Apostila de Probabilidade e Estatística - Welfane Kemil Tao.pdf

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APOSTILA DEAPOSTILA DE
PROBABILIDADE EPROBABILIDADE E
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
 Prof. Welfane Kemil Tão Prof. Welfane Kemil Tão
VVersão 2ersão 2006-1006-1
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Aplicações Usuais da EstatísticaAplicações Usuais da Estatística
♦♦ Índices econômicos;Índices econômicos;
♦♦ Taxas de natalidade;Taxas de natalidade;
♦♦ Eleições;Eleições;
♦♦ Teste de QI;Teste de QI;
♦♦ Aceitação de produto;Aceitação de produto;
♦♦ Perfil de pessoas;Perfil de pessoas;
♦♦ Pesquisas de Opinião/CursosPesquisas de Opinião/Cursos
♦♦ Pesquisas de mercadoPesquisas de mercado
Obs: Softwares estatísticos: Statgraphics / Minitab / SPSSObs: Softwares estatísticos: Statgraphics / Minitab / SPSS
Objetivo da EstatísticaObjetivo da Estatística
Conceito de EstatísticaConceito de Estatística
Estatística é à parte da matemática que fornece métodos paraEstatística é à parte da matemática que fornece métodos para
coleta, organização, descrição análise e interpretação de dados paracoleta, organização, descrição análise e interpretação de dados para
tomada de decisões.tomada de decisões.
Ramos da Estatística:Ramos da Estatística:
1) Estatística Descritiva1) Estatística Descritiva
É É o o raramo mo da da esestatatítíststicica a quque e prprococurura a dedescscrerevever r obobseservrvaçaçõeõess
através de tabelas, gráficos e medidas para transformar dados ematravés de tabelas, gráficos e medidas para transformar dados em
informações.informações.
22
TOMADA DETOMADA DE
DECISÕESDECISÕES
2) Estatística Inferencial2) Estatística Inferencial
A Estatística Inferencial permite a interpretação e análise deA Estatística Inferencial permite a interpretação e análise de
resultados, possibilitando tirar conclusões.resultados, possibilitando tirar conclusões.
A A EEssttaattííststiicca a IInnffeerreencnciiaal l ppoosssisibbiilliitta a qquue e ppaarrââmmeettrrooss
  p  popopululacacioionanais is sesejajam m esestitimamadodos s atatraravévés s do do estestududo o de de papartrte e dedestasta
 população (amostragem). Por exemplo, para estimar o percentual de população (amostragem). Por exemplo, para estimar o percentual de
alunos de Administração que têm computador em casa (população),alunos de Administração que têm computador em casa (população),
determina-se esse percentual em uma amostra dos alunos e comdetermina-se esse percentual em uma amostra dos alunos e com
mamarrgegens ns de de sesegugurarançnça a esestatabebelelecicidadas s esestitimama-s-se e o o pepercrcenentutual al nana
 população; população;
3) Probabilidade3) Probabilidade
Ramo da Estatística que envolve uma margem de risco ouRamo da Estatística que envolve uma margem de risco ou
incerteza num processo de generalização de fenômenos.incerteza num processo de generalização de fenômenos.
EExxeemmppllooss: : pprroobbaabbiilliiddaadde e dde e uum m pprroodduutto o seser r vveennddiiddoo,,
 probabilidade de chover, probabilidade de ocorrer acidente (empresa probabilidade de chover, probabilidade de ocorrer acidente (empresa
de seguros), resultados de moeda, baralho, dado e outros.de seguros), resultados de moeda, baralho, dado e outros.
Estudo de Variável:Estudo de Variável:
VVariável é o ariável é o conjunto de resultados possconjunto de resultados possíveis de um íveis de um fenômeno.fenômeno.
Exemplo:Exemplo:
Fenômeno: Fenômeno: resultados resultados possíveis: possíveis: M/FM/F
SexoSexo
33
CADACADA
FENÔMENOFENÔMENO UM Nº DE RESULTADOS POSSÍVEISUM Nº DE RESULTADOS POSSÍVEIS
Tipos de variáveis:Tipos de variáveis:
a)a) QuQualalititatativivaa
Quando seus valores são expressos por atributos.Quando seus valores são expressos por atributos.
Tipos de Variáveis Qualitativas:Tipos de Variáveis Qualitativas:
a1) Nominala1) Nominal
Associada a uma relação de atributos que Associada a uma relação de atributos que não possui ordenação.não possui ordenação.
Exemplo:Exemplo:
Sexo, cor dos olhos, etc.Sexo, cor dos olhos, etc.
a2) Ordinala2) Ordinal
Associada a uma relação de atributos que Associada a uma relação de atributos que pode ser ordenada.pode ser ordenada.
Exemplo:Exemplo:
Classe econômica, grau de instrução, etc.Classe econômica, grau de instrução, etc.
b)b) QuQuanantititatatitivava
Quando seus valores são expressos por números.Quando seus valores são expressos por números.
Exemplo:Exemplo:
Idade, salário, etc.Idade, salário, etc.
Tipos de Variáveis Quantitativas:Tipos de Variáveis Quantitativas:
b1) Discretab1) Discreta
Associada à contagem. A variável é discreta quando ela assumeAssociada à contagem. A variável é discreta quando ela assume
valores inteiros.valores inteiros.
Exemplo:Exemplo:
 Número de livros, número de pessoas, número de cadeiras, etc. Número de livros, número de pessoas, número de cadeiras, etc.
Se “x” é a variável número de livros, os valores que “x” podeSe “x” é a variável número de livros, os valores que “x” pode
assumir são:assumir são:
b2) Contínuab2) Contínua
Associada à medição. A variável é contínua quando ela podeAssociada à medição. A variável é contínua quando ela pode
assumir qualquer valor entre dois limites de um intervalo, ou seja,assumir qualquer valor entre dois limites de um intervalo, ou seja,
num intervalo, podem existir infinitos valores.num intervalo, podem existir infinitos valores.
Exemplo:Exemplo:
44
0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5
Altura, comprimento, temperatura, massa, etc.Altura, comprimento, temperatura, massa, etc.
Se “x” é a variável temperatura de uma pessoa, os valores queSe “x” é a variável temperatura de uma pessoa, os valores que
“x” pode assumir são:“x” pode assumir são:
População X AmostraPopulação X Amostra
PopulaçãoPopulação É o conjunto de todos os elementos que apresentamÉ o conjunto de todos os elementos que apresentam
 pelo menos uma  pelo menos uma característica comum.característica comum.
Tipos de população:Tipos de população:
aa)) FFiinniittaa
Possui um número limitado de elementos.Possui um número limitado de elementos.
Exemplo:Exemplo:
 Número de alunos de uma  Número de alunos de uma sala.sala.
b)b) InInfifininitata
AAssssoocciiaadda a a a pprroocceessssoos s ccoonnttíínnuuooss, , sseennddo o o o nnúúmmeerro o ddee
observações considerado infinito.observações considerado infinito.
Exemplo:Exemplo:
Leitura de sensores para controle.Leitura de sensores para controle.
Pesagem de materiais de um processo de Pesagem de materiais de um processo de produção.produção.
AmostraAmostra
SSãão o ssububccononjjununtotos s nãnão o vavazizios os da da popopupulalaççãão o em em eeststududo,o,
exexcecetutuanandodo-s-se e a a prprópópriria a popopupulalaçãção. o. DeDeve ve seser r rereprpresesenentatatitiva va dada
 população. população.
55
3366ººC C 3377ººCC
POPULAÇÃOPOPULAÇÃO AMOSTRAAMOSTRA
Amostragem X CensoAmostragem X Censo
Uma amostra envolve o estudo de uma parcela da população,Uma amostra envolve o estudo de uma parcela da população,
enquanto que um censo requer o exame de todos os itens.enquanto que um censo requer o exame de todos os itens.
Situações em que a amostragem é mais vantajosa:Situações em que a amostragem é mais vantajosa:
 A A popopupulalaçãção o popode de seser r ininfifininitata, , cocom m isisto to o o cecensnso o seseririaa
impossível;impossível;
 Se há necessidade de obter informação com rapidez o censoSe há necessidade de obter informação com rapidez o censo
 pode consumir muito tempo e perder  pode consumir muito tempo e perder a utilidade;a utilidade;
 QuQuanando do os os ititenens s sãsão o dedeststruruídídos os dudurarantnte e a a rerealalizizaçação ão dodo
experimento para obtenção dos dados, o censo destruiria todaexperimento para obtenção dos dados, o censo destruiria toda
a população;a população;
 Os custos de um censo podem inviabilizar a realização daOs custos de um censo podem inviabilizar a realização da
 pesquisa. pesquisa.
Situações em que o censo é Situaçõesem que o censo é mais vantajoso:mais vantajoso:
 Quando a população é pequena;Quando a população é pequena;
 SSe e o o ttaammaannhho o dda a aammooststrra a é é ggrraanndde e eem m rreellaaççãão o aao o ddaa
 população e o esforço adicional para realização do censo for  população e o esforço adicional para realização do censo for 
 pequeno; pequeno;
 Se houver exigência na precisão completa;Se houver exigência na precisão completa;
 Quando as informações completas sobre a população já estãoQuando as informações completas sobre a população já estão
disponíveis.disponíveis.
AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM
I) INTRODUÇÃOI) INTRODUÇÃO
Freqüentemente, são feitas pesquisas que estudam os elementos que compõemFreqüentemente, são feitas pesquisas que estudam os elementos que compõem
uma amostra extraída de uma população que será analisada. O conceito deuma amostra extraída de uma população que será analisada. O conceito de
  po  popupulalaçãção o é é inintutuititivivo; o; trtratata-a-se se do do coconjnjuntunto o de de inindidivívíduduos os ou ou objobjetetos os ququee
apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo.apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo.
Amostra é um subconjunto da população, sendo a parte efetivamente examinada.Amostra é um subconjunto da população, sendo a parte efetivamente examinada.
MuiMuitas tas aplaplicaicaçõeções s da da esestatítatístistica ca envenvolveolvem m amoamostrstras as de de daddados os de de umauma
 população sobre o qual se deseja fazer alguma inferência. Simplesmente população sobre o qual se deseja fazer alguma inferência. Simplesmente
amostrar não é suficiente, a amostra deve ser representativa da população,amostrar não é suficiente, a amostra deve ser representativa da população,
isto é, a amostra deve ter características similares às características daisto é, a amostra deve ter características similares às características da
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  p  popopululaçaçãoão. . DeDeveve-s-se e teter r prpresesenente te quque, e, a a únúnicica a foformrma a de de coconhnhececer er oo
verdadeiro valor (valor exato) de uma variável da população é analisa-laverdadeiro valor (valor exato) de uma variável da população é analisa-la
 por completo. por completo.
Uma amostra representativa apresenta as mesmas características que tem aUma amostra representativa apresenta as mesmas características que tem a
 população de onde foi  população de onde foi retirada.retirada.
