EA2 CAPÍTULO 1

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UNIDADE I – REVISÃO ESTATÍSTICA DESCRITIVA E PROBABILIDADES 
1 - Introdução à probabilidade 
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuição humana para estudar os 
fenômenos do nosso cotidiano de trabalho. Para isso, vamos utilizar o princípio 
básico do aprendizado humano que é a ideia de experimento. 
Podemos classificar os experimentos em dois tipos: aleatórios (casuais) e não 
aleatórios (determinísticos). Os experimentos determinísticos são totalmente 
caracterizados a priori, ou seja, são fenômenos em que o resultado é sabido 
antes mesmo em que ele ocorra e desta forma, nada temos a fazer. 
Os experimentos que iremos estudar são os aleatórios, dos quais não sabemos o 
resultado a priori, ou seja, são acontecimentos cujos resultados não podem ser 
previstos. 
A seguir tratamos os termos básicos associados a modelagem dos experimentos 
aleatórios. 
Definição 1.1: O primeiro elemento na modelagem de um experimento é o 
espaço amostral, que consiste no conjunto de todos os possíveis resultados do 
experimento. Ao estudarmos uma característica da qualidade de um processo (ou 
produto), o espaço amostral consiste de todos os resultados possíveis que a 
característica da qualidade pode assumir. Geralmente representaremos esse 
conjunto por S ou por . 
Por exemplo, se o experimento é lançar uma moeda e verificar a face voltada 
para cima, o espaço amostral é o conjunto S = {cara, coroa}. Para o lançamento 
de um dado de seis faces, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Exemplo 1.1: Considere um experimento no qual classificamos um produto em 
defeituoso ou não defeituoso. Neste caso, o espaço amostral é S = {defeituoso, 
não defeituoso}. 
Exemplo 1.2: Em um experimento para contar o número de pessoas com 
diabetes na cidade de São Paulo, obtemos como espaço amostral S = {0, 1, 2, 3, 
... }. 
Ao projetarmos nosso experimento formulamos perguntas (ou conjecturas) 
associadas ao mesmo. Estas perguntas são denominadas eventos. 
Definição 1.2: Todas as perguntas (ou conjecturas) que formulamos a respeito do 
experimento são denominadas EVENTOS. Os eventos serão denotados por letras 
maiúsculas. 
Considerando novamente o exemplo de lançar um dado, podemos ter os 
seguintes eventos: A = {sair número par}, B = {sair número ímpar}, C = {sair 
número maior do que 3}. Esses eventos podem ser representados, 
respectivamente, pelos conjuntos: A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e C = {4, 5, 6}. 
Considerando agora o experimento do Exemplo 1.1 podemos definir como 
eventos D = {defeituoso}, E = {não defeituoso}. Já referente ao Exemplo 1.2, ao 
contarmos o número de pessoas com diabetes, podemos associar eventos como 
A={entre 15 e 20 pessoas com diabetes} = {15,16,17,18,19,20} ou o evento F = 
{nenhuma pessoa} = {0}. 
Em todos estes exemplos, associamos os eventos a subconjuntos do espaço 
amostral. Portanto, do ponto de vista matemático, vamos definir eventos como 
subconjuntos do espaço amostral. O próprio espaço amostral é um evento, 
também conhecido como evento certo, enquanto que o evento incerto é 
denominado de evento vazio e denotado por . 
1.1 - Manipulação de eventos 
Os eventos são estudados do ponto de vista de sua "ocorrência" ou "não 
ocorrência". Por exemplo, o evento impossível de ocorrer é o evento vazio, 
enquanto que o evento certo de ocorrer é o espaço amostral. Neste módulo, 
vamos estabelecer uma estratégia para manipularmos os eventos. Como 
interpretamos os eventos como sentenças que formulamos a respeito dos 
resultados do experimento (subconjuntos do espaço amostral), podemos utilizar 
relações lógicas para manipular os eventos. As três operações básicas são: 
 União ( ): A união de dois conjuntos quaisquer A e B conterá todos os elementos 
de A e de B, incluindo os elementos que são e os que não são comuns aos dois conjuntos. 
Um elemento se, e só se, e/ou . 
 
Os círculos em amarelo é o conjunto . 
Podemos generalizar a definição de união para uma sequência de conjuntos A1, 
A2, ... . Generalizamos tal definição da seguinte forma: 
 
 
 Interseção ( ): A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B conterá os 
elementos comuns a A e B. Um elemento se, e só se, e . 
 
A região pintada em vermelho é o conjunto . 
Analogamente, generalizamos esta definição para uma sequência de conjuntos 
A1, A2, ... da seguinte forma: 
 
 
 Complementar ( ): O evento complementar ao evento A é o conjunto dos 
elementos do espaço amostral que não pertencem a A. Um elemento se, e só 
se, e . 
 
