Conceitos sobre Equacoes Diferenciais

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1 – Conceitos acerca de Equações Diferenciais: 
 
Os problemas de engenharia são, usualmente, governados por uma Equação 
Diferencial (ED). Estas Equações de Governo envolvem derivadas� das grandezas de 
interesse (variáveis dependentes) com respeito às variáveis independentes. A natureza da 
equação diferencial de governo depende do número de variáveis independentes – quando 
houver uma única variável independente, tem-se uma Equação Diferencial Ordinária 
(EDO); quando houver mais de uma variável independente, tem-se uma Equação 
Diferencial Parcial (EDP). 
 
� Observação: Existem diversas notações para representar derivadas; no entanto, 
todas elas são equivalentes. A seguir, têm-se alguns exemplos. Para 
tal, considere uma função f qualquer (variável dependente) que pode 
ser função de uma ou mais variáveis independentes. 
 
� Para )(xff = : 
xd
fd
 ou f ′ ou 
x
f , representam a derivada total (pois f é 
função de uma única variável) de f com respeito à variável independente x. 
 
Esta derivada é chamada, com ressalvas, de gradiente de f . 
 
� Para ),( txff = : 
x
f
∂
∂
 ou f ′ ou 
x
f , representam a derivada parcial (pois f 
é função de duas variáveis) de f com respeito à variável independente x, enquanto: 
 
t
f
∂
∂
 ou f& ou 
t
f , representam a derivada parcial de f com respeito à variável 
independente t. Esta derivada é chamada de taxa de f . 
 
As grandezas físicas, no caso mais geral, podem apresentar variação no tempo ( t ) 
e no espaço (x, y, z). Poblemas que possuem apenas variação temporal são chamados 
Problemas Dinâmicos; problemas que possuem apenas variação espacial são ditos 
Problemas em Regime Permanente ou Problemas Estáticos e problemas que apresentam 
variação no tempo e no espaço são chamados de Problemas em Regime Transiente ou 
Problemas com Variação Espaço-temporal. 
Exemplos: 
 
� Vibração de um sistema discreto, sem amortecimento, com forçamento, 
com 1 Grau de Liberdade� (GDL). 
Este é um problema dinâmico governado por uma EDO de segunda ordem, cuja 
variável (dependente) de interesse é o deslocamento (u) que é função apenas da 
variável independente tempo (t); portanto: )( tuu = . 
Equação de governo: )(2
2
tFuk
td
ud
m =+ ou )( tFukum =+&& ou )(, tFukum
tt
=+ 
 
� Observação: Grau de liberdade é um conceito usual em Dinâmica e diz respeito ao 
número mínimo de coordenadas necessárias para descrever o 
movimento de uma partícula, corpo ou meio contínuo. Lembrando 
que, para o caso mais geral, um corpo rígido pode sofrer translação e 
rotação em três direções mutuamente ortogonais; portanto, seis é o 
número máximo de GDL’s por corpo. O conceito de grau de liberdade 
pode ser estendido para outras grandezas, além daquelas 
relacionadas ao movimento como, por exemplo, temperatura, pressão, 
entre outras. 
 
 
� Condução de calor unidimensional em uma barra com propriedades físicas e 
geométricas constantes em regime permanente, submetida a uma fonte de calor 
externa. 
Este é um problema em regime permanente governado por uma EDO de segunda 
ordem, cuja variável (dependente) de interesse é a temperatura (T ) que é função 
apenas da variável independente posição (x); portanto: )(xTT = . 
Equação de governo: )(2
2
xQ
xd
Tdk =− ou )(xQTk =′′− ou )(, xQTk
xx
=− 
 
 
� Equação da continuidade para um escoamento bi-dimensional de um fluido 
compressível em regime transiente. 
Este é um problema governado por uma EDP de primeira ordem, cujas variáveis 
(dependentes) de interesse são a velocidade ( v ) e a densidade ( ρ ) que são funções 
das variáveis independentes tempo ( t ) e posição (x, y); portanto: ),,( tyxvv = e 
),,( tyxρρ = . 
Equação de governo: 0=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
y
v
x
v
t
yx
yx ρ
ρρρ
 ou 
( ) 0,,,,, =++++ yyxxyyxxt vvvv ρρρρ 
 
1.1 – Condições Iniciais e de Contorno: 
 
Ao se resolver as equações diferenciais de governo (sejam EDO’s ou EDP’s), 
haverá constantes a serem determinadas. O número de constantes depende da ordem da 
derivada em relação a cada uma das variáveis independentes. Para a determinação destas 
constantes, são necessárias informações complementares a respeito do problema. O tipo 
de informação, por sua vez, depende da variável independente. 
Problemas com variação temporal requerem Condição Inicial (ci), enquanto 
problemas com variação espacial requerem Condição de Contorno (cc). O número de ci’s 
e de cc’s é igual ao valor da ordem da mais alta derivada em relação à respectiva variável. 
 
