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Aula 13 Plano Tangente e Aproximac¸a˜o Linear Se f(x) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel, diferencia´vel no ponto x0, enta˜o a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)) e´ dada por: y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0) ⇔ y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) Considere agora uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) e o correspondente gra´fico, a superf´ıcie z = f(x, y). Por analogia, o natural para a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) seria: z = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0). De fato, suponhamos que, no ponto (x0, y0), existem as derivadas parciais de f(x, y). Sejam ~v1 e ~v2 vetores tangentes a`s curvas de intersec¸a˜o da superf´ıcie z = f(x, y) com os planos y = y0 e x = x0, respectivamente. Enta˜o, por definic¸a˜o, os declives de ~v1 e ~v2 sa˜o dados por ∂f ∂x (x0, y0) e ∂f ∂y (x0, y0), respectivamente. Como os vetores ~v1 e ~v2 pertencem aos planos y = 0 e x = 0, respectivamente, obtemos: ~v1 = ( 1, 0, ∂f ∂x (x0, y0) ) ~v2 = ( 0, 1, ∂f ∂y (x0, y0) ) 1 2 Estes 2 vetores devera˜o pertencer ao plano tangente, e um seu vetor normal sera´ enta˜o dado por ~n = ~v1 × ~v2 : ~n = ∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 1 0 ∂f∂x (x0, y0) 0 1 ∂f∂y (x0, y0) ∣∣∣∣∣∣∣ = ( −∂f ∂x (x0, y0),−∂f ∂y (x0, y0), 1 ) . Assim, a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) devera´ ser dada por: −∂f ∂x (x0, y0)(x− x0)− ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) + z − f(x0, y0) = 0 ou z = f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0)︸ ︷︷ ︸ L(x,y)→ Aproximac¸a˜o Linear como hav´ıamos intu´ıdo. Daqui a pouco vamos dar uma condic¸a˜o para que fac¸a sentido falarmos de plano tangente. Por ora observe que a existeˆncia das 2 derivadas parciais apenas da˜o uma regularidade do gra´fico de f(x, y) nas direc¸o˜es do eixo do x e do eixo do y. O plano tangente e´ o gra´fico da func¸a˜o L(x, y) que chamaremos de Aproximac¸a˜o Linear de f(x, y), perto do ponto (x0, y0). Heuristicamente, L(x, y) e´ a func¸a˜o linear que melhor aproxima f(x, y) em torno do ponto (x0, y0). Ou, dito de outra maneira, perto do ponto (x0, y0) o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) confunde-se com o plano tangente no ponto (x0, y0). Usualmente escrevemos f(x, y) ≈ L(x, y) ou seja f(x, y) ≈ f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0). Mais uma vez, daqui a pouco daremos a condic¸a˜o que garante que a aproximac¸a˜o anterior e´ boa para todo o ponto (x, y) pro´ximo de (x0, y0). Exemplo 1. Calcule o plano tangente ao elipso´ide 2x2 + 3y2 + z2 = 9 no ponto (1, 1, 2). Obseve que a nossa superf´ıcie na˜o vem dada como o gra´fico de uma func¸a˜o de 2 varia´veis f(x, y) (ela vem dada como a superf´ıcie de n´ıvel 9 de uma func¸a˜o de 3 varia´veis F (x, y, z)). Por enquanto, a gente so´ sabe calcular planos tangentes a superf´ıcies que sejam gra´ficos de uma func¸a˜o de 2 varia´veis, enta˜o comec¸amos por escrever a nossa superf´ıcie nesta forma: 2x2 + 3y2 + z2 = 9⇔ z = ± √ 9− 2x2 − 3y2. Como estamos interessados no que se passa pro´ximo do ponto (1, 1, 2) consideramos a parte do elipso´ide acima do plano xy: z = √ 9− 2x2 − 3y2 = f(x, y). ∂f ∂x = −2x√ 9− 2x2 − 3y2 , ∂f ∂y = −3y√ 9− 2x2 − 3y2 , ∂f ∂x (1, 1) = −1, ∂f ∂y (1, 1) = −3 2 . 3 Assim a equac¸a˜o do plano tangente a` nossa superf´ıcie no ponto (1, 1, 2) e´: z = 2 + (−1)(x− 1) + ( −3 2 ) (y − 1) ⇔ z = 9 2 + x− 3 2 y. Mais tarde no curso, resolveremos este mesmo exerc´ıcio de outra maneira (sem necessidade de resolver a equac¸a˜o da superf´ıcie). Exemplo 2. Sabendo que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1) e´ 2x− 3y + 4z = 5, quanto valem f(1, 1), ∂f∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1) ? 