O círculo em branco é o conjunto A e a região em verde é o conjunto 
Complementar de A ( ). 
Consideremos os seguinte eventos, associados ao lançamento de um dado: A = 
{sair número par} = {2, 4, 6}, B = {sair número ímpar} = {1, 3, 5} e C = {sair 
número maior que 3} = {4, 5, 6}. Com isso temos que 
a) . 
b) . 
c) e . 
d) . 
Observação: Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o 
conjunto composto por nenhum elemento, que denotaremos por Ø. Este conjunto 
está contido em qualquer outro evento do espaço amostral. 
Definição 1.1.1: Eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) são aqueles cuja 
ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Ou seja, 
dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos se = Ø. 
A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares das operações de 
união, interseção e complementar: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
f) . 
Considere uma família enumerável de eventos. Assim, as leis de De 
Morgan são dadas por: 
 
 
e 
 
 
As leis de De Morgan são simples de serem demonstradas (exercício), porém 
serão bastante utilizadas durante nosso curso de probabilidade. 
A partir das operações básicas (união, intersecção e complementar), podemos 
desenvolver novas operações com conjuntos. Considere A e B eventos, definimos 
a diferença entre estes eventos por . 
 
 
 
O conjunto em laranja representa a diferença entre dois conjuntos (A-B). 
 
De forma similar, definimos a diferença simétrica entre dois eventos 
por . 
 
 
O conjunto em vermelho representa a diferença simétrica ( ). 
A estrutura que definimos sobre a classe de eventos é denominada álgebra 
booleana. 
Exercício: Considere o experimento de lançamento de dois dados: 
1) Definir o espaço amostral; 
2) Dados os eventos "soma das faces é número par" e o evento "a soma 
das faces é maior que 9". Calcule . 
1.2 - Noções fundamentais de probabilidade – Definição Axiomática 
A probabilidade é o ato de atribuirmos pesos aos eventos. Entretanto, para que 
cada um não defina probabilidade de sua forma, vamos exigir que esta função 
peso tenha algumas propriedades intuitivas. Quando lançamos uma moeda não 
hesitamos em associar probabilidade para o evento "cara" e também para 
o evento "coroa". Da mesma forma, quando lançamos uma moeda vezes todos 
os possíveis resultados deste experimento tem a mesma probabilidade. 
Definição 1.2.1: A probabilidade, que denotaremos por , é uma função que tem 
domínio na classe de eventos e tem como imagem valores numéricos (pesos) 
entre 0 e 1. Além disso, a probabilidade deve satisfazer os seguintes axiomas: 
1. e . 
2. , para todo evento . 
3. Para qualquer sequência de eventos mutuamente exclusivos , isto é, 
eventos para os quais quando , temos que 
 
 
Qualquer função que atribua pesos a eventos associados a um espaço amostral 
e que satisfaça as propriedades (1), (2) e (3) acima será denominada 
probabilidade. 
Propriedades da probabilidade 
A seguir, apresentamos algumas propriedades elementares da probabilidade que 
são obtidas diretamente da definição. 
P1.Se for o evento complementar de , então . 
De fato, sendo o espaço amostral, temos que 
 
 
onde esta união é disjunta, uma vez que . Utilizando o axioma 3 da 
definição de probabilidade segue que 
 
 
como queríamos. 
Uma propriedade importante para calcularmos a probabilidade de ocorrência de 
eventos associados ao experimento é a regra da soma, que nos dá a 
probabilidade da união de dois eventos quaisquer. 
P2. A probabilidade da união de dois eventos e é calculada como 
 
 
De fato, temos que e , portanto 
 
 
Também temos que com , então 
 
 
Então, combinando estes dois resultados, temos que 
 
 
como queríamos demonstrar. 
P3. Se , e são três eventos quaisquer, então 
 
 
De fato, temos que 
 
 
sendo esta união disjunta. Então pelo axioma 3 da definição de probabilidade, 
temos que 
 
 
e utilizando a propriedade P2 na equação (1) temos 
 
 
Mas , sendo que esta união é disjunta, portanto 
 
 
Também temos que , e esta união é 
disjunta. Daí 
 
 
Finalmente, , o que implica que 
 
 
já que a união é disjunta. 
Então, combinando as equações (1), (2), (3) e (4), concluímos que 
 
 
como queríamos demonstrar. 
P4. Se A B, então . 
De fato, temos que se então , sendo que esta união é 
disjunta. Portanto, utilizando o axioma 3 da definição de probabilidade, segue 
que 
 
 
Como , temos então que , como queríamos demonstrar. 
 
P5. Se 
De fato observe que , e ainda que . Assim 
podemos utilizar o axioma 3 
 
 
P6. Sejam eventos aleatórios tais que , ou 
seja, e ainda o , então . 
Como então 
 
 
Isto é ilustrado através do diagrama: 
 
 
Observe que cada são conjuntos disjuntos, pois a sequência é uma 
sequência decrescente. Pelo axioma 3temos então que 
 
 
Logo por P5 , e portanto 
 
 
Note que os termos da somatória vão se cancelando restando apenas o primeiro e 
o último, assim 
 
 
Portanto . 
 
P7. Sejam uma sequência de eventos aleatórios, então 
 
 
Vamos mostrar essa propriedade por indução finita, para isto mostremos 
primeiramente que , de fato por P2 
 
 
 pois . Agora vamos supor que esta propriedade seja válida 
para , ou seja, que 
 
 
e mostremos que é válida para . Note que 
 
 
no qual , e pela nossa hipótese de indução temos que 
 
 
e, portanto, concluímos nossa demonstração. 
 
P8. Sejam uma sequência de eventos aleatórios, então 
 
 
Observemos que se definirmos , temos então que é uma sequência 
monótona crescente, ou seja, , no qual C é definido como . Mas 
a probabilidade é uma função contínua em uma sequência monótona crescente, 
assim sendo temos que . 
Mas por P7 temos que 
 
 
por outro lado 
 
 
ou seja 
 
 
 
P9. . 
Por De Morgan temos que . Assim 
 
 
 P10. . 
Tomemos , observe que , logo , no qual . 
Assim como a função de probabilidade é continua em uma sequência monótona 
temos que , portanto temos que 
 
 
 P11. Se , para , então 
 
 
Por P8 e pela primeiro axioma temos que 
 
 
P12. Se , para , então 
 
 
Por P10 e pelo primeiro axioma temos que 
 
 
P13. Se e são eventos aleatórios, tais 
que e , quando , então . 
Observemos primeiramente que por P2 , 
mas e e , pois , e 
assim temos que 
 
 
Logo, como , temos então 
que , e portanto . 
Exemplo 1.2.1: Considerando o evento A={sair número par} e o evento C={sair 
número maior que 3} no lançamento de um dado, temos que 
 
Exemplo 1.2.2: Consideremos o experimento de lançarmos 3 moedas honestas 
simultaneamente, e observamos a face voltada para cima. Qual é a probabilidade 
de obtermos 3 caras? Neste mesmo experimento qual seria a probabilidade de 
obtermos pelo menos 2 caras? 
Primeiramente vamos construir nosso espaço amostral, denotaremos por C=cara e 
K=coroa. 
 
 
Logo temos que tem 8 elementos; o evento A={Obter 3 caras}={(C,C,C)}. 
Assim como as moedas são honestas temos que existe igual probabilidade para 
cada elemento do espaço amostral 
Sendo assim: 
 
Agora vamos analisar a probabilidade de obtermos pelo menos 2 caras. Seja 
B={obter pelo menos 2 caras}={(C,C,C);(C,C,K);(C,K,C);(K,C,C)}, então 
 
1.3 - Eventos equiprováveis 
Se um experimento tem como espaço amostral , com um 
número finito de elementos, dizemos que os eventos elementares são 
equiprováveis, se todos tem a mesma probabilidade de ocorrer, isto é 
 
Desta forma, podemos definir a probabilidade de um evento , 
composto por elementos (com menor que ), como sendo: 
 
No lançamento de um dado honesto, os elementos do espaço 
amostral são equiprováveis, pois cada elemento do espaço 
amostral tem a mesma chance de ocorrer, ou seja, a chance de sair 1 é a mesma 
de sair 2, que é a mesma de sair 3, e assim por diante. Portanto, 
 
Com isso e da propriedade (3) de probabilidade, temos que, se é o evento sair 
número par no lançamento de um dado, então 
 
Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento é igual ao número 
de elementos favoráveis a , que é 3 (pois tem 3 elementos), 
dividido pelo número de elementos no espaço amostral , que é . 
Exemplo 1.2.3: Em um jogo de dados são lançados dois dados honestos 
simultaneamente. Para que um jogador ganhe, um dos seguintes eventos deve ocorrer: 
"soma das duas faces deve ser igual a 7", ou que o "maior valor obtido nos dois dados 
seja no máximo 3". Qual das duas possibilidades ele deve escolher? Primeiramente 
vamos analisar o nosso espaço amostral, que é dado pela tabela abaixo: 
Espaço amostral do lançamento de dois dados. 
 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
Note que o número de elementos do nosso espaço amostral é de . 
Seja , esses pares aparecem em 
amarelo na figura a baixo. 
 
 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
As células em amarelo representam o conjuntos dos pares tais que a soma é igual a 
Observe que o número de elementos do conjunto é igual a , ou seja, existem pares 
para os quais a soma é . Assim, a probabilidade que procuramos é dada por: 
 
 
Desta forma, a probabilidade de um jogador ganhar neste jogo é de caso ele escolha a 
possibilidade da soma ser igual . Vamos agora calcular a probabilidade do jogador 
vencer no caso em que o maior valor obtido nos lançamentos dos dados seja . 
Seja . 
 
Na tabela abaixo os pares que aparecem em azul são os pares pertencentes a B. 
 
A células em azul representam o conjunto dos pares tais que o maior valor é no máximo 
3. Pela tabela podemos observar que B tem 9 elementos, logo 
 
 
Portanto , assim é mais vantajoso para o jogador escolher que o maior 
valor obtido seja no máximo 3, pois assim ele tem maiores chances de ganhar. 
 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
 
1.3.1 - Métodos de enumeração 
Quando trabalhamos com espaço amostral finito e eventos 
equiprováveis,obtemos que a probabilidade pode ser definida por 
 
Neste caso, precisamos conhecer regras de contagem (ou enumeração) para 
calcularmos as probabilidades associadas aos eventos de interesse, pois nem 
sempre é fácil calcularmos o número de elementos do espaço amostral, ou ainda 
o número de elementos do evento de interesse. 
Exemplo 1.3.1: Um grupo de pessoas contém pessoas com diabetes 
e pessoas saudáveis. Dez pessoas são escolhidas ao acaso e sem reposição. 
Qual a probabilidade de escolhermos apenas uma pessoa com diabetes? 
 Espaço amostral? 
 
 
 Quantas 10-uplas de pessoas existem? 
 Quantas tem a característica que desejamos? 
Regras de contagem 
A seguir, vamos apresentar as regras básicas de contagem, denominadas regra da 
multiplicação e regra da adição. 
1. Regra da multiplicação: Suponha que para realizarmos uma tarefa temos que 
executar dois procedimentos (obrigatoriamente), denotados por e . O 
procedimento tem formas de ser executado e o 
procedimento tem formas de ser executado. O total de maneiras para 
executarmos a tarefa é dado por . 
Exemplo 1.3.2: Uma peça manufaturada deve passar por três passos e por três 
estações de controle. Em cada estação a peça é inspecionada com relação a uma 
determinada característica e marcada adequadamente. Na primeira estação, três 
classificações são possíveis (ok, excelente, retrabalho), enquanto que nas duas 
últimas, duas classificações são possíveis (ok, retrabalho). De quantas maneiras 
uma peça pode ser marcada? 
1ª estação - 3 maneiras 
2ª estação - 2 maneiras 
3ª estação - 2 maneiras 
Desta forma, a peça pode ser marcada de maneiras diferentes. 
 
2. Regra da adição: Suponha que temos dois procedimentos possíveis para 
executar uma tarefa. Aqui, basta executar um dos dois procedimentos para que 
tenhamos executado a tarefa. O procedimento tem formas de ser 
executado e o procedimento tem formas de ser executado. O total de 
maneiras para executarmos a tarefa é então dado por . 
 
 
Exemplo 1.3.3: Considere um processo de manufatura dividido 
em máquinas . Cada peça é desenvolvida por uma das 
máquinas e classificada em: 
Máquinas M1 M2 M3 M4 
Característica 
A1 B1 C1 D1 
A2 B2 C2 D2 
A3 D3 
Totais 3 2 2 3 
 
Com isso, concluímos que existe um total de maneiras de classificarmos a 
peça. 
Permutações, arranjos e combinação 
 
Permutação 
Suponha que tenhamos uma coleção de objetos. De 
quantas maneiras podemos permutar (dispor) estes elementos? O número de 
maneiras que podemos fazer isto é denominado permutação. 
 Exemplo 1.3.4: Se tivermos os objetos , e , podemos considerar as 
permutações: abc, acb, bac, bca, cab e cba. 
Suponha que temos compartimentos e queremos dispor os objetos 
de nestes compartimentos. Para isto, considere o esquema: 
 
Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de 
permutar elementos é: 
 
 
Definição 1.3.1: 0! = 1. 
Arranjo 
Suponha que tenhamos uma coleção composta 
por objetos. Agora, desejamos escolher objetos e permutá-los. O 
número de maneiras para fazer isto é denominado arranjo. Suponha que 
temos compartimentos e queremos dispor os objetos de O nestes 
compartimentos. Para isto, considere o esquema: 
 
Aplicando a regra da multiplicação, temos que o número de maneiras de 
arranjar elementos em compartimentos é: 
 
Combinação 
Suponha que tenhamos uma coleção composta 
por objetos. Agora, trataremos da contagem do número de maneiras de 
escolher objetos dentre os objetos sem considerarmos a ordem. 
Exemplo 1.3.5: Na coleção de objetos , quantos grupos podemos 
formar com dois objetos? 
Podemos formar os seguintes grupos com dois elementos: . Ou 
seja, em uma coleção de elementos, é possível formar grupos de dois 
elementos. Observe que aqui não contamos e pois formam dois grupos 
iguais.Como o número de maneiras de alocarmos os objetos 
em compartimentos é 
 
e, após alocarmos os objetos temos formas de permutá-los, então o número 
de maneiras de escolhermos objetos sem importar a ordem dentre objetos é: 
 
 Exemplo 1.3.6: Considere novamente o Exemplo 1.3.1 em que temos 
 1000 pessoas; 
 2 pessoas com diabetes; 
 10 pessoas selecionadas ao acaso e sem reposição. 
Espaço amostral: . De quantas maneiras 
podemos selecionar pessoas sem reposição? 
 
Qual a probabilidade de encontrarmos pessoa com diabetes entre 
as escolhidas? 
 
