Aula 13

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Meta da aula 
Apresentar a teoria de carteiras de Harry 
Markowitz.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja 
capaz de:
descrever a teoria média-variância de 
Markowitz e conceituar carteira otimizada;
calcular o retorno esperado de carteiras; 
distinguir os tipos de riscos inerentes à 
teoria de carteira e descrever o processo 
de determinação de risco de carteira.
Pré-requisitos
Para se ter um bom aproveitamento desta aula, é 
importante você relembrar os conceitos de “coe-
ficiente de correlação” e de “covariância”, apre-
sentados na Aula 5 desta disciplina. É importante 
também você estar em dia com o conceito de 
“coeficiente beta”, trabalhado na Aula 8 da disci-
plina Fundamentos de Finanças. 
Risco e retorno de 
carteira
Selma Velozo Fontes A
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Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
C E D E R J8
Chegamos à Aula 13 e nela iremos tratar do estudo da teoria de c a r t e i r a s 
de Harry Markowitz. Vamos conhecer o processo de formação e seleção de 
carteiras otimizadas a partir da diversificação de risco; rever alguns dos instru-
mentos estatísticos, vistos na Aula 5 desta disciplina; entender o processo de 
determinação do retorno esperado de uma carteira, o cálculo do risco de uma 
carteira pela variância e o desvio-padrão dos retornos e do risco sistemático 
de uma carteira. Enfim, dimensionar o risco e o retorno de carteiras eficientes.
Quer conhecer um pouco mais? Então, venha e pegue carona nesta aula!
INTRODUÇÃO 
ca rt e i r a 
Assumindo o enfo-
que proposto pela 
aula, carteira repre-
senta um conjunto 
de ativos (aplica-
ções), pertencente a 
um investidor.
Figura 13.1: Conjunto de ativos.
Fontes: http://www.sxc.hu/photo/1290131; http://www.sxc.hu/photo/1235157; http://www.sxc.
hu/photo/1237498; http://www.sxc.hu/photo/729164 
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TEORIA DE CARTEIRA 
A teoria de carteira ou moderna teoria de carteiras dedica-se à 
formação de uma carteira otimizada de investimentos. Uma carteira 
otimizada ou ótima é aquela que combina o máximo retorno ao menor 
grau de risco possível. Ou seja, representa uma combinação de ativos 
que possa proporcionar ao investidor a relação mais vantajosa entre 
risco e retorno. 
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3A teoria de carteira ou teoria média-variância, segundo Azevedo 
(2007), foi desenvolvida por Harry Markowitz e apresentada com o 
título, em língua inglesa, de Portfolio Selection, em 1952, no Journal of 
Finance. O artigo deu início ao estudo na área de otimização de carteiras 
de investimentos. Assaf Neto (2006) coloca que essa teoria tem como 
principal objetivo aumentar o grau de satisfação do investidor pela 
relação risco e retorno. 
A seleção de carteiras procura identificar a melhor combinação 
possível de ativos, obedecendo às preferências do investidor 
com relação ao risco e retorno esperados. Dentre as inúmeras 
carteiras que podem ser formadas com os ativos disponíveis, é 
selecionada aquela que maximiza seu grau de satisfação (ASSAF 
NETO, 2006, p. 217).
A teoria explica como o investidor deve usar o princípio da diver-
sificação para otimizar os resultados de suas aplicações e precificar ativos 
arriscados. A principal ideia relacionada à formação de carteiras é que o 
risco de um único investimento é diferente do mesmo, quando mantido 
em carteira. O processo de diversificação de ativos na composição da 
carteira possibilita a redução e até mesmo a eliminação do risco diver-
sificável dessa carteira. Esta ideia será clarificada no decorrer da aula. 
Como mencionado, uma carteira é considerada ótima quando 
apresenta um grau de risco minimizado para um dado nível de retorno 
esperado ou quando o retorno que se espera é maximizado para um 
determinado grau de risco que se esteja disposto a incorrer. 
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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Conhecendo um pouco mais 
sobre Markowitz...
Harry Markowitz nasceu em Chicago, no ano de 1927. O 
tema de sua dissertação tornou-se o principal trabalho de sua 
vida, abordava a aplicação da matemática para a análise do mercado 
de ações. 