SuSuponponhahamomos s umuma a pepesqsquiuisa sa sosobrbre e o o nínívevel l de de esescocolalariridadade de de de um um grugrupo po dede
oitocentas pessoas. Nesse caso, a população é o conjunto das oitocentas pessoas.oitocentas pessoas. Nesse caso, a população é o conjunto das oitocentas pessoas.
Se sentirmos desnecessário ou impossível examinar os oitocentos elementos,Se sentirmos desnecessário ou impossível examinar os oitocentos elementos,
  pod  podemoemos s recrecorrorrer er a a amoamostrstrageagem, m, ou ou sejseja, a, podepodemos mos exaexaminminar ar algalguns uns desdessesses
elementos.elementos.
Se, no exemplo citado, referente à pesquisa sobre o nível de escolaridade de 800Se, no exemplo citado, referente à pesquisa sobre o nível de escolaridade de 800
  pes  pessoasoas, s, escescolholhermermos os apeapenas nas duaduas s pespessoasoas, s, corcorremremos os o o risrisco co de de selseleciecionaonar r 
exatamente dois elementos com as mesmas características. Se os dois foremexatamente dois elementos com as mesmas características. Se os dois forem
analfabetos, por exemplo, podemos concluir, de forma errada, que todos osanalfabetos, por exemplo, podemos concluir, de forma errada, que todos os
elementos da população também o são.elementos da população também o são.
Observe que, para qualquer tamanho da amostra, sempre corremos o risco deObserve que, para qualquer tamanho da amostra, sempre corremos o risco de
chegar a conclusões erradas, mas este risco diminui à medida que a quantidadechegar a conclusões erradas, mas este risco diminui à medida que a quantidade
de elementos a serem examinados aude elementos a serem examinados aumenta.menta.
Além de estabelecer um critério para quantidade de elementos que vão fazer Além de estabelecer um critério para quantidade de elementos que vão fazer 
 parte de amostra, é importante estabelecer critérios de seleção desses elementos. parte de amostra, é importante estabelecer critérios de seleção desses elementos.
Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo.Os métodos de escolha da amostra devem garantir a representatividade do grupo.
 Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões: Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões:
a)a) CoCompmposiosiçãção da ao da amomoststrara..
 b) b) DimDimensensionionameamento nto da amda amostostrara
II) COMPOSIÇÃO II) COMPOSIÇÃO DA DA AMOSTRA:AMOSTRA:
Basicamente existem dois métodos para a composição da amostra: probabilísticoBasicamente existem dois métodos para a composição da amostra: probabilístico
e não-probabilístico:e não-probabilístico:
A)A) MÉTOMÉTODO DO PROBABPROBABILÍSTIILÍSTICO:CO:
Este exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade deEste exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de
ser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Este métodoser selecionado. Normalmente possuem a mesma probabilidade. Este método
garante cientificamente que a aplicação das técnicas estatísticas de inferências.garante cientificamente que a aplicação das técnicas estatísticas de inferências.
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Obs:Obs: Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar 
inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.
 Neste método, as principais formas de amostragem são: Neste método, as principais formas de amostragem são:
•• Aleatória Simples,Aleatória Simples,
•• Sistemática,Sistemática,
•• Proporcional Estratificada eProporcional Estratificada e
•• Por Conglomerados (ou agrupamentos).Por Conglomerados (ou agrupamentos).
A.1) AMOSTRAGEM ALEAA.1) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES TÓRIA SIMPLES OU OU CASUAL.CASUAL.
•• Equivalente a um sorteio lotéricoEquivalente a um sorteio lotérico
•• Geralmente utilizada em populações com menos de Geralmente utilizada em populações com menos de 50 elementos50 elementos
Procedimento:Procedimento:
1º) Numera-se a população de 1 até n, ou seja, do primeiro ao último.1º) Numera-se a população de 1 até n, ou seja, do primeiro ao último.
2º) Sorteia-se por meio de um dispositivo aleatório qualquer (papéis, urna de bola2º) Sorteia-se por meio de um dispositivo aleatório qualquer (papéis, urna de bola
ou por tabela de números aleatórios) a quantidade de elementos que irão compor ou por tabela de números aleatórios) a quantidade de elementos que irão compor 
a amostra.a amostra.
Obs.: Este passo pode ser omitido se for estipulada a quantidade de elementosObs.: Este passo pode ser omitido se for estipulada a quantidade de elementos
que irão compor a amostra.que irão compor a amostra.
3º) Sorteia-se, da mesma forma, os elementos que irão compor a amostra.3º) Sorteia-se, da mesma forma, os elementos que irão compor a amostra.
Exemplo: Vamos compor uma amostra de 10 % da estatura de uma turma queExemplo: Vamos compor uma amostra de 10 % da estatura de uma turma que
contém 90 alunos.contém 90 alunos.
1º) Numera-se a população de 01 até 90:1º) Numera-se a população de 01 até 90:
PopulaçãoPopulação01, 02, 03,.... 9001, 02, 03,.... 90
2º) Calcula-se a número de pessoas que irão fazer parte da amostra, ou seja, 10%2º) Calcula-se a número de pessoas que irão fazer parte da amostra, ou seja, 10%
de 90 é igual a 9 pessoas.de 90 é igual a 9 pessoas.
ObsObs.:.: NoNormrmalalmementnte e o o núnúmemero ro de de elelememenentotos s quque e irirão ão cocompmpor or a a amamostostra ra éé
determinado por cálculos estatísticos e pelo custo do processo de amostragem.determinado por cálculos estatísticos e pelo custo do processo de amostragem.
3º) Os elementos que irão compor a amostra serão sorteados, utilizando-se a3º) Os elementos que irão compor a amostra serão sorteados, utilizando-se a
tabela de números aleatórios.tabela de números aleatórios.
Por exemplo, a amostra poderia ser formada pelos alunos de número:Por exemplo, a amostra poderia ser formada pelos alunos de número:
87 07 87 07 19 20 35 19 20 35 50 90 50 90 61 13 61 13 (sorteados)(sorteados)
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A.2) AMOSTRAGEM A.2) AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRAPROPORCIONAL ESTRATIFICADATIFICADA
Utilizada quando a população apresenta comportamento heterogêneo, mas emUtilizada quando a população apresenta comportamento heterogêneo, mas em
susubpobpopulpulaçaçõeões s (e(eststraratotos), s), o o cocompmporortatamementnto o é é homhomogêogêneneo. o. NeNestste e cacaso, so, aa
 população é dividida em estratos e o sorteio dos elementos que irão compor a população é dividida em estratos e o sorteio dos elementos que irão compor a
amostra leva em consideração esses amostra leva em consideração esses estratos.estratos.
Exemplo:Exemplo:
 Numa popul Numa população de 90 ação de 90 alunos, em que 54 são alunos, em que 54 são homens e 36 homens e 36 são mulheresão mulheres,s,
obter uma amostra proporcional estratificada contendo 10% da população.obter uma amostra proporcional estratificada contendo 10% da população.
1º passo: Determinar o número de elementos da amostra1º passo: Determinar o número de elementos da amostra
SSEEXXOO PPOOPPUULLAAÇÇÃÃOO 1100%% AAMMOOSSTTRRAA
MM 5544 ?? ??
FF 3366 ?? ??
2º 2º paspasso: Numerso: Numera-sa-se e a a poppopulaulação de ção de mulmulherheres es de de 01 01 até 36 até 36 e e sortsorteiaeia-se pela-se pela
tabela de números aleatórios quais as mulheres que irão compor a amostra.tabela de números aleatórios quais as mulheres que irão compor a amostra.
 ___ ___ ___ ___ (quatro mulheres) ___ ___ ___ ___ (quatro mulheres)
3º passo: Repita o 2º passo para os homens 3º passo: Repita o 2º passo para os homens (de 37 até 90)(de 37 até 90)
 ___ ___ ___ ___ ___ (cinco homens) ___ ___ ___ ___ ___ (cinco homens)
A.3) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICAA.3) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Utilizada quando os elementos se encontram ordenados. Neste tipo deUtilizada quando os elementos se encontram ordenados. Neste tipo de
amamosostrtragagem em os os elelememenentotos s da da popopupulalaçãção o quque e irirão ão cocompmpor or a a amamosostrtra a sãsãoo
determinados através de intervalos fixos, por exemplo, prontuários médicos,determinados através de intervalos fixos, por exemplo, prontuários médicos,
 prédios de uma rua, linhas de produção, etc. prédios de uma rua, linhas de produção, etc.
Exemplo: Numa rua existem N = 900 prédios, desejamos obter uma amostra de nExemplo: Numa rua existem N = 900 prédios, desejamos obter uma amostra de n
= 50 prédios. Qu= 50 prédios. Qual o procedimento, utilizando a amostragem sistemática?al o procedimento, utilizando a amostragem sistemática?
1º passo: Determinar a relação (N/n = x):1º passo: Determinar a relação (N/n = x):
900900 = 18, ou seja= 18, ou seja, a cada x prédi, a cada x prédios, escoos, escolhe-se um plhe-se um prédio. No crédio. No caso, x=18.aso, x=18.
5050
2º passo: Sortear o 1º prédio entre o primeiro e o x-ésimo prédio:2º passo: Sortear o 1º prédio entre o primeiro e o x-ésimo prédio:
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 ... 1801 02 03 04 05 06 07 08 09 10 ... 18
Por exemplo, o prédio nº 04 foi sorteado, portanto:Por exemplo, o prédio nº 04 foi sorteado, portanto:
O primeiro prédio é o de nº 04O primeiro prédio é o de nº 04
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3º passo: Calcular os próximos prédios que irão formar a amostra (somando-se x3º passo: Calcular os próximos prédios que irão formar a amostra (somando-se x
ao número do prédio anterior), portanto:ao número do prédio anterior), portanto:
O segundo prédio é O segundo prédio é o de nº o de nº 22 22 ,ou seja, ,ou seja, 04+18=2204+18=22
O terceiro prédio O terceiro prédio é o de nº é o de nº 40 40 ,ou seja, 22+18=40,ou seja, 22+18=40
..
..
..
O último prédio é o de nº?O último prédio é o de nº?
A.4) AMOSTRAGEM POR A.4) AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (OU AGRUPAMENTCONGLOMERADOS (OU AGRUPAMENTOS)OS)
AlgAlgumaumas s poppopulaulaçõeções s não não perpermitmitem em ou ou tortornam nam extextremremameamente nte difdifíciícil l que que sese
identifiquem seus elementos. Mas, em algumas condições é relativamente fácilidentifiquem seus elementos. Mas, em algumas condições é relativamente fácil
identificar alguns subgrupos (conglomerados) da população. Em tais casos, umaidentificar alguns subgrupos (conglomerados) da população. Em tais casos, uma
amostra aleatória simples de tais subgrupos pode ser obtida e uma contagemamostra aleatória simples de tais subgrupos pode ser obtida e uma contagem
completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Exemplos típicos destecompleta deve ser feita para o conglomerado sorteado. Exemplos típicos deste
 processo são quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios e etc. processo são quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios e etc.
