P1 2015 Turma A - Mecânica dos Fluidos para Engenharia Elétrica - POLI-USP

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LABORATÓRIO E APLICAÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2332) 
NOÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2333) 
Gabarito Primeira Prova - 2015 
 
1. (3 pontos) Um mancal rotatório de diâmetro D rota com velocidade angular constante 
Ω . Devido a uma defeito no processo de usinagem, a superfície exterior fixa varía sua 
espessura na direção axial de manera linear entre os valores 1h e 2h ao longo do 
comprimento L , como mostra a figura. Se a espessura está preenchida com um líquido de 
viscosidade µ , determinar o torque T e a potência W no mancal. 
Lei de viscosidade de Newton: 
dy
duµτ = 
Ajuda para o cálculo: ( ) ctexba
bxba
dx
++=
+∫ ln
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
A tensão de cisalhamento (na direção tangencial) resulta: 
( )xh
D
2
Ω
= µτ 
onde ( ) xmhx
L
hhhxh +=−+= 1121 é a espessura local, e L
hhm 12 −= . O elemento de 
torque dT resulta o produto da tensão de cisalhamento vezes o elemento de área vezes o 
braço de alavanca: 
( ) ( ) xmh
dxDdx
xh
DDdxDdT
+
Ω=
Ω
==
1
3
3
442
µπµππτ 
Integrando, o torque resulta: 
( ) 




 +
Ω=


 +Ω=
+
Ω= ∫
1
13
0
1
3
0
1
3 ln1
4
ln1
44 h
Lmh
m
Dxmh
m
D
xmh
dxDT
L
L
µπµπµπ 
Como 21 hLmh =+ , resulta finalmente: 






−
Ω
=





−
Ω
=
2
1
21
3
1
2
12
3
ln
4
ln
4 h
h
hh
LD
h
h
hh
LDT µπµπ 
A potência resulta: 
Ω 
 x 
 
L 
 
h1 
 
h2 
 
D 
 






−
Ω
=Ω=
2
1
21
32
ln
4 h
h
hh
LDTW µπ 
 
2. (3 pontos) Uma placa plana está articulada no ponto O a uma superfície horizontal. A 
placa articulada forma em um instante de tempo um ângulo θ e rota com uma velocidade 
angular 
dt
dθ
−=Ω na direção horária, como mostrado na figura, espremendo um fluido 
incompressível entre as duas superfícies. Supondo que o problema é bi-dimensional, 
definir um volume de controle conveniente e determinar a velocidade média na direção 
radial ( )rV em função da posição radial. 
Conservação da massa: ( )dAd
t A∫∫ +∂
∂
= nV .0 ρυρ
υ
 ou ( )dAd
dt
d
A r∫∫ += nV
.0 ρυρ
υ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Escolhemos o volume de controle fixo do líquido na posição radial até r . Como o 
escoamento é incompressível, resulta: 
( )dA
A∫= nV
.0 
O fluxo na superfície (arco em r ) por unidade de comprimento na direção normal ao 
papel resulta ( ) θrrVQout = (positivo). Para calcular o fluxo na superfície superior, 
vemos que: 
θiV rΩ−= , θin =
 , de maneira que o elemento de vazão volumétrica por unidade de 
comprimento na direção normal ao papel resulta drrdQ Ω−= (negativo pois é entrante). 
Integrando, a vazão entrante resulta 2
0 2
1 rdrrQ
r
Ω−=Ω−= ∫ . Como 0=+QQout , 
resulta: 
( ) ( )
θ
θ rrVrrrV Ω=⇒Ω=
2
1
2
1 2 
Se tivessemos escolhido um volume de controle que se deforma com a superfície 
superior, a conservação da massa resulta: 
( )dA
dt
d
A r∫+= nV
.0 υ 
Como a superfície de controle (arco em r ) não se deforma, o fluxo resulta o mesmo do 
caso anterior, ( ) θrrVQout = . Por otra parte, a variação do volume por unidade de 
θ 
 
Ω 
 
r 
V (r) 
O 
 
comprimento na direção norma ao papel resulta ( ) dtrrdtrd 2
2
1
2
1
Ω−=Ω−=υ , de 
maneira que 2
2
1 r
dt
d
Ω−=
υ e obtemos o mesmo resultado anterior. 
 