Seu trabalho pioneiro veio a ser conhecido como a Teoria Moderna de 
Portfolio e foi essencial para o desenvolvimento do Capital Asset Pricing Model 
(CAPM – Modelo de Precificação de Ativos de Capital). As formulações utilizadas 
para cálculo do risco de um portfolio são provenientes do modelo desenvol-
vido por Markowitz, a quem foi atribuído o Prêmio Nobel de Economia de 
1990. Markowitz é professor de finanças da Universidade da Califórnia 
em San Diego e senta-se em vários conselhos consultivos (informa-
ções relativas ao ano de 2010).
Fonte: http://blsciblogs.baruch.cuny.edu/bcam/2010/10/19/
did-you-know-famous-baruchians-2/
?
Falando em Markowitz... 
 Para conhecer um pouco mais sobre o precursor da Moderna Teoria 
de Carteiras e sobre a própria teoria, acesse os seguintes sites:
• http://blsciblogs.baruch.cuny.edu/bcam/2010/10/19/did-you-know-
famous-baruchians-2/
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_moderna_do_portf%C3%B3lio 
Dê uma chegadinha por lá e faça uma boa leitura! 
Agora que você terminou a leitura desta seção, explique em que consiste a teoria 
média-variância de Markowitz e o que é uma carteira otimizada.
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CÁLCULO DO RETORNO ESPERADO DE UMA CARTEIRA 
Na Aula 12, você aprendeu a calcular o retorno para ativo indi-
vidual, agora você irá aprender a calcular o retorno esperado de uma 
carteira de ativos. Veja a diferença!
O retorno esperado de uma carteira de investimentos representa 
o retorno médio dessa carteira. Seu cálculo é feito a partir da média 
ponderada dos retornos dos ativos que a compõem: 
Kc = (p1 x k1) + (p2 x k2) + ... + (pn x kn)
n
j j
j=1
Kc p k= ×∑
Onde, 
Kc = retorno esperado da carteira 
pj = proporção do ativo j na composição da carteira
kj = retorno do ativo j
n = total de ativos que compõem a carteira Kc
O total da soma de todas as proporções deverá ser igual a 1, ou 
seja, 100% dos ativos da carteira devem ser incluídos no cálculo. 
∑
n
j
j=1
p = 1
Exemplificando: 
Considere uma carteira de investimentos formada por dois ati-
vos – A e B – tendo 80% de sua composição monetária formada pelo 
ativo A e o restante pelo ativo B. Suponha que o retorno estimado para 
o ativo A seja de 40% sobre a parcela do capital aplicado e do ativo B 
Resposta Comentada
A teoria trata do princípio de que o retorno esperado e a volatilidade dos 
retornos dos investimentos são parâmetros relevantes na formação de uma 
carteira otimizada. Sugere que o investidor deve montar carteiras com diferen-
tes ativos de risco, pois a diversificação eficiente diminui o risco da carteira. A 
carteira otimizada é entendida como a combinação ótima de ativos, pois busca 
incorrer ao menor grau de risco possível, para um dado retorno esperado ou o 
maior retorno esperado possível, para um dado grau de risco que o investidor 
esteja disposto a incorrer.
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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de 30%. Calcule o retorno esperado da carteira AB, a partir da fórmula 
apresentada:
KAB = (pA x kA) + (pB x kB) = (0,8 x 40%) + (0,2 x 30%) = 
32% + 6% = 38%
O retorno esperado da carteira de investimentos AB é de 38%.
Agora, com o conceito de retorno esperado de uma carteira em mente e já sabendo 
calculá-lo, que tal determinar o retorno esperado da carteira WY? 
Os ativos apresentarão os seguintes retornos ao longo dos próximos três anos: 
Período (n) W Y
1 8% 14%
2 10%12%
3 12% 10%
Suponha que o investidor aloque 40% de seus recursos no ativo W e o restante seja 
alocado no ativo Y.
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Resposta Comentada
Para determinar o retorno esperado da carteira, composta pelos ativos WY, 
você deverá seguir os seguintes passos:
Passo 1: 
Calcular o retorno médio esperado dos ativos W e Y, por meio da média arit-
mética.
Kw = (8 + 10 + 12) / 3 
Kw = 10%
Ky = (14 + 12 + 10) / 3 
Ky = 12%
Passo 2: 
Calcular o retorno esperado da carteira.
KwY = (0,40 x 10%) + (0,60 x 12%) 
KwY = 4% + 7,2%
KwY = 11,2%
RISCO DE UMA CARTEIRA DE ATIVOS
Conforme mencionado, um dos objetivos da teoria de carteira é 
usar o princípio de diversificação para tornar uma carteira de investi-
mentos otimizada. A diversificação de ativos deve ser pensada de modo 
que se possa combinar ativos cujo resultado (retorno da carteira) possa 
ser potencializado ao menor grau de risco possível. 
A orientação formulada que se assume nessas decisões financeiras 
é selecionar alternativas que levem à melhor diversificação e, con-
sequentemente, redução do risco dos investimentos e produzam, 
ao mesmo tempo, um retorno admitido como aceitável no âmbito 
dos investidores de mercado (ASSAF NETO, 2006, p. 213).
Como apresentado na Aula 12, o risco representa um conceito 
que envolve:
•	 fatores	de	risco	conjunturais	globais	de	ordem	política,	econômica	e	
social;
•	 fatores	de	risco	específicos,	relacionados	ao	emissor	do	ativo.	
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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O risco, relativo a fatores conjunturais, é chamado de risco sis-
temático ou não diversificável, uma vez que não é possível eliminá-lo 
completamente por meio da diversificação de ativos, considerando que 
fatores conjunturais atingem todos os ativos de mercado. O outro tipo 
de risco é o não sistemático ou diversificável. Esse risco surge a partir de 
fatores específicos relacionados ao emissor do ativo, inclusive ao setor 
de atuação e é possível de ser reduzido ou até mesmo eliminado através 
da formação de uma carteira de ativos, tecnicamente montada.
Mas...
Talvez você esteja se questionando: como fazer para eliminar ou 
reduzir o grau de risco utilizando o princípio de diversificação? 
Bom, a possibilidade passa a existir quando trabalhamos com 
análise de correlação! 
Conforme abordado na Aula 5, a análise de correlação visa estimar 
numericamente o grau de relacionamento que possa ser identificado entre 
duas ou mais variáveis. No caso, as variáveis são representadas pelos 
possíveis retornos associados aos cenários. O coeficiente de correlação 
(ρ) representa a medida do grau de relação e direção entre duas variáveis; 
esse coeficiente assume valores entre -1 e +1. 
Quando 
duas variáveis movem-se em 
um mesmo sentido e em proporções iguais, a 
correlação é tida como positiva perfeita. Nesse caso, o 
coeficiente de correlação é igual a +1. 
Quando duas variáveis movimentam-se em uma mesma direção e em 
proporções diferentes, a correlação é tida como positiva. Nesse caso, o coe-
ficiente de correlação é maior que 0 e menor que 1.
Quando duas variáveis movem-se em direções opostas e em proporções iguais, 
a correlação é tida como negativa perfeita. Nesse caso, o coeficiente de correla-
ção é igual a -1.
Quando duas variáveis movem-se em sentidos opostos e em proporções 
diferentes, a correlação é tida como negativa. Nesse caso, o coeficiente 
de correlação é maior que -1 e menor que 0. 
Quando não existe relação entre as variáveis, a correlação 
é tida como nula. Nesse caso, o coeficiente de 
correlação é 0.
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3Quando há a possibilidade de combinar ativos correlacionados de 
forma negativa perfeita, o risco diversificável é eliminado, o que significa 
dizer que os ativos produzem retornos inversamente proporcionais, ou 
seja, quando o retorno de um dos ativos aumenta, o retorno de outro 
diminui na mesma proporção. Isso elimina os reflexos negativos produ-
zidos, existindo assim a compensação entre eles e, consequentemente, 
garantindo a possibilidade de ganho.
Figura 13.2: Ativos com correlação negativa perfeita.
Fonte: Assaf Neto (2006, p. 213). 
Quando é mantida uma correlação positiva perfeita entre os ati-
vos que compõem a carteira, não há eliminação do risco diversificável. 
Nesse tipo de combinação, os retornos produzidos pelos ativos são pro-
porcionais uns aos outros, ou seja, quando o retorno de um dos ativos 
aumenta, o retorno de outro aumenta na mesma proporção. Logo, não 
se verifica uma compensação do risco assumido pelos ativos. O efeito 
de uma carteira, com correlacão positiva perfeita, é a possibilidade de 
gerar altos lucros ou grandes prejuízos.
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Figura 13.3: Ativos com correlação positiva perfeita.
Fonte: Assaf Neto (2006, p. 213).
Cabe ressaltar que, na prática, não é tão simples identificar a exis-
tência de investimentos com perfeitas correlações negativas ou positivas. 
Assim, a diminuição ou eliminação do risco diversificável normalmente 
se dá pela combinação de ativos que tendam a se correlacionar negativa-
mente ou que mantenham baixa correlação. Até as carteiras entendidas 
como bem diversificadas mantêm o risco sistemático – aquele que não 
é eliminado pela diversificação de ativos.
Figura 13.4: O aumento de ativos em uma carteira tende a diminuir o risco diver-
sificável.
Fonte: Assaf Neto (2006, p. 213).
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3CÁLCULO DO RISCO DE UMA CARTEIRA (VARIÂNCIA E 
DESVIO-PADRÃO DOS RETORNOS)
O cálculo do risco de uma carteira, pensando em desvio-padrão, 
requer um tratamento diferente ao dado na determinação do risco de um 
ativo individual. No cálculo, além de levar em conta a média ponderada 
dos desvios-padrão dos ativos que compõem a carteira, deve-se considerar 
a covariância existente entre esses ativos e, a partir dela, determinar o 
coeficiente de correlação da carteira. 
A determinação do risco pela ponderação dos desvios-padrão de 
cada ativo não é correta, pois não leva em consideração como os 
retornos se relacionam (co-variam) entre si. 
Dessa forma, é possível concluir que, para o cálculo do risco de 
um portfólio, é necessário levar-se em consideração não somente a 
participação e o risco de cada ativo individualmente, mas também 
como os ativos se correlacionam (ASSAF NETO, 2006). 
σc = [(p21 x σ
2
1) + (p
2
2 x σ
2
2) + 2 x p1 x p2 x COV1,2 ] 
1/2
Onde, 
σc = desvio-padrão da carteira 
p1 e p2 = proporção do ativo 1 e do ativo 2 na composição da carteira
σ21 e σ
2
2 = variância dos retornos dos ativos 1 e 2
COV1,2 = covariância entre os ativos 1 e 2
Exemplificando: 
Considere dois ativos – A e B – e suponha os dados apresentados 
no quadro que segue:
Cenário Probabilidade Retorno Ativo A Retorno Ativo B
Recessão 25% 5% 30%
Moderado 50% 25% 25%
Crescimento 25% 40% 10%
Retorno esperado de cada ativo 23,75% 22,5%
Risco dos ativos calculados isoladamente:
σA = [(5% - 23,75%)
2 x 0,25 + (25% - 23,75%)2 x 0,50 + 
(40% - 23,75%)2 x 0,25] 1/2
σA = [87,89% + 0,78% + 66,02%] 
1/2
σA = [154,69] 
1/2 
σA = 12,44%
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σB = [(30% - 22,5%)
2 x 0,25 + (25% - 22,5%)2 x 0,50 + 
(10% - 22,5%)2 x 0,25] 1/2
σB = [14,06% + 3,13% + 39,06% ] 
1/2
σB = [56,25%] 
1/2 
σB = 7,5%
 
Agora, devemos calcular a covariância entre os retornos dos ativos 
A e B, conforme a aplicação da fórmula que você aprendeu na Aula 5:
COVAB = Pr x (k – keA) x (k – keB)
Onde, 
COVAB = covariânciaentre as variáveis A e B
Pr = probabilidade relativa ao cenário
Ke = retorno esperado
K = retorno do ativo
Sendo assim:
Cenário 
Probabilida-
de Pr
Retorno 
Ativo A
Retorno 
Ativo B
Pr x (kA – keA) 
x (kB – keB) = 
COV AB
Recessão 25% 5% 30% -0,003516
Moderado 50% 25% 25% 0,000156
Crescimento 25% 40% 10% -0,005078
Retorno esperado de cada 
ativo
23,75% 22,5% ∑ -0,008438
Desvio-padrão de cada ativo 12,44% 7,5%
Uma vez calculada a covariância, devemos determinar o coeficiente 
de correlação. Ele é normalmente empregado no estudo da elaboração 
de carteira eficiente, cujo objetivo é diminuir ou até mesmo eliminar o 
risco diversificável. 
Como também apresentado na Aula 5, a covariância entre ativos 
(no exemplo, variáveis A e B) pode ser determinada pelo produto da 
correlação e desvio-padrão das variáveis, ou seja: 
COVAB= ρA,B x σA x σB 
Onde, 
COVAB = covariância entre os ativos A e B
ρAB = coeficiente de correlação da carteira AB
ρA = desvio-padrão do ativo A
σB = desvio-padrão do ativo B
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3A partir do ajuste dessa fórmula, podemos encontrar a expressão 
que determina o coeficiente de correlação necessário para a avaliação do 
risco diversificável da carteira: 
ρAB = COVA,B / σA x σB 
Aplicando no exemplo:
ρAB = COVA,B / σA x σB 
ρAB = -0,008438 / 0,1244 x 0,075 
ρAB = -0,904394
A correlação entre os dois ativos é de -0,904394. Lembrando que 
sempre que o coeficiente de correlação for menor que 1 e não apresentar 
valor nulo (igual a zero), há diversificação do risco. 
Combinação 1
σC = [(0
2 x 0,12442) + (12 x 0,0752) + 2 x 0 x 1 x (-0,008438)]1/2
σC = [0,005625]
1/2
σC = 0,075 x 100 = 7,5%
Combinação 2
σC = [(0,25
2 x 0,12442) + (0,752 x 0,0752) + 2 x 0,25 x 0,75 x 
(-0,008438)]1/2
σC = [0, 00096702]
1/2
σC = 0,03109699 x 100 = 3,11%
Combinação 3
σC = [(0,5
2 x 0,12442) + (0,52 x 0,0752) + 2 x 0,5 x 0,5 x (-0,008438)] 1/2
σC = [0, 00105609]
1/2
σC = 0,03249754 x 100 = 3,25%
Combinação 4
σC = [(0,75
2 x 0,12442) + (0,252 x 0,0752) + 2 x 0,75 x 0,25 x 
(-0,008438)]1/2
σC = [0,0058922 ]
1/2
σC = 0,07676068 x 100 = 7,68%
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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Combinação 5
σC = [(1
2 x 0,12442) + (02 x 0,0752) + 2 x 1 x 0 x (-0,008438)]1/2
σC = [0,01547536 ]
1/2
σC = 0,1244 x 100 = 12,44%
Proporções para formação de 
carteiras
Retorno esperado da carteira AB *Desvio-padrão 
da carteira AB
Ativo A Ativo B
0 100% σc = [(p
2
1 x σ
2
1) + (p
2
2 x σ
2
2) + 2 x p1 x p2 x COV1,2] 
1/2
0x23,75% + 1x22,5% = 22,5%
7,5%
25% 75% 0,25x23,75%+0,75x22,5% = 22,81% 3,11%
50% 50% 0,5x23,75% + 0,5x22,5% = 23,13% 3,25%
75% 25% 0,75x23,75%+0,25x22,5% = 23,44% 7,68%
100% 0 1x23,75% + 0x22,5% = 23,75% 12,44%
Os resultados apresentados sugerem ao investidor possíveis com-
binações de uma carteira composta pelos ativos A e B, considerando a 
relação risco e retorno esperado.
Os ativos A e B apresentam uma correlação negativa (tendendo 
a -1). Quanto menor a correlação entre os retornos dos ativos (igual a 
-1 ou tendendo a -1), maior será a redução do risco pela diversificação. 
Conforme já informado, uma carteira é ótima ou entendida como 
eficiente para Markowitz, quando a combinação de ativos promove o 
maior retorno esperado para um menor nível possível de risco ou mini-
miza o grau de risco para um dado retorno esperado. 
Um conjunto de todas as carteiras eficientes, possíveis de serem 
construídas a partir dos ativos disponíveis, forma a fronteira eficiente. 
Essa fronteira permite ao investidor uma melhor percepção entre as 
variáveis risco e retorno, e assim selecionar sua carteira.
