II Trabalho Practico

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Introdução 
O presente trabalho, emerge no contexto da cadeira de Matemática Escolar, o mesmo tem como tema: função inversa, homógrafa e definida por ramos. Irei abordar de uma forma mais detalhada o conceito de função inversa e esboçar o respectivo o gráfico. Importa também falar da paridade de funções, função definida por ramos e transformações lineares de funções. Esta pesquisa constitui uma revisão das classes anteriores de ensino médio, apesar das dificuldades no esboço de certos gráficos, principalmente as funções exponenciais. As funções são muitas usadas na vida prática em diversas situações do nosso quotidiano. Vamos falar das translações lineares de diferentes tipos de funções quadráticas e exponenciais. O objectivo desta pesquisa é invocar estes aspectos com mais detalhes, para facilitar a representação gráfica de funções.
Objectivos: 
Objectivo geral
Explicar as funções inversas, definidas por ramos e homógrafas e translações lineares.
Objectivos específicos:
Definir a função inversa; 
Determinar a função inversa;
Distinguir a função par da função impar através da expressão analítica;
Representar graficamente a função homógrafa; 
Demonstrar as transformações ou translações lineares de funções
Representar graficamente as funções exponenciais usando as transformações lineares.
Metodologias 
Para a elaboração deste trabalho recorreu-se a observação indirecta, através das consultas e leituras bibliográficas assim como os endereços electrónicos que facilitaram a recolha de dados cujas referências estão patentes na última página deste trabalho. Os mesmos dados foram compilados e analisados de tal modo que permitissem a possível coerência e coesão do trabalho, passado pela revisão ortográfica.
Função inversa 
Dada a função injectiva de A em B`= f(A) definida por f : A B̓̓̓; 
Chama – se função inversa de f e representa-se por à função definida de B´ em A do seguinte modo: . 
Assim: 
(a; b) f (b; a) 
 D = D´f (o domínio da função inversa de f é igual ao contradomínio de f); 
 D´ = Df (o contradomínio da função inversa de f é igual ao domínio de f); 
 Os gráficos de f e são simétricos em relação à recta y = x. 
Regra para prática determinar a inversa de uma função:
Trocar por e por 
Isolar o .
Exemplos:
Determina a inversa da inversa da seguinte função: 
Resolução: 
A função pode se definida como y. Sendo assim, 
 
 
Se , determine 
Resolução: 
Primeiro vamos calcular o domínio da função: .
Portanto, 
Represente graficamente a seguinte função e a sua inversa no mesmo sistema cartesiano ortogonal.
Resolução: primeiro vamos achar a inversa da função g(x): 
Já temos função e sua inversa, agora vamos construir o gráfico das funções:
Zero da função: 
Ordenada na origem: 
Zero da função:
Ordenada na origem: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos concluir que os gráficos das funções e simétricos em relação a bissectriz dos quadrantes impares.
Função definida por ramos:
Função definida por ramos é uma função representada por e expressões analíticas diferentes. Para se obter o gráfico deste tipo de funções é necessário construir o gráfico de cada expressão analítica, no intervalo correspondente.
Exemplo: Represente o gráfico da seguinte função: 
 , Se 
 , Se 
 , Se 
 
Como vimos anteriormente, vamos representar o gráfico de cada expressão analítica, no intervalo correspondente. Constrói se o gráfico de se , o gráfico de , se e o gráfico de se.
 
 
 
 
 
 
Verifica se uma correspondência unívoca entre o conjunto de valores de e os valores de , pois a cada ponto de corresponde a um único valor que pertence ao domínio da função =IR).
Paridade de funções:
Uma função quanto paridade pode ser: 
 Função Par
Uma função diz se par se os valores simétricos equidistantes da origem tiverem a mesma imagem.
 
 O gráfico de uma função par e simétrico em relação ao eixo de coordenadas, ou seja, o ponto pertence ao gráfico e o ponto também pertence ao gráfico.
 
 
 	
 
Notemos que ao atribuir valores simétricos a , obteremos o mesmo valor de . 
 Função ímpar 
Uma função diz se impar se aos valores simétricos de correspondem imagens simétricas.
O gráfico de uma função impar e simétrico em relação a origem, ou seja, o ponto pertence ao gráfico e o ponto também pertence ao gráfico.
 
 
 
 
Atribuindo valores simétricos a x, obteremos os mesmos valores simétricos de 
 Função sem paridade
Uma função sem paridade é aquela que é não par e nem impar. 
Exemplos: Classifica as funções abaixo quanto a paridade:
Resolução: 
Para verificar a paridade de uma função precisamos atribuir valores simétricos a x.
 Portanto é impar
 Portanto é par.	
 
Como então não é par.
Temos também que logo não é impar. Portanto por não ser par nem impar, concluímos que é uma função sem paridade.
Função homógrafa
A função homógrafa é toda a função de variável real cuja expressão é da forma:
 Onde e 
Domínio – e constituído por todos os números reais que não anulam o denominador.
 }
Assimptota vertical – é o zero do denominador.
Av: 
Assimptota horizontal 
AH: 
Centro do gráfico: {
Zero da função: 
Ordenada na origem: 
A função é injectiva e não sobrejectiva
A função homógrafa pode ser transformada na forma,.
Se então e terá como assimptotas os eixos ordenados e encontra se:
No e quadrantes quando a função é decrescente.
No quadrantes quando a função é crescente.
O gráfico da função homógrafa é uma hipérbole.
Exemplo: Estude e construa o gráfico de 
 Resolução:
Podemos transformar em 
Para transformar a função, primeiro temos que dividir o numerador pelo denominador.
 
