Aula 5 Curvas Horizontais de Transição Infraestrutura de vias terrestres

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Infraestrutura de Vias Terrestres
05 - CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIÇÃO
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- Introdução;
- Tipos de Curva de Transição;
- Características Geométrica da Espiral;
- Parâmetros da Curva;
- Comprimento de Transição;
- Concordância da Curva de Transição;
- Estacas dos Pontos Notáveis da Curva;
- Desenho da Curva;
CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIÇÃO
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Introdução
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Curvas Horizontais de Transição
 Introdução
Ao passar um veículo de um alinhamento reto a uma curva circular, há uma variação
instantânea do raio infinito da reta para o raio finito da curva circular, surgindo bruscamente
uma força centrífuga que tende a desviar o veículo de sua trajetória.
Para assegurar o conforto e a segurança nas curvas e reduzir os incômodos dessa variação
brusca da aceleração centrífuga, intercala-se entre a tangente e a curva circular uma curva de
transição, na qual o raio de curvatura passe gradativamente do valor infinito ao valor do raio
da curva circular.
Estas curvas de curvatura progressiva são chamadas de curvas de transição e são curvas
cujo raio instantâneo varia em cada ponto, desde o valor Rc (na concordância com o trecho
circular de raio Rc) até o valor infinito (na concordância com o trecho em tangente).
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Curvas Horizontais de Transição
 Introdução
Uma curva de transição exerce basicamente três funções:
 Proporciona um crescimento gradual da aceleração centrífuga que surge na passagem de
um trecho reto para um trecho curvo.
 Constitui uma adequada extensão para efetuar o giro da pista até a posição superelevada
em curva.
 Faz a transição gradual da trajetória do veículo em planta e conduz a um traçado fluente e
visualmente satisfatório sob vários aspectos.
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
Em princípio, qualquer curva cujo raio instantâneo varie ponto a ponto poderá ser utilizada
como transição. Entretanto, a experiência mostrou que algumas curvas especiais oferecem
vantagens pela maior facilidade de cálculo ou porque atendem melhor às exigências técnicas
de um bom traçado.
As curvas mais utilizadas em projeto de rodovias são:
1. Clotóide ou espiral de Cornu, onde o raio instantâneo de curvatura (R) é inversamente
proporcional ao desenvolvimento da curva (L).
2. Lemniscata de Bernouille, onde o raio instantâneo de curvatura (R) é inversamente
proporcional ao raio vetor correspondente (p).
3. Parábola cúbica (y = k.x3).
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
De todas estas curvas, a mais amplamente utilizada é a espiral de Cornu. A clotóide, como
também é chamada, foi estudada no ano de 1860 por Max Leber, e introduzida na prática da
engenharia por L. Oerley, no ano de 1937. No Brasil é bastante difundido o uso de espirais
como curvas de transição. Recomenda-se sempre o uso de espirais simétricas no cálculo de
curvas horizontais com transição (Ls1 = Ls2 = Ls). O uso de espirais assimétricas (Ls1 ≠ Ls2) só
é justificável em casos especiais.
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
Figura 1 – Curvas de raio variável 
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
Considerando-se a maior conveniência técnica do uso da espiral, será tratado apenas esse
tipo de curva. Para cada um dos pontos de uma clotóide, o produto do raio de curvatura R
pelo seu comprimento desde a origem L, é igual a uma constante K2. A magnitude K é
chamada parâmetro da clotóide.
As clotóides de grandes parâmetros aumentam lentamente a sua curvatura e, por
conseguinte, são aptas a serem percorridas com altas velocidades. Já as clotóides de
pequenos parâmetros aumentam rapidamente sua curvatura, e por isso, as velocidades de
percurso tendem a ser menores.
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
Figura 2 – Tipos de clotóides 
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Curvas Horizontais de Transição
 Tipos Usuais de Curvas de Transição
Existem vários critérios diferentes visando orientar o estabelecimento do limite de emprego
de curvas de transição. Para fins de projetos rodoviários convencionais, o DNER, atual DNIT,
recomenda o critério associado à velocidade diretriz resumido pelos valores constantes da
Tabela 1.
Tabela 1 – Valores-limite dos raios R acima dos quais podem ser dispensadas curvas de transição
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Curva Horizontal com Transição (simétrica)
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
Figura 3 – Curva horizontal com espirais de transição simétricas 
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Curvas Horizontais de Transição
 Curva Horizontal com Transição (simétrica)
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Cálculo dos Elementos da Espiral
(método do raio conservado)
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Por definição, a clotóide é uma curva tal que os raios de curvatura em qualquer um de seus
pontos é inversamente proporcional aos desenvolvimentos de seus respectivos arcos.
Chamando de L o comprimento do arco e R o raio de curvatura no extremo deste mesmo
arco, a lei de curvatura da clotóide é expressa pela relação R.L = K2, onde K é o parâmetro
da clotóide.
No ponto SC (Figura 4) tem-se R = Rc e L = Ls. Sendo Ls o comprimento da transição
(desenvolvimento entre os pontos TS e SC) e Rc o raio da curva circular, a equação da
espiral é:
sLcRKLR .
2. 
(1)
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Figura 4 – Elementos da espiral 
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Da Figura 4, tem-se:
c
R
s
L
s
.2













