MEDIDAS DE POSI+ç+âO - Resumo

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Estatística para os cursos de Engenharia 
e Informática Eurípedes MACHADO Rodrigues 
1 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 As medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo da variável 
em questão. As mais importantes são: a média, a mediana e a moda. 
 A média e a mediana tendem a se localizar em valores centrais de um conjunto 
de dados. Por esta razão, costuma-se dizer que são medidas de tendência central. 
 A moda, por sua vez, indica a posição de maior concentração de dados. 
 
 1. Média Aritmética (x ) 
 1.1. Para dados não agrupados 
 Sendo x1, x2, x3, ..., xn os n valores de uma variável x, define-se média 
 aritmética, ou simplesmente média, como sendo: 
 
n
x
x
n
1i
i∑
== , onde n é o nº de elementos da amostra. 
 Exemplo: Determine a média aritmética dos valores: 3; 7; 5 e 8. 
 
4
8573
x
+++
= x = 5,75 
 
 1.2. Para dados agrupados 
 Sendo x1, x2, x3, ..., xn os n valores da variável x com freqüências f1, 
 f2, f3,..., fn, respectivamente, define-se média aritmética, ou simplesmente 
 média, como sendo: 
 
n
f . x
x
i
n
1i
i∑
== , sendo n = ∑ fi 
 Exemplo: Determinar a média aritmética da distribuição de dados: 
 
xi fi xi . fi 
1 1 1 
2 3 6 
 3 5 15 
4 1 4 
∑ 10 26 
 
 1.3. Para dados agrupados em Classes 
 A média aritmética é calculada como no item anterior, lembrando que cada 
 classe é representada pelo seu ponto médio (xi = PM) 
 Exemplo: Determinar a média aritmética da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classes PMi = xi fi PMi . fi 
 2|--- 4 3 5 15 
 4|--- 6 5 10 50 
 6|--- 8 7 14 98 
 8|--- 10 9 8 72 
10|--- 12 11 3 33 
∑ 40 268 
10
4.13.52.31.1
x
+++
= = 2,6 ou 
n
f . x
x
i
n
1i
i∑
== = 
10
26
 = 2,6 
7,6x
40
268
n
f . PM
x
n
1i
ii
=⇒==
∑
= 
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2 
 Nota: quando xi não é dado, toma-se para seu valor o PMi, ou seja, xi = PMi. 
O PMi pode ser representado simplesmente por PM. 
 
 2. Mediana (Md) 
 
 Colocando-se os valores da variável em ordem crescente, a mediana é o 
elemento que ocupa a posição central, ou seja, a mediana divide um conjunto de n 
dados em dois subconjuntos com igual número de elementos. 
 
 2.1. Cálculo da mediana para dados não agrupados: 
 
 A) Para n impar 
 Se n for impar, a mediana será o valor central dos dados do rol, isto 
 é, o elemento de ordem 
2
1n +
. 
 Exemplo: Determine a mediana dos valores: 7; 5; 10; 8 e 15. 
 Ordenando os valores, temos: 5; 7; 8; 10; 15. Então, a mediana 
 será o valor 8 que ocupa a 3ª posição do rol. 
 
2
1n +
= 
2
15 +
 = 3ª posição que corresponde a Md = 8 
 
 B) Para n par 
 Se n for par, a mediana será a média aritmética dos dois dados 
 centrais do rol, isto é, a média entre os dados de ordem 
2
n
 e 
2
n
 + 1 
 Exemplo: Determine a mediana do rol: 5; 7; 8; 10; 14; 15 
 A mediana é a média aritmética dos valores de posições: 
 
2
n
 = 
2
6
 = 3ª posição, que corresponde ao valor 8 e 
 
2
n
 + 1 = 3 + 1 = 4ª posição, que corresponde ao valor 10 
 Assim, a mediana será: Md = 
2
108 +
 = 9 
 
 Exercício: Determine a mediana da distribuição de freqüências abaixo: 
 
 Estaturas (em cm) de 20 estudantes de ciclo médio da escola ∆. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Xi f i f a 
160 2 2 
161 1 3 
162 1 4 
163 1 5 
164 3 8 
165 2 10 
166 3 13 
168 5 18 
169 2 20 
∑ 20 
Como n é par (n = 20), a mediana será 
a média aritmética dos valores de xi cujas 
posições são: 
n/2 = 20/2 = 10ª posição e 
n/2 +1 = 11ª posição. 
Portanto, a Md será a média dos valores 
x= 165 e x = 166 (obtidos pela fa), ou seja: 
 Md = 
2
166165 +
 Md = 165,5 cm 
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 2.2. Cálculo da mediana para dados agrupados em classes. 
 Usamos a fórmula: 
 