2x− 3y + 4z = 5 ⇔ z = 5 4 − 1 2 x + 3 4 y. Logo, ∂f ∂x (1, 1) = −1 2 e ∂f ∂y (1, 1) = 3 4 . Como f(1, 1) = L(1, 1), f(1, 1) = 5 4 − 1 2 + 3 4 = 3 2 (tambe´m poder´ıamos ter obtido este valor, apo´s centrar a equac¸a˜o do plano tangente em x0 = 1 e y0 = 1). Exemplo 3. Utilizando a aproximac¸a˜o linear de f(x, y) = √ x2 + y2 no ponto (3, 4), calcule um valor aproximado para √ 3, 012 + 3, 992. Note que, por continuidade da func¸a˜o f(x, y) no ponto (3, 2), sabemos que f(3, 01; 3, 99) ≈ f(3, 4) = 5. So´ que agora, usando aproximac¸a˜o linear, vamos obter uma aproximac¸a˜o melhor. ∂f ∂x (3, 4) = x√ x2 + y2 ∣∣∣∣∣ (3,4) = 3 5 = 0, 6 ∂f ∂y (3, 4) = y√ x2 + y2 ∣∣∣∣∣ (3,4) = 4 5 = 0, 8. f(3, 01; 3, 99) ≈ f(3, 4) + ∂f ∂x (3, 4)× 0, 01 + ∂f ∂y (3, 4)× (−0, 01)√ 3, 012 + 3, 992 ≈ 5 + 0, 6× 0, 01 + 0, 8× (−0, 01) ≈ 5− 0, 002 = 4, 998. Diferenciabilidade O conceito de Diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0), expressa a condic¸a˜o em que o erro = f(x, y)−L(x, y) e´ pequeno para todo o (x, y) pro´ximo de (x0, y0). Formalmente, temos erro = f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0)− ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0), 4 sempre que as derivadas parciais de f(x, y), no ponto (x0, y0), existam. Neste caso, dizemos que f(x, y) e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0) se pudermos escrever erro = ε1(x, y)(x− x0) + ε2(x, y)(y − y0), onde ε1(x, y) e ε1(x, y) sa˜o func¸o˜es que convergem para 0 quando (x, y)→ (0, 0). Ou seja, estamos exigindo que o erro va´ para 0 com uma ordem superior a 1, independentemente da maneira como (x, y) se aproxima de (x0, y0). Na˜o e´ fa´cil mostrar se uma func¸a˜o e´ ou na˜o diferenciave´l num determinado ponto, usando a definic¸a˜o. Seria muito bom ter um crite´rio simples de diferenciabilidade, isto e´, condic¸o˜es de simples verificac¸a˜o que garantissem diferenciabilidade. Temos: Teorema 1 (Crite´rio de Diferenciabilidade). Se ∂f ∂x (x, y) e ∂f ∂y (x, y) existirem e forem func¸o˜es cont´ınuas no ponto (x0, y0), enta˜o f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0). Usualmente, na literatura, a condic¸a˜o do teorema anterior (existeˆncia e conti- nuidade das derivadas parciais de 1a ordem) e´ resumida na forma: C1. Portanto, o teorema anterior pode ser escrito da seguinte maneira: C1 ⇒ Diferenciabilidade. Embora a gente tenha dado a definic¸a˜o de diferenciabilidade para func¸o˜es de 2 varia´veis, a mesma definic¸a˜o se estende de maneira clara para func¸o˜es de n varia´veis, assim como o teorema anterior. Para func¸o˜es de uma varia´vel, f(x) diferencia´vel no ponto x0 ⇔ f ′(x0) existe (Verifique!) Para func¸o˜es de duas varia´veis, a existeˆncia de ∂f ∂x (x0, y0) e ∂f ∂y (x0, y0) na˜o ga- rante a diferenciabilidade de f(x, y) no ponto (x0, y0). (Veja o exemplo a seguir e o exerc´ıcio 1). Na figura abaixo e´ exibido o gra´fico de uma func¸a˜o f(x, y). f(x, y) e´ nula no eixo do x e no eixo do y, em particular as derivadas parciais de f(x, y) na origem existem e sa˜o iguais a zero. No entanto, f(x, y) NA˜O E´ DIFERENCIA´VEL na origem (veja o que se passa na direc¸a˜o y = x, por exemplo). Neste caso, NA˜O faz sentido falar que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y), na origem, e´ z = 0. Quando uma func¸a˜o na˜o for diferencia´vel num ponto, diremos que o plano tan- gente e a aproximac¸a˜o linear na˜o esta˜o definidos (ou na˜o existem), nesse ponto. Repare que, nos exemplos 1 e 3, as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis no ponto em questa˜o (pelo teorema acima), e, neste caso, o plano tangente e a aproximac¸a˜o linear esta˜o bem definidos nesse ponto. Note que diferenciabilidade⇒ continuidade. 5 Proposic¸a˜o: (1) Polinoˆmios sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em todo o seu domı´nio D = R2. (2) O produto e o quociente de func¸o˜es diferencia´veis sa˜o func¸o˜es diferencia´veis (nos pontos do seu domı´nio). (3) A composic¸a˜o de func¸o˜es diferencia´veis e´ uma func¸a˜o diferencia´vel (nospontos do seu domı´nio). Por exemplo, por esta proposic¸a˜o, a func¸a˜o f(x, y) = sen (x2 + y3) x2 + y2 e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de R2 − (0, 0). Exerc´ıcio 1) Considere a func¸a˜o f(x, y) = xy x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). (1) Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). (2) Explique por que fx e fy na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0). Exerc´ıcio 2) Encontre o plano tangente a` superf´ıcie S no ponto (2, 1, 3), sabendo que as curvas r1(t) = (2 + 3t, 1− t2, 3− 4t + t2), r2(u) = (1 + u 2, 2u3 − 1, 2u + 1) esta˜o contidas em S.
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