 ...
360.9
6
216
4
10
2
1. ssssLsX













 ...
600.75
7
320.1
5
42
3
3
. sssssLsY

(2)
(3)
(4)
Na prática, as equações para Xs e Ys podem ser reduzidas às equações (5) e (6), com
suficiente precisão:













216
4
10
2
1. sssLsX














42
3
3
. sssLsY

(5)
(6)
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Calculados Xs, Ys e θs, e considerando os elementos da Figura 5, pode-se obter as
seguintes relações:
Figura 5 – Elementosda espiral de transição 
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Aplicando procedimentos matemáticos, obtém-se as equações para cálculo da abscissa do
centro O’ (k) e do afastamento da curva circular (p):
s.senθcRsXk 
)sθ.(cRsYp cos1









2
tan).( pcRkTT
cR
p
c
R
E 











2
cos
(9)
(10)
(11)
Da equação (7), resulta a equação para o cálculo da tangente total:
Da equação (8), resulta a equação para cálculo da distância do PI ao ponto médio da curva
circular (E):
(12)
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
As estacas dos pontos notáveis da curva são calculadas pelas equações:
][)()( sLTSESCE 
][)()( TTPIETSE 
][)()( DSCECSE 
][)()( sLCSESTE 
(13)
(14)
(15)
(16)
Para o cálculo do desenvolvimento da curva circular (D), a equação é a seguinte (para
espirais simétricas):
.cRD
s .2 (17)
(18)
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Curvas Horizontais de Transição
 Cálculo dos Elementos da Espiral (método do raio conservado)
Na equação (18), D e Rc são dados em metros e ϕ em radianos. Para ϕ em graus, a equação
é a seguinte:



180
.. 
c
R
D
(19)
O valor de D necessariamente deverá ser positivo. Quando forem escolhidos valores de Ls
muito grandes, pode acontecer 2.θs > Δ, isto é, D < 0. Nesse caso, os valores de Ls devem
ser diminuídos de forma que se tenha sempre D ≥ 0.
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Comprimento Mínimo de Transição
(Critério dinâmico)
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Curvas Horizontais de Transição
 Comprimento Mínimo de Transição (Critério dinâmico)
Como visto anteriormente, ao passar um veículo de um alinhamento reto a uma curva
circular, há uma variação instantânea do raio infinito da reta para o raio finito da curva
circular, surgindo bruscamente uma força centrífuga que tende a desviar o veículo de sua
trajetória.
Para minimizar este inconveniente, além de se usar uma curva de transição, seu
comprimento deve ser adequado para que o efeito da força centrífuga apareça de maneira
gradual.
O valor mínimo para Ls é descrito pela seguinte equação:
c
R
V
sL
3
.036,0
min
 (20)
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Curvas Horizontais de Transição
 Comprimento Mínimo de Transição (Critério dinâmico)
Sempre que possível devem ser adotados para Ls valores maiores que o mínimo calculado pela
equação (20), de preferência (Lsmin + Lsmax)/2 ou 3.Lsmin , menor valor, desde que estes valores
sejam menores que Lsmax.
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Curvas Horizontais de Transição
 Comprimento Mínimo de Transição (Critério dinâmico)
Pelo critério de tempo de percurso na transição, o comprimento mínimo da transição
corresponde à distância percorrida pelo veículo à velocidade diretriz, durante 2 segundos.
Logo, o comprimento mínimo de transição de acordo com esse critério é dado pela equação
(23), com V em km/h e Lsmin em metros:
VsL .556,0
min

(21)
35
Comprimento Máximo de Transição
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Curvas Horizontais de Transição
 Comprimento Máximo de Transição
Corresponde a um valor nulo para o desenvolvimento do trecho circular (D = 0), ou seja,
as espirais se encontram. Então:
 .
max
cRsL
Sendo Lsmax e Rc em metros, Δ em radianos. Para Δ em graus, a equação é:



