Aula 3 Lajes

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Concreto armado I
lajes
 Elementos planos (uma dimensão muita pequena em relação as
outras duas).
As cargas atuam perpendiculares ao seu plano.
Transmitem as cargas para as vigas.
Constituem normalmente os pisos e os tetos dos edifícios,
construídas em concreto armado ou protendido.
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Sequência de projeto:
Definição do tipo de laje
Determinação do carregamento atuante e ações
correspondentes
Cálculo dos esforços solicitantes no ELU, de seção transversal
e armadura.
Verificação de ELS- deformações excessivas, fissuração
excessiva e vibrações
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Vão livre e vão teórico:
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Classificação das lajes:
Quanto ao comportamento estrutural:
Armada em uma direção:
Armada em duas direções: 0,5 2,0y
x
l
l
 
0,5 ou 2,0
y y
x x
l l
l l
 
vão cuja direção apresenta o maior número de engastes. Caso o número de
 engastes seja igual para as duas direções, adota-se o menor dos vãos.
 o outro vão da laje
x
y
l ou a
l oub


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Laje apoiada em uma direção:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Laje apoiada em duas direções:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Classificação das lajes:
Quanto a forma de apoio:
Apoiada sobre elementos lineares (vigas, paredes): As reações
de apoio sobre estes elementos estruturais são consideradas
cargas distribuídas sobre linhas.
Apoiadas sobre pequenas áreas: Neste caso as lajes se apoiam
diretamente sobre pilares. A presença de uma carga elevada
sobre uma área pequena caracteriza a possibilidade de ocorrência
de punção.
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Classificação das lajes:
Quanto ao tipo de seção transversal:
Lajes maciças: Lajes convencionais, com espessuras não muito
elevadas. Sua seção transversal é considerada retangular (para
uma faixa de largura unitária).
Lajes nervuradas: É composta por nervuras cobertas por uma
mesa de concreto. Nos espaços entre as nervuras pode existir
material não estrutural.
Com elementos pré-moldados: Colocam-se vigotas pré-
moldadas de concreto armado (ou treliças com base), entre as
quais são encaixados materiais não estruturais
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Classificação das lajes:
Quanto ao tipo de seção transversal:
 Vigotas e tijolos/blocos: Utilizado principalmente para vão
pequenos, este tipo de laje é econômico pois dispensa formas e
as vezes até o escoramento. O comportamento estrutural é
predominantemente unidirecional.
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Classificação das lajes:
Quanto ao tipo de seção transversal:
 Treliça e tijolos/blocos: Sistema semelhante ao anterior, sendo
as vigotas substituídas por armaduras treliçadas assentadas em
mini-bases pré moldadas. Com este esquema e usando blocos
especiais para o enchimento, é possível colocar armadura
adicionais e obter momento nas duas direções.
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Classificação das lajes:
Quanto a ação das armaduras antes do carregamento:
 lajes apenas com armadura passiva
Não é aplicado pré esforço na armadura
 laje com armadura ativa (protendidas)
Aplica-se tensões prévias na armadura que comprime o
concreto com objetivo de aumentar a resistência à flexão por
meio da minimização ou eliminação das tenções de tração.
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Classificação das lajes:
Quanto a montagem das armaduras:
 armadura montada in loco
Este é o método tradicional em que a malha de armadura é
montada e amarrada na própria obra.
 com tela soldada
Esquema mais industrializado no qual as telas ou malhas são
adquiridas junto ao fornecedor e colocadas diretamente na
posição requerida.
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Carregamento nas lajes:
 Os principais carregamentos diretos sobre a laje são o peso
próprio, de pavimentação e revestimento, paredes colocadas
diretamente sobre a laje e a sobrecarga de utilização.
 A norma 6120 estabelece valores mínimos de sobrecarga de
utilização em função da finalidade da estrutura.
 O peso de pavimentação e revestimento deve considerar os
elementos acima e abaixo da laje, como pisos, enchimentos e
forros. A maioria das vezes não há essa informação na fase de
projeto, devendo-se estimar esse carregamento ou considerar a
situação mais desfavorável.
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Carregamento nas lajes:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Laje maciça apoiadas em vigas de bordo:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Laje nervurada apoiada em vigas:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Laje nervurada apoiada em vigas:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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Laje nervurada apoiada em maciços de apoio:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Teoria de Placas (finas ou espessas): cálculo dos esforços em
lajes por métodos analíticos, semi-analíticos ou numéricos.
As placas finas desconsidera-se as deformações por
cisalhamento transversal, enquanto nas placas espessas já se
considera essas deformações.
A solução exata (analítica) para obtenção dos esforços e
deslocamentos pela Teoria de Placa somente é possível em casos
simples com condições de contorno simplificadas.
 Casos mais gerais emprega-se métodos aproximados. Entre o
métodos semi-analíticos cita-se: Métodos de Marcus e Czerny ou
as tabelas de Hahn.
 Dentre os método numéricos destacam-se: MEF, MEC, MDF.
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 Laje simplesmente apoiada:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Laje perfeitamente engastada:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Laje com continuidade sobre o apoio:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Esforço na placa por unidade de comprimento:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Método de Marcus:
O carregamento total na laje p divide-se em duas parcelas
correspondentes nas duas direções
O fator λ é dado pela relação entre os dois lados:
x yp p p  ,x x y yp k p p k p 
y
x
l
l
 
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 Método de Marcus:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Método de Marcus:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Momentos nas duas direções:
22
2
2
22
,
2020
1 , 1
3 3
,
y yx x
x x y y
x y
yx
x y
x y
y yx x
x y
x y
p lp l
M V M V
m m
kk
V V
m m
p lp l
X X
n n


 
   

 
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 Coeficientes m e n no método de Marcus:
Fonte: Notas de Aula- Introdução às lajes em 
concreto armado, 2010, Prof. João Batista
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 Método usando tabelas Tepedino:
 Momentos Fletores: Lajes armadas em Duas Direções
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2 2
2 2
. .a
,
. .
,
a b
a b
a b
a b
p a p
M M
m m
p a p a
X X
n n
 
 
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 Método usando tabelas Tepedino:
 Reações de apoio: Lajes armadas em Duas Direções
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' ' . .
'' '' . .
' ' . .
'' '' . .
a a
a a
b b
b b
R r p a
R r p a
R r p a
R r p a




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 Compensação de momentos:
 Momentos negativos finais:
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aoubX 
max0,8.
média
X
 Compensação de momentos:
 Momentos positivos finais:
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0,3( )final inicial inicial adotadoM M X X  
 Flexão Simples:
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2
lim
(1 1 2 )
modifica a seção
0,85
1,4
1,15
c w
lim sd
yd
c w
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yk
yd
f b d
k k A kM
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f b d
k k
f
f
f
f

    
  
  


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 Condições de apoio para L3 e L4: