Prova de análise vetorial

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Primeira prova de Análise Vetorial - ENG Prof. Claudio Anael
18/05/2004
Instruções. Leia atentamente as 4 questões antes de ini
iar. Exiba todas as passagens
e deduções detalhadamente. Não esqueça de p�r o nome em todas as folhas.
1. Questão (2,5 pontos): Faça um esboço do ar
o de 
urva des
rito pela parametrização
~σ(t) = (t , −t2 + 2t + 3), onde o parâmetro t real varia de 0 até 3. Cal
ule o
omprimento de ar
o.
2. Questão (2,0 pontos): Considere a função es
alar V (x, y) = exp (2xy). Faça um
desenho esquematizando o padrão de 
omportamento exibido pelo 
ampo de vetores
~∇V no interior de um quadrado, 
entrado em (0, 0), 
ujos lados são paralelos aos
eixos 
oordenados. Cal
ule
∫
c
(~∇V ) · ~dl, onde ~σ(t) = (t, 1/2t), 1 ≤ t ≤ 10, é uma
parametrização de c
3. Questão (2,5 pontos): Cal
ule a integral da função es
alar real f(x, y) = x + y ao
longo da elipse x 2 + y 2 = 3 2 2 2.
4. Questão (2,5 pontos): Cal
ule o trabalho realizado pelo 
ampo de vetores
~F (x, y, z) = (−y, x, x exp y)
ao longo do ar
o de héli
e representado pelo mapeamento ~σ(t) = (cos t, sin t, t), 
om
0 ≤ t ≤ 4π.
Fórmulas:
(a) ∫ √
x2 ± a2 dx = x
2
√
x2 ± a2 ± a
2
2
ln
∣∣∣x +√x2 ± a2∣∣∣
(b) ∫ √
a2 − x2 dx = x
2
√
a2 − x2 + a
2
2
arcsin
(
x
a
)
, a > 0