180
..
max

c
R
sL
(23)
(22)
37
Exemplos
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Exemplos
Exemplo 1: Calcular as coordenadas (x,y) dos pontos TS, SC, CS e ST em relação ao
sistema de eixos da figura a seguir.
Solução:
);(
1
);(
1
);(
1
);(
1
pcRkST
sYpcRsXkCS
pcRsYksXSC
pcRkTS




);(
2
);(
2
);(
2
);(
2
pcRLkST
pcRsYLksXCS
sYpcRLksXSC
pcRLkTS




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Exemplos
Exemplo 2: Numa curva de uma rodovia, tem-se os seguintes elementos: V = 80 km/h, Δ =
35°, Rc = 500 m e E(PI) = 228 + 17,00.m. Determinar Lsmin, Lsmax, θs, Xs, Ys, ϕ, D, k, p, TT, E,
E(TS), E(SC), E(CS), E(ST).
Solução:

























min
.3 m 120 Adotando
43,305
180
.35.500
180
..
max
86,36
500
380
.036,0
3
.036,0
min
LsLs
mc
R
Ls
m
c
R
V
Ls

rads
ss
sLsY
ss
sLsX
cR
sL
 370867,012,0.2
180
.35.2
m 80,4
42
312,0
3
12,0.120
42
3
3
.
m 83,119
216
412,0
10
212,01.120
216
4
10
2
1.
rad 1200,0
500.2
120
.2s


















































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Exemplos
Exemplo 2: Numa curva de uma rodovia, tem-se os seguintes elementos: V = 80 km/h, Δ =
35°, Rc = 500 m e E(PI) = 228 + 17,00.m. Determinar Lsmin, Lsmax, θs, Xs, Ys, ϕ, D, k, p, TT, E,
E(TS), E(SC), E(CS), E(ST).
Solução:
4,43 239 0,00) 6(4,43) 233(][)()(
4,43 233 5,43) 9(19,00) 223(][)()(
19,00 223 0,00) 6(19,00) 217(][)()(
19,00 217 18,00) 10()00,17 228(][)()(
m 52,25500
2
35
cos
20,1500
2
cos
m 00,218
2
35tan).20,1500(98,59
2
tan).(
m 20,1)]rad 12,0cos(1.[50080,4)cos1.(
m 98,59)rad 12,0(.50083,119.
m 5,43 est 9m 43,185)rad 370867,0.(500.















































sLCSESTE
DSCECSE
sLTSESCE
TTPIETSE
cR
p
c
R
E
pcRkTT
scRsYp
senssencRsXk
cRD



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Exemplos
Exemplo 2: Numa curva de uma rodovia, tem-se os seguintes elementos: V = 80 km/h, Δ =
35°, Rc = 500 m e E(PI) = 228 + 17,00.m. Determinar Lsmin, Lsmax, θs, Xs, Ys, ϕ, D, k, p, TT, E,
E(TS), E(SC), E(CS), E(ST).
Solução:
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Bibliografia
ANTAS, P.M. Estradas: Projeto Geométrico e de Terraplanagem. Editora Interciência, Rio de 
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DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRA-ESTRUTURA DE TRANSPORTES – DNIT. Manual 
de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1ª ed. Rio de Janeiro: Instituto de Pesquisas 
Rodoviárias. 195p. 1999.
DEPARTAMENTO NACIONAL DE INFRA-ESTRUTURA DE TRANSPORTES – DNIT. Manual
de Projeto Geométrico de Travessias Urbanas. Rio de Janeiro, 2010. 392p. (IPR. Publ., 740).
FILHO, G.P. Estradas de Rodagem - Projeto Geométrico. São Carlos: GP Engenharia, 1998.
Lee, Shu Han. Apostila de Projeto Geométrico de Estradas. UFSC, Engenharia Civil, 2000. 
Disponível em: <http://pet.ecv.ufsc.br/arquivos/apoio-didatico/ECV5115%20-
%20Apostila%20de%20Estradas.pdf>.
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Geométrico de Rodovias. UFPR, Departamento de Transportes, 2013. Disponível em: 
<http://www.dtt.ufpr.br/InfraEstrutura/Arquivos/APOSTILA_ProjetoGeometrico_2013.pdf>.
SENÇO, W. Manual de Técnicas de Pavimentação. Vol 1. Editora PINI, 2007.
SENÇO, W. Manual de Técnicas de Pavimentação. Vol 2. Editora PINI, 2007.
SILVA, T O.; Notas de Aula. UFSJ: Curso de Engenharia Civil 2012.