Lista de exercicios de M012 Derivadas e aplicacoes

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Curso de M012 - Cálculo I 
 
Lista de exercícios 
 
Derivadas e aplicações 
 
 
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Lista de exercícios – Derivadas e aplicações 2 
DERIVADAS E APLICAÇÕES 
 
01) Determine a derivada das funções a seguir em relação a x. 
 
a) 54xy = b) 2542 23 −−+= xxxy c) )(tg)cos()(sen xxxy ++= 
d) 42 )1( += xy e) 32 )12(4 −−= xxy f) )cos()(sen xxxy +⋅= 
g) )(sen4 xy = h) [ ]5)cos(e xxy x +⋅= i) 21xy = 
j) 
1
2
+
=
x
y k) 
1
2
2 +
=
x
xy l) 
x
y
xe
= 
m) )cos(
)(sen1
x
xy += n) )(sen
)ln(
x
xy = o) )5(sen xy = 
p) )1cos( 2 −= xy q) )5cos(2 2xy = r) ))(sencos( xy = 
s) )2(tg 2xy = t) )3sec( xy = u) ))ln(sec( 4xy = 
v) 3 xxy += w) 3 12 += xy x) 5 2xe=y z) 
 
02) Para os itens a e b a seguir, usando a definição de derivadas, obtenha: 
 
- o coeficiente angular da reta tangente à curva da equação no ponto P. 
- estabeleça a equação da reta tangente em P. 
- esboce o gráfico da curva e da tangente em P. 
 
a) )1,1(3 −−= Pxy 
b) 





=
4
1
,212 P
x
y 
 
03) Se 562)( 2 +−−= xxxf , determine usando a definição de derivadas: 
 
a) )4(')(' fexf 
b) A abscissa do ponto, cuja inclinação da reta tangente vale 6. 
c) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal. 
 
04) Calcule 
dx
dy
 para os itens a seguir. 
a) 5
3
6 xy ⋅=
 b) )34(1 2 +−= xx
x
y c) ( ) xx
xy
37
17
3
⋅−
−
= 
d) )sec(1
)sec(cos
x
xy
−
=
 e) ( )[ ])5cos(ln2 xtgy = 
 
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05) Se )(cotg xy = , calcule 3
3
dx
yd
. 
06) Determine a derivada segunda da função )3(cos2 xy = em relação a x. 
 
07) Obtenha a equação da reta tangente à curva )2(sen2 −⋅= xxy no ponto de abscissa 
igual a 2. 
 
08) Calcule as derivadas primeira, segunda e terceira para as funções a seguir em 
relação a x. 
 
a) 32 −= xy b) 12
1
−
=
x
y c) )3(sen xy = 
 
09) Sendo 3 xxy += , calcule f’(64). 
 
10) Escreva as equações das retas tangente e normal à curva xy = no ponto de 
abscissa x = 4 . 
 
11) Calcule: 
 
a) )0('f para xxxf 2e)(tg3)( −+= 
b) )2('f para 423)( 2 +−= tttf 
c) )0(')0( ff + para )(tge)( xxf x −= 
d) 





+





3
''
2
'
pipi ff para )cos(e2)( xxf x= 
e) )1(')1('' ff + para )ln(e4)( xxxf x= 
 
12) Calcule 2
2
dx
yd
, sabendo que )cos(e)(sen2 xxy x+= . 
 
13) Escreva as equações das retas tangente e normal à curva 
2
)cos(1
)(sen






+
=
x
xy no ponto 
P de abscissa .
3
pi
=x 
 
14) Se 8123)( 2 +−= xxxf , determine usando a definição de derivadas: 
 
a) )4(')(' fexf 
b) A abscissa do ponto, cuja inclinação da reta tangente vale 6. 
c) O ponto do gráfico em que a tangente é horizontal. 
 
 
 
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15) Encontre as derivadas das funções a seguir em relação a x. 
 
a) ( ) ( )11)( 21 −⋅−= − sssf b) 
2
2
3
1
log 











+
=
x
xy 
c) 





= 3
6
2 eseccos
2
1
x
xy
x
 d) )2(sen3 xy = 
 
16) Uma partícula move-se segundo a lei do movimento )(tfS = para 0≥t , onde t é 
medido em segundos e S em metros. Encontre para a função 10159)( 23 ++−= ttttf : 
 
a) A velocidade da particular no instante t . 
b) Qual a velocidade da partícula depois de 3s? 
c) Quando a partícula estará em repouso? 
d) A taxa de variação média do espaço em relação ao tempo no intervalo [1,3] s. 
 
17) Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 215 tt − litros no recipiente. 
Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em litros por hora, quando 
ht 16= ? 
 
18) Considere a seguinte curva definida pela parábola: cbxaxy ++= 2 . Sabe-se que as 
retas 011 =−−→ xyr e 0532 =++→ xyr , são tangentes a essa parábola nos pontos 
de abscissa 11 −=x e 22 −=x , respectivamente. Encontrar os valores de a, b e c. 
 
19) Para a curva 3 xy = , obtenha: 
 
a) O coeficiente angular da reta tangente a ela no ponto )1,1( −−P . 
b) A equação da reta tangente no mesmo ponto P. 
c) O gráfico da curva e da reta tangente determinada anteriormente. 
 
20) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água 
no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por 
2)80(50)( ttV −= . Determine: 
 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as primeiras dez 
horas de escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após oito horas de escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas cinco primeiras horas de 
escoamento. 
 
21) Numa pequena comunidade, estima-se que daqui a t anos a população será de 
1
520)(
+
−=
t
tp
 milhares de habitantes. Pede-se: 
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a) Qual a taxa de variação média da população desta comunidade nos 9 primeiros 
meses? 
b) Daqui a 9 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? 
 
22) A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo 
com a equação 323 ttx −= em que x vem expresso em metros e t em segundos. Pede-se: 
 
a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? 
b) Qual a velocidade da partícula ao terminar o 3 segundo? 
c) Qual a velocidade média da partícula durante o intervalo [2, 4]? 
d) Qual a aceleração da partícula no instante t = 2s? 
 
23) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 
xxxxy 8248 234 −+−= no ponto em que 02
2
=
dx
yd
. 
 
24) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções a seguir. 
 
a) 31292 23 −+−= xxxy 
b) 22 −−= xxy 
c) )108( 2xxy −⋅= 
d) 
12
2
−
=
x
xy 
e) 123 +−= xxy 
 
25) Determine os pontos críticos das funções a seguir. 
 
a) 186 35 −−−= xxxy 
b) 23 84 xxy −= 
 
26) Determine os coeficientes a e b de forma que a função baxxxf ++= 23)( tenha 
um ponto crítico no ponto )1,2(− . 
 
27) Dadas as funções a seguir, determine: 
 
a) Intervalo(s) onde )(xf é crescente e intervalo(s) onde )(xf é decrescente. 
b) Ponto(s) de máximo(s) local(is) e valor(es) máximo(s) local(is). 
c) Ponto(s) de mínimo(s) local(is) e valor(es) mínimo(s) local(is). 
d) Ponto(s) de inflexão. 
e) Estudo da concavidade de )(xf . 
f) Gráficos de )(xf , )(' xf e )('' xf . 
 
27.1) 234 2
3
5
4
1)( xxxxf −+−= 27.2) 56
2
1
3
1)( 23 +−+= xxxxf 
27.3) 2516
5
4)( 25 −+= xxxf 27.4) 12)( 234 ++−= xxxxf 
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27.5) 242)( 23 +−+= xxxxf 27.6) 243)( 34 +−= xxxf 
 
28) A função 
x
xxP 2002)( += , ∞<< x0 define o perímetro de um retângulo cujos 
lados medem x e 
x
100
. Determine o perímetro mínimo que este retângulo pode possuir. 
 
29) Uma folha de papel contém 375 cm2 de matéria impressa, com margem superior de 
3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral 
esquerda de 2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o 
máximo de economia de papel. (Veja a figura a seguir) 
 
 
30) Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve 
conter uma área de 180.000 m2 para fornecer grama suficiente parao rebanho. Quais as 
dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca, se não há necessidade de 
cerca ao longo do rio? 
 
31) Uma fabrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o 
custo de produção e dado por 601862)( 23 +++= xxxxC , e o valor obtido na venda e 
dado por 21260)( xxxV −= , determine o numero ótimo de unidades mensais que 
maximiza o lucro. 
 
32) Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares com tampa, exige que 
o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m3. Para gastar a menor quantidade 
de material possível na fabricação das caixas, quais devem ser suas dimensões? 
 
33) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 m2, conforme 
mostrado na figura a seguir. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na 
frente, 20 m atrás e 12 metros de cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a 
área mínima na qual possa ser construído esse galpão. 
 
x 
matéria 
impressa 
375 cm2 
margem superior 
margem lateral esquerda 
margem inferior 
margem lateral direita 
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34) A equação 21243)( 2 +−= ttta representa a aceleração de uma partícula em 2/ sm 
em função do tempo 100 ≤≤ t , dado em segundos.. Utilizando os conceitos de estudo 
do comportamento de uma função, determine: 
 
a) Intervalo(s) de tempo no(s) qual(is) a velocidade da partícula está aumentando e 
intervalo(s) de tempo no(s) qual(is) a velocidade da partícula está diminuindo, dentro do 
intervalo de tempo que ocorre o movimento. 
b) O instante que ocorre a velocidade máxima da partícula. Justifique. 
c) O instante que ocorre a velocidade mínima da partícula. Justifique. 
d) Mesmo não conhecendo a equação da velocidade )(tv da partícula, determine o(s) 
ponto(s) de inflexão da função )(tv
 
e faça o estudo de sua concavidade, dentro do 
intervalo de tempo que ocorre o movimento. 
 
35) Um cabo redondo de transmissão subaquático compõe-se de um núcleo de fios de 
cobre envolto em um material isolante não condutor, como mostrado na figura abaixo. 
Se x representa a razão entre o raio do núcleo e a espessura do material isolante, sabe-se 
que a velocidade do sinal de transmissão é dada pela equação 





⋅=
x
xv
1ln2 . Se o raio 
do núcleo é de 1 cm, qual espessura h do material isolante vai proporcional a maior 
velocidade de transmissão? 
 
 
 
36) Se daqui a t anos o número N de pessoas de uma certa cidade que viajarão nas férias 
for aproximado pela função ( ) ( ) 15000530510)( 2 +−+−= tttN , pede-se: 
 
a) Daqui a 4 anos, o número de pessoas que viajam nas férias estará aumentando ou 
diminuindo? Justifique. 
b) Daqui a algum tempo, acontecerá uma pequena crise, de forma que o número de 
pessoas desta cidade que viajam nas férias será mínimo. Em quantos anos isto ocorrerá? 
Justifique. 
c) Qual é a taxa média de pessoas que viajam nas férias por ano, nos 10 primeiros anos? 
d) Qual é a taxa de pessoas que viajam nas férias por ano, depois de 10 anos? 
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37) O gráfico abaixo representa as derivadas de 1ª e 2ª ordem de uma função 
)(xf desconhecida. Utilizando os conceitos de estudo do comportamento de uma 
função, determine: 
 
 
a) Intervalo(s) de x onde f (x) é crescente e intervalo(s) de x onde f (x) é decrescente. 
b) Abscissa(s) do(s) ponto(s) de máximo(s) local(is). 
c) Abscissa(s) do(s) ponto(s) de mínimo(s) local(is). 
d) Abscissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão. 
e) Estudo da concavidade de f (x) . 
 
38) Uma caixa com tampa quadrada usa um material para a tampa e o fundo que custa 
4 reais o m2, e um outro para a parte lateral que custa 2 reais o m2. O custo de cada 
caixa de ser de 8 reais. Quais devem ser suas dimensões para que o volume da caixa seja 
máximo? 
 
39) Dada a função 35 5)( xxxf −= , determine: 
 
a) A(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) de máximo local(is) e o(s) valor(es) máximo(s) 
local(is). 
b) O(s) intervalo(s) em que a função é crescente. 
c) O(s) ponto(s) de inflexão. 
d) O(s) intervalo(s) em que a função apresenta concavidade voltada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS 
01) 
a) 420)(' xxy = b) 586)(' 2 −+= xxxy 
c) )(sec)(sen)cos()(' 2 xxxxy +−= d) 32 )1(8)(' += xxxy 
e) 22 )12)(14(12)(' −−−= xxxxy f) )cos()(' xxxy = 
g) )cos()(sen4)(' 3 xxxy = h) [ ] [ ])(sen)cos(5)(' 4 xxeexxexy xxx −++= 
i) 3
2)('
x
xy −= j) 2)1(
2)('
+
−
=
x
xy 
k) 22
2
)1(
)1(2)('
+
−−
=
x
x
xy l) 2
)1()('
x
xe
xy
x
−
= 
m) )(sen1
1)('
x
xy
−
= n) )]ln()(cotg)[( cosec)(' 1 xxxxxy −= − 
o) )5cos(5)(' xxy = p) )1(sen2)(' 2 −−= xxxy 
q) )5(sen20)(' 2xxxy −= r) )](sen[sen)cos()(' xxxy −= 
s) )2(sec4)(' 22 xxxy = t) )3(tg)3(sec3)(' xxxy = 
u) )(tg4)(' 43 xxxy = v) 
x
xx
xy
6
23)('
3+
= 
w) 
36
122)('
3
+
+
=
x
x
xy x) 5 2
5
2)(' xexy = 
 z) 
 
 
02) 
a) 
3
1
=m ; 
3
2−
=
xy b) 
4
1
−=m ; 
4
3+−
=
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) 
a) 64)(' −−= xxf e 22)4(' −=f b) 3−=x c) 





−
2
19
,
2
3P 
 
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04) 
a) 5 3
5
18)(' x
x
xy = 
b) 
xx
xx
xy
2
312)('
2
−−
= 
c) 23
323
)7(3
)]3ln()7(3)[17()7(7)('
−
−+−−−
=
x
xxxx
xy
x
 
d) )]cos(1)[(sen
1)cos()(cos)(' 2
2
xx
xx
xy
−
++
= 
e) )5(tg)]}5{ln[cos(sec)]}5{ln[cos(tg10)(' 2 xxxxy −= 
 
 
05) )(cossec2)(cotg)(cossec4)(''' 422 xxxxy −−= 
 
 
06) )6cos(18)('' xxy −= 
 
07) 84 −= xy 
 
 
08) 
a) 46)(' −−= xxy 524)('' −= xxy 6120)(''' −−= xxy 
b) 
2
1)(' =xy 0)('' =xy 0)(''' =xy 
c) )3cos(3)(' xxy = )3(sen9)('' xxy −= )3cos(27)(''' xxy −= 
 
 
09) 
12
1)64(' =f 
 
 
 
10) 1
4
+=
xy e 184 +−= xy 
 
 
11) 
a) 1)0(' =f b) 10)2(' =f c) 1)0(')0( =+ ff 
d) 








−−=





+




 32 32
3
''
2
'
pipi
pipi
eeff e) eff 16)1(')1('' =+ 
 
 
12) ]1)[(sen22
2
x
ex
dx
yd
+−= 
 
 
13) 
27
34
3
1
9
34 pi
−+= xy e 
4
3
3
1
4
33 pi
++
−
= xy 
 
14) 
a) 126)(' −= xxf e 12)4(' =f 
b) 3=x 
c) ( )4,2 −P 
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15) 
a) 0)(' =xf b) ( ) )10ln()1(
)3(
1
log2' 2
2
2
3
xx
x
x
x
xy
+
+
















+
= 
c) 








−







−








= )12(cotg32
2
cosec
)(' 3
6
63
3
6
x
x
e
ex
x
e
x
xy
x
x
x
 
d) )2(sen)2cos(3)(' xxxy = 
 
16) 
a) 15183)( 2 +−= tttv m/s b) 12)3( −=v m/s 
c) 1=t s e 5=t s c) 8−=
∆
∆
t
s
m/s 
 
 
17) 
8
39
litros/hora 
 
18) 2=a , 5=b e 3=c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
a) 
3
1
=m 
b) 
3
2−
=
xy 
c) Gráfico 
 
 
 
 
 
 
20) a) 7500−=
∆
∆
t
V
 litros/hora b) 7200)8('−=V litros/hora c) 281.250 litros 
 
 
21) a) 2,857 milhares/ano b) 1,63 milhares/ano 
 
 
22) a) 16−=∆x m b) 9)3( −=v m/s c) 10−=mv m/s d) 6)2( −=a m/s2 
 
 
23) ( )22432 −=− xy 
 
 
 
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24) 
 
Função Crescente Decrescente 
a) )1,(−∞ e ),2( ∞ )2,1( 
b) 






∞,
2
1
 





∞−
2
1
, 
c) ( )6,6− ( )6,∞− e ( )∞,6 
d) ( )0,∞− e 1−≠x ( )∞,0 e 1≠x 
e) 








−∞−
3
6
, e 







∞,
3
6
 







−
3
6
,
3
6
 
 
 
25) 
a) ( )31,2−P e ( )33,2P 
b) ( )0,0P e 





−
27
128
,
3
4P 
 
26) 3=a e 3−=b 
 
27) 
Função: 234 2
3
5
4
1)( xxxxf −+−= 
a) Crescente: ( )0,∞− e ( )4,1 Decrescente: ( )1,0 e ( )∞,4 
b) Pontos de máximo: ( )0,0 e ( )67,10;4 
c) Ponto de mínimo: 





