Trabalho Hidrologia Estocastica SMO

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SINVALDO RODRIGUES MORENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE HIDROLOGIA ESTOCÁSTICA – TEORIA 
ESTOCÁSTICA DOS RESERVATÓRIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Programa de Pós 
Graduação em Engenharia de Recursos 
Hídricos e Ambiental da Universidade Federal 
do Paraná 
 
Professor: Heinz Dieter Fill 
 
 
 
CURITIBA 
2011
 2
SUMÁRIO 
 
1. Introdução ................................................................................. 3 
2. Curva de Regularização – Método de Gomide (1986) ....................... 5 
2.1 Determinação da Curva de Regularização .................................. 7 
3. Método de Monte Carlo .............................................................. 13 
4 Máximo Déficit Acumulado – Método Histórico ............................... 23 
5. Discussões e Conclusão ............................................................. 33 
6. Referências Bibliográficas .......................................................... 34 
 
 3
1. Introdução 
 
 O presente trabalho tem por objetivo o cálculo de volumes de regularização de 
vazões a serem determinados segundo a Teoria Estocástica dos Reservatórios (teoria esta, 
proposta por Gomide, 1986). O problema básico a ser resolvido é obter uma relação entre o 
volume do reservatório, a vazão regularizada máxima (vazão firme) e a confiabilidade 
associada à garantia de dessa vazão firme sobre um dado horizonte de planejamento. 
 
 O posto fluviométrico no qual os dados foram obtidos foi o Rio das Cinzas - 
Tomazina (código ANA: 64360000), localizado no Estado do Paraná. A série histórica 
utilizada contempla os anos de 1963 a 2002, totalizando 40 anos de registros, embora os 
dados disponibilizados pela Agência Nacional de Águas iniciam-se em 1926, entretanto os 
trinta e seis primeiros anos da série foram desconsiderados, conforme recomendação no 
escopo do trabalho proposto. Os dados estatísticos básicos da série são: 
 
• Média de Longo Período - µ =32,84 m³/s; 
• Desvio Padrão - σ =12,65 m³/s; 
• Variância - 2σ =160,05 m³/s; 
• Coeficiente de Assimetria - γ = 0,59 m³/s 
• Curtose - 4a = -0,089 m³/s 
• Coeficiente de Variação = 0,3853 
• Correlação em Série = 0,14 
 
 
O trabalho foi elaborado sob dois enfoques: o primeiro desenvolvido por Gomide 
(1986) cujos estudos uniram técnicas clássicas de pesquisas na área, como a análise de 
Moran e a Teoria do Déficit. O resultado fora uma abordagem bastante abrangente sobre a 
física que governa o comportamento dos reservatórios aliado a um risco (ou probabilidade 
de sucesso) pré-definido. Desta analise resultou a curva de regularização a ser obtida no 
presente trabalho. 
 
 O segundo enfoque utiliza-se do Método de Monte Carlo, baseado na geração de 
séries sintéticas de vazões e simulação de cenários. O procedimento adotado nesta parte do 
estudo fora inicialmente proposto por Neira (2005) com a obtenção de bons resultados. 
 4
 Ao final, são determinados ainda o volume necessário e a vazão regularizada para o 
limite da regularização intra-anual. Como comentários finais, os resultados dos dois 
enfoques serão confrontados e discutidos. 
 
 5
2. Curva de Regularização – Método de Gomide (1986) 
 
O processo de obtenção da Curva de Regularização a ser utilizado nesse trabalho foi 
desenvolvido por Gomide (1986) em estudo bastante completo, que relaciona o 
comportamento físico do reservatório com a probabilidade de sucesso do empreendimento. 
 
Quando a pretensão de regularização é inferior à provável mínima vazão afluente 
anual que poderá ocorrer durante o período de planejamento, não se faz necessário a 
regularização intra-ano, ou seja, a transferência de vazões de um ano para outro, neste caso, 
trata-se apenas de regularização anual pura (GOMIDE 1983). 
 
 Este autor (Gomide, 1970) desenvolveu um método para regularizar baixos níveis 
de vazão, cuja aplicabilidade tem sido comprovada para muitas regiões hidrológicas 
diferentes: 
 ( ) tkQQv TtF .,−= (2.1) 
 
Onde: 
FQ é a vazão firme; 
TtQ , é a vazão média de períodos de estiagem de t meses de duração e T anos; 
k é o número de segundos de um mês. 
t é o número de meses. 
 
 
 A vazão média de períodos de estiagem de t meses de duração, por sua vez, é 
representada por: 
 
( )qtbaQ Tt .., += (2.2) 
 
onde a e b representam os coeficientes da equação de uma reta, a serem determinados, 
q é o fator de recorrência, função do tempo de recorrência, também a ser determinado. 
 
 6
 Para o dimensionamento do reservatório, a intenção é maximizar a função 2.1, que 
toma a forma: 
( )
qb
qaQkV F
..4
.
.
2
−
=
 (2.3) 
 
Dividindo-se ambos os membros pela média de longo período Q , obtém-se a forma 
adimensional deste equacionamento, e denotando: 
Q
Q
q FF = ; Q
a
a =
' ; 
Q
bb =' : 
 
( )
qb
qaq
V
V F
'..48
'.
2
−
=
 (2.4) 
 
válida para qqF < e onde kQV ..12= .(deflúvio médio anual). 
 
Esta formulação representa a equação de segundo grau que originará a curva de 
regularização em escala anual, sempre que qqF < , tem-se a garantia de que o nível de 
regularização é suficientemente baixo, sem necessidade de transferência de água de um ano 
para outro. 
 
No limite, qqF = , têm-se a parcela intra-anual que, para o caso do nível de 
regularização ser superior à vazão firme, deve-se adicionar tal parcela (intra-anual) a 
equação de regularização anual pura, o modelo que contabiliza a parcela intra-anual é dado 
por: 
( )
Fqcqcqb
a
V
V
⋅=⋅=⋅
−
=
''
2
'.48
'1
 (2.5) 
 
 
 
 
 
 
 7
2.1 Determinação da Curva de Regularização 
 
Deve-se inicialmente determinar os coeficientes da reta 2.2, para tal é necessária à 
construção de novas séries de vazões formada pelas médias móveis das vazões mínimas de 
um a seis meses, para cada ano, ou seja: 
• Série 1: formada pela vazão mínima mensal de cada ano; 
• Série 2: formada pela média das duas menores vazões de cada ano; 
• Série 3: formada pela média das três menores vazões de cada ano, e assim por 
diante. 
O resultado são seis séries com 40 elementos cada, cuja estatística pode ser vista na 
Tabela 2.1 abaixo: 
Amostra 1 2 3 4 5 6
Média 9,37 9,98 10,47 11,02 11,49 11,98
Desv. Pad. 4,56 4,67 4,74 4,81 4,89 4,98
Coef. Ass. 0,52 0,57 0,56 0,49 0,47 0,45
Curtose -0,45 -0,20 -0,15 -0,24 -0,22 -0,29
Coef. Var. 0,49 0,47 0,45 0,44 0,43 0,42
 
Tabela 2.1: Resumo das novas séries construídas. 
 
 
 Ajustando-se uma reta aos valores médios das seis séries construídas, obtêm-se 
automaticamente os coeficientes a e b da equação 2.2: 
 
Figura 2.1: Ajuste da Reta para as Médias Móveis. 
 8
Portanto a = 8,9049 e b = 0,5181, com coeficiente de correlação de 99,80 % para o 
ajuste, a vazão média dos 480 meses ( Q ) é de 32,84 m3/s, calculando os termos 
Q
a
a =' , 
Q
bb =' e ( )
'
2
'
'
48
1
b
a
c
⋅
−
= , temos respectivamente: 
2712,0
84,32
9049,8
'
=== Q
a
a 
 
015778,0
84,32
5181,0
'
=== Q
bb 
 
( ) ( ) 7013,0
015778,048
2712,01
48
1 2
'
2
'
'
=
⋅
−
=
⋅
−
=
b
a
c 
 
Vale lembrar que os valores de 'a , 'b , 'c estão expressos de forma adimensional, 
divididos pela média de longo período Q . 
 
