mf2a-0 1-analise dimensional (II) (1)

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Graduação em F́ısica
Notas de aula GF-N.0/xx
Mecânica F́ısica IIA
Notas de Aula 0 - Análise dimensional
1
Marcelo Chiapparini2
Rio de Janeiro, março de 2010
1Extráıdo de: R.A. Serwaye e J.W. Jewett Jr., Prinćıpios de F́ısica, vol. 1, 1. reimpr. da 1. ed. brasileira de
2004, editora Pioneira Thomson Learning Ltda., São Paulo.
2email: chiappa@uerj.br
Notas de Mecânica F́ısica IIA, IF-UERJ/2010-1, GF-N.0/xx 2
1 Análise dimensional
A palavra dimensão tem um significado especial em F́ısica. Ela denota a natureza f́ısica de uma
grandeza. Não interessa se uma distância é medida em unidades de pés, metros ou furlongs.
Dizemos que sua dimensão é comprimento. Os śımbolos comumente utilizados para especificar as
dimensões de comprimento, massa, e tempo são L, M, e T, respectivamente. Frequentemente se
utilizam os colchetes [ ] para denotar as dimensões de uma grandeza f́ısica. Por exemplo, nessa
notação as dimensões de velocidade v são escritas [v]=L/T, e as dimensões de área A são [A]=L2.
Em muitas situações, você pode ter que derivar ou checar uma equação espećıfica. Embora você
possa ter esquecido os detalhes da derivação, um procedimento útil e poderoso chamado análise
dimensional pode ser usado como um teste de consistência, para ajudar na derivação, ou para checar
a expressão final. A análise dimensional faz uso do fato que as dimensões podem ser tratadas como
grandezas algébricas. Por exemplo, grandezas podem ser adicionadas ou substráıdas unicamente se
têm as mesmas dimensões. Além disso, os termos de ambos os lados de uma equação têm de ter
as mesmas dimensões. Ao seguir essas regras simples, você pode usar a análise dimensional para
ajudár-lo a determinar se uma expressão tem a forma correta, já que a relação pode ser correta
apenas se as dimensões nos dois lados da equação são as mesmas.
Para ilustrar esse procedimento, suponha que você deseja derivar uma expressão para a posição
x de um carro no tempo t se o carro parte do repouso em t = 0 e move-se com aceleração constante
a. Sabemos que a expressão correta para esse caso especial é
x =
1
2
at2. (1)
Vamos checar a validade dessa expressão utilizando o análise dimensional.
A grandeza x no lado esquerdo tem a dimensão de comprimento, [x] =L. Para a equação
(1) ser dimensionalmente correta, a grandeza no lado direito tem também que ter a dimensão de
comprimento. Podemos realizar um teste dimensional substituindo as dimensões básicas para a
aceleração, [a]=L/T2, e tempo, [t]=T, na equação (1). Isto é, a forma dimensional da equação
pode ser escrita como
L =
L
T2
· T2
= L. (2)
As unidades de tempo no lado direito cancelam-se, deixando a unidade de comprimento. Note que
o número 1/2 na equação (1) não tem unidades, de tal forma que ele não contibui para o análise
diensional da equação (2).
Vejamos agora um outro exemplo, mostrando que a equação
vf = vi + at (3)
está correta dimensionalmente, onde vf e vi representam velocidades em dois instantes de tempo,
a é a aceleração, e t é o intervalo de tempo transcorrido. Para isso usamos que as dimensões das
velocidades são
[vf ] = [vi] =
L
T
,
e as dimensões da aceleração são
[a] =
L
T2
.
Notas de Mecânica F́ısica IIA, IF-UERJ/2010-1, GF-N.0/xx 3
Assim, o análise dimensional da equação (3) se escreve
L
T
=
L
T
+
L
T2
· T
=
L
T
+
L
T
, (4)
mostrando que a equação (3) está correta dimensionalmente. Por outro lado, se a expressão pro-
posta fosse vf = vi + at
2, ela estaŕıa incorreta dimensionalmente. Mostre isso como exerćıcio.
2 Conversão de unidades
Algumas vezes é necessário converter unidades de um sistema para outro, ou convertê-las dentro
de um sistema, por exemplo, de quilômetros para metros.
Unidades podem ser tratadas como grandezas algébricas que podem cancelar uma à outra. Para
realizar uma conversão, uma grandeza pode ser multipilcada por um fator de conversão, que é uma
fração igual a 1, com o numerador e denominador tendo unidades diferentes, de tal forma a fornecer
as unidades desejadas no resultado final. Por exemplo, suponha que desejamos converter 15,0 in
em cent́ımetros. Como 1 in = 2,54 cm, multiplicamos por um fator de conversão que é a razão
apropriada dessas unidades iguais, e encontramos
15, 0 in = 15, 0 in ×
(
2, 54 cm
1 in
)
︸ ︷︷ ︸
=1
= 38, 1 cm
em que a razão entre parênteses é igual a 1. Observe que escolhemos colocar a unidade de polegada
no denominador e ela cancela com a unidade na grandeza original. A unidade que sobra é o
cent́ımetro, que é nosso resultado desejado.
Em outro exemplo, consideremos um cubo sólido de 856 g, onde cada lado tem um comprimento
de 5,35 cm. Determinemos a densidade ρ do cubo em unidades SI. Para isso devemos converter a
massa e o comprimento para unidades SI antes de calcular a densidade. Como 1kg = 1000 g e 1 m
= 100 cm, a massa m e o volume V em unidades SI são
m = 856 g
(
1, 00 kg
1, 00 × 103 g
)
= 0, 856 kg
L = 5, 35 cm
(
1, 00 m
1, 00 × 102 cm
)
= 5, 35 × 10−2 m.
Agora, o volume do cubo é
V = L3 = (5, 35 × 10−2 m)3 = (5, 35)3 × 10−6 m3 = 1, 53 × 10−4 m3.
Por tanto, a desidade do cubo é
ρ =
m
V
=
0, 856 kg
1, 53 × 10−4 m3
= 5, 59 × 103kg/m3.