Assim, por exemplo, num levantamento da população de uma cidade podemosAssim, por exemplo, num levantamento da população de uma cidade podemos
dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizadadispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada
dos dos seseus us momoraradordoreses. . PoPodede-s-se, e, enentãtão, o, cocolhlher er umuma a amamostostra ra (a(aleleatatóróriaia) ) dosdos
quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naquelesquarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles
quarteirões sorteados.quarteirões sorteados.
B) MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOSB) MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra.São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra.
 Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as
amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população,amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população,
com isto os resultados são considerados específicos para aquela amostra emcom isto os resultados são considerados específicos para aquela amostra em
estudo.estudo.
 Neste método, as principais formas de amostragem são: Neste método, as principais formas de amostragem são:
•• Acidental,Acidental,
•• Intencional eIntencional e
•• Por Quotas.Por Quotas.
1010
B.1) AMOSTRAGEM B.1) AMOSTRAGEM ACIDENTACIDENTALAL
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos quTrata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo, quee vão aparecendo, que
são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra.são possíveis de se obter até completar o número de elementos da amostra.
Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados sãoGeralmente utilizada em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são
acidentalmente escolhidos.acidentalmente escolhidos.
B.2) AMOSTRAGEM INTENCIONALB.2) AMOSTRAGEM INTENCIONAL
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo deDe acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de
elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmenteelementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente
a grupos de elementos dos quais deseja saber opinião. Por exemplo, numaa grupos de elementos dos quais deseja saber opinião. Por exemplo, numapesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a
um grande salão de beleza e entrevista pessoas que ali estão.um grande salão de beleza e entrevista pessoas que ali estão.
B.3) AMOSTRAGEM POR B.3) AMOSTRAGEM POR QUOTQUOTASAS
Um dos meios de amostragem mais usados em levantamentos de mercado e emUm dos meios de amostragem mais usados em levantamentos de mercado e em
tempo de eleição é o método por quotas. Ele é dividido em três fases:tempo de eleição é o método por quotas. Ele é dividido em três fases:
1ª) Classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou1ª) Classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou
 presume, serem relevantes para a característica a ser estudada; presume, serem relevantes para a característica a ser estudada;
2ª) 2ª) DeteDeterminarminação da ção da proporçproporção ão da da populapopulação ção para cada para cada caracaractercterísticística, a, com basecom base
na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população;na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população;
3ª3ª) ) FiFixaxaçção ão de de ququototaas s pparara a ccadada a eentntrereviviststadador or a a qqueuem m vivier er sosobrbre e si si aa
resresponsponsabiabilidlidade ade de de selseleciecionaonar r ententrevrevististadosados, , de de modmodo o que que a a amoamostrstra a tottotalal
contenha a proporção de cada classe tal como determinada na 2ª fase.contenha a proporção de cada classe tal como determinada na 2ª fase.
Exemplo:Exemplo:
AdAdmimitte-e-se se quque e se se dedesesejja a pepesqsquiuissar ar o o “t“trarababallho ho dadas s mumullhehereres”s”..
PrProvovavavelelmementnte e se se teterá rá inintetereresssse e em em coconsnsideiderarar: r: a a didivivisãsão o cicidaddade/e/cacampmpo, o, aa
habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixashabitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas
etárias...etárias...
A A prprimimeieira ra tatarerefa fa é é dedescoscobrbrir ir as as prpropoporçorçõeões s (p(pororcecentntagagenens) s) desdessasass
cacararactctererísístiticacas s na na popopupulalaçãção. o. ImImagaginine e quque e hahaja ja 4747% % de de hohomemens ns e e 53% 53% dede
mulheres na população. Logo uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens emulheres na população. Logo uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e
27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma “quota” para entrevistar 2727 mulheres. Então o pesquisador receberá uma “quota” para entrevistar 27
mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostralmulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral
que atenda às proporções populacionais estipuladas.que atenda às proporções populacionais estipuladas.
1111
III) III) DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRADIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA
 Será abordado por pessoas que desejarem estudar mais profundamente aSerá abordado por pessoas que desejarem estudar mais profundamente a
estatística.estatística.
Método EstatísticoMétodo Estatístico
É uma técnica utilizada para estruturar e organizar as fases que devemÉ uma técnica utilizada para estruturar e organizar as fases que devem
ser seguidas no estudo dos fenômenos estatísticos.ser seguidas no estudo dos fenômenos estatísticos.
As principais fases do método estatístico são:As principais fases do método estatístico são:
 Definição do problema;Definição do problema;
 Planejar a coleta dos dados;Planejar a coleta dos dados;
 Coletar os dados;Coletar os dados;
 Apurar os dados;Apurar os dados;
 Apresentar os dados;Apresentar os dados;
 Analisar e interpretar os resultados.Analisar e interpretar os resultados.
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS:1ª LISTA DE EXERCÍCIOS:
1)1) Cite Cite as faseas fases do méts do método estodo estatístatístico.ico.
2)2) QuaiQuais os rs os ramos amos da eda estatístatísticastica??
3)3) ClaClassissificficar ar as as varvariáiáveiveis s comcomo: o: quaqualitlitatiativava, , quaquantintitattativa iva disdiscrecreta ta ee
quantitativa contínua.quantitativa contínua.
a)a) CoCor dor dos ols olhohos:s:
 b) b) NúmNúmero ero de de filfilhos:hos:
c)c) DiâDiâmetmetro ro de de peçpeças:as:
d)d) ProProduçdução de ão de algalgodãodão:o:
44)) QQuuaannddo o vvooccê ê uuttiilliizzaarriia a uum m pprroocceesssso o dde e aammoossttrraaggeem m eemm
comparação com um censo?comparação com um censo?
5)5) ExExplpliqique ue o o prprococededimimenento to papara ra obobteter r umuma a amamosostrtra a prpropopororciciononalal
estratificada.estratificada.
6)6) Em uma escoEm uma escola existela existem 250 alunosm 250 alunos, sendo distri, sendo distribuídbuídos nas séries aos nas séries a
seguir:seguir:
1212
SSéérriieess PPooppuullaaççãão o dde e aalluunnooss
11ªª 3355
22ªª 3322
33ªª 3300
44ªª 2288
55ªª 3355
66ªª 3322
77ªª 3311
88ªª 2277
Calcule através do processo de amostragem proporcional estratificadaCalcule através do processo de amostragem proporcional estratificada
quantos alunos de cada série irão compor a amostra que deve ter quantos alunos de cada série irão compor a amostra que deve ter 
exatamente 40 alunos.exatamente 40 alunos.
7)7) NumNuma a escescola exiola existestem m 280 men280 meninoinos s e e 320 men320 meninainas. s. EscEscolholha a umauma
amostra de 10% do total de alunos quantos são meninos e quantasamostra de 10% do total de alunos quantos são meninos e quantas
são meninas.são meninas.
8)8) Uma popUma populaçãulação está dividio está dividida em 3 estadoda em 3 estados com os tamans com os tamanhos: M1 =hos: M1 =
4400, , MM2 2 = = 110000, , MM3 3 = = 6600. . SSaabbeennddo o qquue e ffooi i rreeaalliizzaadda a uummaa
amostragem proporcional estratificada, e que 9 elementos foramamostragem proporcional estratificada, e que 9 elementos foram
retirados do 3º estado, qual é o tamanho da amostra?retirados do 3º estado, qual é o tamanho da amostra?
Gráficos EstatísticosGráficos Estatísticos
1313
1)1) Gráfico em colunasGráfico em colunas
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostosÉ a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos
verticalmente. São de bases iguais e com alturas proporcionais aos dados.verticalmente. São de bases iguais e com alturas proporcionais aos dados.
DestDesta a formforma a fica assegurfica assegurada a ada a propoproporcionarcionalidadlidade e entrentre e os dados os dados e e as áreasas áreas
dos retângulos.dos retângulos.
Exemplo1:Exemplo1:
Representar os dados da série temporal abaixo, referente ao preço doRepresentar os dados da série temporal abaixo, referente ao preço do
computador na Grande Vitória, num gráfico em colunas.computador na Grande Vitória, num gráfico em colunas.
Preço do computador na Preço do computador na Grande VGrande Vitória de Janeiro – itória de Janeiro – Junho/1998Junho/1998
MMEESSEESS PPRREEÇÇO O ((RR$$))
JJaanneeiirroo 11..005500,,0000
FFeevveerreeiirroo 11..005500,,0000
MMaarrççoo 11..000000,,0000
AAbbrriill 11..000000,,0000
MMaaiioo 998800,,0000
JJuunnhhoo 998800,,0000
Fonte: Dados fictíciosFonte: Dados fictícios
Obs.: A série temporal, também conhecida como Cronológica ou HistóricaObs.: A série temporal, também conhecida como Cronológica ou Histórica
descreve os valores da variável em função descreve os valores da variável em função do tempo.do tempo.
2) Gráfico em barras2) Gráfico em barras
1414
Preço do Computador naPreço do Computador na
Grande ViGrande Vitóritória Ja Jan - an - Jun/98Jun/98
900900
950950
10001000
10501050
11001100
JJaan n FFeev v MMaar r AAbbr r MMaai i JJuunn
Tempo (mês)Tempo (mês)
   P   P  r  r
  e  e  ç  ç
  o  o
   (   (   R   R
   $   $
Semelhante ao anterior, porém os retângulos são horizontais. NesteSemelhante ao anterior, porém os retângulos são horizontais. Nestecacasso, o, os os rretetânângugulolos s ttêm êm a a mmesesma ma alaltturura a e e os os ccomomprpriimementntos os ssãoão
 proporcionais aos dados. proporcionais aos dados.
Exemplo 2: Representar os dados da série específica referente ao númeroExemplo 2: Representar os dados da série específica referente ao número
de matrículas no ensino de matrículas no ensino superiorsuperior, num gráfico em , num gráfico em barras.barras.
Matrículas no 3º grau de ensino do Matrículas no 3º grau de ensino do Brasil – 1975Brasil – 1975
AARRÉÉA A DDE E EENNSSIINNOO MMAATTRRÍÍCCUULLAASS
CCiiêênncciiaas s BBiioollóóggiiccaass 3322..110099
CCiiêênncciiaas s EExxaattaas s e e TTeeccnnoollooggiiaa 6655..994499
CCiiêênncciiaas s AAggrráárriiaass 22..441199
CCiiêênncciiaas s HHuummaannaass 114488..884422
LLeettrraass 99..888833
AArrtteess 77..446644
DDuuaas s oou u mmaaiis s áárreeaass 1166..332233
Fonte: Serviço de Estatística, Educação e Cultura.Fonte: Serviço de Estatística, Educação e Cultura.
Obs: A SérObs: A Série Específicie Específica a ou ou CategCategórica descreve os órica descreve os valorvalores da es da variávariável emvel em
função de uma característica específica.função de uma característica específica.
OBS.OBS.
 Sempre que os dizeres a serem escritos são extensos, devemos dar Sempre que os dizeres a serem escritos são extensos, devemos dar 
 preferência aos gráficos em barras (séries geográficas ou específicas). preferência aos gráficos em barras (séries geográficas ou específicas).
