0,50 m momento de inércia ICM
BC=0,65 kg .m2 ,
centro de massa coincidente com seu centro geométrico. A barra
CD possui massa mCD=6,3kg , comprimento
CD=0,60 m momento de inércia ICM
CD=1,13 kg .m2 ,
centro de massa coincidente com seu centro geométrico. 
No instante ilustrado, são conhecidos:
a velocidade angular da barra AB, que é constante:
ω⃗AB=30 rad /s ;
a aceleração do centro de massa da barra AB:
a⃗CM
AB=−78⋅î−45⋅ĵ m /s2 ;
a aceleração do centro de massa da barra BC:
a⃗CM
BC =−459⋅̂i−211⋅ĵ m /s2 ;
a aceleração angular da barra BC: α⃗BC=1064⋅k̂ rad /s
2
;
y
z
CM
RaCM
O
y
CM
z
CM
A
B
C
CM
biela
L
R
θ φ x
d
y
30º
76,4º
100,7º
A
B
C
D
CM
AB
CM
BC
CM
CD
x
y
F
a aceleração do centro de massa da barra CD: a⃗CM
CD=−381⋅î+415⋅ ĵ m/ s2 ;
a aceleração angular da barra CD: α⃗BC=1351⋅k̂ rad /s
2
.
Desconsiderando o peso próprio das barras, pedem-se: as equações que permitem o cálculo dos
esforços nas articulações A, B, C e D, assim como a determinação do momento motor M.
Questão 14:
O arranjo ilustra um transportador de barris, sendo que o
acionamento é feito através de cilindro pneumático aplicado na
articulação E. O barril apresentam peso PB=1800N e não
escorrega em relação à plataforma de sustentação. Sabendo-se que
a barra AB na posição angular θ=60º , apresenta velocidade
angular ωAB=7 rad /s , e aceleração angular αAB=3 rad /s ,
ambas no sentido anti-horário. Pedem-se:
a) a aceleração do ponto B;
b) a aceleração do centro de massa do barril;
c) a aceleração angular do barril.
Considere que:
v⃗P=v⃗Q+ω⃗∧(P−Q) ;
a⃗P=a⃗Q+α⃗∧(P−Q)+ω⃗∧[ω⃗∧(P−Q)] ; 
No movimento de translação, todos os pontos do sólido
apresentam velocidades iguais e aceleração iguais.
Questão 15:
O arranjo ilustra um transportador de barris, composto por duas
barras: a barra CD com massa mCD=160 kg , comprimento
L=1,40m e momento de inércia ICM
CD=35 kg⋅m2 e barra AB
de massa desprezível e mesmo comprimento. O acionamento do
transportador é feito através de cilindro pneumático que aplica na
articulação E, a força F na direção do cilindro. 
O barril e plataforma, apresentam peso total PB=3600N ,
com centro de massa indicado na figura. Não ocorre
escorregamento entre o barril e a plataforma de sustentação.
Adotar g = 10 m/s2.
Para a posição ilustrada, são conhecidas: 
A aceleração do centro de massa do Barril mais Plataforma é:
a⃗CMB+P=7,9⋅̂i−4,3⋅ĵ(m/ s
2) ; aceleração angular do Barril
mais Plataforma é: α⃗CM B+P=zero ; aceleraçãodo centro de
massa da barra AB a⃗CMCD=3,9⋅î−2,2⋅ĵ(m/ s
2) ; aceleração
angular da barra AB α⃗CD=−5,0⋅k̂ (rad / s
2) . Obter as nove
equações que determinam os esforços nas articulações A, B, C e
D, e a força F que produz o movimento no sistema. Cada
equação possui valor.
Considere que: 
∑ ⃗forças=m ˙a⃗CM ; ∑ ⃗momentos= ICM⋅α⃗
0,80
B
A
C
D 60º 60º
1,20
0,50
1,
39
1,
39
E
0,60
0,70
x
y
0,80
C
D
B
A
100º
1,38
0,25
1,40
0,60
0,24
E1,40
0,40
100º
80º
F
CM
x
y
1600
FC
x
FC
y
FD
y
FA
x
FA
y
CB0,25
0,60
0,80
DA
100º
1,38
1,40
0,24
E
1,40
0,40
100º
80º
F
B
FD
x
FB
x
FC
y
FC
x
FB
y
FB
x
FB
y
3600
C
Questão 16:
O sistema composto pelas barras AB, BC e CD, são ligadas entre si pelas articulações em B, em C, e 
vinculadas através das articulações em A e D. A barra AB tem eixo de rotação fixo em A, através do qual é 
aplicado momento motor anti-horário (torque) constante, de intensidade M. 