Exemplo: 
 
� Condução de calor unidimensional em regime transiente em uma barra com 
propriedades físicas e geométricas constantes ao longo de seu comprimento m10=L , 
sem fonte de calor externa: 
Governado pela seguinte EDP: 
t
T
x
T
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2α ou TT &=′′2α ou 
txx
TT ,,2 =α 
Esta EDP possui derivada de segunda ordem na variável posição (x) e derivada de 
primeira ordem na variável tempo ( t ). Portanto, este problema requer duas 
condições de contorno e uma condição inicial. 
As cc’s devem valer para qualquer instante de tempo ( t ) para dois pontos (x) 
tomados no contorno do volume de controle (para este problema: 0=x e Lx = ). 
Por exemplo: K283),0( =tT e K293),( =tLT . Isto significa que, para 
qualquer instante de tempo ( t ), a temperatura da face 0=x da barra estará a 
K283=T e, analogamente, a temperatura da face Lx = da barra estará a 
K293=T . Estas cc’s foram tomadas como exemplo. cc’s de outra natureza serão 
discutidas posteriormente. 
A ci deve fornecer a prescrição de temperatura de todos os pontos (x) da barra no 
instante de tempo 0=t , ou seja: )()0,( xfxT = . A título de exemplo, considere 
que, inicialmente, a barra esteja submetida a uma distribuição de temperatura 
quadrática dada por: 28311)( 2 ++−= xxxf , conforme a Figura 1. 
 
 
 
x 
x = 0 
T = 283 K 
x = L 
T = 293 K 
 
Figura 1 – Distribuição de temperatura na barra no instante de tempo 0=t 
(condição inicial). 
 
Note que, as temperaturas K283=T e K293=T das respectivas faces 0=x e 
Lx = foram respeitadas, mesmo para 0=t . Ou seja, as ci’s prescritas devem, 
obrigatoriamente, obedecer às cc’s. 
 
1.1.1 – Condições Iniciais: 
 
Conforme já ressaltado, em problemas onde há variação temporal, é necessário 
estabelecer condições iniciais, ou seja, fornecer informações a respeito da(s) variável(is) 
de estado� (variáveis dependentes) no instante inicial ( 0=t ). Nas ED’s que governam 
problemas dinâmicos, as variáveis de estado, de uma forma geral, apresentam apenas 
derivadas de primeira e/ou de segunda ordem em relação ao tempo (usualmente 
chamadas de taxa). 
 
� Observação: Variáveis de estado são aquelas necessárias para se determinar 
plenamente o estado termodinâmico de qualquer processo ou 
movimento a que um meio contínuo (sólido ou fluido) esteja 
submetido, em uma dada posição, em um dado instante de tempo. 
Vale lembrar que há variáveis de estado que não constituem graus 
de liberdade do sistema, como no caso de derivadas dos GDL’s. 
 
Desta forma, quando houver derivadas de primeira ordem, a(s) variável(is) de 
estado é/são o(s) próprio(s) GDL(’s). Já em problemas onde houver derivadas de ordens 
superiores, haverá mais de uma variável de estado – o(s) próprio(s) GDL(’s) e a(s) sua(s) 
derivada(s). Estes dois tipos de variáveis de estado são classificados em Variáveis 
Primárias e Variáveis Secundárias, respectivamente. O número de variáveis primárias 
depende do número de GDL’s, enquanto o número de variáveis secundárias, depende da 
ordem da equação diferencial.Exemplo: 
 
� Vibração de um sistema discreto amortecido com 1 GDL sem forçamento: 
Governado pela seguinte EDO: 02
2
=++ uk
td
ud
c
td
ud
m ou 0=++ ukucum &&& 
É possível reescrever esta EDO de segunda ordem como um sistema acoplado com 
duas EDO’s de primeira ordem. Para tanto, considere a seguinte troca de variável: 
 