O próximo item a ser determinado é o fator de recorrência q . Para isso, uma nova 
série de vazões deverá ser construída, a partir das seis obtidas anteriormente. Ela é formada 
pela divisão de cada um dos elementos das séries pela respectiva média. O resultado é uma 
série única de coeficientes modulares, com 240 elementos que apresenta: 
 
• Média - µ = 1; 
• Variância 2σ = 0,1966;• Desvio padrão - σ = 0,4435; 
• Coeficiente de Assimetria - γ = 0,5017; 
• Coeficiente de Variação - CV = 44,35 %; 
• Curtose = -0,33 
 
Gomide (1986) verificou a possibilidade de ajustar as séries construídas a uma 
distribuição Log-Normal a três parâmetros, definida da seguinte maneira: 
 
 9
( ) ( )
( )[ ]






−−
−
−
= 2
2
2
ln
2
1
exp
2
1
Y
Y
Y
ax
ax
xf
σ
µ
piσ
 (2.6) 
 
onde: Yµ é a média, ou parâmetro de forma; 
 
2
Yσ é a variância, ou parâmetro de escala; 
 a é o parâmetro de posição. 
 
 Kite (1985, p. 69-73) traz um equacionamento para a estimação dos parâmetros 
dessa distribuição, baseados na média, desvio padrão e coeficiente de assimetria da série de 
coeficientes modulares. 
 
 Porém neste trabalho será adotada a distribuição Log-Normal a dois parâmetros 
(LN2), por recomendação e definição do escopo do trabalho. 
 
( ) ( )[ ]








−
−= 2
)(
2
)(
2
)(
ln
2
1
exp
2
1
XLn
XLn
XLn
x
x
xf
σ
µ
piσ
 (2.7) 
 
onde : 
)( XLnµ é a média 
 
2
)( XLnσ é a variância 
 
 
Estão resumidos na Tabela a seguir, os parâmetros com seus respectivos resultados: 
 
Parâmetros Equações Resultados 
xµ 






+
2
exp
2
)(
)(
XLn
XLn
σ
µ 1,010 
2
xσ [ ]1)exp( 2 )(2 −XLnx σµ 0,2745 
CVx [ ]1)exp( 2 )( −XLnσ 0,5182 
Tabela 2.2 – Estimação dos parâmetros da distribuição log-normal 
a dois parâmetros 
 
 10
A equação base para estudos hidrológicos, utilizando-se a distribuição Log-Normal 
a dois parâmetros, é adaptada da equação geral de Ven te Chow (HAAN, 1979): 
 
( )xx uq σµ .exp += (2.8) 
 
Na equação acima q é o valor da variável hidrológica (precipitação), associada a um 
tempo de recorrência (TR) e u representa a variável normal reduzida, obtida com base no 
tempo de recorrência. (TR =58,2 anos, 
TR
1
=0,017182, u =-2,1157). Estes valores foram 
obtidos para 40 anos de dados históricos com probabilidade de sucesso de 50%. 
 
Substituindo os valores na equação 2.8, encontra-se: 
 
 
( )[ ]5240,01157,2010,1exp ⋅−+=q 
q =0,9069 
 
 Com todos os valores calculados, basta substituí-los na equação 2.4 e tem-se a 
equação da curva de regularização para volumes plurianuais: 
 
08807,0.7162,0.456,1 2 +−= ff qqV
V
 (2.9) 
 
 A equação acima é valida somente até o limite da regularização sazonal que, 
segundo Gomide (1986, p. 2.30) vale 64,5%. 
 
 Efetuando-se os cálculos encontra-se a parcela intra-anual a ser somada à plurianual 
para valores acima de 64,5% do deflúvio anual: 
 
f
anualra
q
V
V
.7013,0
int
=
−
 (2.10) 
 
 A última etapa antes da construção da curva de regularização propriamente dita é a 
consideração da estrutura de correlação em série, isto é, o sistema físico do reservatório não 
está somente definido pelo nível de armazenamento de água, mas também pela afluência 
passada. 
 11
 O coeficiente corretor pode ser obtido diretamente de um gráfico disponível em 
Gomide (1986, p. 2.14) e depende exclusivamente do coeficiente de correlação em série, ou 
pode também ser calculado pela seguinte equação: 
ρ
ρ
−
+
=
1
1
.CorreçãoCoef (2.11) 
 
No caso da estação em estudo, o coeficiente de correlação em série vale 0,14. 
Utilizando a equação 2.11 obteve-se um coeficiente de correção de 1,16; 
 
 
Figura 2.2: Curva de Regularização Rio das Cinzas (Tomazina) 
 
 Ao retornar para a forma não adimensional dos dados, pode-se calcular o volume 
real do reservatório necessário para os vários níveis de regularização anual. Este 
procedimento é feito substituindo-se o valor de V por kQ ..12 (GOMIDE, 1986, P. 2.19). 
Os resultados finais estão expressos na Tabela 2.3. 
 
 
 
 
 12
Nível de Regularização V
V
 V (m³) 
65% 0,8018 8,31E+08 
75% 1,0357 1,07E+09 
80% 1,1653 1,21E+09 
85% 1,3033 1,35E+09 
Tabela 2.3: Resultados finais – Método de Gomide (1986) 
 
 Considerando somente o limite de regularização intra-ano, o volume necessário 
pode ser calculado pela equação 2.10, para uma vazão de 64,5 %: 
 
%24,454524,0645,0.7013,0 ===
V
V
 e V = 4,72x108 m³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
3. Método de Monte Carlo 
 
 
Muito difundido entre várias áreas das ciências exatas, o Método de Monte Carlo é 
aplicado a uma enorme gama de problemas, geralmente muito complexos para serem 
resolvidos por métodos mais convencionais. De um modo geral, o método de Monte Carlo 
tem por objetivo chegar à resposta mais aproximada possível para o problema em questão, 
através de um número grande de simulações ou experimentos teóricos. 
 
 No caso específico do dimensionamento de reservatórios, as simulações partem 
inicialmente do ajuste de um modelo estocástico, baseado em uma distribuição de 
probabilidades, à série histórica disponível. É gerado, então, um grande número de séries 
sintéticas para a realização das simulações. 
 
 A escolha da distribuição probabilística apropriada para o caso de vazões médias 
anuais não segue uma generalização. Segundo KELMAN (apud NEIRA, 2005) as mais 
usadas são: distribuição Normal, Log-Normal de dois parâmetros, Log-Normal de três 
parâmetros e Gama de três parâmetros. Para o presente trabalho, a distribuição adotada fora 
a Log-Normal de dois parâmetros, assim definida: 
 
 
( ) ( )[ ]








−
−= 2
)(
2
)(
2
)(
ln
2
1
exp
2
1
XLn
XLn
XLn
x
x
xf
σ
µ
piσ
 (3.1) 
 
onde )( XLnµ é a média 
 
2
)( XLnσ é a variância 
 
 As equações para estimação dos parâmetros são as seguintes: 
 
 
 
 
 14
Parâmetros Equações Resultados 
xµ 






+
2
exp
2
)(
)(
XLn
XLn
σ
µ 32,97708 
2
xσ [ ]1)exp( 2 )(2 −XLnx σµ 184,56037 
xρ 
1)exp(
1).exp(
2
)(
2
)(
)(
−
−
XLn
XLn XLn
σ
ρσ
 0,18727 
Tabela 3.1 – Estimação dos parâmetros da distribuição log-normal a dois parâmetros 
 
 
O modelo estocástico utilizado neste trabalho é o Auto Regressivo de Primeira 
Ordem (AR-1), também chamado de modelo de Thomas-Fiering no caso de variáveis 
normal-padrão, e que segue o equacionamento: 
 
TktYzz ttt ,,2,1,.1.
2
1 =−+= − ρρ (3.2) 
 
onde ρ é o coeficiente de correlação das afluências anuais; 
 tY é a variável aleatória normal padrão (0,1); 
 tz são as variáveis aleatórias auto regressivas geradas, distribuídas normal-padrão 
(0,1). 
 