Um outro dispositivo é acionado através de articulação que passa pelo centro de massa da barra BC. 
Esse dispositivo reage sobre o centro de massa de BC com força F⃗=25⋅̂i−54⋅ ĵ [N ] . 
A barra AB possui massa mAB=2,5kg , comprimento AB=0,20 m momento de inércia
ICM
AB=0,04 kg .m2 , centro de massa coincidente com seu centro geométrico. A barra BC possui 
massa mBC=5,2 kg , comprimento BC=0,50 m momento de inércia ICM
BC=0,65 kg .m2 , 
centro de massa coincidente com seu centro geométrico. A barra CD possui massa mCD=5,3kg , 
comprimento CD=0,60 m momento de inércia ICM
CD=1,10 kg .m2 , centro de massa coincidente
com seu centro geométrico. 
No instante ilustrado, são conhecidos:
a velocidade angular da barra AB, que é constante:
ω⃗AB=30 rad / s ;
a aceleração do centro de massa da barra AB:
a⃗CM
AB =−57,9⋅̂i−68,9⋅̂j m /s2 ;
a aceleração do centro de massa da barra BC:
a⃗CM
BC=−184,8⋅̂i−129,2⋅̂j m/ s2 ;
a aceleração angular da barra BC:
α⃗BC=236,8⋅k̂ rad /s
2
;
a aceleração do centro de massa da barra CD:
a⃗CM
CD=−126,9⋅̂i−60,2⋅̂j m /s2 ;
a aceleração angular da barra CD:
α⃗CD=468,3⋅k̂ rad /s
2
.
Desconsiderando o peso próprio das barras, pedem-se: as 9 equações que permitem o cálculo dos 
esforços nas articulações A, B, C e D, assim como a determinação do momento motor M.(o valor 
das equações são iguais)
Suporte:
∑ ⃗forças=m . ⃗aCM
∑ ⃗momentosCM=I cm . α⃗
51,1º
115,38º
A
B
C
D
CM
AB
CMBC
CM
CD
x
y
F
50º
M
F
x
A
F
y
A
F
x
B
F
y
B
51,1º
115,38º
A
B
C
D
CM
BC
CMCD
x
y
50º
C
B
F
F
y
B
F
x
B
F
x
C
F
y
C
F
x
C
F
y
C
F
x
D
F
y
D
Questão 17: 
Na figura ilustrada, o elo AB, tem comprimento AB=0,8m , massa
mAB=1,4 kg , centro de massa localizado em seu ponto médio, que
apresenta aceleração a⃗CM
AB =−44,1⋅ĵm/ s2 , e gira com velocidade
angular constante ωAB=10,5 rad / s no sentido anti-horário, mantida
com motor elétrico, que aplica momento (torque) no eixo que passa pela
articulação A. O elo BC tem comprimento BC=0,5m , massa
mBC=1,0 kg , centro de massa em seu ponto médio, que apresenta
aceleração a⃗CM
BC =−2,1⋅î−82,6⋅ĵm/ s2 , e gira com aceleração angular
αBC=23,4 rad / s
2
no sentido anti-horário. O elo CD tem comprimento
CD=0,9m , massa mCD=2,0kg , centro de massa em seu ponto
médio, que apresenta aceleração a⃗CM
CD=−2,1⋅î−38,5⋅ĵm/ s2 e gira com
aceleração angular αCD=15,0 rad / s
2
no sentido anti-horário. Esse
sistema, interage com outro dispositivo, através do ponto médio da barra CD,
que reage com o esforço F⃗E=30⋅̂i−25⋅̂j . Desconsiderar as forças peso.
O momento de inércia baricêntrico de uma barra de comprimento “L”, massa
“m” é dado por: ICM=(m⋅L
2)/12 . Obter as nove equações que
determinam os esforços nas articulações A, B, C e D, e o momento M que
produz o movimento no sistema. Cada equação possui valor [0,56].