CÁLCULO DO RISCO NÃO DIVERSIFICÁVEL DE UMA 
CARTEIRA (RISCO SISTEMÁTICO – β)
O risco sistemático é representado pelo coeficiente β. Esse coe-
ficiente indica a sensibilidade de um ativo com relação ao retorno da 
c a rt e i r a d e m e r c a d o . 
O coeficiente beta de um ativo pode ser obtido, a partir dos seus 
retornos históricos observados. Utilizando os dados históricos, você 
calculará a covariância e a variância e dividirá a primeira pela segunda, 
ca rt e i r a d e 
m e r c a d o 
Carteira de refe-
rência de mercado. 
Teoricamente, repre-
senta a carteira de 
todos os ativos de 
uma economia ou 
da economia global. 
Na prática, o Índice 
da Bovespa – um 
índice amplo da 
Bolsa de Valores – 
pode representar o 
mercado.
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3ou seja:
β = COVkA,km / σm
2
Onde,
β = coeficiente beta
COVkA,km = covariância do retorno do ativo A (kA) e a carteira de mer-
cado (km)
σm2 = variância do retorno sobre a carteira de mercado.
O coeficiente beta de uma carteira representa a média ponderada 
dos betas dos ativos que a compõem. 
βC = (p1 x β1) + (p2 x β2) + ... + (pn x βn) 
βC = 
n
i i
i=1
p ×β∑
Onde, 
βC = beta da carteira 
pi = proporção do ativo i na composição da carteira
βi = retorno do ativo i
n = total de ativos que compõem a carteira βC
O total da soma de todas as proporções deverá ser igual a 1, ou 
seja, 100% dos ativos da carteira devem ser incluídos no cálculo. 
Exemplificando: 
Suponha uma carteira de investimentos formada por dois ati-
vos – L e M – tendo 60% de sua composição monetária formada pelo 
ativo L e 40% formados pelo ativo M. Suponha que o ativo L tenha um 
coeficiente beta igual a 1,5 e o ativo M igual 0,8. Determine o beta da 
carteira LM a partir da fórmula apresentada:
βLM = (pLx βL) + (pM x βM) = (0,6 x 1,5) + (0,4 x 0,9) = 0,9 + 0,32 = 1,22
O beta da carteira de investimentos LM é igual a 1,22.
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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Investir? Como fazer?
Para conhecer um pouco mais sobre como criar uma carteira de fun-
dos de investimentos ou ações, consulte a aba Mercados no Portal 
Exame, em http://portalexame.abril.com.br. 
Visite também o Portal Brasileiro de Tecnologia em Risco, em www.
risktech.com.br. Lá você encontrará informações e recursos relacio-
nados a risco de mercado. 
Faça uma boa leitura! 
Agora que você terminou a leitura desta seção, calcule a covariância entre os retor-
nos dos ativos V e Z, apresentados no quadro abaixo, e o coeficiente de correlação 
correspondente aos ativos. Depois elabore um quadro sugerindo cinco composições 
para a formação de carteira VZ. Determine o retorno esperado e o desvio-padrão de 
cada composição sugerida. Bom trabalho! 
Cenário Probabilidade Retorno Ativo V Retorno Ativo Z
Recessão 30% -5% 10%
Moderado 45% 25% 25%
Crescimento 25% 40% 35%
Retorno esperado de cada ativo 19,75% 23%
Atividade 3
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Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
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Resposta Comentada
1º passo:
Determinar o risco de cada ativo individualmente.
σv = [(-5% - 19,75%)2 x 0,30 + (25% - 19,75%)2 x 0,45 + (40% - 19,75%)2 
x 0,25]1/2
σv = [183,77%' + 12,40% + 102,52%]1/2
σv = [298,69%]1/2 
σv = 17,28%
σz = [(10% - 23%)2 x 0,30 + (25% - 23%)2 x 0,45 + (35% - 23%)2 x 0,25]1/2
σz = [50,70% + 1,80% + 36%]1/2
σz = [88,50%]1/2 
σz = 9,41%
 
2º passo:
Determinar a covariância entre os retornos dos ativos V e Z.
Cenário Probabili- 
dade Pr
Retorno 
Ativo V
Retorno 
Ativo Z
Pr x (k – kev ) x 
(k – kez ) = COV VZ
Recessão 30% -5% 10% 0,0096525
Moderado 45% 25% 25% 0,0004725
Crescimento 25% 40% 35% 0,0060750
Retorno esperado de cada ativo 19,75% 23% ∑ 0,0162000
Desvio-padrão de cada ativo 17,28% 9,41%
3º passo:
Determinar a correlação entre os dois ativos.