Porém, se ainda preferir o gráfico em colunas, os dizeres deverão ser Porém, se ainda preferir o gráfico em colunas, os dizeres deverão ser 
expostos de baixo para cima;expostos de baixo para cima;
 Se a série for temporal sua disposição no gráfico deverá ser na ordemSe a série for temporal sua disposição no gráfico deverá ser na ordem
cronológica. Se a série for geográfica ou específica sua disposição nocronológica. Se a série for geográfica ou específica sua disposição no
gráfico deverá ser em ordem decrescente;gráfico deverá ser em ordem decrescente;
1515
MatríMatrículas no 3º grau dculas no 3º grau de ensino noe ensino no
Brasil - 1975Brasil - 1975
00 5500..000000 110000..0000
00
150.00150.00
00
200.00200.00
00
Ciências AgráriasCiências Agrárias
 Artes Artes
LetrasLetras
Duas ou mais áreasDuas ou mais áreas
CiênCiências cias BiológicasBiológicas
Ciências Exatas eCiências Exatas e
TecnologiaTecnologia
Ciências HumanasCiências Humanas
   Á   Á
  r  r  e  e
  a  a
   d   d  e  e
  e  e
MatrículaMatrícula
 À distância entre as colunas ou barras, por questões estéticas não deveráÀ distância entre as colunas ou barras, por questões estéticas não deverá
ser menor que a metade e maior que 2/3 da largura das colunas ouser menor que a metade e maior que 2/3 da largura das colunas ou
 barras. barras.
Exercício 1:Exercício 1:
Construir um gráfico para representar a Série Geográfica abaixo:Construir um gráfico para representar a Série Geográfica abaixo:
Duração Média dos Estudos Superiores na Europa – 1994Duração Média dos Estudos Superiores na Europa – 1994
PPAAÍÍSS NNº º DDE E AALLUUNNOOSS
IIttáálliiaa 77,,55
AAlleemmaannhhaa 77
FFrraannççaa 77
HHoollaannddaa 55,,99
IInnggllaatteerrrraa MMeennoos s dde e 44
Fonte: RFonte: Revista Vevista Vejaeja
Obs: A Série Geográfica, também conhecida como Territorial, Espacial ouObs: A Série Geográfica, também conhecida como Territorial, Espacial ou
de Localização descreve os valores da variável em função da regiãode Localização descreve os valores da variável em função da região
territorial (bairro, cidade, estado, etc...).territorial (bairro, cidade, estado, etc...).
3)3) Gráfico em colunas ou barras múltiplasGráfico em colunas ou barras múltiplas
Usado para representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenosUsado para representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos
 para comparação. para comparação.
Exemplo 3:Exemplo 3:
Fazer um gráfico em colunas dos dados abaixo:Fazer um gráfico em colunas dos dados abaixo:
Balança Comercial no Brasil (1989 –1991)Balança Comercial no Brasil (1989 –1991)
EESSPPEECCIIFFIICCAAÇÕÇÕEESS VVAALLOOR (R (UUSS$ 1$ 1.0.00000.0.00000))
11998899 11999900 11999911
EEXXPPOORRTTAAÇÇÕÕEESS 3344..338833 3311..441144 3311..662200
IIMMPPOORRTTAAÇÇÕÕEESS 1188..226633 2200..666611 2211..004411
Fonte: Ministério da FazendaFonte: Ministério da Fazenda
1616
Balança CBalança Comerciomercial no Brasilal no Brasil
00
10.00010.000
20.00020.000
30.00030.000
40.00040.000
1199889 9 1199990 0 11999911
Tempo (anos)Tempo (anos)
   V   V   a   a
   l   l   o   o
   r   r
   (   (   U   U
   S   S
   $   $
   b   b
   i   i   l   l   h   h
   õ   õ   e   e
   s   s   )   )
EXEXPORPORTTAÇAÇ Õ Õ ESES
IIMPOMPORRTTAÇAÇ Õ Õ ESES
Exercício 2: Representar os dados abaixo num gráfico Exercício 2: Representar os dados abaixo num gráfico em colunas.em colunas.
Terminais Telefônicos em Serviço no Brasil (1991 – 1993)Terminais Telefônicos em Serviço no Brasil (1991 – 1993)
RREEGGIIÕÕEESS 11999911 11999922 11999933
NNoorrttee 334433..000000 337766..000000 440033..000000
NNoorrddeessttee 11..228888..000000 11..337799..000000 11..448877..000000
SSuuddeessttee 66..223344..000000 66..772299..000000 77..223322..000000
SSuull 11..449977..000000 11..660088..000000 11..774466..000000
CCeennttrro o OOeessttee 771133..000000 777799..000000 888855..000000
Fonte: Ministério das ComunicaçõesFonte: Ministério das Comunicações
 No caso, a tabela acima é  No caso, a tabela acima é a conjugação da série a conjugação da série geográfica com histórica.geográfica com histórica.
4)4) GráfGráfico em Seico em Setortores (Pies (Pizza/zza/TTorta)orta)
Este gráfico é construído com base em um círculo, sendo empregadoEste gráfico é construído com base em um círculo, sendo empregado
sempre que desejamos ressaltar a participação dos valores em relação aosempre que desejamos ressaltar a participação dos valores em relação ao
total.total.
Só é recomendado a sua utilização quando há no máximo 7 dados.Só é recomendado a sua utilização quando há no máximo 7 dados.
As áreas dos setores são proporcionais aos dados, portanto:As áreas dos setores são proporcionais aos dados, portanto:
TToottaall 336600ºº 110000%%
PPaarrtte e x x yy
1717
Exemplo 4: Representar os dados abaixo em Exemplo 4: Representar os dados abaixo em um gráfico de setores:um gráfico de setores:
RECEITA DORECEITA DO MUNICÍPIO X DE MUNICÍPIO X DE 1975 A 19771975 A 1977
AANNOOSS RREECCEEIITTAA
(Cr$1.000,00)(Cr$1.000,00)
%% ÂÂNNGGUULLO O NNOO
GRÁFICOGRÁFICO
11997755 990000
11997766 11220000
11997777 11550000
TotalTotal
Fonte: Município XFonte: Município X
5) Gráficos em Linhas ou Curvas5) Gráficos em Linhas ou Curvas
Linha poligonal para representar séries estatísticas.Linha poligonal para representar séries estatísticas.
ExExememplplo o 5: 5: CoConsnstrtruiuir r um um grgráfáficico o em em lilinhnhas as dodos s dadadodos s da da BaBalalançnçaa
Comercial do Brasil (anterior)Comercial do Brasil (anterior)
1818
Receita do Município X (1975 - 1977)Receita do Município X (1975 - 1977)
25%25%33,3%33,3%
41,7%41,7%
11997766 1199777719751975
Representação de Dados e Representação de Dados e Distribuição de freqüências:Distribuição de freqüências:
ConceitosConceitos
a)a) DaDadodos bs brurutotoss
São dados não organizados em ordem crescente ou decrescente deSão dados não organizados em ordem crescente ou decrescente de
grandeza, ou seja, estão na forma bruta qgrandeza, ou seja, estão na forma bruta que foram coletados.ue foram coletados.
Exemplo: Exemplo: Altura dos alunos da Altura dos alunos da sala (na forma em sala (na forma em que foi que foi coletada).coletada).
bb)) RRooll
SãSão o dadadodos s ororgaganinizazados dos em em orordedem mcrcresescecentnte e ou ou dedecrcresescecentnte e dede
grandeza.grandeza.
1919
Balança Comercial no Brasil 1989 - Balança Comercial no Brasil 1989 - 19911991
00
10.00010.000
20.00020.000
30.00030.000
40.00040.000
50.00050.000
60.00060.000
1199889 9 1199990 0 11999911
TempoTempo
   V   V  a  a
   l   l  o  o
  r  r  e  e
  s  s
   (   (   U   U
   S   S   $   $
   B   B   i   i
   l   l   h   h
   õ   õ  e  e
ExExpoportrtaçaçãã o o IImpmpororttaçaçãã oo
Exemplo: Exemplo: Altura dos alunos da Altura dos alunos da sala (da menor sala (da menor para a maior).para a maior).
c)c) AmplAmplitude itude TTotal otal ou “Rou “Range” ange” (R)(R)
R = maior valor – menor valor R = maior valor – menor valor 
Exemplo:Exemplo:
10, 11, 5, 3, 2, 1.10, 11, 5, 3, 2, 1.
R = 11 – 1R = 11 – 1
R = 10R = 10
d)d) FrFreqüeqüêncência Absia Absoluoluta (Fi)ta (Fi)
 Número de vezes que o elemento ou classe de elementos aparece no Número de vezes que o elemento ou classe de elementos aparece no
conjunto de dados em estudo.conjunto de dados em estudo.
Exemplo:Exemplo:
2, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 1.2, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 1.
A frA freqüência absoluta do eqüência absoluta do elemento 2 é: 4elemento 2 é: 4
A frA freqüência absoluta do eqüência absoluta do elemento 1 é: 2elemento 1 é: 2
e)e) DiDistrstribuibuiçãição de Fro de Freqüeqüêncênciaia
Arranjo dos valores com sua respectiva freqüência.Arranjo dos valores com sua respectiva freqüência.
Exemplo:Exemplo:
Alunos daAlunos da
SalaSala
FiFi
11 1010
22 2020
33 2020
44 55
55 1010
Representação dos dados utilizando uma vRepresentação dos dados utilizando uma variável discretaariável discreta
Exemplo:Exemplo:
CoConsnstrtruiuir r umuma a didiststriribubuiçição ão de de frfreqeqüêüêncncia ia papara ra rereprpresesenentatar r osos
números abaixo. Determine as freqüências simples (absoluta e relativa) enúmeros abaixo. Determine as freqüências simples (absoluta e relativa) e
acumulada (absoluta e relativa).acumulada (absoluta e relativa).
xxi:i: {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4}.
FFrreeqqüüêênncciiaas s SSiimmpplleess FFrreeqqüüêênncciiaas s AAccuummuullaaddaass
DDaaddooss AAbbssoolluuttaa RReellaattiivvaa AAbbssoolluuttaa RReellaattiivvaa
xxii FFii FFriri FFacac FFacr acr 
2020
11
22
33
44
Portanto os tipos de freqüências são:Portanto os tipos de freqüências são:
Absoluta (Fi)Absoluta (Fi)
SimplesSimples
Relativa (Fri)Relativa (Fri)
FreqüênciaFreqüência
Absoluta (Fac)Absoluta (Fac)
AcumuladaAcumulada
Relativa (Facr)Relativa (Facr)
Exercício:Exercício:
Com base nas idades dos alunos de Com base nas idades dos alunos de uma turma, mostrada abaixo,uma turma, mostrada abaixo,
10, 10, 10, 11, 11, 110, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 1, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13.13.