 A aplicação do método inicia-se de forma efetiva com a geração de variáveis 
aleatórias distribuídas Log-Normalmente (a dois parâmetros) e que seguem a estrutura 
temporal do modelo AR-1. A metodologia adotada foi desenvolvida por Neira (2005) e está 
resumida nos seguintes passos: 
 
1. Geração de variáveis aleatórias uniformemente distribuídas ( )1,0~ UX t ; 
2. Transformação das variáveis aleatórias uniformes em normais-padrão ( )1,0~ NYt , 
através do método Box-Muller: 
 
211
211
.2sin.ln.2
.2cos.ln.2
XXY
XXY
pi
pi
−=
−=
 ou (3.3) 
 
 15
3. Geração de variáveis aleatórias normais-padrão dependentes em série tz usando 
Thomas-Fiering (equação 3.2), com 00 =z . 
4. Geração de 1000 séries sintéticas através da equação: 
 
).exp(sin tt zQ σµ += (3.4) 
 
Com as séries sintéticas anuais geradas, a próxima etapa consiste na desagregação 
temporal das vazões de anuais para mensais. O método aqui utilizado é o dos cenários 
hidrológicos, proposto inicialmente por Groszewicz et al. (1991). Consiste na geração de 
coeficientes de desagregação através da divisãode cada vazão média mensal histórica pela 
vazão média do respectivo ano (Figura 3.6). 
 
 A continuação do método prevê o sorteio de um cenário para cada série anual 
gerada, obtendo-se assim a desagregação em vazões mensais. Como verificação, foram 
contabilizadas as médias do 1º mês do ano “i” e a do 12º mês do ano “i-1”; a 
compatibilidade entre as vazões foi verificada comparando-se os valores máximo e mínimo 
obtidos da série histórica original (Figura 3.7) com os valores dos cenários sorteados. Em 
caso de rejeição, sorteou-se novo cenário e o processo for repetido até desagregação de toda 
a série sintética anual em mensais. 
 
Para a execução de todos os procedimentos envolvidos no Método de Monte Carlo, 
utilizou-se do software Excel® for Windows®, o algoritmo utilizado é mostrado no 
fluxograma da figura 3.1, a exceção da desagregação em séries mensais. 
 
 
 
 
 
 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Método Monte Carlo para geração de Séries Sintéticas Anuais 
 
Inicio
Ler Série Histórica
de Vazões
Ler numero de
anos N a serem
Gerados
Calcular os parâmetros
Estatísticos Amostrais
da Série Histórica
Calcular os parâmetros
da Distribuição Log Normal
LN(2) para a Série Histórica
i = 1 
Gerar V.A Uniformemente
Distribuidas Xt~U(0,1) 
Realizar transformação de
 Xt~U(0,1) para Yt~N(0,1)
através do Método de
 Box Muller
i = 1000 ?
i = i + 1
Não
Sim
Transformar Yt em Normal Padrão
dependente em série usando
Thomas Fiering com Zo=0
Gerar Vazão Sintética Anual
através da Eq. 3.4
FIm
 17
série 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 0,84 0,29 0,8 0,2 0,15 0,58 0,41 0,12 0,31 0,26 0,23 0,71 0,39 0,63 0,26 0,64 0,96 0,95 0,57 0,43 0,08 0,43 0,13 0,58 0,11 0,93 0,88 0,84 0,49 0,75 0,44 0,55 0,6 0,49 0,71 0,47 0,22 0,91 0,43 0,89
2 0,1 0,1 0,03 0,29 0,8 0,42 0,41 0,57 0,08 0,61 0,81 0,11 0,17 0,04 0,34 0,15 0,1 0,1 0,12 0,95 0,31 0,18 0,14 0,91 0,34 0,67 0,54 0,88 0,83 0,22 0,82 0,28 0,86 0,09 0,29 0,64 0,09 0,89 0,01 0,06
3 0,46 0,37 0,95 0,94 0,27 0,93 0,92 0,11 0,73 0,14 0,34 0,37 0,18 0,99 0,33 0,31 0,15 0,71 0,3 0,99 0,34 0,39 0,8 0,02 0,36 0,19 0,75 0,85 0,54 0,35 0,28 0,77 0,92 0,69 0,86 0,15 0,04 0,01 0,09 0,05
4 0,2 0,69 0,29 0,61 0,7 0,85 0,64 0,53 0,09 0,84 0,73 0,61 0,55 0,82 0,17 0,18 0,9 0,25 0,44 0,58 0,15 0,33 0,02 0,94 0,1 0,48 0,56 0,02 0,39 0,81 0,2 0,59 0,88 0,34 0,45 0,52 0,09 0,92 0,76 0,34
5 0,2 0,99 0,42 0,19 0,18 0,02 0,8 0,78 0,42 0,09 0,51 0,7 0,54 0,83 0,86 0,12 0,68 0,11 0,58 0,64 0,93 0,05 0,48 0,99 0,46 0,43 0,09 0,72 0,29 0,53 0,6 0,03 0,07 0,37 0,27 0,03 1 0,2 0,58 0,03
6 0,48 0,23 0,19 0,7 0,64 0,96 0,32 0,3 0,54 0,89 0,15 0,36 0,04 0,32 0,14 0,03 0,69 0,55 0,14 0,86 0,28 0,24 0,05 0,3 0,55 0,61 0,85 0,93 0,75 0,56 0,69 0,41 0,42 0,24 0,97 0,46 0,91 0,01 0,37 0,36
995 0,34 0,4 0,52 0,39 0,05 0,88 0,52 0,8 0,94 0,85 0,86 0,53 0,23 0,56 0,98 0,2 0,53 0,53 0,73 0,83 0,41 0,37 0,95 0,87 0,42 0,47 0,7 0,74 0,5 0,33 0,03 0,16 0,62 0,68 0,59 0,45 0,51 0,31 0,46 0,98
996 0,76 0,64 0,59 0,68 0,58 0,32 0,86 0,7 0,19 0,59 0,55 0,43 0,29 0,11 0,22 0,07 0,61 0,92 0,13 0,89 0,4 0,31 0,04 0,89 0,84 0,09 0,96 0,28 0,17 0,24 0,93 0,78 0,22 0,88 0,94 0,89 0,52 0,12 0,73 0,95
997 0,58 0,58 0,14 0,44 0,07 0,56 0,61 0,69 0,89 0,56 0,96 0,55 0,45 0,12 0,36 0,1 0,77 0,41 0,87 0,43 0,41 0,78 0,2 0,49 0,86 0,38 0,08 0,71 0,33 0,96 0,8 0,8 0,28 0,75 0,41 0,27 0,62 0,53 0,47 0,42
998 0,15 0,56 0,45 0,04 0,86 0,28 0,01 0,25 0,89 0,92 0,21 0,89 0,76 0,19 0,82 0,78 0,78 0,6 0,2 0,16 0,52 0,58 0,58 0,97 0,6 0,3 0,92 0,55 0,15 0,82 0,23 0,7 0,07 0,6 0,39 0,57 0,71 0,82 0,69 0,11
999 0,76 0,8 0,04 0,25 0,96 0,46 0,59 0,49 0,36 0,44 0,68 0,67 0,42 0,24 0,87 0,93 0,72 0,87 0,25 0,23 0,1 0 0,21 0,64 0,1 0,4 0,13 0,77 0,17 0,83 0,28 0,05 0,99 0,61 0,15 0,06 0,91 0,1 0,94 0,29
1000 0,87 0,33 0,52 0,53 0,55 0,8 0,56 0,42 0,77 0,24 0,76 0,13 0,59 0,92 0,31 0,51 0,99 0,85 0,39 0,33 0,95 0,9 0,68 0,25 0,98 0,52 0,88 0,79 0,33 0,32 0,69 0,59 0,79 0,82 0,52 0,05 0,27 0,17 0,61 0,17
U(0, 1) = VARIÁVEIS ALEATÓRIOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS - (1)
 
Figura 3.2: Reprodução Parcial das Variáveis U~(0,1) para a geração de Séries Sintéticas Anuais. 
 
série 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 -0,6 0,78 0,26 -1,8 1,53 -1 -0,7 -1,7 -1,2 1,57 1,71 -0,7 -0,8 -0,2 -1,7 0,94 0,23 -0,3 0,13 0,16 0,1 1,29 -1,2 1,05 -2,1 -0,2 -0,1 0,34 1,08 -0,5 -0,4 -0,4 -1 1,18 -0 1,02 1,69 0,04 -0,4 0,22
2 2,1 2,12 -0,3 0,55 -0,1 0,53 -1,1 0,5 0,68 0,93 -0,6 -0,1 -0,1 0,73 1,47 -1,9 2,08 1,84 0,86 -0 1,53 0,79 1,79 0,19 0,88 -0,8 1,01 0,47 0,35 0,7 0,02 0,89 0,08 -2,2 -1,6 0,69 1,06 -0,3 -0,6 2,25
3 -1,2 1,31 0,02 -0,3 -1,6 -0,1 -0,4 -0,3 -0,8 1,96 1,25 -1,2 -1,6 0,07 1,43 0,54 1,52 0,21 0,63 -0,1 0,04 -1 -0 -2,6 1,38 -0,7 -0,2 -0,4 0,94 1,38 1,55 -0,1 -0,3 -0,9 -0,6 0,15 -1,6 -2,1 0,42 0,9
4 1,5 -0,4 -1,6 -0,5 0,35 -0,6 -0,5 -0,4 1,98 -0,5 -0,8 -0,9 -0,7 0,26 -0,7 -1,1 0,38 -1,7 0,99 -1 0,21 -0,7 -1,4 0,2 -0,7 -1,2 -0,4 2,46 -0,8 0,49 1,31 -1 -0 -0 1,16 -0,3 0,69 -0,2 0,38 0,71
5 0,97 -0,1 0,53 1,69 -0,5 -1 -0,4 -0 1,3 1,26 0,68 -0,3 -1,1 0,3 0,39 0,48 -0,6 0,94 -0,1 0,63 -0,2 0,69 -1,2 -0,1 -1,2 -1 1,86 -0,2 -0,6 -0,2 0,69 0,98 -0,7 1,41 -0,5 1,75 -0,1 1,78 0,41 1,74
6 0,58 -1,5 -0,1 -0,8 0,65 0,01 1,11 -1,3 0,91 -0,5 -1,9 -1,4 0,91 1,26 -0,7 -1,5 0,22 -1,1 -1,3 0,53 1,35 0,77 -0,4 -1,5 0,75 -0,6 -0,6 -0,2 0,62 -1 0,08 1,19 0,6 -1,3 0,01 -0,9 -0,2 2,9 0,5 1,33
995 -1,1 1,32 -0,2 -1,2 -0,4 0,28 -0,9 -0,5 -0,3 -0,4 0,02 -0,9 1,72 -0,7 0,12 1,7 -0,4 0,84 0,35 0,6 1,27 -1 -0 -0 1,26 -1,2 -0,4 0,11 -0 1,4 1,56 1,18 -0,9 -0,3 0,29 0,69 -0,8 1,54 -1,1 -0,2
996 0,63 0,62 0,31 0,6 -1 1,52 0 0,09 -1,4 0,78 0,89 -0,8 -1,6 -1 -0,9 1,24 -0,1 -0,4 -1 -0,5 -1,4 0,54 1,16 -0,2 -0 -2,2 -0,2 -0,7 1,08 -1,6 -0,1 -0,2 1,72 -0,4 -0,3 -0,4 0,01 -0,7 0,64 -0
997 0,27 -1 1,05 -1,2 -2,3 0,02 0,61 0,87 -0,5 -0,9 0,28 0,95 0,14 -2,1 0,7 -2,2 -0,5 -1 -0,4 -0,3 -1,3 0,69 -0,8 1,08 -0,5 0,65 0,46 -0,8 -1,4 0,21 -0,4 -0,2 1,23 -0,7 -0,3 1,48 0,29 -0,8 -0,2 -1,2
998 1,82 0,08 -0,3 0,69 -0,3 0,48 0,98 -0,8 -0,5 -0,4 -0,6 0,45 0,31 0,46 0,61 -0,4 -0,5 -0,7 0,6 -1,7 1,05 -1 0,07 -0,2 -0,7 0,58 0,31 -0,7 0,75 0,62 0,87 -0,1 -1 -0 -0,2 -1 -0,6 0,3 0,05 -1,5
999 0,54 0,66 2,24 1,62 -0,3 -0,9 0,48 0,42 0,87 -0,1 0,4 -0,1 0,9 -1,1 0,36 -0,1 0,75 0,51 1,62 1,45 -0,4 3,94 1,07 0,58 2 0,5 1,35 -0 -1,4 0,42 0,87 2,41 0,06 0,47 0,81 2,39 0,22 -1,7 0,35 1,56
1000 0,34 0,8 -0,1 -0,2 -1,1 -0,7 -1 1 0,72 1,46 0,52 -1,2 -1 0,14 -1,4 0,76 0,15 0,23 1,12 -0,5 0,28 -0,1 -0,7 -0,4 0,16 1,14 0,14 0,47 0,09 -1,5 -0,2 0,69 0,35 -0,4 1,09 2,2 -1,6 -1,3 0,51 1,83
N(0, 1) = V. A. NORMALMENTE DISTRIBUÍDAS - (BOX MULLER)
 
Figura 3.3: Reprodução Parcial das Variáveis N~(0,1) após transformação de Box Muller. 
 18
série 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 0 -0,5 0,7 0,4 -1,7 1,3 -0,8 -0,8 -1,9 -1,5 1,3 1,9 -0,4 -0,8 -0,3 -1,7 0,7 0,3 -0,3 0,1 0,2 0,1 1,3 -1 0,9 -1,9 -0,5 -0,1 0,3 1,1 -0,3 -0,4 -0,4 -1 1 0,1 1 1,8 0,3 -0,4 0
2 0 2,1 2,4 0,1 0,6 -0 0,5 -1 0,3 0,7 1 -0,5 -0,2 -0,1 0,7 1,6 -1,7 1,8 2,1 1,1 0,1 1,5 1 1,9 0,5 0,9 -0,7 0,9 0,6 0,4 0,8 0,1 0,9 0,2 -2,1 -1,9 0,4 1,1 -0,1 -0,6 2,1
3 0 -1,2 1,1 0,2 -0,3 -1,6 -0,3 -0,4 -0,4 -0,8 1,8 1,5 -1 -1,7 -0,2 1,4 0,7 1,6 0,4 0,7 -0 0 -1 -0,1 -2,6 1 -0,6 -0,3 -0,4 0,9 1,5 1,8 0,1 -0,3 -0,9 -0,7 0,1 -1,6 -2,3 0,1 1
4 0 1,5 -0,2 -1,6 -0,7 0,2 -0,5 -0,6 -0,4 1,9 -0,2 -0,8 -1 -0,9 0,1 -0,7 -1,2 0,2 -1,6 0,7 -0,9 0,1 -0,7 -1,5 -0 -0,7 -1,3 -0,6 2,4 -0,4 0,4 1,4 -0,8 -0,1 -0 1,1 -0,2 0,7 -0,1 0,40,8
5 0 1 0 0,5 1,8 -0,2 -1 -0,5 -0,1 1,3 1,4 0,9 -0,1 -1,1 0,1 0,4 0,5 -0,5 0,9 0 0,6 -0,1 0,7 -1,1 -0,2 -1,3 -1,2 1,7 0 -0,6 -0,3 0,6 1,1 -0,6 1,3 -0,3 1,7 0,2 1,8 0,7 2
6 0 0,6 -1,4 -0,3 -0,9 0,5 0,1 1,1 -1,1 0,7 -0,4 -2 -1,7 0,7 1,3 -0,5 -1,6 -0 -1,1 -1,5 0,3 1,4 1 -0,3 -1,5 0,5 -0,6 -0,6 -0,2 0,6 -0,9 -0,1 1,2 0,8 -1,2 -0,2 -0,9 -0,4 2,8 0,9 1,5
995 0 -1,1 1,1 0 -1,2 -0,6 0,2 -0,9 -0,6 -0,4 -0,4 -0 -0,9 1,6 -0,5 0,1 1,7 -0,1 0,8 0,5 0,7 1,4 -0,8 -0,1 -0,1 1,2 -1 -0,6 0 -0 1,4 1,7 1,4 -0,7 -0,4 0,2 0,7 -0,7 1,4 -0,9 0
996 0 0,6 0,7 0,4 0,7 -0,9 1,4 0,2 0,1 -1,4 0,6 1 -0,7 -1,7 -1,2 -1,1 1,1 0,1 -0,3 -1 -0,6 -1,4 0,3 1,2 -0 -0 -2,2 -0,6 -0,8 1 -1,5 -0,3 -0,3 1,7 -0,1 -0,4 -0,5 -0,1 -0,7 0,5 0,1
997 0 0,3 -1 0,9 -1,1 -2,4 -0,3 0,6 0,9 -0,3 -0,9 0,1 1 0,3 -2 0,4 -2,1 -0,8 -1,1 -0,6 -0,4 -1,4 0,5 -0,8 1 -0,4 0,6 0,5 -0,7 -1,4 0 -0,4 -0,3 1,2 -0,6 -0,4 1,4 0,5 -0,7 -0,3 -1
998 0 1,8 0,3 -0,2 0,7 -0,2 0,4 1 -0,6 -0,5 -0,4 -0,7 0,3 0,4 0,5 0,7 -0,3 -0,6 -0,8 0,5 -1,6 0,8 -0,9 -0,1 -0,2 -0,8 0,5 0,4 -0,6 0,7 0,7 1 -0 -1 -0,1 -0,2 -1,1 -0,8 0,2 0,1 -1,5
999 0 0,5 0,7 2,3 1,9 0 -0,9 0,4 0,5 0,9 -0 0,4 -0 0,9 -0,9 0,2 -0,1 0,7 0,6 1,7 1,7 -0,1 3,9 1,6 0,8 2,1 0,8 1,5 0,2 -1,3 0,2 0,9 2,5 0,4 0,5 0,9 2,5 0,6 -1,6 0,1 2
1000 0 0,3 0,8 0,1 -0,2 -1,1 -0,8 -1,1 0,8 0,8 1,6 0,7 -1,1 -1,2 -0 -1,4 0,5 0,2 0,3 1,1 -0,3 0,2 -0 -0,7 -0,5 0,1 1,1 0,3 0,5 0,2 -1,5 -0,4 0,6 0,4 -0,3 1 2,3 -1,3 -1,5 0,3 1,9
N(0, 1) = V.A.N. DEPENDENTES EM SÉRIE
 
Figura 3.4: Reprodução Parcial das Variáveis N~(0,1) Dependentes em Série após aplicação do Método Thomas Fiering. 
 
Série 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 25 40 35 16 50 22 22 15 17 52 64 26 22 27 16 40 35 27 32 33 32 51 20 43 14 25 29 35 47 27 26 26 20 46 32 46 63 34 26 32
2 69 79 32 38 30 38 20 35 41 46 25 28 29 40 57 16 63 70 48 32 56 45 65 37 44 23 44 39 36 41 32 44 33 13 15 36 47 29 24 71
3 19 48 33 28 16 27 26 26 22 63 55 20 15 28 53 41 58 36 40 30 31 21 29 11 45 24 27 26 43 55 61 32 27 21 23 31 16 12 32 44
4 55 28 16 23 34 25 24 26 65 28 22 20 22 32 23 19 33 16 41 21 31 23 17 30 23 19 24 77 26 36 52 22 29 30 48 28 40 29 35 41
5 45 31 38 61 28 20 25 29 50 54 43 29 20 32 36 38 25 43 31 39 30 40 20 28 18 19 59 30 24 27 39 46 24 51 28 60 33 62 40 63
6 38 18 27 22 37 32 47 19 41 27 14 16 40 52 25 16 30 20 17 34 53 45 27 17 38 24 24 28 38 21 30 48 41 19 29 22 26 93 43 54
995 20 48 31 19 24 33 21 24 26 26 30 21 57 25 31 60 29 42 37 40 52 22 29 30 50 20 24 31 30 53 61 53 23 26 33 40 23 53 21 27
996 39 40 36 39 21 52 33 32 18 38 45 23 16 19 20 47 32 27 21 24 17 35 49 30 30 13 25 22 45 17 27 27 59 29 26 25 30 23 38 31
997 34 21 43 20 12 27 38 44 27 21 32 45 34 14 36 13 22 19 24 26 18 37 23 45 26 39 38 23 17 31 26 27 49 24 26 53 37 23 27 19
998 62 35 28 39 28 36 46 24 25 26 23 35 35 37 40 27 24 22 37 16 42 21 30 28 22 37 35 24 40 40 45 30 21 29 28 20 23 33 31 17
999 38 41 76 66 31 22 35 37 44 30 36 30 43 21 33 30 41 39 60 59 29 ## 58 42 70 42 54 33 18 33 43 83 36 38 43 82 38 16 32 57
1000 35 42 31 28 20 22 19 42 42 57 41 20 19 30 18 38 33 34 48 27 33 30 23 25 31 48 34 37 33 17 26 39 36 27 46 77 18 17 34 64
SÉRIE SINTÉTICA DE VAZÕES ANUAIS
 
Figura 3.5: Reprodução Parcial das Séries Sintéticas de Vazões Médias Anuais geradas através do Método Monte Carlo. 
 19
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 4,02 1,85 1,39 0,79 0,42 0,34 0,27 0,26 0,24 0,60 1,02 0,81
2 0,68 1,88 1,16 0,71 0,74 1,10 1,13 1,08 0,76 0,72 0,69 1,35
3 1,00 1,77 1,00 0,84 1,75 0,81 1,10 0,67 0,52 1,15 0,52 0,88
4 1,41 2,30 1,14 1,00 0,69 0,53 0,57 0,40 0,64 0,97 1,25 1,09
5 2,09 1,75 1,45 0,68 0,44 1,28 0,98 0,66 0,55 0,44 0,81 0,85
6 4,58 1,38 1,07 0,72 0,53 0,44 0,31 0,39 0,24 0,68 0,60 1,06
7 0,61 0,67 0,68 0,35 0,29 1,1 0,93 0,33 0,27 1,44 4,36 0,97
8 1,17 1,44 1,19 0,49 0,71 0,88 0,87 0,43 1,16 0,79 0,35 2,52
9 3,54 1,04 0,70 0,55 0,61 1,10 1,78 0,73 0,60 0,54 0,35 0,47
10 0,74 2,10 0,83 1,06 0,41 0,31 0,65 0,81 1,32 2,46 0,76 0,55
11 1,89 1,79 1,07 0,61 0,73 0,82 0,83 0,62 0,96 1,10 0,75 0,82
12 2,25 1,29 1,75 0,76 0,56 1,37 0,77 0,51 0,39 0,66 0,51 1,15
13 1,40 1,33 1,13 0,55 0,50 0,48 0,65 0,61 0,41 1,44 1,22 2,28
14 1,53 1,73 0,81 0,54 0,61 0,91 0,64 1,44 0,95 0,94 1,16 0,74
15 2,03 1,84 1,07 1,74 0,75 0,83 0,64 0,47 0,53 0,49 0,69 0,93
16 0,60 0,50 0,93 0,39 0,52 0,51 1,69 0,86 2,41 0,82 1,34 1,44
17 1,04 0,53 0,53 0,31 1,12 0,52 0,58 0,82 1,94 1,77 1,43 1,41
18 1,57 1,46 1,93 1,11 0,57 0,52 0,72 0,60 1,14 0,67 0,47 1,25
19 3,63 1,35 0,74 0,66 0,63 0,49 0,37 0,31 0,25 0,81 0,87 1,89
20 0,42 0,74 0,44 0,25 0,23 1,13 1,71 0,64 0,37 0,88 2,23 2,97
21 0,98 0,62 0,89 0,72 1,57 3,01 0,99 0,49 1,12 0,66 0,49 0,46
22 1,47 1,22 0,82 0,86 0,95 0,64 0,65 0,89 1,21 0,69 0,88 1,72
23 1,23 1,21 1,36 1,73 1,42 1,13 1,00 0,61 0,62 0,46 0,72 0,51
24 0,44 1,12 1,09 0,62 1,77 0,91 0,50 1,22 0,71 0,56 0,74 2,32
25 0,69 2,23 0,70 0,51 2,07 2,14 0,88 0,52 0,46 0,51 0,74 0,55
26 0,85 1,17 0,96 0,57 2,51 2,18 0,98 0,61 0,46 0,55 0,46 0,69
27 2,1 1,84 1,06 0,62 0,51 0,54 0,76 0,77 1,19 0,60 0,49 1,51
28 4,00 0,79 0,52 0,48 0,58 0,54 1,38 0,92 0,97 0,76 0,59 0,49
29 0,76 1,09 1,80 0,89 0,98 0,85 0,78 0,66 0,48 1,08 0,80 1,82
30 0,56 0,76 1,20 1,27 2,65 1,24 0,68 0,54 0,69 1,14 0,67 0,59
31 1,20 2,55 1,30 0,90 0,63 1,02 0,66 0,48 1,04 1,15 0,47 0,61
32 1,8 1,59 1,05 0,88 0,76 1,36 1,07 0,74 0,50 0,50 0,91 0,83
33 3,29 1,66 0,82 0,98 0,56 0,58 0,84 0,43 0,79 1,08 0,53 0,44
34 1,53 1,66 2,09 1,16 0,62 0,54 0,43 0,38 0,62 0,98 0,82 1,18
35 3,32 2,23 0,59 0,39 0,31 0,83 0,73 0,57 0,79 0,59 0,77 0,87
36 0,97 1,43 1,58 1,39 0,85 0,72 0,54 0,59 1,44 1,56 0,46 0,47
37 1,65 1,77 1,01 1,05 0,98 0,87 1,72 0,65 0,80 0,59 0,52 0,39
38 0,56 2,90 0,90 0,38 0,32 0,40 0,50 0,75 2,60 0,82 0,71 1,16
39 1,00 1,95 0,91 0,64 0,80 1,16 0,98 0,84 0,91 1,17 0,79 0,87
40 1,99 1,02 1,14 0,61 1,07 0,65 0,58 0,72 1,12 0,71 1,00 1,36
COEFICIENTES DE DESAGREGAÇÃO
 
Figura 3.6 – Coeficientes de Desagregação de 
Séries Anuais em Mensais 
 
 
 
 20
Ano Histórico
1 -
2 0,5724
3 1,3922
4 0,8174
5 1,9877
6 3,3621
7 0,8556
8 2,1236
9 1,4226
10 2,4994
11 2,3872
12 2,5623
13 1,2899
14 0,8919
15 1,4055
16 0,5016
17 0,9629
18 1,7721
19 1,8090
20 0,4199
21 0,4678
22 0,9922
23 0,4779
24 1,4917
25 0,4277
26 0,9897
27 6,4494
28 2,9057
29 0,8647
30 0,4435
31 2,0046
32 1,4949
33 8,8755
34 2,2449
35 5,1059
36 1,1072
37 1,2955
38 2,1059
39 1,0253
40 2,2346
Máximo 8,8755
Mínimo 0,4199
RAZÃO ENTRE MÉDIAS MENSAIS
 
Figura 3.7 – Razão entre as médias do 1º mês 
do ano “i” e a do 12º mês do ano “i-1” 
 
 
 21
O resultado correspondente aos tempos de recorrências, proposto no escopo do 
trabalho, está expresso na Tabela 3.2 abaixo, onde para obter o valor dos volumes para o 
tempo de recorrência de 58,2 anos, basta fazer uma aproximação linear entre os dois 
valores maios próximos mostrados na figura 3.8, obtendo dessa forma os valores para 
64,5%, 75%, 80% e 85% da MLT para TR 58,2 anos. 
 
T P (Dn<= d)
Volume de 
0,645 MLT 
(m
3
)
Volume de 
0,75 MLT 
(m
3
)
Volume de 
0,80 MLT 
(m
3
)
Volume de 
0,85 MLT 
(m
3
)
1.001,00 99,90% 1,17E+09 2,01E+09 2,67E+09 3,44E+09
500,50 99,80% 1,06E+09 1,91E+09 2,42E+09 3,24E+09
333,67 99,70% 1,03E+09 1,90E+09 2,41E+09 2,94E+09
250,25 99,60% 1,01E+09 1,78E+09 2,24E+09 2,93E+09
200,20 99,50% 1,01E+09 1,76E+09 2,20E+09 2,90E+09
166,83 99,40% 9,38E+08 1,72E+09 2,11E+09 2,85E+09
143,00 99,30% 9,31E+08 1,59E+09 2,10E+09 2,82E+09
125,13 99,20% 9,00E+08 1,58E+09 2,05E+09 2,80E+09
111,22 99,10% 8,95E+08 1,55E+09 2,05E+09 2,79E+09
100,10 99,00% 8,95E+08 1,55E+09 2,02E+09 2,73E+09
91,00 98,90% 8,88E+08 1,53E+09 2,00E+092,72E+09
83,42 98,80% 8,78E+08 1,50E+09 1,98E+09 2,70E+09
77,00 98,70% 8,70E+08 1,48E+09 1,98E+09 2,63E+09
71,50 98,60% 8,67E+08 1,48E+09 1,96E+09 2,62E+09
66,73 98,50% 8,66E+08 1,47E+09 1,95E+09 2,62E+09
62,56 98,40% 8,62E+08 1,46E+09 1,94E+09 2,57E+09
58,88 98,30% 8,60E+08 1,42E+09 1,94E+09 2,56E+09
55,61 98,20% 8,57E+08 1,41E+09 1,93E+09 2,50E+09
52,68 98,10% 8,55E+08 1,41E+09 1,92E+09 2,48E+09
Probabilidades de Sucesso
 
Figura 3.8 – Resultados finais – Método de Monte Carlo 
 
 
Nível de Regularização V (m³) 
64,5% 8,512E+08 
75% 1,404E+09 
80% 1,918E+09 
85% 2,530E+09 
Tabela 3.2 – Resultados para TR 58,2 Anos – Método de Monte Carlo 
 
 
 22
 Como complemento foi construído curvas de regularização para as 1000 séries 
sintéticas geradas. Para isso, a cada volume calculado uma probabilidade fora associada, 
partindo-se do conceito de tempo de recorrência: 
 






−=
T
11Pr (3.4) 
onde T é o tempo de recorrência, dado por: 
 
n
NT 1+= (3.5) 
onde N é o tamanho da amostra; 
 n é a posição de cada volume na série ordenada. 
 
 O resultado pode ser visto na Figura 3.9, sendo as curvas da esquerda para a direita, 
níveis de regularização de 64,5%, 75%, 80% e 85% respectivamente. 
 
 
Figura 3.9 – Curvas de Regularização – Método de Monte Carlo 
 23
4 Máximo Déficit Acumulado – Método Histórico 
 
GOMIDE (1986) chamou de teoria do déficit, ou “análise de déficits”, a conciliação 
das duas linhas de pesquisa. Considerando que o “Modelo de Moran” é uma aplicação 
direta da teoria de cadeias de Markov, na situação em que as fronteiras (estados extremos 
de reservatório vazio, ou cheios) são reflexivas, GOMIDE (apud Neira 2005) mostrou que a 
distribuição da chamada “amplitude de somas parciais de variáveis aleatórias”, objeto de 
tantos estudos da escola de YEVJEVICH (1965), pode ser obtida a partir da mesma teoria, 
na situação em que as fronteiras são absorventes. 
 
 Neira (2005) utilizando da definição original de Gomide, mostra que o máximo 
déficit acumulado de somas parciais de variáveis aleatórias é dado por: 
 
( )kkjj
nkjn
xxxxD ++++−=
−+≤≤≤ 111
...min (4.1) 
 
Onde xi é a afluência líquida, isto é a diferença entre a afluência e efluência. Se o 
reservatório for de tamanho infinito, o máximo déficit acumulado de n intervalos de tempo 
denotado por nD , corresponderá aos (k − j + 1) intervalos de tempo em que mais se terá 
deplecionado o reservatório. 
 
Se o reservatório for finito, no sentido de possuir também uma fronteira 
correspondente ao estado “reservatório vazio”, diz-se que a probabilidade de sucesso do 
reservatório é, simplesmente, a probabilidade deste não ter se esvaziado ao longo dos n 
intervalos de tempo, expressa por: 
][ dDP n ≤ (4.2) 
 
Onde d é o tamanho do reservatório. Nota-se então que a função acumulada de 
distribuição de probabilidade de nD é a medida da probabilidade de sucesso do 
reservatório. A obtenção da distribuição de probabilidades da variável aleatória 
nD a partir 
da distribuição de probabilidades das afluências líquidas constitui a essência da análise de 
déficits. 
 24
 
Para cada percentual de regularização em relação à média de longo termo foi 
calculado os máximos déficits acumulados, com a consideração de regularização intra-
anual até o nível de 64,5% da MLT (ou seja, entre um ano e outro o déficit é zerado) e 
plurianual desse valor em diante: 
 
10% - Qmlt 3,28 Max. Déficit 0,00
20% - Qmlt 6,57 Max. Déficit 8,86
30% - Qmlt 9,85 Max. Déficit 29,49
40% - Qmlt 13,13 Max. Déficit 55,76
50% - Qmlt 16,42 Max. Déficit 87,92
65% - Qmlt 21,18 Max. Déficit 257,17
75% - Qmlt 24,63 Max. Déficit 404,32
80% - Qmlt 26,27 Max. Déficit 475,73
85% - Qmlt 27,91 Max. Déficit 604,81
95% - Qmlt 31,19 Max. Déficit 864,21
 
Tabela 4.1: Máximo Déficit Acumulado p/ Vários 
Níveis de Regularização 
 
Os volumes reais para vários níveis de regularização podem ser calculados 
multiplicando o volume adimensional pela MLT vezes o número de segundos em um ano: 
 
 
 
 
Tabela 4.2: Volumes p/ Vários 
Níveis de Regularização 
 
Para estes valores foi plotada a curva de regularização para os dados históricos: 
Nível de Regularização Volume (m3)
0.65 6.76E+08
0.75 1.06E+09
0.80 1.25E+09
0.85 1.59E+09
 25
 
Figura 4.1: Curva de Regularização Dados Históricos p/ 
Níveis de Regularização 
 
 
Foi também realizado simulações através de matrizes de transição para os dados 
históricos e para as vazões sintéticas geradas pelo Método de Monte Carlo. 
 
A primeira etapa de cálculo consiste em representar de forma discreta o volume do 
reservatório. Esse processo é feito da seguinte maneira: a capacidade do reservatório (V ) é 
dividida em )(K partes; a unidade de volume ( V∆ ) é admitida ser igual a (
K
VV =∆ ), no 
presente trabalho )(K foi tomado igual a 5 .(Tabela 4.3); 
 
 26
Estado 
Reserva 
Limites dos 
estados
Número do 
estado
V = Vazio V=0 0
V= ∆V 0 ˂ V ≤ ∆V 1
V= 2∆V ∆V ˂ V ≤ 2∆V 2
... ... ...
V= K∆V (K-1)∆V ˂ V ≤ K∆V K
V= Cheio V ˃ 100 K+1
 
Tabela 4.3: Limites de Fronteira do Reservatório 
 
O vetor de probabilidade da reserva no tempo ( t ) procura mostrar, em forma de um 
vetor com ( 1+K ) elementos, as probabilidades de o reservatório conter, no tempo ( t ), um 
estoque de água em cada um dos estados. Esse vetor pode ser representado por: 
 
















=
+1
1
0
...
...
K
t
P
P
P
P (4.3) 
 
Para afluências independentes em série, segundo Gomide (1986), para este caso a 
distribuição de probabilidades do máximo déficit acumulado nD é dada por: 
 
Tn
n rPKDP θ=≤ ][ (4.4) 
 
Onde nP é a “matriz de probabilidade de transição em n passos com fronteira 
inferior absorvente e superior reflexiva”, de dimensão ( 2+K ), r é o vetor linha 
[ ]111...110 e Tθ é o vetor coluna cujo transposto é [ ]100...000 . 
 
Entende-se por “matriz de probabilidade de transição em n passos” a matriz cuja 
entrada correspondente à i -ésima linha e j -ésima coluna é a probabilidade do reservatório 
 27
mudar do estado j para o estado i em exatamente n intervalos de tempo. Na expressão 
apresentada é importante ressaltar que: 
 
• A multiplicação da matriz pelo vetor coluna Tθ implica em preservar apenas a sua 
última coluna (que corresponde a “estado inicial cheio”); 
• A multiplicação dessa coluna pelo vetor linha r implica em somar todos os seus 
elementos, com exceção do primeiro (que corresponde a “estado final vazio, dado 
que começou cheio”); 
• A soma de todos os elementos de qualquer coluna da matriz nP é igual à unidade 
(pois que todos correspondem à probabilidade de eventos mutuamente excludentes e 
completamente exaustivos). 
 
Segundo Gomide (apud Neira 2005), ][ KDP n ≤ é a probabilidade de um 
reservatório, inicialmente cheio, chegar ao enésimo intervalo de tempo em qualquer estado 
que não vazio. Como o estado vazio é absorvente, isso equivale a dizer que ele nunca se 
esvaziou ao longo de n intervalos de tempo, ou seja, foi bem sucedido. 
 
O escopo do trabalho sugere que este tipo de análise seja feita, para tal foi 
desenvolvido um algoritmo que possibilita o calculo dos déficits acumulados e obtêm as 
probabilidades de sucesso (ou o risco de falha) do reservatório para 75% do deflúvio anual 
médio. 
 
Simplificadamente, o conjunto de equações que descreve as probabilidades de 
transição do estado j para o estado i , é representado abaixo: 
 
( )( ) ( )( )
.,...,2,1
;,...,2,1
5,05,0),(
Kj
Ki
djiVFdjiVFjia YY
=
=
+−−⋅∆−++−⋅∆=
 (4.5a) 
 
( ) ( )( )
;,...,2,1
1001100)1,(Ki
diVFdiVFKia YY
=
−+−⋅∆−−+⋅∆=+
 (4.5b) 
 28
 
( )( )
;,...,2,1
5,01001),1(
Kj
jVdFjKa Y
=
−⋅∆−+−=+
 (4.5c) 
 
( ) ( )( )
;,...,2,1
1)0,(
Ki
diVFdiVFia YY
=
+−⋅∆−+⋅∆=
 (4.5d) 
 
( )
;,...,2,1
)5,0(),0(
Kj
jVdFja Y
=
−⋅∆−=
 (4.5e) 
 
( )100)1,0( −=+ dFKa Y (4.5f) 
 
( )dFa Y=)0,0( (4.5g) 
 
( )1001)0,1( +−=+ dFKa Y (4.5h) 
 
( )dFKKa Y−=++ 1)1,1( (4.5b) 
 
Onde em cada equação: 
j = estados de 1 a K ; 
i = estados de 1 a K ; 
1+K = último estado possível na discretização do reservatório; 
V∆ = é a discretização do reservatório; 
d = demanda ou retirada de água do reservatório; 
σ
µ)( −
=
t
Y
Y
F = Função de Distribuição Normal Padrão (1,0); 
tY = afluência ao reservatório (padronizada); 
 
Realizando os cálculos para os dados históricos, obteve-se a seguinte matriz de 
transição P para uma demanda de 75% da média de longo termo para um tempo t : 
 29
 
i 0 1 2 3 4 5 6
0 0,258 0,179 0,076 0,026 0,007 0,000 0,000
1 0,191 0,167 0,105 0,051 0,019 0,007 0,003
2 0,203 0,203 0,167 0,105 0,051 0,019 0,010
3 0,167 0,191 0,203 0,167 0,105 0,051 0,032
4 0,105 0,137 0,191 0,203 0,167 0,105 0,076
5 0,051 0,076 0,137 0,191 0,203 0,167 0,137
6 0,026 0,046 0,121 0,258 0,448 0,652 0,742
j
 
Tabela 4.4: Matriz de Transição para d=75, K=5, V∆ =20. 
 
Calculando as matrizes de transição para n = 2, 4, 8, 16, 32 e 40 anos, por simples 
multiplicação sucessiva, é possível obter as matrizes de transição nP : 2P , 4P ..., 32P e 40P , 
observa-se que as colunas de nP vão ficando cada vez mais parecidas a medida que n 
aumenta , para n = 40 elas já são praticamente idênticas: 
 
i 0 1 2 3 4 5 6
0 0,1212 0,0973 0,0577 0,0294 0,0128 0,0047 0,0026
1 0,1134 0,0963 0,0649 0,0388 0,0209 0,0107 0,0076
2 0,1492 0,1331 0,0996 0,0672 0,0417 0,0251 0,0198
3 0,1631 0,1545 0,1315 0,1024 0,0747 0,0539 0,0465
4 0,1507 0,1533 0,1508 0,1370 0,1174 0,0991 0,0919
5 0,1206 0,1325 0,1515 0,1597 0,1579 0,1511 0,1474
6 0,1826 0,2303 0,3438 0,4654 0,5744 0,6552 0,6835
P2
 
Tabela 4.5: Matriz de Transição para d=75, K=5, V∆ =20, n=2; 
 
i 0 1 2 3 4 5 6
0 0,0133 0,0127 0,0117 0,0108 0,0101 0,0097 0,0096
1 0,0188 0,0182 0,0172 0,0163 0,0157 0,0153 0,0152
2 0,0355 0,0347 0,0334 0,0323 0,0314 0,0309 0,0307
3 0,0637 0,0628 0,0616 0,0604 0,0595 0,0590 0,0588
4 0,1044 0,1036 0,1030 0,1022 0,1017 0,1013 0,1012
5 0,1493 0,1488 0,1492 0,1492 0,1492 0,1493 0,1492
6 0,6144 0,6151 0,6223 0,6272 0,6306 0,6329 0,6331
P8
 
Tabela 4.6: Matriz de Transição para d=75, K=5, V∆ =20, n=8; 
 
 30
i 0 1 2 3 4 5 6
0 0,0098 0,0098 0,0098 0,0098 0,0098 0,0098 0,0098
1 0,0154 0,0153 0,0154 0,0154 0,0154 0,0154 0,0153
2 0,0309 0,0308 0,0309 0,0309 0,0309 0,0309 0,0308
3 0,0588 0,0586 0,0588 0,0588 0,0587 0,0588 0,0587
4 0,1008 0,1004 0,1007 0,1007 0,1007 0,1007 0,1006
5 0,1482 0,1477 0,1480 0,1480 0,1480 0,1481 0,1480
6 0,6275 0,6253 0,6268 0,6268 0,6268 0,6269 0,6265
P40
 
Tabela 4.7: Matriz de Transição para d=75, K=5, V∆ =20, n=40; 
 
Isso significa que a probabilidade do reservatório estar vazio, por exemplo, daqui a 
pelo menos 40 anos, é sempre 0,0098, não importando qual seja o estado de 
armazenamento atual. Analogamente, a probabilidade de que o reservatório esteja cheio, 
também daqui a 40 anos é de 0,6265. 
 
O extremo também foi analisado, por exemplo, a probabilidade de o reservatório 
estar vazio em 100 anos, independente do armazenamento inicial, obtendo se os mesmos 
valores, ou seja, 0,98% (0,0098 na matriz) e para o reservatório estar cheio de 62,65% 
(0,6265 na matriz), com um risco marginal de 1,05%. 
 
Para os períodos de 2, 4, 8, 16, 32 e 40 anos, foi verificada a probabilidade de não 
falha, isto é, do reservatório não ter apresentado risco de racionamento em atendimento a 
demanda de 75% da mlt; 
 
n 2 4 8 16 32 40
0,995 0,991 0,990 0,989 0,989 0,989
0,987 0,987 0,989 0,989 0,989 0,989
0,970 0,982 0,989 0,989 0,989 0,989
0,902 0,963 0,987 0,989 0,989 0,989
P
Resultado Simulação para n= 2, ...,40
20%
Armazenamento 
Inicial % MLT
100%
80%
60%
 
Tabela 4.8: Probabilidades de sucesso para d=75, K=5, V∆ =20 e 
diferentes números de anos de simulação; 
 
 
 31
Foi realizada também a simulação utilizando o conceito de Gomide de Risco 
Condicionado, ou seja, a união da Teoria de Moran com a Teoria dos Déficits para 100 
anos de operação do reservatório, obtendo os seguintes valores de probabilidade para o 
reservatório nunca ter apresentado falha em atendimento a demanda de 75% do Volume 
Útil: 
P[Sucesso] t-1 50,38%
P[Sucesso] t 50,03%
Risco Condicionado 0,70%
 MÉTODO GOMIDE
 
Tabela 4.9: Probabilidades de sucesso para d=75, K=5, V∆ =20 e 
100 anos de simulação; 
 
Observa-se que quanto maior o período de análise, menos importância tem o estado 
inicial do reservatório, pois a probabilidade de não ocorrência de racionamento é muito 
similar para armazenamentos iniciais distintos, quando o tempo tende ao infinito. 
 
Realizando os cálculos para os dados históricos, considerando a possibilidade que o 
reservatório estava cheio ao ser inaugurado, e deseja-se a probabilidade de que o 
reservatório fique pelo menos uma vez vazio ao longo de n anos de vida útil, tem a matriz 
de transição P modificada, conforme abaixo: 
 
i 0 1 2 3 4 5 6
0 1,000 0,179 0,076 0,026 0,007 0,000 0,000
1 0,000 0,167 0,105 0,051 0,019 0,007 0,003
2 0,000 0,203 0,167 0,105 0,051 0,019 0,010
3 0,000 0,191 0,203 0,167 0,105 0,051 0,032
4 0,000 0,137 0,191 0,203 0,167 0,105 0,076
5 0,000 0,076 0,137 0,191 0,203 0,167 0,137
6 0,000 0,046 0,121 0,258 0,448 0,652 0,742
j
 
Tabela 4.10: Matriz de Transição Modificada 
para d=75, K=5, V∆ =20 
 
Foi realizada também a simulação para os seguintes níveis de armazenamento 
inicial: 20%, 60%, 80% e Cheio, obtendo os seguintes valores de probabilidade para o que 
 32
o reservatório fique pelo menos uma vez vazio ao longo de n anos de vida útil em 
atendimento à demanda de 75% do Volume Útil: 
 
n 2 4 8 16 32 40
0,004 0,015 0,042 0,094 0,191 0,236
0,018 0,036 0,064 0,115 0,210 0,253
0,048 0,073 0,102 0,151 0,242 0,284
0,232 0,268 0,294 0,333 0,404 0,437
P
Resultado Simulação para n= 2, ...,40
20%
Armazenamento 
Inicial % MLT
100%
80%
60%
 
Tabela 4.10: Probabilidade de Reservatório Vazio pelo menos um 
Ano ao longo de “n” anos com volumes iniciais variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
5. Discussões e Conclusão 
 
 
 O propósito inicial deste trabalho fora a obtenção dos volumes de reservatórios 
necessários para três níveis de regularização. Foram utilizados comparativamente, dois 
métodos distintos: o método de construção de Curvas de Regularização desenvolvido por 
Gomide (1986) e o método de Monte Carlo. A Tabela 5.1 compara os resultados obtidos: 
 
Nível de Regularização Método de Gomide (1986) - V (m³) 
Método de Monte Carlo 
- V (m³) 
75% 1,07E+09 1,404E+09 
80% 1,21E+09 1,918E+09 
85% 1,35E+09 2,530E+09 
Tabela 5.1 - Comparativo de resultados 
 
 Ao analisar a tabela acima, pode-se notar que os resultados comportam-se de 
maneira variada. O Método de Gomide (1986) mostrou-se mais conservador para todos os 
níveis de regularização, enquanto que o método de Monte Carlo apresentou um volume 
significativamente maior, a diferença é justificada pelo número de anos de dados em 
análise, para as séries sintéticas geradas, com extensão de 1000 anos, os níveis de 
regularização tendem a ser maior se comparados com um histórico de apenas 40 anos de 
dados. 
 
Pode-se dizer que, de um modo geral, que foi possível confirmar a aplicabilidade de 
ambosos métodos à problemática envolvida, observa-se claramente que o limite de 
regularização anual proposto por Gomide de 64,5 % foi confirmado através da Teoria do 
Máximo Déficit Acumulado, onde a simulação mostrou que esse valor é consistente. 
 
Outro fato importante, o estado inicial pouco influência no estado final para um 
número grande de anos de simulação, o fator de maior impacto é a demanda e o nível de 
regularização do reservatório, a discretização do reservatório também é decisiva, pois 
quanto maior adotar o valor de k, mais precisão se obterá nos resultados. 
 34
6. Referências Bibliográficas 
 
 
HAAN, C. T. Statistical methods in hydrology. Ames: The Iowa State University, 1979. 
377 p. 
 
 
KITE, G. W. Frequency and Risk Analyses. 3. ed. Chelsea: Water Resources Publications, 
1985, p 69-73. 
 
NEIRA, K. L. Curvas de regularização para reservatórios parcialmente cheios e 
confiabilidade constante. 171f. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do 
Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Recursos 
Hídricos e Ambiental. Curitiba, 2005. 
 
GOMIDE, F. L. S. Teoria estocástica dos reservatórios aplicada ao planejamento 
energético de sistemas hidrelétricos. Curitiba, 1986. Paginação irregular. Tese 
(Titular), Departamento de Hidráulica e Saneamento, Universidade Federal do Paraná. 
 
GROSZEWICZ, R. C.; KAVISKI, E.; ILLICH, I.; MACHADO, J. F. P. Avaliação de três 
métodos de desagregação de afluências. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE 
RECURSOS HÍDRICOS. 9., Rio de Janeiro, RJ. Anais... Rio de Janeiro: ABRH, 1991. 
p. 437-446.