lista_2_sistemas_lineares

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UNIVAG - Centro Universita´rio
Ca´lculo Nume´rico - 1
o
Semestre 2014
Profa Aline Brum Seibel
2
a
Lista de Exerc´ıcios
1) Encontre a soluc¸a˜o dos sistemas atrave´s de operac¸o˜es elementares sobre as linhas.
A =


0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

 B =

 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1


2) Dado o sistema


3x+ 5y = 1
2x + z = 3
5x+ y − z = 0
escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e resolva o sistema atrave´s do escalonamento.
3) Determine k, para que o sistema admita soluc¸a˜o.


−4x+ 3y = 2
5x− 4y = 0
2x − y = k
4) Encontre todas as soluc¸o˜es do sistema.


x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
5) Foram estudados treˆs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se
que:
i) O alimento I tem uma unidade da vitamina A, 3 unidades da vitamina B e 4 unidades
da vitamina C.
ii) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
iii) O alimento III tem 2 unidades da vitamina A, 3 unidades da vitamina C e na˜o conte´m
vitamina B.
Se sa˜o necessa´rias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C.
a) Encontre todas as poss´ıveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a
quantidade de vitaminas desejadas.
b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outro dois custam 10 centavos, existe
uma soluc¸a˜o custando exatamente 1 real?
6) Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos termos
independentes, bi, sa˜o todos nulos.
a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
b) Encontre os valores de k ∈ ℜ, tal que o sistema homogeˆneo


2x− 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da trivial (x = 0, y = 0, z = 0).
7) Mostre que o seguinte sistema tem uma infinidade de soluc¸o˜es e ache as fo´rmulas que da˜o
todas as soluc¸o˜es do sistema: 

x1 − 2x2 − x3 − x4 = 3
x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −2
2x1 + x2 + x3 = 1
3x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 = −1
8) Ache todas as soluc¸o˜es dos sistemas ou prove que na˜o existem soluc¸o˜es.
a)
{
x+ y − z = 6
2x+ 5y − 2z = 10
b)


x+ y + z = 1
2x− 3y + 7z = 0
3x− 2y + 8z = 4
c)
{
x+ 2y = 6
3x+ 7y = 14
GABARITO
1) Matriz A⇒ x = 2, y = 1 Matriz B⇒ S = {(5
2
z,−2− 3z, z) : z arbitra´rio}.
2) x = 7
16
, y = − 1
16
, z = 17
8
.
3) k = −6.
4) x1 = 1− 3x2 − x5, x3 = 2 + x5, x4 = 3 + 2x5.
5) Sejam x, y e z as quantidades de alimentos I, II e III respectivamente. Enta˜o:
a)x = −5 + 3z y = 8− 3z onde 5
3
≤ z ≤ 8
3
.
b) Sim. x = 1, y = 2, z = 2.
6) b) k = 2.
8) a) S = {(z + 20
3
,−2
3
, z) : z arbitra´rio}; b) nenhuma soluc¸a˜o; c) x = 14, y = −4.