−
12
7
,1 
d) Pontos de inflexão: ( )27,0;46,0 − e ( )96,5;87,2 
e) Concavidade para cima: ( )87,2;46,0 
Concavidade para baixo: ( )46,0;∞− e ( )∞;87,2 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 56
2
1
3
1)( 23 +−+= xxxxf 
a) Crescente: ( )3,−∞− e ( )∞,2 Decrescente: ( )2,3− 
b) Ponto de máximo: ( )5,18;3− 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações M012 – Cálculo I 
Lista de exercícios – Derivadas e aplicações 13 
c) Ponto de mínimo: ( )33,2;2 − 
d) Ponto de inflexão: ( )08,8;5,0− 
e) Concavidade para cima: ( )∞− ;5,0 
Concavidade para baixo: ( )5,0;−∞− 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 2516
5
4)( 25 −+= xxxf 
a) Crescente: ( )2,−∞− e ( )∞,0 Decrescente: ( )0,2− 
b) Ponto de máximo: ( )4,13;2− 
c) Ponto de mínimo: ( )25,0 − 
d) Ponto de inflexão: ( )14,2;26,1 −− 
e) Concavidade para cima: ( )∞− ;26,1 
Concavidade para baixo: ( )26,1;−∞− 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 12)( 234 ++−= xxxxf 
a) Crescente: 





2
1
,0 e ( )∞,1 Decrescente: ( )0,∞− e 




 1,
2
1
 
b) Ponto de máximo: 




 0625,1;
2
1
 
c) Pontos de mínimo: ( )1,0 e ( )1,1 
d) Pontos de inflexão: ( )03,1;21,0 e ( )03,1;79,0 
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Lista de exercícios – Derivadas e aplicações 14 
e) Concavidade para cima: ( )21,0;∞− e ( )∞;79,0 
Concavidade para baixo: ( )79,0;21,0 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 242)( 23 +−+= xxxxf 
a) Crescente: ( )2,−∞− e 





∞,
3
2
 Decrescente: 





−
3
2
,2 
b) Ponto de máximo: ( )10,2− 
c) Ponto de mínimo: 





27
14
;
3
2
 
d) Ponto de inflexão: 





−
27
142
;
3
2
 
e) Concavidade para cima: 





∞− ;
3
2
 
Concavidade para baixo: 





−∞−
3
2
; 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função: 243)( 34 +−= xxxf 
a) Crescente: ( )∞,1 Decrescente: ( )1,∞− 
b) A função não tem ponto de máximo. 
c) Ponto de mínimo: ( )1;1 
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Lista de exercícios – Derivadas e aplicações 15 
d) Pontos de inflexão: ( )2,0 e 




 41,1;
3
2
 
e) Concavidade para cima: ( )0,∞− e 





∞,
3
2
 
Concavidade para baixo: 





3
2
,0 
f) Gráficos 
 f(x) f’(x) e f’’(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28) Perímetro máximo de 40 unidades de comprimento. 
 
 
29) Dimensões: 22,02cm x 26,91cm 
 
30) Dimensões: 300 x 600 
 
31) 1000 unidades 
 
 
32) Dimensões: 2 x 2
6
 x 2
6
 
 
 
33) Dimensões do Lote: 104,33 m x 195,62 m 
 
34) 
 
a) A velocidade aumenta 10 <≤∀ t ou 107 ≤< t s e diminui 71 <<∀ t s. 
b) Em 1=t s ocorre a velocidade máxima, pois 0)1(' =v e 0)1('' <v . 
c) Em 7=t s ocorre a velocidade mínima, pois 0)7(' =v e 0)7('' >v . 
d) O ponto de inflexão de )(tv ocorre para 4=t s. A função )(tv possui concavidade voltada para cima 
104 ≤<∀ t s e possui concavidade voltada para baixo 40 <≤∀ t s. 
 
35) e=h cm. 
 
36) 
 
a) Aumentando, pois 0)4(' >N . 
b) Em 3 anos e meio, pois 0)5,3(' =N e 0)5,3('' >N . 
c) 30 pessoas por ano. 
d) 130 pessoas por ano 
 
 
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Lista de exercícios – Derivadas e aplicações 16 
37) 
 
a) )(xf é crescente 2−<∀x ou 4>x e )(xf é decrescente 42 <<−∀ x . 
b) 2−=x . c) 4=x . d) 1=x . 
e) A função )(xf possui concavidade voltada para cima 1>∀x e possui concavidade voltada para baixo 
1<∀x . 
 
38) mmm
3
32
3
3
3
3
×× 
39) 
 
a) Ponto de máximo: ( )36,3− b) ] [ ] [∞∪−∞− ,33, 
c) ,0 
2
6
 e 
2
6
−
 d) 





∪





−∞−
2
6
,0
2
6
,