 







==
==
=
yxu
yxu
xu
&&&&&
&&
 
deslocamento 
velocidade 
aceleração 
 
 
Sendo assim, reescreve-se: 





−−=
=
y
m
c
x
m
ky
yx
&
&
 
 
Explicitando o problema em função de EDO’s apenas de primeira ordem, 
identificam-se, claramente, as variáveis de estado do problema, a saber: )( tx e 
)( ty – deslocamento e velocidade, respectivamente. Com isso, são necessárias 
duas ci’s (mesmo valor da derivada de mais alta ordem na EDO original) dadas 
através da prescrição do deslocamento e da velocidade em 0=t : 
0)0()0( xxu == e 0)0()0( vyu ==& . Note que, apesar de haver duas 
variáveis de estado ( x e y ou u e u& ), há apenas um GDL ( x ou u ). 
 
1.1.2 – Condições de Contorno: 
 
As condições de contorno, diferentemente das condições iniciais, não são 
meramente arbitradas, pois precisam respeitar determinados requisitos físicos específicos 
de cada problema. Além disso, o tipo de condição de contorno pode trazer uma 
complexidade extra à solução do problema (tanto para a obtenção da solução analítica – 
caso exista, como para a formulação de soluções numéricas aproximadas). 
Exemplo: 
 
� Flexão de uma viga tipo Bernoulli-Euler com propriedades físicas e geométricas 
constantes ao longo de seu comprimento submetida a um carregamento distribuído 
f (x) por unidade de comprimento (x): 
Governado pela seguinte EDP: )(4
4
xf
xd
wdIE = ou )('''' xfwIE = ou 
)(xfwIE vi = ou )(, xfwIE
xxxx
= 
Este problema apresenta quatro variáveis de estado – duas variáveis primárias e duas 
variáveis secundárias de acordo com o Quadro 1: 
 
Quadro 1 – Relação das diversas grandezas do problema com a deflexão da viga ( )xw . 
 
Grandeza 
Definição e 
Unidade no SI 
Classificação 
( )xw Deslocamento transversal 
ou Deflexão (m)* 
( )
xd
wd
x =ψ 
Deslocamento angular 
ou Declividade (rad)* 
Grandezas 
Primárias 
( ) 2
2
xd
wdIExM = 
Momento Fletor 
(N.m)* 
( ) 3
3
xd
wdIExV = 
Esforço Cortante 
(N)* 
Grandezas 
Secundárias 
( ) 4
4
xd
wdIExf = 
Carregamento por 
Unidade de Comprimento 
(N/m)* 
Equação 
de Governo 
 
*
 Unidades das grandezas no Sistema Internacional (SI) de unidades. 
 
Cabe destacar que, durante a formulação deste problema físico, ao considerar um 
elemento infinitesimal da viga, adotam-se, inicialmente, dois graus de liberdade – a 
saber: a deflexão ( )xw e a declividade ( )xψ . A hipótese de pequenos 
deslocamentos/deformações adotadas pela teoria de Bernoulli-Euler permite relacionar 
estas grandezas, eliminando um grau de liberdade do equacionamento e combinando as 
duas equações de governo do problema (cada uma delas de segunda ordem) em uma 
única equação (de quarta ordem). Sendo assim, após a manipulação algébrica das 
equações de governo originais, têm-se duas variáveis primárias: ( )xw e ( )xψ ; enquanto 
( )xM e ( )xV são variáveis secundárias. Para maiores detalhes, consulte: Timoshenko, 
S. & Goodier, J.N., “Theory of Elasticity”, Editora McGraw-Hill, 2a Edição, 1951. 
 