 
Teorema 1.3.1: Dados temos que 
 
 
 Demonstração: Quando temos que 
 
 
e a igualdade é válida para . Suponha agora que a igualdade seja válida 
para . Então 
 
 
assim, obtemos que 
 
 
Tomando na primeira soma e na segunda soma, temos que 
 
 
 
 
 
 
como queríamos demonstrar. 
 
1.4 - Eventos independentes e probabilidade condicional 
Outro conceito importante da teoria de probabilidade é o de independência 
entre dois eventos. Na prática, dois eventos são independentes quando a 
ocorrência de um evento não influência a ocorrência do outro evento. Do ponto 
de vista probabilístico temos a seguinte definição: 
Definição 1.4.1: Dois eventos e são ditos independentes se 
 
 
Exemplo 1.4.1: Um lote contém peças, sendo boas ( ) e defeituosas ( ). 
Retiramos duas peças, ao acaso e com reposição, para inspeção. Qual a 
probabilidade de se obter duas peças defeituosas? 
O experimento de realizar a primeira retirada tem como espaço 
amostral e a segunda retirada tem como espaço 
amostral , em que significa que retiramos uma peça defeituosa 
na i-ésima retirada e significa que retiramos uma peça boa na i-ésima retirada, 
para . Como as duas peças são retiradas ao acaso e com reposição, isto é, 
após retirarmos a primeira peça esta é colocada novamente no lote para que 
possamos efetuar a segunda retirada, temos que 
 
Associamos ao experimento de retirar duas peças ao acaso e com reposição o 
seguinte espaço amostral 
 
 
Queremos encontrar a probabilidade de se obter duas peças defeituosas, ou seja, 
a probabilidade das peças na primeira retirada e na segunda retirada serem 
defeituosas. Assim, desde que a primeira e a segunda retirada sejam executadas 
de forma independente, temos que 
 
Vamos examinar melhor a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao 
acaso, com ou sem reposição. Como vimos neste exemplo, se a retirada for feita 
com reposição, então 
 
pois cada vez que extraímos peças do lote, sempre existirão peças defeituosas 
e peças boas num total de . No entanto, se estivermos extraindo sem 
reposição, o resultado é diferente. É ainda verdade, naturalmente, que 
 
mas as probabilidades de sair uma peça defeituosa ou de sair uma peça boa na 
segunda retirada não serão as mesmas. Para calcularmos essas probabilidades 
devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda 
peça. Por exemplo, para calcularmos a probabilidade de extrairmos uma peça 
defeituosa na segunda retirada, D2, temos que saber se ocorreu ou . Caso 
tenha ocorrido , 
 
e, se ocorreu B1, 
 
Este exemplo nos mostra a necessidade de introduzirmos a definição de 
probabilidade condicional. 
 
Proposição 1.4.1: Um evento é independente dele mesmo se, e só 
se, ou . 
 
Suponha que , com . Sabemos que , 
para qualquer , entretanto , se ou . 
Logo se ou então ele é independente de si mesmo. Caso 
contrário, ele não será independe de si mesmo. Suponha agora que seja 
independente de si mesmo, portanto , ou 
seja, mas isto é válido se, e somente se, ou . 
 
Definição 1.4.2: A probabilidade de ocorrer um evento dado que ocorreu um 
evento é dadapor 
 
Dessa relação sai a Regra do Produto que é dada no teorema a seguir. 
Dados dois eventos e , concluímos que a probabilidade de ocorrência 
simultânea dos eventos e é igual a probabilidade de ocorrência do 
evento (ou ) vezes a probabilidade de ocorrência do evento (ou ) dado 
que ocorreu o evento (ou ), ou seja 
 
 
 
Exemplo 1.4.2: Considere o Exemplo 1.4.1, mas agora as retiradas serão feitas 
sem reposição, isto é, a primeira peça retirada não volta ao lote para retirarmos 
a segunda peça. Qual a probabilidade de se retirar duas peças defeituosas? 
A probabilidade de sair uma peça defeituosa na primeira retirada é . 
Além disso, . Assim, 
 
A seguir, apresentamos o teorema da probabilidade total que é usado com 
frequência para calcular a probabilidade de vários eventos. 
 
Teorema 1.4.2: (Teorema da probabilidade total) Sejam eventos 
dois a dois disjuntos que formam uma partição do espaço amostral, isto é, 
 
 
e assuma que para . Então, para qualquer evento , 
temos que 
 
 
Para demonstrarmos esse teorema basta observarmos que como a 
sequência formam uma partição então para qualquer , temos 
que . E como os são disjuntos dois a dois temos 
que também são disjuntos e pelo axioma 3 e pelo teorema 1.4.1 temos 
que 
 
Exemplo 1.4.3: Suponha que um jogador participa de um torneio de xadrez onde 
sua probabilidade de vitória é contra metade dos jogadores (chame-os do 
tipo ), contra um quarto dos jogadores (chame-os do tipo ) e contra o 
um quarto dos jogadores restantes (chame-os do tipo ). O jogador disputa uma 
partida contra um oponente selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade 
dele vencer? 
Seja o evento de jogar com um oponente do tipo . Temos então que 
 
 
Seja o evento vitória. Então temos 
 
 
Assim, pelo teorema da probabilidade total, a probabilidade de vitória é 
 
 
Ou seja, a probabilidade do jogador vencer a partida é de . O teorema da 
probabilidade total com frequência é usado em conjunto com o seguinte 
teorema, chamado de Teorema de Bayes, que relaciona probabilidades 
condicionais da forma com probabilidades condicionais da forma , 
em que a ordem da condicionalidade é reversa. 
 
Teorema 1.4.3: Sejam eventos que formam uma partição do 
espaço amostral, e assuma que para todo . Então, para qualquer 
evento tal que , temos que 
 
Para verificar o teorema de Bayes, basta notar 
que já que ambos são iguais a , o que 
garante a primeira igualdade. A segunda igualdade segue da aplicação 
do teorema da probabilidade total para . 
Exemplo 1.4.4: Considere novamente o Exemplo 1.4.3 onde é o evento de 
ter um adversário do tipo e 
 
 
Além disso, é evento vencer uma partida e 
 
 
Suponha que o jogador disputou uma partida e venceu. Qual a 
probabilidade dele ter jogado contra um adversário do tipo ? 
Usando o teorema de Bayes, temos que 
 
Ou seja, a probabilidade do jogador ter disputado uma partida contra um 
adversário do tipo , dado que ele venceu a partida é de . 
 
Exemplo 1.4.5: Suponha que uma pessoa está participando de um programa de 
televisão e lhe é fornecida a possibilidade de escolher entre portas. Atrás de 
uma das portas existe um carro e atrás das demais não existe prêmio algum. O 
participante escolhe uma porta, digamos a porta e o apresentador abre outra 
porta, digamos a porta , revelando que não há nada atrás dela e então oferece 
ao participante a oportunidade de trocar de porta. O que é mais vantajoso, 
trocar ou não a porta escolhida? 
Este é um problema clássico, conhecido como paradoxo de Monty Hall. A resposta 
intuitiva ao problema, porém errada, é a de que quando o apresentador revelou 
uma porta não premiada, o concorrente teria à frente um novo dilema com 
apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de que o prêmio esteja em 
qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O apresentador teria nos ajudado, 
já que nossas chances subiram de para , mas realmente não faria 
diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances 
de possuírem o prêmio. No entanto, esta resposta está errada, pois a porta que o 
apresentador abre depende da porta que o concorrente escolher inicialmente. 
Na verdade, é mais vantajoso trocar de porta e, ao fazê-lo a chance do 
participante ganhar o carro é de . Resolveremos este problema de duas 
formas diferentes. A primeira apenas descrevendo o problema e a segunda, 
utilizando o diagrama de árvores e probabilidades condicionais. 
Primeiramente, consideremos duas estratégias para o participante do programa: 
a estratégia , onde o participante seleciona uma porta e, se lhe é fornecida a 
oportunidade de trocar de porta, ele recusa e a estratégia , na qual o 
participante sempre troca a porta escolhida. Desta forma, utilizando a 
estratégia , o participante ganhará o carro com probabilidade , já que 
em das vezes a porta que ele escolhe terá o carro com o prêmio. Utilizando a 
estratégia , o participante somente ganhará o carro se, a princípio escolhe uma 
porta que não contém o carro como prêmio, o que ocorre em das vezes, ou 
seja, a probabilidade de ganhar com a estratégia é de e, portanto, duas 
vezes maior do que utilizando a estratégia . 
Podemos também, resolver este problema utilizando os conceitos de 
probabilidade condicional. Para isto, consideramos vários estágios. O carro é 
colocado atrás de uma porta, o participante escolhe uma porta e, finalmente, o 
apresentador abre uma porta. Então é natural analisar o problema através de um 
diagrama de árvore. Assumimos que se o apresentador pode escolher entre as 
portas (ou seja, o participante escolheu a porta com o carro), então ele escolhe 
cada porta com probabilidade . A árvore resultante é mostrada na figura a 
seguir 
 
Agora, supondo que o participante tenha escolhido a porta e o apresentador a 
porta , então existem apenas dois caminhos possíveis através da árvore. Para 
um dos caminhos, o carro está atrás da porta e para o outro, está atrás da 
porta . O caminho com o carro atrás da porta 2 é duas vezes mais provável que 
o caminho com o carro atrás da porta . Assim, a probabilidade condicional do 
carro estar atrás da porta é e a probabilidade do carro estar atrás da 
porta é , ou seja, se o participante trocar de porta, ele tem de chances 
de ganhar o carro. 
 