Considere que: ∑ ⃗forças=m ˙a⃗CM ; ∑ ⃗momentos=ICM⋅α⃗
Questão 18: 
Na figura ilustrada, o elo AB, tem comprimento AB=0,8m ,
massa mAB=1,8kg , centro de massa localizado em seu
ponto médio, que apresenta aceleração
a⃗CM
AB =22,5⋅î−38,19⋅ĵm/ s2 , e gira com velocidade
angular constante ωAB=10,5 rad / s no sentido anti-
horário, mantida com motor elétrico, que aplica momento
(torque) no eixo que passa pela articulação A. O elo BC tem
comprimento BC=0,5m , massa mBC=1,3kg ,
centro de massa em seu ponto médio, que apresenta
aceleração a⃗CM
BC =43,4⋅î−74,3⋅ĵm/ s2 , e gira com
aceleração angular αBC=8,5 rad / s
2
no sentido anti-
horário. O elo CD tem comprimento CD=0,9m , massa
mCD=2,4 kg , centro de massa em seu ponto médio,
que apresenta aceleração a⃗CM
CD=21,4⋅̂i−36,1⋅ĵm/ s2 e
gira com aceleração angular αCD=5,4 rad / s
2
no
sentido anti-horário. Esse sistema, interage com outro
dispositivo, através do ponto médio da barra CD, que reage
com o esforço F⃗E=30⋅̂i−25⋅̂j . O momento de inércia
baricêntrico de uma barra de comprimento “L”, massa “m” é
dado por: ICM=(m⋅L
2)/12 . Desconsiderar a força peso. Obter as nove equações que determinam os
A
900
96,940
10,770
y
C
D
F
E
B
x
B
C
F
E
FA
x
FA
y
FC
x FCy
FD
y
FD
x
FB
x
FC
y
FC
x
FB
y
FB
x
FB
y
A
900 96,94º
10,77º
y
C
D
B
x
M
CM
CM CM
A 120
0
123,970
6,150
y
C
D
F
E
B
x
CM
CM CM
FD
yA
1200
123,970
6,150
y
C
D
F
E
B
x
CM
CM CM
FC
x
FC
y
FB
x
FC
y
FC
x
FB
y
FB
x
FB
y
FA
x
FA
y
M F
D
x
esforços nas articulações A, B, C e D, e o momento M que produz o movimento no sistema. Cada equação
possui valor [0,56].
Considere que: ∑ ⃗forças=m ˙a⃗CM ; ∑ ⃗momentos=ICM⋅α⃗
Questão 19:
O arranjo ilustra um transportador de barris, composto por duas
barras. A barra AB com massa mAB=350 N , comprimento
L=1,39m , momento de inércia ICM
AB =56,35 kg⋅m2 e barra
CD de peso desprezível e mesmo comprimento. O acionamento
do transportador é feito através de cilindro pneumático que aplica
na articulação E, a força F na direção do cilindro. 
O barril e plataforma, apresentam peso total PB=3800N ,
com centro de massa indicado na figura. Não ocorre
escorregamento entre o barril e a plataforma de sustentação. 
Para a posição ilustrada, são conhecidas: 
Aceleração do centro de massa do Barril mais Plataforma
a⃗CMB+P=−64,0⋅î−116,5⋅ ĵ(m /s
2) ; aceleração angular do
Barril mais Plataforma α⃗CM B+P=zero ; aceleração do centro de
massa da barra AB a⃗CMAB=−32,0⋅î−58,3⋅ ĵ(m /s
2) ;
aceleração angular da barra AB α⃗AB=−5,0⋅k̂ (rad /s
2) .
Pedem-se:
a) o diagrama de forças;
b) as equações que permitem determinar os esforços na barra
AB;
c) as equações que permitem determinar os esforços na barra
CD;
Considere que:
∑ ⃗forças=m ˙a⃗CM ; ∑ ⃗momentos=ICM⋅α⃗
0,80
B
A
C
D
120º
1,20
0,30
1,39
0,60
0,70
E1,39
0,39
120º
60º
F
0,80
AD
120º
1,20
1,39
0,70
E1,39
0,39
120º
60º
F
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS