AP1 Matemática Básica 2018.2 CEDERJ (resol. + gabarito)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
AP1 - Matemática Básica – Gabarito-2018/2 
 
1ª questão: [1,5] Essa é uma questão de efetuar cálculos. 
a) Simplifique A = 
 23
√32+42
. (
1
3
−1
 √5
)
−2
. 
b) Simplifique B = 
(1+√2)
2
(3−2√ 2)
 3−2 
. 
c) Calcule o valor de A  B. 
Solução: 
a) A = 
 23
√32+42
. (
1
3
−1
 √5
)
−2
= 
 8
√25
. (
−2
3
 √5
)
−2
=
8
5
 (
−2
 3√5
)
−2
= 
8
5
 (
3√5
−2
)
2
= 
8
5
 (
 9.5
4
) = 18 . 
b) B = 
(1+√2)
2
(3−2√ 2)
 3−2 
= 
(1+2√2+2)
 
(3−2√ 2)
 
1
9
 
 = 
(3+2√2)
 
(3−2√ 2)
 
1
9
 
 = 
9−8
1
9
 = 9. 
c) Logo, 𝐴  𝐵 = 18 − 9 = 9. 
 
2ª questão: [1,0] Considere o conjunto 𝐾 = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥 − 3| > 2}. 
a) Interprete K usando a noção de distância; 
b) Escreva K usando a notação de intervalo; 
 c) Represente o conjunto K na reta numérica e faça também uma legenda para a sua 
representação. 
Solução: 
a) 𝐾 é o conjunto dos números reais que distam de 3 mais de duas unidades. 
b) 𝐾 = (−∞, 1) ∪ (5, +∞). 
c) 
 
Legenda: 
  Representação da reta numérica. 
 Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que esse extremo não pertence ao conjunto. 
 Indica que todos os números entre dois extremos pertencem ao conjunto. 
 
3ª questão: [1,5] Considere o número irracional 𝜋 = 3,1415926536....... ; 
a) Encontre um número racional a tal que 0 < 𝑎 − 𝜋 < 0,001; 
b) Escreva o número racional 𝑎 encontrado no item a) na forma de fração irredutível. 
Solução: 
a) 0 < 𝑎 − 𝜋 < 0,001⇔ 𝜋 < 𝑎 < 𝜋 + 0,001 ⇔ 
3,1415926536. . . . . . . < 𝑎 < 3,1425926536....... , logo podemos escolher por exemplo, 
𝑎 = 3,142. Observe que a é um número racional, pois sua representação decimal possui um 
número finito de casas decimais. 
b) Temos que 𝑎 = 3,142 =
3142
1000
=
1571
500
 que é irredutível, pois os únicos primos que dividem 
500 são 2 e 5, mas esses não dividem 1571. 
 OBS: Há infinitas possibilidades de escolha para 𝑎, outros exemplos: 𝑎 = 3,1416, 𝑎 = 3,1425, 
𝑎 = 3,1417. 
 
4ª questão: [2,0] Pedro possui em seu cofrinho R$156,00 em moedas de R$0,25 e R$0,10. 
Sabendo que há um total de 780 moedas, determine quantas moedas de 25 centavos e de 10 
centavos existem no cofrinho. (Sugestão: monte um sistema e resolva.) 
Solução: Vamos denotar por 𝑥 o número de moedas de 10 centavos e 𝑦 o número de moedas de 
25 centavos no cofrinho. Então, temos 𝑥 + 𝑦 = 780 e 0,10𝑥 + 0,25𝑦 = 156. 
Temos o sistema {
𝑥 + 𝑦 = 780 
0,10𝑥 + 0,25𝑦 = 156
 ⇔ {
𝑥 + 𝑦 = 780 
 𝑥 + 2,5𝑦 = 1560
. 
Subtraindo a primeira linha da segunda, temos 1,5y=780⇔
3
2
𝑦 = 780 ⇔ 𝑦 =
2
3
× 780 = 2 ×
260 = 520. Assim, 𝑦 = 520 e 𝑥 = 780 − 520 = 260, ou seja , há 520 moedas de 25 centavos 
e 260 moedas de 10 centavos. 
 
5ª questão : [2,0] Resolva no conjunto dos números reais e marque o conjunto solução na reta 
numérica. Dê a resposta usando notação de intervalos e faça também uma legenda para a sua 
representação. 
 
a) 2𝑥 − 4 ≤ √2 𝑥 ; 
b) – 𝑥 + 7 < 2𝑥 − 1; 
c) {
2𝑥 − 4 ≤ √2 𝑥 
– 𝑥 + 7 < 2𝑥 − 1
 . 
Solução: 
a) 2𝑥 − 4 ≤ √2 𝑥 ⇔ 2𝑥 − √2 𝑥 ≤ 4 ⇔ (2 − √2 )𝑥 ≤ 4 ⇔⏞
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑟 2−√2 >0
𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒
é 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎
𝑥 ≤
4
(2−√2 )
 . Logo, 
𝑆1 = ( −∞,
4
(2−√2 )
]. 
 
b) – 𝑥 + 7 < 2𝑥 − 1 ⇔ −3𝑥 < −8 ⇔⏞
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖 𝑝𝑜𝑟 −3<0
𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒
𝑥 >
−8
−3
⇔ 𝑥 >
8
3
. Logo, 𝑆2 = (
8
3
, +∞). 
 
c) Os valores de 𝑥 que satisfazem o sistema devem satisfazer as duas inequações 
simultaneamente. Note que 
4
(2−√2 )
=
4(2+√2 )
(2−√2 )(2+√2 )
= 2(2 + √2 ) ≅ 6,8 e 
 
8
3
≅ 2,6, portanto 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 =(
8
3
,
4
(2−√2 )
]. 
 
 
Legenda: 
 Representação da reta numérica. 
 Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que esse extremo não pertence ao conjunto. 
 Indicação de um ponto específico que pertence ao conjunto. 
 Indica que todos os números entre dois extremos pertencem ao conjunto. 
 
6ª questão : [2,0] Um retângulo de lados 8 𝑐𝑚 𝑒 10 𝑐𝑚 teve as medidas dos seus lados 
aumentadas em 10% e 20%, respectivamente. 
a) Qual o percentual de aumento do seu perímetro(com uma casa decimal)? 
b) Qual o percentual de aumento da sua área? 
Solução: 
a) O perímetro do retângulo antes de aumentar os lados é dado por P= 16+20=36 cm. As novas 
medidas dos lados são 8,8cm e 12 cm e portanto o novo perímetro P’=17,6+24=41,6 cm. 
Assim, houve um aumento de 41,6-36=5,6 cm no perímetro, o que corresponde a um aumento 
percentual de 
5,6
36
× 100% =
560
36
% ≅ 15,5%(com uma casa decimal). 
b) A área do retângulo antes de aumentar os lados é dada por 𝐴 = 80 𝑐𝑚2. Após o aumento, a 
área será igual a 𝐴’ = 8,8 × 12 = 105,6 𝑐𝑚2. Portanto, o aumento será de 25,6 𝑐𝑚2, o que 
corresponde a um aumento percentual de 
25,6
80
× 100% =
2560
80
% =
256
8
% = 32%.