Exemplo1.4.6: Um teste de laboratório detecta uma doença quando ela está 
presente em dos casos. No entanto, o teste também fornece um resultado 
"falso positivo" para as pessoas saudáveis testadas. (Isto é, se uma pessoa 
saudável faz o teste, então, com probabilidade , o resultado do teste dirá 
que ela possui a doença.) Se da população tem a doença, qual é a 
probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o resultado do teste é 
positivo? 
Para resolver este problema, consideramos o evento de a pessoa testada ter a 
doença e o evento de que o resultado do teste é positivo. Então, a 
probabilidade desejada é obtida por 
 
ou seja, 
 
Assim, apenas das pessoas cujos resultados do teste deram positivo 
realmente possuem a doença. 
 
Exemplo 1.4.7: Em um teste de múltipla escolha, ou um estudante sabe a 
resposta ou arrisca uma das alternativas. Seja a probabilidade do estudante 
saber a resposta e a probabilidade do estudante arriscar adivinhá-la. 
Assuma que um estudante que arrisca a resposta acerta a resposta correta com 
probabilidade , onde é o número de alternativas de múltipla escolha. Qual 
é a probabilidade condicional de que um estudante soubesse a resposta da 
questão, dado que ele ou ela respondeu corretamente? 
Seja o evento de que o estudante responde a questão corretamente e o 
evento de que ele saiba a resposta. Então 
 
ou seja, 
 
Por exemplo,se e , então a probabilidade de que um estudante 
saber a resposta de uma questão que ele respondeu corretamente é . 
 
Exemplo 1.4.8: Uma companhia de seguros acredita que as pessoas possam ser 
divididas em duas classes: aquelas que são propícias a sofrerem acidentes e as 
que não são. Suas estatísticas mostram que uma pessoa propícia a acidentes terá 
um acidente em algum momento dentro do período de um ano com 
probabilidade , enquanto esta probabilidade diminui para para pessoas 
não propícias a acidentes. Supondo que da população é propícia a sofrer 
acidentes, qual é a probabilidade de que um novo segurado sofra um acidente 
durante um ano em que comprou uma apólice? 
Obteremos a probabilidade desejada ao condicionar se o segurado é ou não uma 
pessoa propícia a sofrer um acidente. Seja o evento de que um segurado sofra 
um acidente durante um ano em que comprou a apólice e o evento de que o 
segurado seja uma pessoa propícia a sofrer um acidente. Então a probabilidade 
desejada, , é dada por 
 
 
Exemplo 1.4.9: Suponha que você deseja enviar uma carta para sua namorada 
pelo correio, para isto você resolve pedir para um amigo coloca-la para você, 
entretanto ele pode esquecer-se de envia-la com uma probabilidade de . Caso 
ele não se esqueça de envia-la, a probabilidade que o correio extravie a carta é 
de . E ainda caso o correio a envie a probabilidade de que o carteiro não a 
entregue é também é de . Sabendo que sua namorada não recebeu sua carta 
qual é a probabilidade de seu amigo ter esquecido de colocá-la no correio? 
Esta é uma questão clássica em probabilidade. Vamos começar definindo os 
eventos 
definamos ; e 
. Pelos dados do problema temos que: 
 
 
O nosso problema consiste em encontrar , utilizando o teorema 1.4.3, 
concluímos que: 
 
Note que , pois dado que o amigo não enviou a carta o carteiro não 
vai entrega-la com probabilidade 1. Então vamos calcular a probabilidade 
de . 
 
 
Sendo assim, precisamos encontrar . Observe que: 
 
 
Da mesma forma obtemos 
 
 
Substituindo os valores encontrados na formula acima obtemos que 
 
 
Finalmente substituindo os valores encontrados na formula acima obtemos que 
 
E, portanto, a probabilidade de que o amigo não tenha colocado a carta no 
correio sabendo que a namorada não recebeu a carta é de, 
aproximadamente, . 
Exemplo 1.4.10: Vamos supor que vamos selecionar cartas em um baralho comum 
(com cartas) ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de retirarmos reis? 
Vamos definir o evento , onde . Queremos 
encontrar a probabilidade pelo teorema 1.4.1 temos que: 
 
Exemplo 1.4.11: Suponha que a ocorrência de chuva (ou não) dependa de das condições 
do tempo no dia imediatamente anterior. Admitamos que se chova hoje, choverá 
amanhã com probabilidade de e que se não chove hoje, então choverá amanhã com 
probabilidade de . Sabendo que choveu hoje, calcule a probabilidade de chover 
depois de amanhã. 
Consideremos nosso espaço amostral 
Seja o evento 
 e . 
Queremos encontrar , mas 
 