Responda:Responda:
a)a) ConstConstrua a distrirua a distribuição de freqbuição de freqüência detüência determinerminando: Fi, Frando: Fi, Fri, Fac, Facri, Fac, Facr..
 b) b) QuaQuantontos as alunlunos os têmtêm::
 b.1) Até 11 anos? b.1) Até 11 anos?
 b.2) Mais de 11 anos? b.2) Mais de 11 anos?
 b.3) Entre 10 e 12  b.3) Entre 10 e 12 anos (incluindo os extremos)?anos (incluindo os extremos)?
c)c) RespResponda os ionda os itens tens anterianteriores na ores na formforma percena percentual.tual.
Representação dos dados utilizando uma variável contínua e variávelRepresentação dos dados utilizando uma variável contínua e variável
discreta com grande quantidade de elementos:discreta com grande quantidade de elementos:
 Notação de classes: Notação de classes:
20 |20 |    | 25: Compreende os valores de | 25: Compreende os valores de 20 a 25, incluindo os 20 a 25, incluindo os extremos.extremos.
20 |20 |    25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 25.25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 25. (Será usada(Será usada
esta notação)esta notação)
2121
2020    | 25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 20.| 25: Compreende os valores de 20 a 25, excluindo o 20.
Exemplo: Distribuição de freqüência para uma variável contínua:Exemplo: Distribuição de freqüência para uma variável contínua:
CCLLAASSSSEESS FFii FFriri FFacac FFacr acr 
2 |2 |    44 1010
4 |4 |    66 2020
6 |6 |    88 2020
8 |8 |    1010 1010
1ª Classe: 2 |1ª Classe: 2 |    44
2ª Classe: 4 |2ª Classe: 4 |    66
3ª Classe: 6 |3ª Classe: 6 |    88
Limite inferior da 1ª classe: 2Limite inferior da 1ª classe: 2
Limite inferior da 2ª classe: 4Limite inferior da 2ª classe: 4
Limite superior da 1ª classe: 4Limite superior da 1ª classe: 4
Limite superior da 2ª classe: 6Limite superior da 2ª classe: 6
Ponto Médio das Classes (xPonto Médio das Classes (x ii))
O ponto médio de uma classe é calculado através da média aritmética entreO ponto médio de uma classe é calculado através da média aritmética entre
o limite inferior e o superior da respectiva classe. Por exemplo, no caso dao limite inferior e o superior da respectiva classe. Por exemplo, no caso da
1ª classe o ponto médio é:1ª classe o ponto médio é: 3322 442211 ==++== x x
CLASSESCLASSES xxii
22 ||    44 33
44 ||    66 55
66 ||    88 77
88 ||    1010 99
Amplitude das Classes (h)Amplitude das Classes (h)
É a diferença entre o É a diferença entre o limite superior e o inferior da respectiva classe.limite superior e o inferior da respectiva classe.
1ª classe: h = 4 – 2 = 21ª classe: h = 4 – 2 = 2
2ª classe: h = 6 – 4 = 22ª classe: h = 6 – 4 = 2
3ª classe: h = 8 – 6 = 23ª classe: h = 8 – 6 = 2
Número de Classe (K)Número de Classe (K)
2222
TTemos 4 classes na emos 4 classes na tabela do exemplo tabela do exemplo acima, portanto K=4.acima, portanto K=4.
PROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃOPROCEDIMENTO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO
DE VDE VARIÁVEL ARIÁVEL CONTÍNUA:CONTÍNUA:
1º) calcular a amplitude dos dados (R)1º) calcular a amplitude dos dados (R)
 ____________________________________  ____________________________________ 
menorvalor menorvalor maiorvalor maiorvalor R R  −−==
2º) calcular o nº de 2º) calcular o nº de classes (k)classes (k)
 Não há fórmula exata para calcular o nº de classes. A regra prática que será Não há fórmula exata para calcular o nº de classes. A regra prática que será
utilizada é:utilizada é:
regra regra do do quadrado: quadrado: se se nn ≤≤ 25, 25, k k = = 55
se n > 25,se n > 25, nnK K ==
Exemplo: se n=49, determine o nº de Exemplo: se n=49, determine o nº de classes.classes.
3º) calcular a amplitude das classes (h):3º) calcular a amplitude das classes (h):
K K 
R R hh ==
Obs:Obs: K e h devem K e h devem ser aproximados para o maior inteiro.ser aproximados para o maior inteiro.
4º) determinar os limites das classes, preferindo sempre que possíveis4º) determinar os limites das classes, preferindo sempre que possíveis
números inteiros.números inteiros.
Obs:Obs: O limite inferior da 1ª classe, muitas vezes, poderá ser o menor O limite inferior da 1ª classe, muitas vezes, poderá ser o menor 
número do conjunto de dados em estudo.número do conjunto de dados em estudo.
5º) construir a tabela de freqüências determinando as freqüências de cada5º) construir a tabela de freqüências determinando as freqüências de cada
classe.classe.
Exemplo:Exemplo:
DDadado o o o rrol ol de de 50 50 nonotatas s de de alalununosos, , agagrurupapar r os os dadadodos s em em clclasassseses..
Determinando: Fi, Fri, Fac e Facr.Determinando: Fi, Fri, Fac e Facr.
3333 3355 3355 3399 4411 4411 4422 4455 4477 4488
5500 5522 5533 5544 5555 5555 5577 5599 6600 6600
6611 6644 6655 6655 6655 6666 6666 6666 6677 6688
6699 7711 7733 7733 7744 7744 7766 7777 7777 7788
2323
8800 8811 8844 8855 8855 8888 8899 9911 9944 9977
Exercício:Exercício:
Os pesos de 40 alunos são:Os pesos de 40 alunos são:
6699 5577 7722 5544 9933 6688 7722 5588 6644 6622
66557766 6600 4499 7744 5599 6666 8833 7700 4455
6600 8811 7711 6677 6633 6644 5533 7733 8811 5500
6677 6688 5533 7755 6655 5588 8800 6600 6633 5533
Agrupar os dados em Agrupar os dados em classes, determinando Fi, Fri, Fac, Facr.classes, determinando Fi, Fri, Fac, Facr.
Solução:Solução:
O rol em colunas do exercício é:O rol em colunas do exercício é:
4455 5533 5588 6600 6633 6655 6688 7711 7744 8811
4499 5533 5588 6600 6644 6666 6688 7722 7755 8811
5500 5544 5599 6622 6644 6677 6699 7722 7766 8833
5533 5577 6600 6633 6655 6677 7700 7733 8800 9933
Representação Gráfica de uma Distribuição de Representação Gráfica de uma Distribuição de FreqüênciaFreqüência
1)1) HistHistogramograma de Fa de Freqüênreqüência Scia Simpleimples (Fs (Fi)i)
UtUtililizizadado o papara ra rereprpresesenentatar r dadadodos s agagrurupapadodos s em em clclasasseses. s. É É aa
representação de uma distribuição por retângulos justapostos, onde as suasrepresentação de uma distribuição por retângulos justapostos, onde as suas
 bases caracterizam a amplitude das classes e suas alturas são proporcionais bases caracterizam a amplitude das classes e suas alturas são proporcionais
as freqüências das classes.as freqüências das classes.
Exemplo:Exemplo:
Construir o histograma de freqüências simples dos dados abaixo:Construir o histograma de freqüências simples dos dados abaixo:
CCLLAASSSSEE FFii FFaacc
22 ||    44 33 33
44 ||    66 55 88
66 ||    88 1100 1188
88 ||    1010 66 2424
1010 ||    1212 22 2626
2424
1010 Polígono dePolígono de
Freqüência SimplesFreqüência Simples
FiFi
2) Polígono de Freqüência 2) Polígono de Freqüência Simples (Fi)Simples (Fi)
Representação de distribuição por meio de um polígono.Representação de distribuição por meio de um polígono.
CoConsnsisiste te em em ununir ir os os popontntos os mémédidios os dadas s babaseses s susupepeririorores es dodoss
retângulos do histograma através de retas.retângulos do histograma através de retas.
Exemplo: Construir o polígono de freqüências simples do exemplo anterior Exemplo: Construir o polígono de freqüências simples do exemplo anterior 
3)3) HistHistogramograma de Fra de Freqüêncieqüência a AcumuAcumulada (Flada (Fac)ac)
Semelhante ao histograma de freqüência simples, porém a freqüênciaSemelhante ao histograma de freqüência simples, porém a freqüência
utilizada é a acumulada (Fac).utilizada é a acumulada (Fac).
4) Polígono de Freqüência Acumulada ou Ogiva 4) Polígono de Freqüência Acumulada ou Ogiva (Fac)(Fac)
Semelhante ao polígono de freqüência simples, porém a freqüênciaSemelhante ao polígono de freqüência simples, porém a freqüência
utilizada é a acumulada (Fac).utilizada é a acumulada (Fac).
Exemplo: Construir o histograma de Fac a Ogiva para oExemplo: Construir o histograma de Fac a Ogiva para os dados abaixo:s dados abaixo:
CCLLAASSSSEE FFii FFaacc xxii
22 ||    44 22 22 33
44 ||    66 33 55 55
66 ||    88 55 1100 77
88 ||    1010 22 1122 99
1010 ||    1212 44 1166 1111
2525
1616
1212
1010
55
22
FacFac
Polígono de FreqüênciaPolígono de Freqüência
Acumulada ( Ogiva )Acumulada ( Ogiva )
Histograma deHistograma de
FreqüênciaFreqüência
AcumuladaAcumulada
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10
66
55
33
22
ClassesClasses
Histograma deHistograma de
FreqüênciaFreqüência
SimplesSimples
EXERCÍCIOS:EXERCÍCIOS:
1)1) ReprRepresentesentar um gar um gráfiráfico polco polar dos ar dos dados:dados:
MesesMeses JJ FF MM AA M JM J JJ A SA S OO N DN D
TemperaturaTemperatura
(ºC)(ºC)
2288 2299 2277 2244 2200 1199 1188 2211 2222 2244 2288 3300
2)2) A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de kmA tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de km22, dos oceanos., dos oceanos.
Representar graficamente os dados, usando:Representar graficamente os dados, usando:
a)a) um gum gráráfifico dco de cole colununasas;;
 b) b) um gum gráfráfico ico de sde setoetoresres..
OceanoOceano AAnnttáárrttiiccoo ÁÁrrttiiccoo AAttllâânnttiiccoo ÍÍnnddiiccoo PPaaccííffiiccoo
ÁreaÁrea
(milhões km(milhões km22))
3366,,88 2233,,22 119999,,44 113377,,99 334422,,77
3)3) ConsiConsidere os dados obdere os dados obtidotidos pelas medis pelas medidas das altdas das alturas de 100 indiuras de 100 indivíduvíduosos
(dadas em cm):(dadas em cm):
151 – 152 – 154 – 155 – 158 – 159 – 159 – 160 – 161 – 161151 – 152 – 154 – 155 – 158 – 159 – 159 – 160 – 161 – 161
161 – 162 – 163 – 163 – 163 – 164 – 165 – 165 – 165 – 166161 – 162 – 163 – 163 – 163 – 164 – 165 – 165 – 165 – 166
166 – 166 – 166 – 167 – 167 – 167 – 167 – 167 – 168 – 168166 – 166 – 166 – 167 – 167 – 167 – 167 – 167 – 168 – 168
168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 169 – 169168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 168 – 169 – 169
2626
2 2 4 4 6 6 8 8 1010
1212
ClassesClasses
169 – 169 – 169 – 169 – 169 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170169 – 169 – 169 – 169 – 169 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170
170 – 170 – 171 – 171 – 171 – 171 – 172 – 172 – 172 – 173170 – 170 – 171 – 171 – 171 – 171 – 172 – 172 – 172 – 173
173 – 173 – 174 – 174 – 174 – 175 – 175 – 175 – 175 – 176173 – 173 – 174 – 174 – 174 – 175 – 175 – 175 – 175 – 176
176 – 176 – 176 – 177 – 177 – 177 – 177 – 178 – 178 – 178176 – 176 – 176 – 177 – 177 – 177 – 177 – 178 – 178 – 178
179 – 179 – 180 – 180 – 180 – 180 – 181 – 181 – 181 – 182179 – 179 – 180 – 180 – 180 – 180 – 181 – 181 – 181 – 182
182 – 182 – 183 – 184 – 185 – 186 – 187 – 188 – 190 – 190182 – 182 – 183 – 184 – 185 – 186 – 187 – 188 – 190 – 190
Pede-se determinar:Pede-se determinar:
a)a) a aa amplmplituitude de amoamostrstral;al;
 b) b) o núo númermero de o de claclassesses;s;
c)c) a ama ampliplitudtude dae das cs claslassesses;;
d)d) os lios limitmites daes das cls classasses;es;
e)e) as fas freqüêreqüências ncias absolabsolutas utas das das classclasses;es;
f)f) as as frfreqüeqüênciências as relrelatiativasvas;;
g)g) os ponos pontos mtos médiédios das cos das claslassesses;;
h)h) a fra freqüeqüêncência aia acumcumulaulada;da;
i)i) o hio histostogragrama – pma – políolígongono de fo de freqreqüênüênciacia;;
 j) j) os gos gráfráficoicos de s de frefreqüêqüêncincia aca acumulumulada.ada.
Medidas de Posição ou de Tendência CentralMedidas de Posição ou de Tendência Central
__ __ 
1)1) MédMédia ia ArAritmitmétiética ( Xca ( X))
a)a) PaPara ra daddados nos não ão agragrupaupadosdos::
nn
xx
xx ii∑∑==
Exemplo:Exemplo:
Calcular a média dos números abaixo:Calcular a média dos números abaixo:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10.1, 2, 3, 4, 6, 8, 10.
__ __ 
2727
X = ?X = ?
 b) b) Para Para dados tdados tabuladabulados (mos (média poédia pondernderada):ada):
 b.1) Sem intervalo de classes: b.1) Sem intervalo de classes:
xxii FFii xxii. . FFii
22 22
33 44
44 33
55 44
66 22
nn
FFxx
xx iiii∑∑==
__ __ 
X = ?X = ?
 b.2) Com intervalo de classes: b.2) Com intervalo de classes:
CCLLAASSSSEE FFii XXii xxii. . FFii
22 ||    44 22
44 ||    66 33
66 ||    88 44
88 ||    1010 55
__ __ 
X = ?X = ?
Exemplo: Um aluno tirou 9,0 em uma prova de peso 2 e 6,0 em umExemplo: Um aluno tirou 9,0 em uma prova de peso 2 e 6,0 em um
trabalho de peso 1. Qual a nota média do aluno?trabalho de peso 1. Qual a nota média do aluno?
Desvio em relação à média (di)Desvio em relação à média (di)
É a diferença entre o É a diferença entre o valor (xi) e a média, ou seja,valor (xi) e a média, ou seja, xxxxd d  iiii −−==
Exemplo: Calcule o desvio (di) dos valores abaixo:Exemplo: Calcule o desvio (di) dos valores abaixo:
a)a) xxi:i: {2, 3, 4, 5}.{2, 3, 4, 5}.
xxii xxxxdd iiii −−==
22
2828
33
44
55
 b) b)
xxii FFii xxii . F. Fii xxxxdd iiii −−==
22 22
33 44
44 33
55 44
66 22
c)c)
CCLLAASSSSEESS FFii xxii xxii . F. Fii xxxxdd iiii −−==
22 ||    44 22
44 ||    66 33
66 ||    88 44
88 ||    1010 55
ModaModa
É o valor mais freqüente da dÉ o valor mais freqüente da distribuição.istribuição.Determine a Moda nos exemplos abaixo:Determine a Moda nos exemplos abaixo:
a)a) PaPara ra daddados nos não ão tabtabulauladosdos::
X = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5}X = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5}
 b) b) PaPara ra daddados os tabtabulauladosdos
 b.1) Não agrupados b.1) Não agrupados
xxii FFii
11 33
22 77
33 22
44 11
55 66
2929
MedianaMediana
Medida de tendência central que divide uma série ordenada (Rol) emMedida de tendência central que divide uma série ordenada (Rol) em
duas partes iguais.duas partes iguais.
É também uma separatriz.É também uma separatriz.
(__________M(__________Mdd __________) __________)
a)a) PaPara ra daddados nos não ão tabtabulauladosdos::
a.1) Para um número ímpar de valores:a.1) Para um número ímpar de valores:
Exemplo:Exemplo:
x = {1, 3, 5, 6,x = {1, 3, 5, 6, 88, , 11, 11, 13, 13, 16, 16, 17} 17} n n = = 9 9 elementos.elementos.
MMdd = 8, a mediana é o elemento central.= 8, a mediana é o elemento central.
 posição do elemento central: posição do elemento central: 22 11nn ++ == 22 1199 ++ == 5 ,ou seja,5 ,ou seja,
a mediana é o 5º elemento.a mediana é o 5º elemento.
a.2) Para número par de valores:a.2) Para número par de valores:
Exemplo:Exemplo:
x = {1, 3, 5,x = {1, 3, 5, 77,, 99, , 1111, , 1133, , 1155} } n n = = 8 8 eelleemmeennttooss
 posição dos elementos centrais: posição dos elementos centrais: 22nn == 2288 = = 4 4 (4º (4º elemento) elemento) = = 77
ee 1122
nn
++ == 1122
88
++ =5 (5º elemento) = 9=5 (5º elemento) = 9
A mediana é a média aA mediana é a média aritmética dos elementos centrais:ritmética dos elementos centrais:
Md = 7 + 9 = 8Md = 7 + 9 = 8
22
 b) b) PaPara dra dadoados tas tabulbuladoados:s:
 b.1) Dados discretos (Não agrupados  b.1) Dados discretos (Não agrupados em classes):em classes):
3030
50%50%50%50%
Exemplo: Determine a medianaExemplo: Determine a mediana
xxii FFii FFaacc
22 55
44 1010
66 1515
88 1212
1010 55
1212 33
Exercício: Calcular a Md dos dados abaixo:Exercício: Calcular a Md dos dados abaixo:
xxii FFii
11 22
33 33
55 44
77 44
99 33
1111 33
Medidas Separatrizes:Medidas Separatrizes:
a)a) PEPERCRCENENTITIS (S (PiPi):):
Dividem os dados em 100 partes iguais. Cada parte contém 1% dosDividem os dados em 100 partes iguais. Cada parte contém 1% dos
dados.dados.
Procedimento do cálculo:Procedimento do cálculo:
1º) 1º) Calcular Calcular o elemento o elemento do percentildo percentil:: 100100ininEE PiPi ==
onde:onde:
nn é o número de dados;é o número de dados;
3131
ii é o percentil desejado, por exemplo:é o percentil desejado, por exemplo:
•• i = 1 para o i = 1 para o cálculo do primeiro percentil;cálculo do primeiro percentil;
•• i = 2 para o cálculo do segundo percentil, e assim por diante, até oi = 2 para o cálculo do segundo percentil, e assim por diante, até o
último percentil, em que i = 99.último percentil, em que i = 99.
2º2º) ) DeDetetermrmininar ar a a clclasasse se do do pepercrcenentitil l (d(de e acacorordo do cocom m o o elelememenento to dodo
 percentil e com a frequência acumulada). percentil e com a frequência acumulada).
3º) Calcular o valor do percentil:3º) Calcular o valor do percentil:
      
  
  
   −−++==
PiPi
PiPi
ii FF
..acac..FantFantEEhhliliPP
onde:onde:
PiPi →→ valor do percentil;valor do percentil;
EEPiPi →→ elemento do percentil;elemento do percentil;
LiLi →→ limite inferior da classe do limite inferior da classe do percentil;percentil;
hh →→ amplitude da classe do percentil;amplitude da classe do percentil;
FFant.acant.ac →→ Freqüência anterior (acumulada) à classe do percentil;Freqüência anterior (acumulada) à classe do percentil;
FF pi pi →→ Freqüência absoluta (simples) da classe do Freqüência absoluta (simples) da classe do percentil;percentil;
Exemplo: Para os dados abaixo, determine:Exemplo: Para os dados abaixo, determine:
a)a) pepercrcenentitil 2l 25;5;
 b b)) o 20o 20º peº percrcenentitil;l;
c)c) o valor qo valor que dividue divide os dados em de os dados em duas partuas partes iguaies iguais (MEDIs (MEDIANA)ANA);;
d)d) o valor qo valor que dividue divide separa os ee separa os em 35% maim 35% mais novos do rs novos do restanestante;te;
e)e) o valoo valor que divr que divide sepide separa os eara os em 65% mm 65% mais veais velhos do rlhos do restanestante;te;
IIDDAADDEESS((aannooss)) FFii FFaacc
2 |2 |    44 33 33
4 |4 |    66 55 88
6 |6 |    88 77 1515
8 |8 |    1010 44 1919
3232
10 |10 |    1212 11 2020
Exercício:Exercício:
Calcular a medianaCalcular a mediana
CCllaasssseess FFii FFaacc
1 |1 |    33 55 55
3 |3 |    55 1100 1155
5 |5 |    77 55 2020
7 |7 |    99 1100 3300
9 |9 |    1010 55 3535
Quartis (QQuartis (Qii))
Dividem os dados em 4 partes iguais. Cada parte contendo 25% dosDividem os dados em 4 partes iguais. Cada parte contendo 25% dos
dados.dados.