ρV,Z = 0,01620V,Z / 0,1728V x 0,0941Z 
ρV,Z = 0,99628055 
4º passo:
Elaborarquadro, sugerindo cinco composições para a formação de carteira VZ.
Cálculo do retorno esperado e do desvio-padrão de cada composição. 
Combinação 1
σC = [(0
2 x 0,17282) + (12 x 0,09412) + 2 x 0 x 1 x 0,01620 ]1/2 
σC = [0,00885481 ]
1/2 
σC = 0,0941 x 100 = 9,41% 
Combinação 2
σC = [(0,25
2 x 0,17282) + (0,752 x 0,09412) + 2 x 0,25 x 0,75 x 
0,01620 ]1/2 
C E D E R J 2 5
A
U
LA
 
1
3
σC = [0,01292207 ]
1/2 
σC = 0,1137 x 100 = 11,37% 
Combinação 3
σC = [(0,5
2 x 0,17282) + (0,52 x 0,09412) + 2 x 0,5 x 0,5 x 0,01620 ]1/2 
σC = [0,01777866 ]
1/2 
σC = 0,1333 x 100 = 13,33% 
Combinação 4
σC = [(0,75
2 x 0,17282) + (0,252 x 0,09412) + 2 x 0,75 x 0,25 x 0,01620 ]1/2 
σC = [0,02342459 ]
1/2 
σC = 0,1530 x 100 = 15,30% 
Combinação 5
σC = [(1
2 x 0,17282) + (02 x 0,09412) + 2 x 1 x 0 x 0,01620]1/2 
σC = [0,02985984 ]
1/2 
σC = 0,1728 x 100 = 17,28% 
Proporções para forma-
ção de carteiras Retorno esperado da carteira VZ
*Desvio- 
padrão da car-
teira VZAtivo V Ativo Z
0 100% 0x19,75% + 1x23% = 23% 9,41%
25% 75% 0,25x19,75% + 0,75x23% = 22,19% 11,37%
50% 50% 0,5x19,75% + 0,5x23% = 21,38% 13,33%
75% 25% 0,75x19,75% + 0,25x23% = 20,56% 15,30%
100% 0 1x19,75% + 0x23% = 19,75% 17,28%
*σC = [(p
21 x σ21) + (p22 x σ22) + 2 x p1 x p2 x COV1,2 ]
1/2
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
C E D E R J2 6
Das afirmações que vêm a seguir, umas são falsas (F); outras, verdadeiras 
(V). Examine-as com atenção e, segundo seu entendimento, assinale V ou F, 
justificando sua resposta. 
( ) Uma carteira otimizada é considerada uma carteira eficiente, pois é aquela que combina 
o máximo retorno ao menor grau de risco possível. 
( ) O retorno esperado de uma carteira de investimentos representa o retorno médio dessa 
carteira. 
( ) O risco relativo a fatores conjunturais é chamado de risco não sistemático ou diversificável. 
O risco relativo a fatores específicos, relacionados ao emissor do ativo, inclusive ao setor de 
atuação, é o sistemático ou diversificável. 
 ( ) O risco sistemático pode ser reduzido ou até mesmo eliminado através da formação de 
uma carteira de ativos tecnicamente montada.
 ( ) A diminuição ou eliminação do risco diversificável normalmente se dá pela combinação 
de ativos que tendam a se correlacionar positivamente ou que mantenham baixa correlação. 
 ( ) O cálculo do risco de uma carteira, pensando em desvio-padrão, requer um tratamento 
diferente ao dado na determinação do risco de um ativo individual. 
 ( ) O risco sistemático é representado pelo coeficiente β. 
Resposta Comentada 
(V) Sim, resposta verdadeira! A carteira otimizada é entendida como a combinação 
ótima de ativos, pois busca incorrer ao menor grau de risco possível, para um dado 
retorno esperado ou o maior retorno esperado possível, para um dado grau de risco 
que o investidor esteja disposto a incorrer.