3. (4 pontos) Um tanque cilíndrico vertical de raio R e altura H está preenchido por um 
líquido de massa específica ρ até um nível Hα ( 10 << α ) e depois por outro líquido 
de massa específica ρρ <′ desde o nível anterior até o topo, como mostra a figura. 
Seguidamente o tanque é girado em torno do eixo central aumentando a velocidade 
angular gradualmente até chegar a uma velocidade angular Ω com uma condição de 
rotação de sólido rígido. Sabendo que todo o líquido de massa específica ρ′ é derramado 
quando o nível mínimo da interfase (ponto P ) chega ao fundo do tanque: 
a) Desenhar um esquema desta situação e determinar os valores da fração α e da 
velocidade angular Ω nesta condição de referência. 
b) Mantendo fixo o valor de α da condição de referência, desenhar esquemas 
qualitativos para explicar o que acontece quando a velocidade angular é maior ou 
menor que o valor de referência. Em particular, explicar se os líquidos são 
derramados e o que acontece com a interfase e/ou a superfície livre. 
c) Mantendo fixo o valor de Ω da condição de referência, desenhar esquemas 
qualitativos para explicar o que acontece quando a fração é maior ou menor que o 
valor de referência. Em particular, explicar se os líquidos são derramados e o que 
acontece com a interfase e/ou a superfície livre. 
Dica: para a condição de referência, o volume de líquido de massa específica ρ 
permanece constante nas condições inicial e final. 
Distribuição de pressão, rotação de sólido rígido: ctezgrp =+Ω− ρρ 22
2
1 
Volume υ do sólido de revolução da curva ( ) 0≥= rzz ao redor do eixo z , entre a e 
ab > : ( )∫=
b
a
drrrzπυ 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) Na condição em que todo o líquido da camada superior é derramado, a superfície do 
líquido de massa específica ρ trepa até a altura H na posição R e se encontra no 
Ω 
ρ´ 
 
ρ 
 
H
 
α H 
g 
P
 
R
 
z
 
r
 
fundo do tanque (altura zero) para 0=r . Para estes dois pontos com a mesma 
pressão, resulta: 
( )
R
HgpHgRp ii
2/1
22 2
2
1
=Ω⇒=+Ω− ρρ 
Para determinar α , sabemos que o volume de líquido da camada inferior permanece 
constante nas condições inicial e final. O volume na condição inicial vale 
HR απυ 2= , enquanto o volume na condição final pode ser calculado aplicando a 
distribuição de pressão na superfície entre o fundo do tanque e uma posição qualquer 
na superfície: 
g
rzzgrpp ii 22
1 2222 Ω=⇒+Ω−= ρρ 
Substituindo Ω , obtemos 2
2
R
rHz = . O volume no estado final resulta: 
( ) 2
0
3
20 2
22 RHdrr
R
Hdrrrz
RR πππυ === ∫∫ 
Igualando os volumes, resulta 
2
1
2
22 =⇒= απαπ HRHR . 
b) Mantendo fixo o valor de α da condição de referência, variando a velocidade 
angular variamos a inclinação para a mesma posição radial: 
• Se a velocidade angular estiver acima do valor de referência, será derramado todo 
o líquido da camada superior e parte do líquido da camada inferior. A superfície 
livre terá um raio de contato no fundo do tanque e o círculo dentro desse raio de 
contato no fundo do tanque estará seco (graficamos a condição de referência em 
linha pontilhada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se a velocidade angular estiver abaixo do valor de referência, será derramado 
parte do líquido da camada superior e existirá uma camada dele; o líquido na 
camada inferior não será derramado e superfície da interfase estará acima do 
fundo do tanque. 
 
 
Ω > Ωref 
ρ 
 
H
 
g 
R
 
z
 α = 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Mantendo fixo o valor de Ω da condição de referência, variando α deslocamos 
verticalmente a posição da interfase: 
• Se α estiver acima do valor de referência, serão derramados todo o líquido na 
camada superior e parte do líquido da camada inferior, até chegar à condição de 
referência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Se α estiver abaixo do valor de referência, será derramado parte do líquido na 
camada superior e existirá uma camada dele; o líquido na camada inferior não 
será derramado. A interfase terá um raio de contato no fundo do tanque e o círculo 
dentro desse raio de contato no fundo do tanque estará molhado pelo líquido da 
camada superior.A superfície do líquido da camada superior chegará ao fundo do 
tanque. 
 
 
 
 
 
Ω < Ωref 
H
 
g 
R
 
z
 ρ 
 
ρ' 
 
Ωref 
H
 
g 
R
 
z
 
ρ 
 
α > 1/2 
α = 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ωref 
H
 
g 
z
 
ρ 
 
α < 1/2 
R
 
ρ'