P1 2013 - Mecânica dos Fluidos para Engenharia Elétrica - POLI-USP

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LABORATÓRIO E APLICAÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2332) 
Gabarito Primeira Prova - 2013 
 
1. (5 pontos) Uma placa fina móvel é separada de duas placas fixas por líquidos de 
grandes viscosidades 1µ e 2µ , respectivamente, como mostra a figura. As espessuras 
entre placas 1h e 2h não são iguais. A área de contato entre a placa móvel e cada fluido é 
A . 
a) Considerando uma distribuição linear de velocidade em cada fluido, determinar a 
força F para puxar a placa móvel com velocidade V (2,5 pontos). 
b) Baseados no resultado do item anterior e supondo que as espessuras 1h e 2h podem 
variar, mas a soma das espessuras resulta um valor constante (o espaçamento 
21 hhh += entre as placas fixas não muda), discutir a existência de um valor mínimo 
de força. Dicas: Que acontece para quando 1h ou 2h tendem a zero? Se 21 µµ = , onde 
se encontra a placa móvel no mínimo de força? Se 21 µµ > , para onde se desloca a 
posição da placa móvel no mínimo de força? Por quê? (0,5 pontos) 
c) Obter o valor de espessura ( )min1h e da força minF na condição de força mínima, 
minimizando a relação de força em função da espessura 1h obtida no item anterior (2 
pontos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de viscosidade de Newton: 
dy
duµτ = 
Solução: 
a) A força na placa móvel resulta 





+=+=
2
2
1
1
21 hh
AVFFF µµ 
b) Para analisar a existência de uma força mínima, fazemos hhh =+ 21 (constante), 
resultando ( )1
1
2
1
1 hF
hhh
AVF =





−
+=
µµ . Para os casos limite ( 01 →h ou hh →1 
vemos que ∞→F , quer dizer, a força diverge; portanto, deve existir um mínimo. 
Para viscosidades iguais ( 21 µµ = ) a posição de mínima força deve ser a central, por 
simetria (
221
hhh == ). Para viscosidades diferentes, a posição de mínima força estará 
deslocada do dentro na direção da região do fluido de menor viscosidade. 
c) Para a existência de extremo local, deve ser: 
 
 
 
 
 
 
( ) β
β
µ
µµµ
+
=⇒=





=
−
⇒=





−
+−=
∂
∂
1
0 1
2/1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
hh
h
hh
hhh
AV
h
F 
Como 
( )
02 3
1
2
3
1
1
2
1
2
>







−
+=
∂
∂
hhh
AV
h
F µµ , o extremo corresponde a um mínimo local, 
de maneira que ( )
β+
=
1min1
hh . 
A força mínima resulta: 
( ) ( )
( ) ( )21
2
1
min1
2
min1
1min 1
111 βµ
β
ββ
β
µβ
µ +=




 +
++=





−
+=
h
AV
h
AV
hhh
AVF 
 
2. (3 pontos) Um fluido incompressível está sendo espremido entre dois grandes discos 
circulares pelo movimento de descida com velocidade 0V do disco superior, como mostra 
a figura. Considerando escoamento radial, deduzir uma expressão para a velocidade 
média ( )rV na seção lateral e conferir que o resultado é o mesmo utilizando: 
a) O volume de controle mostrado (cilindro de altura ( )th e raio r ) fixo; (1,5 pontos) 
b) O volume de controle mostrado (cilindro de altura ( )th e raio r ) deformável, com a 
superfície superior se deslocando com velocidade 0V . (1,5 pontos) 
 
 
Lei de conservação da massa em forma integral: 
( )dAd
t A∫∫ +∂
∂
= nV .0 ρυρ
υ
 ou ( )dAd
dt
d
A r∫∫ += nV
.0 ρυρ
υ
 
Solução: 
a) Para o volume de controle fixo, temos 00
2
2
20 V
h
rVVrVhr =⇒−= ππ . 
b) Para o volume de controle deformável, temos Vhr
dt
d
π
υ 20 += . Como 
0
222 Vr
dt
dhr
dt
dhr ππυπυ −==⇒= . Substituindo na relação anterior, obtemos 
o mesmo resultado. 
disco circular fixo 
VC VC 
3. (2 pontos) Diz-se que Arquimedes descubriu as leis de empuxo quando questionado 
pelo rei Hierão de Siracusa para determinar se sua nova coroa era de ouro puro, através 
do peso aparente (diferença entre peso e empuxo) da coroa em ar e em água: 
a) Desprezando o empuxo em ar, conhecendo os pesos aparentes em ar e água 
(respectivamente aP e wP ) e considerando que a coroa é maciça, determinar a razão 
de massas específicas da coroa e água 
w
c
c ρ
ρ
δ = . (1,5 pontos) 
b) Determinar se a coroa era de ouro puro, sabendo que a razão de massas específicas do 
ouro e água é 3,19==
w
g
g ρ
ρ
δ e que Arquimedes pesou a coroa e mediu NPa 8,11= e 
NPw 9,10= . (0,5 pontos) 
Solução: 
a) Os pesos aparentes em ar e na água resultam cca gP υρ= e ( ) cwcw gP υρρ −= , 
onde cυ é o volume da coroa. Daqui resulta 
a
ww
c
w
c
w
c
a
w
P
PP
P
−
=⇒
−
=
1
1
1
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
. 
b) Do item anterior, 11,13
8,11
9,101
1
=
−
=
w
c
ρ
ρ . Como 
w
g
w
c
ρ
ρ
ρ
ρ
< , a coroa não é de ouro (é 
de um metal com uma massa específica menor).