 
1.2 – Classificação das Equações Diferenciais de acordo com o Problema Físico: 
 
1.2.1 – Classificação de EDO’s: 
 
Os problemas físicos onde a variável dependente é função de apenas uma variável 
independente dão origem a EDO’s. Neste ponto, abrem-se duas possibilidades: a variável 
independente pode ser o tempo ( t ) ou a posição ( x ). No primeiro caso, onde se tem 
variação temporal, tem-se um Problema de Valor Inicial (PVI); enquanto, no segundo 
caso, onde há variação de posição, tem-se um Problema de Valor Contorno (PVC). 
Para um PVI, devem-se atribuir condições iniciais na variável primária 
(obrigatoriamente) e em cada uma das variáveis secundárias subsequentes (ou seja 
derivadas da variável primária) até aquela de ordem (n-1), onde n é a ordem da EDO 
(rever o exemplo da Seção 1.1.1) 
Já para um PVC, não existe uma regra formal. Na verdade, os requisitos físicos 
do problema podem exigir cc’s somente na variável primária, somente na variável 
secundária, ou ainda, envolvendo ambas as variáveis. Sendo assim, é possível classificar 
os problemas conforme a seguir. 
 
 
1o Caso: cc's somente na variável primária: 
 
Esta classe de problemas é conhecida como Primeiro Problema de Valor de 
Contorno (primeiro PVC) ou Problema de Dirichlet. 
 
Exemplo: 
 
� Condução de calor unidimensional em uma barra de comprimento L, com 
propriedades físicas e geométricas constantes em regime permanente, sem fonte de 
calor externa, com diferentes temperaturas prescritas em ambas as extremidades: 
Equação de governo: 02
2
=−
xd
Tdk ou 0=′′− Tk ou 0, =−
xx
Tk 
Este é um PVC de segunda ordem e requer, portanto, duas cc’s definidas conforme o 
enunciado da seguinte forma: 
 
1a cc: Temperatura T1 prescrita na face à esquerda (x = 0): 
1)0( TT = ou 1
0
TT
x
=
=
 
2a cc: Temperatura T2 prescrita na face à direita (x = L): 
2)( TLT = ou 2TT
Lx
=
=
 
 
Note que ambas as cc’s foram estabelecidas na variável primária temperatura (T ), 
caracterizando o problema como primeiro PVC (ou Problema de Dirichlet). 
 
2o Caso: cc's somente na variável secundária: 
 
Esta classe de problemas é conhecida como Segundo Problema de Valor de 
Contorno ou (segundo PVC) ou Problema de Neumann. 
 
 
 
Exemplo: 
 
� Deformação axial de uma barra elástica linear isotrópica de comprimento L, com 
propriedades físicas e geométricas constantes ao longo de seu comprimento, com 
forçamento externo, livre em ambas as extremidades: 
Equação de governo: )(2
2
xf
xd
udAE −= ou )(xfuAE −=′′ ou 
)(, xfuAE
xx
−= 
Este também é um PVC de segunda ordem e as duas cc’s requeridas pelo enunciado 
prevêem: 
 
1a cc: Força axial nula na extremidade livre à esquerda (x = 0): 
0)0( =′uAE ou 0
0
=
=x
xd
udAE 
2a cc: Força axial nula na extremidade livre à direita (x = L): 
0)( =′ LuAE ou 0=
= Lxxd
udAE 
 
Note que ambas as cc’s foram estabelecidas na variável secundária força 
xd
udAExF =)( , caracterizando o problema como segundo PVC (Problema de 
Neumann). 
 
3o Caso: cc's em ambas as variáveis (primária e secundária): 
 
Esta classe de problemas é conhecida como Problema Misto ou Problema de 
Robin. 
 
 
 
Exemplo: 
 
� Flexão de uma viga tipo Bernoulli-Euler com propriedades físicas e geométricas 
constantes ao longo de seu comprimento, livre de forças externas, engastada na 
extremidade x = 0 e livre na extremidade x = L. 
Equação de governo: 04
4
=
xd
wdIE ou 0'''' =wIE ou 
0=viwIE ou 0, =
xxxx
wIE 
 
O problema, agora, é um PVC de quarta ordem e as quatro cc’s requeridas pelo 
enunciado prevêem: 
 
1a cc: Deflexão nula no engaste (x = 0): 
0)0( =w ou 00 ==xw 
2a cc: Declividade nula no engaste (x = 0): 
0)()( =′= LwLψ ou 0
0
0 ==
=
=
x
x xd
wdψ 
3a cc: Momento nulo na extremidade livre (x = L): 
0)()( =′′= LwIELM ou 02
2
==
=
=
Lx
Lx xd
wdIEM 
4a cc: Esforço cortante nulo na extremidade livre (x = L): 
0)()( =′′′= LwIELV ou 03
3
==
=
=
Lx
Lx xd
wdIEV