−
+=
mdi
a
id f
f' 
2
n
LM . hmd , onde: 
 n: número de elementos do conjunto de dados; 
 n/2: posição da classe mediana obtida pela freqüência acumulada; 
 Li : Limite inferior da classe mediana; 
 ‘fa : freqüência acumulada anterior à classe mediana; 
 fimd: freqüência absoluta da classe mediana; 
 hmd : amplitude da classe mediana 
 
 Exemplo: Determinar a mediana da distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Através da posição n/2 = 58/2 = 29ª posição, determinamos a classe 
 mediana na coluna da fa, ou seja, a classe 55|--- 65 é a classe mediana. 
 Logo, Li = 55, ‘fa = 17, fimd = 18 e hmd = 65 – 55 = 10 
 












−
+=
mdi
a
id f
f' 
2
n
LM . hmd = 55 + 




 −
18
1729
.10 ≅≅≅≅ 55 + 6,67 ≅≅≅≅ 61,67 
 
 3. Moda (Mo) 
 Define-se moda (ou modas) de um conjunto de valores dados como sendo o 
 valor de freqüência máxima (ou valores de freqüência máxima). 
 
 Exemplo – Determine a moda para as distribuições: 
 a) 2, 2, 5, 7, 7, 7, 9, 10, 10, 13. 
 Observe que o valor 7 é o elemento mais freqüente, ou seja, o elemento 
 que “aparece” mais vezes nos dados. Assim, a moda será Mo = 7 
 “distribuição unimodal” 
 
 b) 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10. 
 Note que agora, os elementos 3 e 8 “aprecem” ambos com freqüências 
 máximas e iguais a 3. Neste caso, temos duas modas: Mo1 = 3 e Mo2 = 8 
 “distribuição bimodal” 
 
 c) de dados agrupados: 
Classes PM = xi fi fa 
35|--- 45 40 5 5 
45|--- 55 50 12 17 
55|--- 65 60 18 35 
65|--- 75 70 14 49 
75|--- 85 80 6 55 
85|--- 95 90 3 58 
∑ 58 
Classe Md 
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4 
 
 
xi 243 245 248 251 307 
fi 7 17 23 20 8 
 Como o valor de freqüência máxima é fimáx. = 23, a moda correspondente 
 a esse valor é 248, ou seja,Mo = 248. 
 Nota: Veja mais exemplos de outras situações adiante. 
 
 3.1. Cálculo da Moda para dados agrupados em classes. 
 
 A) Fórmula de Czuber: 
 
 Mo = Li + 





∆+∆
∆
21
1 . hmo ou Mo = Li + 





+ 21
1
dd
d
. hmo , onde: 
 
 Li : Limite inferior da classe modal; 
 ∆1 ou d1: diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência 
 da classe imediatamente anterior; 
 ∆2 ou d2: diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência 
 da classe imediatamente posterior; 
 hmo: amplitude da classe modal; 
 classe modal: é a classe que apresenta a maior freqüência absoluta. 
 Nota: MODA BRUTA – é o ponto médio da classe modal 
 
 Exemplo: Determine, por Czuber, a moda da distribuição abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A moda bruta dessa distribuição é: 
 MB = 




 +
2
10289 = 95,5 cm 
 
 B) Fórmula de King: 
 
 
 F' F'
F' 
 L M io 





+
+= . hmo , onde: 
 
 Mo é a Moda 
 Li é o limite inferior da classe modal 
 F’ é a freqüência simples da classe posterior à classe modal 
 ‘F é a freqüência simples da classe anterior à classe modal 
 hmo é a amplitude da classe modal (hmo = Ls – Li) 
 Classe modal é a classe que apresenta a maior freqüência simples 
Classes - Alturas (cm) fi 
 50 |--- 63 1 
 63 |--- 76 6 
 76 |--- 89 9 
 89 |--- 102 14 
 102 |--- 115 8 
 115 |--- 128 8 
 128 |--- 141 4 
Total 50 
A classe que apresenta a maior freqüência 
absoluta é a 4ª classe (89|--- 102), logo, a 
4ª classe é a classe modal, ou seja, a classe 
que contém a moda. 
Temos: Li = 89, hmo = 102 – 89 = 13, 
∆1 = d1 = 14 – 9 = 5, ∆2 = d2 = 14 – 8 = 6 
Portanto: 
Mo = 89 + 