Ou seja, sabendo que choveu hoje, a probabilidade de chover depois de amanhã é 
de . 
Exemplo 1.4.12: Em um jogo de dados são jogados dois dados honestos 
simultaneamente, de forma independente. Considerando que o número da face voltada 
para cima dos dois dados os números sejam diferentes, qual é a probabilidade de que a 
soma seja ? 
Primeiramente vamos analisar o nosso espaço amostral. A tabela abaixo mostra todo o 
espaço amostral: 
 1 2 3 4 5 6 
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
Seja e . 
Observem na tabela cima que existem possibilidades das 36 para as quais os dois 
números são distintos. E dentre as possibilidades para os quais a soma é , 
existem possibilidade para os quais os números são distintos. Assim a 
probabilidade é dada por 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS UNIDADE I 
1) Em uma questão típica de múltipla escolha com cinco respostas possíveis, respondendo à 
questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada? 
2) A Cia de Seguros Sul América estudou as causas de morte por acidente doméstico e 
compilou um arquivo que consistia em 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes 
causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras. Selecionando 
aleatoriamente um desses casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido 
causada por envenenamento? 
3) Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos. 
4) Ao escolher entre diversos fornecedores de computadores, um comprador deseja saber a 
probabilidade de um computador pessoal falhar durante os dois primeiros anos. Qual é 
essa probabilidade? Obs.: Ao observarmos um grande número de computadores pessoais, 
uma pesquisa feita pela PC World feita junto a 4000 possuidores de computadores 
pessoais revelou que 992 dos computadores falharam durante os dois primeiros anos. 
5) Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? Explique o porquê. 
0; 0,0001; -0,2; 3/2; 2/3; 2 ; 2,0 
6) Qual a probabilidade do resultado ser cara ao jogar uma moeda? 
7) Selecionada uma pessoa aleatoriamente, determine a probabilidade de ele ou ela fazer 
aniversário em 18 de outubro (ignore os anos bissextos) e determine a probabilidade de o 
aniversário de uma pessoa escolhida aleatoriamente cair em novembro. 
8) Em um teste com três questões do tipo V/F, um estudante mal preparado deve responder 
cada uma aleatoriamente (por palpite). 
a) Relacione os diferentes resultados possíveis: 
b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões? 
c) Qual é a probabilidade de “palpitar” incorretamente todas as três questões? 
d) Qual é a probabilidade de passar no teste “palpitando” corretamente ao menos 
duas questões? 
9) A Mastercard International efetuou um estudo de fraudes em cartões de crédito; os 
resultados estão consubstanciados na tabela a seguir: 
Estudo sobre fraudes com cartões de crédito 
TIPO DE FRAUDE 
NÚMER
O 
Cartão roubado 243 
Cartão falsificado 85 
Pedido 
correio/telefone 
52 
Outros 46 
 
Selecionado aleatoriamente um caso de fraude nos casos resumidos na tabela, qual a 
probabilidade de a fraude resultar de um cartão falsificado? 
10) Sejam A e B dois eventos associados com um experimento E. Supondo que P(A) = 0,4, 
P(AUB) = 0,7 e P(B) = p, qual é o valor de p para que se tenha: 
a) A e B mutuamente exclusivos; 
b) A e B não mutuamente exclusivos e independentes. 
11) Ao jogar 21 (um jogo no cassino em Las Vegas), o apostador tira a 1ª carta de um baralho 
bem embaralhado. Qual é a probabilidade de se obter: 
a) uma carta de paus ou um ás? 
b) um ás ou um 2? 
c) um ás e um 2? 
12) Um laboratório realiza um teste com um medicamento com 2072 pacientes. Com base na 
tabela abaixo responda: 
TESTE DE SELDANE 
 Seldane Placebo 
Grupode 
Controle 
TOTAL 
Dor de cabeça 49 49 24 122 
Sem dor de cabeça 732 616 602 1950 
TOTAL 781 665 626 2072 
 Fonte: Merrel Dow Pharmaceutical, Inc. 
a) Se um dos 2072 indivíduos é escolhido aleatoriamente determine a probabilidade 
de se obter alguém que fez uso do placebo ou estava no grupo de controle. 
b) Qual a probabilidade de obter alguém que tenha usado Seldane ou que não teve 
dor de cabeça? 
13) Retira-se 2 cartas de um baralho contendo 52 cartas. Qual a probabilidade das 2 cartas 
serem: 
a) Vermelhas; 
b) 1 carta vermelha e 1 Ás. 
14) Um fazendeiro estima que, quando uma pessoaexperiente planta árvores, 90% 
sobrevivem, mas quando um leigo as planta, apenas 50% sobrevivem. Se uma árvore 
plantada não sobrevive, determine a probabilidade de ela ter sido plantada por um leigo, 
sabendo-se que das árvores são plantadas por leigos. 
15) (Provão economia 2001) Estudantes de três universidades diferentes, X, Y e Z, fazem um 
exame onde os resultados são medidos pelos conceitos A, B e C. A tabela abaixo mostra as 
distribuições de frequências relativas das combinações de universidades e conceitos. Tal 
tabela mostra, por exemplo, que 20% do total dos alunos que fizeram o exame eram da 
universidade X e tiveram conceito A; 5% eram da universidade Y e tiveram conceito C, e 
assim por diante. Sabendo-se que um estudante qualquer teve conceito A, a probabilidade 
de que ele tenha estudado na universidade X é? 
Universidades 
Conceitos 
A B C 
X 0,20 0,10 0,00 
Y 0,25 0,10 0,05 
Z 0,15 0,10 0,05