Unidade_2.4_Dinamica do Movimento Plano de um Corpo Rigido_Impulso e Quantidade de Movimento-Momento Angular

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Dinâmica do Movimento Plano 
de um Corpo Rígido: Impulso e 
Quantidade de Movimento –
Momento Angular
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
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Conteúdos da Aula
� Quantidade de Movimento e Momento 
Angular;
� Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular;
� Conservação da Quantidade de 
Movimento e do momento Angular;
� Colisão Excêntrica.
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Quantidade de Movimento e 
Momento Angular
� Quantidade de Movimento: soma-se vetorialmente as 
quantidades de movimento para todos os pontos do 
corpo, isto é:
GvmL =
Unidade no SI: kg.m/s
ii vmL ∑=
Como Gii vmvm =∑
Temos:
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Momento Angular: o momento angular do i-ésimo
ponto em relação ao ponto P é igual ao ‘momento’ da 
quantidade de movimento em relação a P.
( ) iiiP vmrH ×=
rvvvv PPiPi ×+=+= ω/
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Momento Angular:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]jyixkjvivjyixmkH yPxPiiP +×++×+= ω
Efetuando as contas e comparando as coordenadas 
cartesianas, temos:
( ) ( ) ( ) 2rmvxmvymH iyPixPiiP ω++−=
Tomando o limite mi →→→→ dm integrando sobre toda a 
massa m do corpo, temos:
( )( ) ( )( ) ( )ω∫∫∫ ++−= myPmxPmP dmrvxdmvydmH 2 
Representa o momento angular do corpo 
em relação ao eixo z.
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Momento Angular:
( )( ) ( )( ) ( )ω∫∫∫ ++−= myPmxPmP dmrvxdmvydmH 2 
O momento angular do corpo em relação a G é igual ao 
produto do momento de inércia do corpo, em relação a um 
eixo que passa por G, e a velocidade angular do corpo.
∫= ydmmy ∫= xdmmx ∫= dmrIP
2
Assim: ( ) ( ) ωPyPxPP IvmxvmyH ++−=
Se o ponto P coincide com o centro de massa do corpo:
ωGG IH = Unidade no SI: kg.m2/s
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
( ) ( ) ωPyPxPP IvmxvmyH ++−=
Reescrevendo a equação:
Em termos dos componentes x e y da velocidade do centro 
de massa do corpo, (vG)x e (vG)y, e do momento de inércia IG. 
Substituindo o teorema dos eixos paralelos na equação 
acima, temos:
( )[ ] ( )[ ] ωωω GyPxPP IxvmxyvmyH ++++−=
Do diagrama cinemático, temos:
rvv PG ×+= ω
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
Do diagrama cinemático, 
temos:
rvv PG ×+= ω
Escrevendo em termos das 
componentes, temos:
( ) ( )
( ) ( ) ( )jyixkjviv
jviv
yPxP
yGxG
+×++=
=+
ω 
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jyixkjvivjviv yPxPyGxG +×++=+ ω
Efetuando a multiplicação vetorial e igualando os componen-
tes, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ωω xvvyvv yPyGxPxG +=−= e 
Substituindo os resultados acima na expressão abaixo
( )[ ] ( )[ ] ωωω GyPxPP IxvmxyvmyH ++++−=
Temos:
( ) ( ) ωGyGxGP IvmxvmyH ++−=
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
( ) ( ) ωGyGxGP IvmxvmyH ++−=
O resultado indica que o 
momento angular do 
corpo calculado em 
relação ao ponto P é
equivalente ao momento 
da quantidade de 
movimento ou seus 
componentes cartesianos, 
em relação a P, somado ao 
momento angular.
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Translação:
0=
=
G
G
H
mvL
Em relação a G
Em relação a qual-
quer ponto A:
( )( )GA
G
mvdH
mvL
=
=
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Rotação em torno de um Eixo Fixo:
ωGG
G
IH
mvL
=
=
Em relação a G
Em relação a O:
( )
( )
ω
ω
ω
OO
GGO
GGGO
IH
mrIH
mvrIH
=
+=
+=
 aindaou 
ou 2
7
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Quantidade de Movimento e Momento Angular
� Movimento Plano Geral:
ωGG
G
IH
mvL
=
=
Em relação a G
Em relação a A no 
corpo ou fora dele:
( )( )GGA mvdIH += ω
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Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular
� Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:
( )∑ = GvmdtdF
Multiplicando os membros por dt e integrando, temos:
( ) ( )122
1
GG
t
t
vmvmdtF −=∑∫
A soma de todos os impulsos criados pelo sistema de 
forças externas que agem no corpo durante o intervalo 
de tempo t1 a t2 é igual à variação da quantidade de 
movimento do corpo nesse intervalo de tempo.
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Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular
� Princípio do Impulso e Momento Angulares:
( )∑ = ωGG Idt
dM
Multiplicando os membros por dt e integrando, temos:
∑∫ −= 12
2
1
ωω GG
t
t G
IIdtM
Para rotação em torno de um eixo fixo passando por O, 
temos:
∑∫ −= 12
2
1
ωω OO
t
t O
IIdtM
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Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular
As três equações escalares descrevem o movimento 
plano do corpo rígido:
( ) ( )
( ) ( )
∑∫
∑∫
∑∫
=+
=+
=+
21
21
21
2
1
2
1
2
1
ωω G
t
t GG
Gy
t
t yGy
Gx
t
t xGx
IdtMI
vmdtFvm
vmdtFvm
Movimento 
no plano x-y
Em relação ao 
eixo z, que passa 
pelo centro de 
massa G
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Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular
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Princípios do Impulso e Quantidade de 
Movimento / Momento Angular
As três equações escalares descrevem o movimento 
plano do corpo rígido aplicadas a um sistema inteiro de 
corpos ligados:
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Conservação da Quantidade de Movimento 
e do Momento Angular
Conservação da Quantidade de Movimento:
Conservação da Momento Angular:
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Colisão Excêntrica
Ocorre quando a linha que liga o centro de massa 
dos dois corpos não coincide com a linha de colisão.
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Colisão Excêntrica
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Colisão Excêntrica
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Colisão Excêntrica
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Colisão Excêntrica
Princípio do impulso e momento angulares aplicado ao 
corpo B, do instante imediatamente antes da colisão ao 
instante de deformação máxima:
( ) ωω OBO IPdtrI ∫ =+1
Princípio do impulso e momento angulares, do instante 
de deformação máxima ao instante imediatamente após 
a colisão: ( )2BOO IRdtrI ωω ∫ =+
Após alguns cálculos:
( )
( )
( )
( )1
2
1
2
B
B
B
B
vv
vv
rr
rr
Pdt
Rdt
e
−
−
=
−
−
==
∫
∫
ωω
ωω
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Colisão Excêntrica
Da mesma maneira, a equação para o corpo A é:
( )
( ) vv
vv
e
A
A
−
−
=
1
2
Eliminando v das equações anteriores, temos:
( ) ( )
( ) ( )11
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BA
AB
vv
vv
e
−
−
=
Razão entre a velocidade relativa de separação dos 
pontos de contato (C) imediatamente após a colisão e a 
velocidade relativa com que os pontos se aproximam
um do outro imediatamente antes da colisão.
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.