2255%% 2255%% 2255%% 2255%%
QQ11 QQ22 QQ33
Portanto,Portanto,
•• 1º quartil é igual ao percentil 25;1º quartil é igual ao percentil 25;
•• 2º quartil é igual ao percentil 50 2º quartil é igual ao percentil 50 (mediana);(mediana);
•• 3º quartil é igual ao percentil 75;3º quartil é igual ao percentil 75;
Exemplo: Determine o 2º Quartil:Exemplo: Determine o 2º Quartil:
CCllaassssee FFii FFaacc
1 |1 |    33 33 33
3 |3 |    55 55 88
5 |5 |    77 88 1616
7 |7 |    99 55 2121
9 |9 |    1111 22 2323
111 |1 |    1313 33 2626
Decis (Di)Decis (Di)
3333
Dividem os dados em 10 partes iguais:Dividem os dados em 10 partes iguais:
1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%% 1100%%
Portanto,Portanto,
•• 1º decil é igual ao percentil 10;1º decil é igual ao percentil 10;
•• 2º decil é igual ao percentil 20 e, assim por diante, até o último (9º)2º decil é igual ao percentil 20 e, assim por diante, até o último (9º)
decil, ;decil, ;
Exercício: Determine o 3º Decil da tabela anterior:Exercício: Determine o 3º Decil da tabela anterior:
Obs.:Obs.:
Exercício:Exercício:
Ao aplicar uma prova de estatística numa turma de 120 alunos, encontrou-Ao aplicar uma prova de estatística numa turma de 120 alunos, encontrou-
se o resultado:se o resultado:
NoNota ta dodos s AAlulunonoss NúNúmmerero do de Ae Allununosos
30 |30 |    4040 11
40 |40 |    5050 33
50 |50 |    6060 1111
60 |60 |    7070 2121
70 |70 |    8080 4343
80 |80 |    9090 3232
90 |90 |    100100 99
Calcule:Calcule:
a)a) OOs qs quauarrtitiss..
 b) b) O grau mais baO grau mais baixo que poderixo que poderia ser obtiia ser obtido pelos 25% medo pelos 25% melhorelhores alunos das alunos da
turma.turma.
c)c) A A nota qunota que separe separa os 75% ma os 75% melhorelhores alunes alunos dos oos dos outrosutros..
d)d) A A nota que snota que separa os 7epara os 70% melh0% melhores alores alunos dos ounos dos outrosutros..
e)e) A A nota qunota que separe separa os 35% pa os 35% piores iores alunos alunos dos outdos outros.ros.
3434
PP5050 = D= D55 = Md = Q= Md = Q22
MEDIDAS de DISPERSÃO:MEDIDAS de DISPERSÃO:
SãSão o memedididadas s utiutililizazadas das papara ra avavalaliaiar r o o grgrau au de de vavaririababililididade ade ouou
dispersão dos valores em torno da média.dispersão dos valores em torno da média.
xx (média)(média)
Exemplo 46: Sejam as séries:Exemplo 46: Sejam as séries:
3535
DISPERSÃODISPERSÃO
a) 20, 20, 20a) 20, 20, 20→→ aaxx = 20= 20
 b) 15, 10, 20, 25, 30 b) 15, 10, 20, 25, 30→→  b bxx = 20= 20
Obs.: a série b possui maior dispersão do que a Obs.: a série b possui maior dispersão do que a série asérie a
I) Amplitude Total (R)I) Amplitude Total (R)
R = maior valor – menor valor R = maior valor – menor valor 
Exemplo 1: Determine a amplitude dos dados abaixo:Exemplo 1: Determine a amplitude dos dados abaixo:
Idades de pessoas: {1, 3, 5, 7, 9, Idades de pessoas: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}11, 13}
RR = = 13 13 - - 11
R = 12R = 12
II) VII) Variânciariânciaa
COCONCNCEIEITOTO: : É É a a mémédidia a ararititmémétitica ca dodos s ququadadraradodos s dodos s dedesvsvioioss
calculados em relação à média.calculados em relação à média.
É É umuma a memedididda a quque e cacararactctereriziza a o o grgrau au de de coconcncenentrtraçação ão ou ou dede
variabilidade dos dados em relação à médvariabilidade dos dados em relação à média aritmética.ia aritmética.
A varA variância possui a dimensão dos dados ao iância possui a dimensão dos dados ao quadrado.quadrado.
Lógica do Cálculo das medidas de Lógica do Cálculo das medidas de dispersão:dispersão:
PaPara ra cocompmprereenendeder r o o coconcnceieitto o de de vavaririânâncicia a e e dadas s ououtrtras as memedididadas s dede
dispersão, inicialmente vamos calcular os desvios das notas de dois alunosdispersão, inicialmente vamos calcular os desvios das notas de dois alunos
em relação à média das provas, de acordo com o exemplo a seguir:em relação à média das provas, de acordo com o exemplo a seguir:
Exemplo 2: Estude os Exemplo 2: Estude os desvios das notas dos desvios das notas dos alunos A alunos A e Be B
NNootta a 11 NNootta a 22 MMééddiiaa
DesvioDesvio
dada
Nota 1Nota 1
DesvioDesvio
dada
Nota 2Nota 2
SomaSoma
dosdos
DesviosDesvios
Aluno AAluno A 22 88 55 22--55= = --33 88--55= = 33 ZZeerroo
Aluno BAluno B 44 66 55 44--55= = --11 66--55= = 11 ZZeerroo
Os desvios na tabela acima foram calculados da Os desvios na tabela acima foram calculados da seguinte forma:seguinte forma:
3636
Cada desvio é a diferença entre o valor (xi) e a média (Cada desvio é a diferença entre o valor (xi) e a média ( x x ), ou seja,), ou seja,
xxxxdd iiii −−==
Exemplo 3: Calcule os desvios (di) dos valores abaixo:Exemplo 3: Calcule os desvios (di) dos valores abaixo:
xxi:i: {2, 4, 6, 8, 10, 12} estes números podem estar representando a idade{2, 4, 6, 8, 10, 12} estes números podem estar representando a idade
de pessoas ou de pessoas ou outra variável qualquer.outra variável qualquer.
Solução:Solução:
1º) Calcular a média 1º) Calcular a média aritmética:aritmética: 7766
4242 ======∑∑
nn
 x x
 x x
2º) Calcular o valor dos desvios (di), de acordo com 2º) Calcular o valor dos desvios (di), de acordo com a tabela:a tabela:
xxii xxxxdd iiii −−==
22
44
66
88
1010
1212
TOTALTOTAL
Exemplo 4: Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variaçãoExemplo 4: Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação
dos dados do exemplo 49, da dos dados do exemplo 49, da seguinte forma:seguinte forma:
a) Cálculo da variância (VAR):a) Cálculo da variância (VAR):
quantidadequantidade
osdesviososdesviosquadradosd quadradosd 
VARVAR ∑∑== , ou seja,, ou seja,
6767,,111166
7070
22
======∑∑
nn
didi
VARVAR
b)b) CálcuCálculo dlo do Deo Desvio svio PadrãPadrão (Do (DP):P):
3737
CONCEITO: É a raiz quadrada da variância, ou seja,CONCEITO: É a raiz quadrada da variância, ou seja,
iânciaiânciavar var ãoãodesviopadr desviopadr  == ..
Obs.: O desvio padrão possui a mesma dimensão dos dados.Obs.: O desvio padrão possui a mesma dimensão dos dados.
Portanto:Portanto: 4242,,336767,,1111 ====== VARVAR DP  DP 
c)c) CálcuCálculo do Colo do Coeficieficiente de ente de VVariaçariação (CV)ão (CV)::
CONCEITO: É a relação entre o desvio padrão e a média aritméticaCONCEITO: É a relação entre o desvio padrão e a média aritmética
dos dados. É utilizado para comparação entre séries ddos dados. É utilizado para comparação entre séries distintas de dados.istintas de dados.
Obs.: É uma medida de dispersão relativa e sua representação éObs.: É uma medida de dispersão relativa e sua representação é
 percentual. percentual.
Portanto:Portanto: %%88,,4848100100..77
4242,,33100100.. ======
 x x
 DP  DP CV CV 
A dispersão dos dados pode ser alta, média ou baixa de acordo com o valor A dispersão dos dados pode ser alta, média ou baixa de acordo com o valor 
de CV. E pela tabela a seguir, o percentual de 48,8% é considerado de altade CV. E pela tabela a seguir, o percentual de 48,8% é considerado de alta
dispersão, isto é, os dados do exemplo 49 dispersão, isto é, os dados do exemplo 49 apresentam alta dispersão.apresentam alta dispersão.
NNíívveel l dde e DDiissppeerrssããoo VVaalloor r ddo o CCVV
Baixa dispersãoBaixa dispersão %%1515≤≤CV CV 
Média dispersãoMédia dispersão %%3030%%1515 <<<< CV CV 
Alta dispersãoAlta dispersão %%3030≥≥CV CV 
Exemplo: Estude a dExemplo: Estude a dispersão das notas dos alunos A e Bispersão das notas dos alunos A e B
(apresentadas no exemplo 48)(apresentadas no exemplo 48)
NNootta a 11 NNootta a 22 MMééddiiaa
AlunoAluno
AA
22 88 55
AlunoAluno
BB
44 66 55
Solução:Solução:
AlunoAluno
AA
xxxxdd iiii −−==
3838
22
88
TOTALTOTAL
AlunoAluno
BB
xxxxdd iiii −−==
44
66
TOTALTOTAL
NOTAÇÃO PARA AS MEDIDAS DE DISPERSÃO:NOTAÇÃO PARA AS MEDIDAS DE DISPERSÃO:
•• Variância PopulacionalVariância Populacional 22
•• VVariâncariância Amostralia Amostral SS22
•• Desvio Padrão PopulacionalDesvio Padrão Populacional
•• Desvio Padrão AmostralDesvio Padrão Amostral SS
•• Coeficiente de Coeficiente de VVariação Amostral ou ariação Amostral ou PopulacionalPopulacional CVCV
QUQUADADRO RO RERESUSUMO MO DE DE FÓFÓRMRMULULAS AS PPARARA AS A AS MEMEDIDIDADAS S DEDE
DISPERSÃO:DISPERSÃO:
PPOOPPUULLAAÇÇÃÃOO AAMMOOSSTTRRAA
VariânciaVariância
( ( ))
nn
xxxx 22ii22 −−∑∑==σσ ( ( ))
11nn
xxxxSS
22
ii22
−−
−−∑∑== DadosDadosnão Tabuladosnão Tabulados
(sem Fi)(sem Fi)
( ( ))
nn
FF..xxxx ii
22
ii22 −−∑∑==σσ ( ( ))11nn
FF..xxxxSS ii
22
ii22
−−
−−∑∑== DadosDadosTabuladosTabulados
(com Fi)(com Fi)
Desvio PadrãoDesvio Padrão
(( VARVAR DP  DP == ))
22σσ==σσ 22SSSS ==
3939
Coeficiente deCoeficiente de
VariaçãoVariação
CV =CV = σσ . 100. 100
xx
CV = S . 100CV = S . 100
xx
Exemplo: Verifique se os dados a seguir possuem alta, média ou baixaExemplo: Verifique se os dados a seguir possuem alta, média ou baixa
dispersãodispersão
a) a) x = x = {1, 3, {1, 3, 6, 8}6, 8}
XX
11
33
66
88
b)b)
CCllaassssee FFii
1 |1 |    33 22
3 |3 |    55 44
5 |5 |    77 44
7 |7 |    99 22
Exemplo:Exemplo:
Com base na amostra de Com base na amostra de notas de uma turma, verifique o nível notas de uma turma, verifique o nível de dispersãode dispersão
da turma (alta, média ou baixa dispersão).da turma (alta, média ou baixa dispersão).