+ 65
5 .13 = 89 + 5,90 = 94,90 
 Mo = 94,90 cm 
Classe Mo 
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5 
 Exemplo: Determine, por King, a moda da distribuição abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1. MÉDIA (Exercícios) 
Ex1: Suponhamos que um aluno A fez quatro provas de Estatística durante o período letivo, 
tendo obtido as seguintes notas: 
 Nota na 1
a
 prova = 3,0 ⇒ Representaremos por x1 = 3,0 
 Nota na 2
a
 prova = 7,0 ⇒ Representaremos por x2 = 7,0 
 Nota na 3
a
 prova = 8,0 ⇒ Representaremos por x3 = 8,0 
 Nota na 4
a
 prova = 10,0 ⇒ Representaremos por x4 = 10,0 
 Obter a média destas notas. 
 Resposta: 
 A média deste aluno será calculada da seguinte maneira: 
 x =
x x x x
4
1 2 3 4 
+ + +
=
+ + +
=
3 0 7 0 8 0 10 0
4
7 0
, , , ,
, 
 ou ainda, usando-se a notação de somatório, este cálculo pode ser expresso como: 
 x =
x
4
i
i=1
4
∑
= 7 0, ou simplesmente: ==
∑
n
x
x
i
7,0 
Ex2.: Calcular a média para a seguinte distribuição de dados: 
xi fi xi . fi 
2 1 2 
4 1 4 
7 4 28 
3 1 3 
1 3 3 
Σ 10 40 
 
 
Ex3: Deseja-se determinar a média de idade de um grupo de 200 crianças, com idades entre 0 
e 10 anos, mas só se dispõe de informações sobre a distribuição de freqüências das idades 
agrupadas em classes, conforme ilustrado na tabela a seguir: 
 
Classes - Alturas (cm) fi 
 50 |--- 63 1 
 63 |--- 76 6 
 76 |--- 89 9 
 89 |--- 102 14 
 102 |--- 115 8 
 115 |--- 128 8 
 128 |--- 141 4 
Total 50 
A classe que apresenta a maior freqüência 
absoluta é a 4ª classe (89|--- 102), logo, a 
4ª classe é a classe modal, ou seja, a classe 
que contém a moda. 
Temos: Li = 89, hmo = 102 – 89 = 13, 
F’ = 8 e ‘F = 9 
Portanto: 
Mo = 89 + 





+ 89
8 .13 ≅ 89 + 6,12 ≅ 95,12 
 Mo = 95,12 cm 
Classe Mo 
10
40
=
•
=
∑
n
fx
x
ii
 4=x 
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6 
 
Classes: Idade PM = Xi fi PM . fi 
0 |--- 2 1 8 8 
2 |--- 4 3 27 81 
4 |--- 6 5 45 225 
6 |--- 8 7 95 665 
 8 |--- 10 9 25 225 
Total 200 1204 
Resposta: A média é, assim, dada por: 
 
200
1204
n
f.PM
x i == ∑ = 6,02 ≅x 6 anos 
 
 2. MEDIANA (Exercícios) 
 
Ex1: Considerando o seguinte conjunto de valores de medidas de alturas, em metros: 
 1,56; 1,77; 1,65; 1,48; 1,81; 1,92; 1,72 
Obter a mediana destes valores. 
Resposta: 
Inicialmente, colocamos estes valores em ordem crescente. Obtemos, então, um rol de 
medidas: 
 1,48; 1,56; 1,65; 1,72 ; 1,77; 1,81; 1,92 
O número total de observações de altura é N = 7. Tem-se, portanto, um número ímpar de 
medidas. Portanto, a mediana será o quarto valor do rol, ou seja, o valor de posição (n + 1) / 2 
= (7 + 1) / 2 = 4ª posição, que corresponde à 1,72. 
 ∴∴∴∴ Md = 1,72m 
 
 
Ex2: Considerando o seguinte conjunto de valores de medidas de peso, em Kg: 
 67; 56; 82; 47; 71; 94; 101; 63 
Resposta: 
Inicialmente, colocamos estes valores em ordem crescente. Obtemos, então, um rol de 
medidas: 
 47; 56; 63; 67; 71 ; 82; 94; 101 
Tem-se um total de N = 8 medidas de peso. Trata-se de um número par de medidas. Portanto, 
a mediana será dada pela média dos valores de posições: n/2 = 8/2 = 4ª posição e n/2 + 1 = 
5ª posição, ou seja: 
 
 Md = 
2
7167 +
 Md = 69 Kg 
 
 
Ex3: Consideremos a tabela a seguir, obtida a partir das medidas das alturas de 50 alunos, 
com os dados observados tendo sido agrupados em classes: 
 
 
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7 
Md = Li + md
i
a
h . 
f
f' - 
2
N
md






 
N / 2 = 50 / 2 = 25 (25ª posição) 
 
Md = 120 + 10 . 
10
2225 −−−−
 
 
Md = 120 + 3 Md = 123 cm 
 
 
3. MODA (Exercícios) 
 
Ex1: Um aluno A obteve as seguintes notas em uma série de provas às quais foi submetido: 
2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10. Obter a moda deste conjunto de dados. 
Resposta: 
O valor que se apresenta com freqüência mais alta é 9, portanto este é o valor da moda, ou 
seja, Mo = 9. 
 