 
 
Sabemos que =. Logo teremos:
Estudo da função:
 . 
 {3}
Ponto de intersecção com .
Ponto de intersecção .
Zeros: .
Assimptotas: AV , AH 
Gráfico 
 
 
 
 	
Transformações lineares de funções:
Partindo do conhecimento do gráfico duma função elementar pode se obter o gráfico de através de transformações.
Segundo CHILAÚLE&MACHAGO (2011:70) Para fazer as transformações lineares de funções segue se os seguintes passos: 
 Construir o gráfico de através de tabela de valores 
 Deslocar horizontalmente o gráfico obtido em em unidades para a direita, se ou para a esquerda, se 
: multiplicar as abcissas dos pontos obtidos no gráfico anterior pelo factor . A função vai alargar na horizontal.
: multiplicar as ordenadas dos pontos do gráfico anterior pelo factor de A. A função ira esticar na vertical para cima se 
: deslocamento na vertical do gráfico anterior em , unidades para cima, se ou para baixo, se 
Se temos Simetria do gráfico em relação ao eixo dos 
Se temos Simetria do gráfico em relação ao eixo dos 
 e só alteram as ordenadas dos pontos do gráfico de , isto é, apenas tem efeitos verticais. Isto implica que têm o mesmo domínio e contradomínio diferentes.
e só alteram das abcissas do gráfico de , isto é, e não têm, em geral, o mesmo domínio mas têm o mesmo contradomínio.
 Transformações de funções do tipo: , .
 O gráfico deste tipo de funções são parábolas cuja abertura é maior quanto menor for o valor absoluto de Qualquer uma destas funções tem vértice no ponto e o eixo de simetria é a recta de equação , onde se conclui que são independentes de Consideremos as seguintes funções: , e . 	
 
 
 
 Conforme vimos anteriormente, que quanto maior for o valor de , menor será a abertura da parábola.
Transformações de funções do tipo: ou 
Os gráficos das funções do tipo são parábolas obtidas de um gráfico da parábola do tipo , por uma translação vertical segundo o vector 
Represente num referencial as seguintes funções: e O gráfico de provem do gráfico da função transladando segundo o eixo duas unidades para cima. E para a função deslocou se também segundo o eixo em comparação com o gráfico de , tendo como o contradomínio no intervalo .
 (x) =
 
 2 
 
 
 
 
Os gráficos das funções do tipo são para bolas que são obtidas a partir do gráfico de por translação horizontal, segundo o vector 
Exemplos: Represente as funções reais e de variável real as seguintes: e .
O gráfico de obtém se deslocando cada objecto do gráfico da função duas unidades para a direita, e o gráfico de obtém se deslocando cada objecto do gráfico da função uma unidade para a esquerda. E os zeros deste tipo de função corresponde ao valor simétrico de neste os de são respectivamente
 
 
	
 
 	
Transformações de funções do tipo: ou 
O gráfico da função é uma parábola de vértices (h, k) que são obtidas a partir do gráfico de por uma translação associada ao vector (h, k).
Exemplos: represente a seguinte função: .
 
 
 4 
 
 
Podemos observar que o gráfico de obtém se a partir do gráfico de :
Através de uma translação horizontal associada ao vector das coordenadas , para obteremos a função .
De seguida, através de uma translação vertical associada ao vector , obtemos o gráfico da função .
 Transformações do gráfico de uma função exponencial. 
Considera as seguintes funções reais e de variável real: .
Para representar graficamente usando as transformações, primeiro temos que esboçar o gráfico de Na função g, como adicionou se á variável independente, o seu gráfico obtém se a partir do gráfico deslocando na direcção horizontal, duas unidades para a direita, correspondente a uma translação segundo o vector 
 
 
 
Em relação ao gráfico da função o raciocínio é análogo, deslocando se na direcção horizontal mas uma unidade para a esquerda.
 
 
 
Ao relacionarmos o gráfico de com o gráfico de f, constatamos que aquele se obtém a partir de f adicionando duas unidades a variável dependente, ou seja desloca se o gráfico duas unidades para cima. Graficamente corresponde deslocar o gráfico de na direcção vertical duas unidades para cima definido se assim uma translação associada ao vector (0,2).
 
 0 
 
O gráfico da função obtém se a partir do gráfico de aplicando a este uma simetria relativamente ao eixo 
 
 
 
Conclusão 
 O conceito função é um dos mais importantes em toda a Matemática. Uma função tem a sua inversa quando for bijectora, pois os pares ordenados devem pertencer a função inversa. Conclui se que a função definida em ramos é uma função que é construída na base de certas condições, ou seja, num intervalo de domínio dado. Para estudar o domínio e contradomínio de uma função definida em ramos, deve estudar se nos seus ramos. 
A função homógrafa é uma hipérbole equilátera com as assimptotas paralelas aos eixos coordenados. Observamos que esta função é o quociente de umas funções polinomiais, muitas das vezes do primeiro grau.
Transladar uma função significa representar a função sem procurar os elementos necessários para o esboço do gráfico,
 
Bibliografia 
CUAMBE, V. e MORGADINHO, S.M10.Matematica 10 classe Letras: Maputo, Texto Editores, 2011. 
MACHAGO, O. e CHILAÚLE, A. M12. Matemática 12ᵃ classe: Maputo, Texto Editores, 2010.
VUMA, Pedro, J. Pré universitário Matemática 12 : Maputo, Longman Moçambique, 2010.
SOVERAL, A.; SILVA, C.; Matemática 10º ano, São Paulo, Texto Editora, 2003.