(V) Resposta verdadeira! O retorno esperado de uma carteira representa o retorno 
médio dessa carteira, e o seu cálculo é feito a partir da média ponderada dos retornos 
dos ativos que compõe a carteira. 
(F) Resposta falsa! O risco representa um conceito que envolve fatores de risco con-
junturais globais de ordem política, econômica e social, como também fatores de 
risco específicos, relacionados ao emissor do ativo. O risco, relativo a fatores conjun-
turais, é chamado de risco sistemático ou não diversificável. O risco relativo a fatores 
específicos relacionados ao emissor do ativo, inclusive ao setor de atuação, é o não 
sistemático ou diversificável. 
(F) Resposta falsa! O risco diversificável ou não sistemático é possível de ser 
reduzido ou até mesmo eliminado através da formação de uma 
carteira de ativos tecnicamente montada.
31 2
Atividade Final
C E D E R J 2 7
A
U
LA
 
1
3
(F) Resposta falsa! A diminuição ou eliminação do risco diversificável normalmente se 
dá pela combinação de ativos que tendam a se correlacionar negativamente ou que 
mantenham baixa correlação. 
(V) Sim, resposta verdadeira! O cálculo do risco de uma carteira, pensando em desvio-
-padrão, requer um tratamento diferente ao dado na determinação do risco de um 
ativo individual. No cálculo deve-se considerar a covariância existente entre os ativos 
que compõem essa mesma carteira. 
(V) Sim, resposta verdadeira! O coeficiente β indica a sensibilidade de um ativo com 
relação ao retorno da carteira de mercado. O β de uma carteira é a média ponderada 
dos betas dos ativos que a compõem. 
A teoria de carteira, desenvolvida por Harry Markowitz, dedica-se à formação de 
uma carteira otimizada de investimentos. Uma carteira otimizada é considerada 
uma carteira eficiente, pois é aquela que combina o máximo retorno ao menor grau 
de risco possível. Representa uma combinação de ativos que possa proporcionar 
ao investidor a relação mais vantajosa entre risco e retorno esperado. 
A teoria explica como o investidor deve usar o princípio da diversificação para 
otimizar os resultados de suas aplicações e precificar ativos arriscados. A principal 
ideia relacionada à formação de carteiras é que o risco de um único investimento 
é diferente de seu risco quando mantido em carteira. 
O retorno esperado de uma carteira de investimentos representa o retorno médio 
dessa carteira. Seu cálculo é feito a partir da média ponderada dos retornos dos 
ativos que a compõem. O total da soma de todas as proporções deverá ser igual 
a 1, ou seja, 100% dos ativos da carteira devem ser incluídos no cálculo. 
O risco representa um conceito que envolve fatores de risco conjunturais globais 
de ordem política, econômica e social, como também fatores de risco específicos, 
relacionados ao emissor do ativo. 
O risco, relativo a fatores conjunturais, é chamado de risco sistemático ou não 
diversificável. O outro tipo de risco é o não sistemático ou diversificável. Esse risco 
surge a partir de fatores específicos relacionados ao emissor do ativo, inclusive ao 
setor de atuação, e é possível de ser reduzido ou até mesmo eliminado através da 
formação de uma carteira de ativos, tecnicamente montada.
R E S U M O
Sistema Financeiro | Risco e retorno de carteira
C E D E R J2 8
A diminuição ou eliminação do risco diversificável normalmente se dá pela 
combinação de ativos que tendam a se correlacionar negativamente ou que 
mantenham baixa correlação. Carteiras entendidas como bem diversificadas mantêm 
o risco sistemático – aquele que não é eliminado pela diversificação de ativos.
O cálculo do risco de uma carteira, pensando em desvio-padrão, requer um 
tratamento diferente ao dado na determinação do risco de um ativo individual. 
No cálculo, além de levar em conta a média ponderada dos desvios-padrão dos 
ativos que compõe a carteira, deve-se considerar a covariância existente entre os 
ativos que compõe essa mesma carteira. 
O risco sistemático é representado pelo coeficiente β. Esse coeficiente indica a 
sensibilidade de um ativo com relação ao retorno da carteira de mercado. O 
coeficiente beta de uma carteira representa a média ponderada dos betas dos 
ativos que a compõem. 
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, iremos estudar o modelo de formação de preço de ativos. 
Até lá!