Ex2: Um aluno B obteve as seguintes notas em uma série de provas às quais foi submetido: 
6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10. 
Obter a moda deste conjunto de dados. 
Resposta: 
Osvalores de nota 6 e 9 aparecem ambos com freqüência igual a 3 e não há nenhum valor que 
apareça com freqüência superior a esta. Como estes valores não são adjacentes, dizemos que 
esta distribuição possui duas modas: Mo1 = 6 e Mo2 = 9. Trata-se, portanto de uma 
distribuição bimodal. 
 
Ex3: Um aluno C obteve as seguintes notas em uma série de provas às quais foi submetido: 
6, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10. 
Obter a moda deste conjunto de dados. 
Resposta: 
Os valores de nota 8 e 9 aparecem ambos com freqüência igual a 3 e não há nenhum valor que 
apareça com freqüência superior a esta. Como estes valores são adjacentes, a moda é tomada 
como a média aritmética entre eles, isto é, 
 Mo = 
2
98 + = 8,5. Trata-se de uma distribuição unimodal. 
 
Ex4: Um aluno C obteve as seguintes notas em uma série de provas às quais foi submetido: 
6, 6, 8, 8, 9, 9, 10, 10. 
Obter a moda deste conjunto de dados. 
Resposta: 
Todos os valores de notas possuem a mesma freqüência, já que todos ocorreram duas vezes. 
Neste caso, como não há nenhum valor que tenha maior freqüência que os demais, esta 
distribuição não possui moda. Diz-se, neste caso, que se trata de uma distribuição amodal. 
Classes de 
Altura (cm) 
fi fa 
 80 |--- 90 2 2 
 90 |--- 100 3 5 
100 |--- 110 5 10 
110 |--- 120 12 22 
120 |--- 130 10 32 
130 |--- 140 15 47 
140 |--- 150 3 50 
Total 50 
Classe 
mediana 
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8 
Obs1: Distribuições com três modas são chamadas trimodais e distribuições com 4 ou mais 
modas, são ditas polimodais ou plurimodais. 
 
Ex5: Determine a moda (por King) para os dados da distribuição abaixo: 
Notas de Matemática Nº de alunos ( fi ) 
0 |--- 2 15 
2 |--- 4 23 
4 |--- 6 46 
6 |--- 8 37 
 8 |--- 10 9 
Σ 130 
 
 Da tabela, temos: 4 |--- 6 é a classe modal , logo: Li = 4 , F’ = 37 , ‘F = 23 
 e hmo = 6 – 4 = 2, então: 
 
 2 
 37 23
37 
 4 Mo •
+
+= M0 = 4 + 1,233... M0 ≅≅≅≅ 5,23 
 
 Ex6: Determinar a média, a mediana, a moda (por Czuber e por Pearson),: 
 
Classes PM fi fa PM . fi 
02 |---- 04 3 3 3 9 
04 |---- 06 5 5 8 25 
06 |---- 08 7 10 18 70 
08 |---- 10 9 6 24 54 
10 |---- 12 11 2 26 22 
∑∑∑∑ 26 180 
 
I) Cálculo da média : 6,92 
26
180
 
n
f . PM
x
i
≅==
∑
 x = 6,92 
 
II) Cálculo da mediana: 
 
 a) posição da mediana : P = n/2 = 26/2 P = 13ª posição obtida na coluna fa 
 que corresponde à 3ª classe; 
 
 b) Li = 6 , ‘fa = 8 , fi = 10 , hmd = 8 – 6 = 2 
 
 c) Md = 1 6 2 . 
10
8) - (13
 6 h . 
f
)f' - (P
 Li md
mdi
a +=+=+ Md = 7 
 
III) Cálculo da moda pela fórmula de CZUBER: 
 
a) Classe modal = Classe de freqüência máxima = 3ª classe (6 |--- 8) 
 
b) Li = 6 , ∆1 = 10 – 5 = 5 , ∆2 = 10 – 6 = 4 , hmo = 8 – 6 = 2 
 
c) Mo = Li + mo
21
1 h . 
∆+∆
∆
 = 6 + 
45
5
+
 . 2 = 6 + 1,11... ≅≅≅≅ 7,11 Mo ≅≅≅≅ 7,11 
 
IV) Cálculo da moda pela fórmula empírica de PEARSON: 
 
 M o ≅≅≅≅ 3.Md – 2.x M o = 3 . 7 – 2 . 6,92 = 21 – 13,84 = 7,16 Mo ≅≅≅≅ 7,16 
Classe Modal (fi máx. = 46) 
 
 Classe Mediana e Classe Modal