NNoottaass FFii
2 |2 |    44 11
4 |4 |    66 33
6 |6 |    88 55
8 |8 |    1010 33
10 |10 |    1212 11
4040
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
1)1) ConConceiceitos tos BásBásicoicos:s:
a)a) Espaço Amostral (S)Espaço Amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de: É o conjunto de todos os resultados possíveis de
um experimento aleatório. É conhecido como conjunto Universo.um experimento aleatório. É conhecido como conjunto Universo.
Exemplo: Jogar um dado.Exemplo: Jogar um dado.
O espaço amostral é: S: {1, 2, 3, O espaço amostral é: S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.4, 5, 6}.
 b) b) EventosEventos: São subconjuntos do espaço am: São subconjuntos do espaço amostral. São os resultados de umostral. São os resultados de um
experimento. Normalmente expressos por letras maiúsculas do alfabeto.experimento. Normalmente expressos por letras maiúsculas do alfabeto.
Exemplo: Jogar um dado.Exemplo: Jogar um dado.
Um evento poderia ser: A: {Resultado par}: {2, 4, 6}.Um evento poderia ser: A: {Resultado par}: {2, 4, 6}.
Outro evento poderia ser: B: {Resultado ímpar}: {1, 3, 5}.Outro evento poderia ser: B: {Resultado ímpar}: {1, 3, 5}.
c)c) ExperExperimenimentos tos AleatAleatóriosórios: São experimentos que, mesmo repetidos: São experimentos que, mesmo repetidos
váváririas as vevezezes s sosob b cocondndiçiçõeões s sesememelhlhanantetes, s, apapreresesentntamam reresusultltadadosos
imprevisíveis.imprevisíveis.
Exemplo: Jogar uma moeda 1 vez Exemplo: Jogar uma moeda 1 vez para o ar. Neste caso, teríamos:para o ar. Neste caso, teríamos:
Espaço amostralEspaço amostral→→ S: {cara, coroa} ou S: {c, k}.S: {cara, coroa} ou S: {c, k}.
EventoEvento→→A: {O resultado será cara}A: {O resultado será cara}
EventoEvento→→ B: {O resultado será coroa}B: {O resultado será coroa}
d)d) Tipos de EventosTipos de Eventos
d.1)d.1) ComplementarComplementar: São todos os resultados possíveis do espaço amostral: São todos os resultados possíveis do espaço amostral
que não fazem parte do evento.que não fazem parte do evento.
EventoEvento→→A·A·
Complementar Complementar →→ AA
SS
Exemplo: Joga-se um dadoExemplo: Joga-se um dado
S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: {par}A: {par}
4141
AA
AA
AA : {1, 3, 5}: {1, 3, 5}
d.2)d.2) Mutuamente excludentesMutuamente excludentes: São eventos que não têm elementos em: São eventos que não têm elementos em
comum, ou seja, a ocorrência de um evento implica na não ocorrência docomum, ou seja, a ocorrência de um evento implica na não ocorrência do
outro.outro.
Exemplo: Joga-se um dadoExemplo: Joga-se um dado
S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: {par}A: {par}
B: {2, 3, 4}B: {2, 3, 4}
C: {ímpar}C: {ímpar}
A e C são mutuamente excludentesA e C são mutuamente excludentes →→ {A{A∩∩C}=C}=φφ
A e B não são mutuamente excludentesA e B não são mutuamente excludentes
B e C não são mutuamente excludentesB e C não são mutuamente excludentes
Definição de probabilidade:Definição de probabilidade:
DDadado o uum m eexpxpererimimenentto o alaleaeatótóririo o EE, , e e S S o o esespapaço ço amamosostrtralal, , aa
 probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é uma função definida probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é uma função definida
em S que associa a cada em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo aos axiomas:evento um número real, satisfazendo aos axiomas:
I) 0I) 0 ≤≤ P(A)P(A) ≤≤ 11
II) P(S) = 1II) P(S) = 1
III) III) Se Se A A e B forem eventos mute B forem eventos mutuamente excludentes {Auamente excludentes {A∩∩B}=B}=φφ , então, então
P(AP(A∪∪B) = P(A) + P(B)B) = P(A) + P(B)
Definição clássica de probabilidade (para eventos equiprováveis):Definição clássica de probabilidade (para eventos equiprováveis):
P (A) = nº de P (A) = nº de vezes que o vezes que o evento A evento A pode ocorrer pode ocorrer uu
nº de vezes que nº de vezes que o espaço amostral S ocorreo espaço amostral S ocorre
ou:ou:
P (A) = NCFP (A) = NCF →→ nº de casos favoráveisnº de casos favoráveis
NCTNCT→→ nº de casos totaisnº de casos totais
Principais Teoremas:Principais Teoremas:
1)1) SeSe AA é o complemento deé o complemento de  A A →→ P(A) + P(P(A) + P( AA ) = 1) = 1
2)2) Se A Se A e B e B são dois eventos quaisquer: P(Asão dois eventos quaisquer: P(A∪∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩∩B)B)
4242
Exemplo: Joga-se um dado.Exemplo: Joga-se um dado.
Seja A Seja A o evento: {o o evento: {o resultado é par}resultado é par}
B o evento: {2, 3}.B o evento: {2, 3}.
Determine:Determine:
aa) ) PP((AA))
 b) b) P(P(AA ))
cc)) PP((BB))
d)d) P(P( BB ))
e)e) P(AP(A∩∩B)B)
f)f) P(AP(A∪∪B)B)
LLEEMMBBRREETTEE:: A A oou u BB⇒⇒AA∪∪ BB
A A e Be B⇒⇒AA∩∩ BB
TÉCNICAS DE CONTAGEMTÉCNICAS DE CONTAGEM
Exercício:Exercício:
Em um lote existem 12 peças, 4 são defeituosas: 2 peças são retiradasEm um lote existem 12 peças, 4 são defeituosas: 2 peças são retiradas
aleatoriamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de:aleatoriamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de:
A)A) ambas sambas serem deferem defeituoeituosas;sas;
B)B) ambas ambas não sernão serem defem defeituoeituosas;sas;
C)C) ao menao menos uma sos uma ser defer defeituoseituosa.a.
2 serão retiradas sem reposição2 serão retiradas sem reposição
4343
4 D4 D
8 P8 P
B) Diagrama de ÁrvoreB) Diagrama de Árvore
Exemplo: Resolver o exercício anterior utilizando o diagrama de árvore.Exemplo: Resolver o exercício anterior utilizando o diagrama de árvore.
PP
7/117/11
4/114/11
8/12 P8/12 P
DD
88//1111 PP
4/124/12
DD
3/113/11
DD
Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional
É a probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se da ocorrência de outroÉ a probabilidade de um evento ocorrer sabendo-se da ocorrência de outro
evento.evento.
Exemplo: Joga-se um dado. S:Exemplo: Joga-se um dado. S: {{1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6}}
evento A:evento A: {{sair nº 3sair nº 3}}
P(A)=?P(A)=?
evento B:evento B: {{sair nº ímpar sair nº ímpar }}
P(B) = ?P(B) = ?
evento Aevento A∩∩B:B: {{33}}
P(AP(A∩∩B) = ?B) = ?
A probabilidade de A probabilidade de A ocorrer sabendo que B já A ocorrer sabendo que B já ocorreu é:ocorreu é:
P(A/B) = 1/3P(A/B) = 1/3 ⇒⇒ NCF (ANCF (A∩∩B)B) ÷÷ (S)(S)
NCF (B)NCF (B) ÷÷ (S)(S)
O espaço amostral fica reduzido ao evento BO espaço amostral fica reduzido ao evento B:: {{1 3,51 3,5}}, então:, então:
P (A/B) = P(AP (A/B) = P(A∩∩B) = 1/6 = 1B) = 1/6 = 1
P(B) P(B) 3/6 3/6 33
4444
Portanto:Portanto:
 P (A/B) = P (AP (A/B) = P (A∩∩B)B)
P(B)P(B)
 P (B/A) = P (AP (B/A) = P (A∩∩B)B)
P(A)P(A)
Ou seja,Ou seja,
 P(AP(A∩∩B) = P(A/B). P (B)B) = P(A/B). P (B)
 P(AP(A∩∩B) = P(B/A). P (A)B) = P(B/A). P (A)
Lista de Exercícios de Probabilidade e Lista de Exercícios de Probabilidade e EstatísticaEstatística
1)1) Um gruUm grupo de 15 elempo de 15 elementos apentos apresenresenta a seguita a seguinte componte composiçãosição::
HHoommeennss MMuullhheerreess
MenoresMenores 55 33
AdultosAdultos 55 22
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
a)a) QuaQual a prol a probabbabiliilidaddade de ser he de ser homeomem?m?
 b) b) Qual Qual a proa probabilibabilidade ddade de ser e ser adultadulto?o?
c)c) Qual Qual a proa probabilibabilidade ddade de ser e ser menor menor e mule mulher?her?
d)d) SabeSabendo-se qundo-se que o elemente o elemento escolho escolhido é adultido é adulto, qual a probo, qual a probabilidabilidade deade de
ser homem?ser homem?
e)e) Dado que a esDado que a escolhidcolhida é mulhera é mulher, qual a pro, qual a probabilibabilidade de sedade de ser menorr menor??
2)2) DeterDetermine mine a proa probabilibabilidade ddade de cade cada eventa evento:o:
a. a. pelo menos pelo menos uma cara uma cara aparece no laparece no lançamento de 3 ançamento de 3 moedas;moedas;
3)3) NumNuma a urnurna são mistua são misturadradas dez bolas numas dez bolas numeraeradas de 1 das de 1 a 10. Duas bolaa 10. Duas bolass
são retiradas (a,b) sem reposição. Qual a probabilidade desão retiradas (a,b) sem reposição. Qual a probabilidade de
a + b = 10?a + b = 10?
4)4) Um lotUm lote e é é foformrmadado o popor r 10 peç10 peças boaas boas, 4 s, 4 cocom m dedefefeititos e os e duduas comas com
defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidadedefeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade
de que:de que:
a. a. ela ela não tnão tenha defeienha defeitos tos graves;graves;
 b.  b. ela ela não não tenha tenha defeitos;defeitos;
c. c. ela, ou ela, ou seja boa, seja boa, ou tenha ou tenha defeitos grdefeitos graves.aves.
4545
5)5) ConConsidsidere o ere o mesmesmo lote do mo lote do proprobleblema anterma anterioiorr. . RetRetiriram-am-se se 2 2 peçpeças aoas ao
acaso. Qual a probabilidade de que:acaso. Qual a probabilidade de que:
a. a. ambas ambas sejam sejam perfeitas;perfeitas;
 b.  b. pelo mpelo menos uma enos uma seja seja perfeita;perfeita;
c. c. nenhuma nenhuma tenha tenha defeito defeito grave;grave;
d. d. nenhuma nenhuma seja seja perfeitaperfeita
6) 6) Uma urna conUma urna contém 5 bolas bratém 5 bolas brancas e 6 pretas. Tncas e 6 pretas. Três bolarês bolas são retirs são retiradas.adas.
Calcular a probabilidade de:Calcular a probabilidade de:
a. a. todas todas